Geometry of Fanning Curves in Divisible Grassmannians
研究了$\mathbb{R}^{kn}$的n维子空间的Grassmann流形中扇形曲线的几何性质，构造了一个完整的不变量系统，解决了同余问题.还研究了不变量本身的几何性质及其与经典不变量的关系。
2016-05-25 math.DG
The geometry of canal surfaces and the length of curves in de Sitter space
本文给出了具有非空类测地曲率向量的闭类空曲线在de Sitter空间中的极小值。这些曲线对应于封闭的几乎规则的管道表面，并且它们的长度是共形几何中的自然量。作为应用，我们得到了闭空间曲线的全共形挠率的一个下界。
2011-08-11 math.DG
Moving planes, Jacobi curves and the dynamical approach to Finsler geometry
我们用运动平面及其相应的Jacobi曲线（固定的齐次Grassmann流形中的曲线）来表示Finsler流形的几何不变量。给出了一些应用实例。
2017-01-20 math.DG
A remark about mirror symmetry of elliptic curves and generalized complex geometry
本文证明了在椭圆曲线的情形下，Cavalene-Gualtieri描述的$T$ -对偶流形之间的广义复结构同构与Polishchuk和Zaslow描述的椭圆曲线的镜像映射一致.
2015-09-17 math.DG
A Survey of the Differential Geometry of Discrete Curves
曲线离散化是一个古老的课题。即使是离散化的曲线与眼睛对微分几何是超过一个世纪的历史。然而，在文献中没有一般的理论或方法，尽管在数学和科学中普遍使用离散曲线。甚至连离散曲率κ、离散挠率τ或离散Frenet标架等基本概念的定义也存在冲突。
2013-11-22 math.DG
Differential geometry of general affine plane curves
本文研究了仿射空间$A^2$中曲线的一般仿射几何。对于规则的平面曲线，我们定义了两种活动标架。第一个是所有活动标架中的最小阶，第二个是Frenet活动标架。得到了这些活动标架的运动方程。证明了曲率和签名是正则曲线的完全不变量。作为应用，我们给出了$A^2$中常曲率曲线的完全分类.
2016-03-10 math.DG
The geometry of a positively curved Zoll surface of revolution
本文研究了正Gauss曲率Zoll曲面的测地线流形的几何，说明了这些度量如何诱导出常旗曲率的Finsler度量，并给出了一些显式的构造。
2018-09-18 math.DG
Geometry on curves which go around a Whitney umbrella
本文研究环绕惠特尼伞的曲线几何，通过分析测地曲率、法曲率及相关直纹面和法可展曲面，利用函数关于半径的最高阶项揭示惠特尼伞的几何性质。
2025-08-21 math.DG
A nonlocal curve flow in centro-affine geometry
本文得到了中心仿射平面几何中的一个等周不等式。我们还研究了一个不变平面曲线流的长期行为，其演化过程可以表示为关于中心仿射曲率的二阶非线性抛物型方程。讨论了前向和后向的时间极限，表明闭凸嵌入曲线按此流演化时可能收敛到椭圆。
2022-07-14 math.DG
On geometry of curves of flags of constant type
我们开发了一个代数版本的Cartan方法的等价性或类似的田中延长的（外在）几何的曲线标志的向量空间$W$相对于一个小组$G$的$GL(W)$的行动。在子群$G$和标志上的一些自然假设下，人们可以从过滤对象转到相应的分级对象，并用纯线性代数的语言描述这些曲线的移动标架的典范丛的构造。该理论的适用范围包括旗关于约化线性群或其抛物子群的曲线的自然类的几何。作为最简单的例子，这包括曲线的射影和仿射几何。典型群的情况下被认为是更详细。
2011-10-02 math.DG
Differential geometry of curves in dual space
该研究引入对偶空间$\boldsymbol{\text{d}}^3$中曲线的Frenet理论，定义曲率与挠率并分类常曲率对偶平面曲线，建立存在性基本定理且分类常曲率常挠率的对偶曲线。
2024-11-29 math.DG
Differential geometry of spatial curves for gauges
我们得到了浸入在$3$维广义Minkowski空间中的空间曲线的Frenet型结果和不变量，即，在满足有限维实巴拿赫空间中除对称性公理以外的所有公理的线性空间中。在此基础上，我们刻画了这类空间中的圆柱螺旋线和整流曲线，并讨论了其不变量的计算。最后，我们研究了单位球的平移如何影响空间曲线的不变量。
2020-01-06 math.DG
Generalized planar curves and quaternionic geometry
受射影几何与几乎四元数几何之间的相似性的启发，我们研究了广义平面曲线和广义平面映射。我们遵循，恢复，并扩展了经典的方法，由Mikes和Sinyukov开发。然后，我们利用几乎四元数几何的一般结果的影响。特别是，我们表明，自然类的H-平面曲线符合类的所有测地线的所谓Weyl连接和保持这个类原来是充要条件上的同态成为态射的几乎四元数几何。
2005-12-27 math.DG
Contact Geometry of Curves
在李群$G$的齐性空间中的浸入曲线的背景下，简要回顾了嘉当的活动标架方法。然后，在低维等仿射几何曲线的接触几何显式。这提供了完整的一套不变的数据，解决了$G$ -等价问题，通过一个简单的程序，这是，在某种意义上是一个补充的等变方法的费尔斯和奥尔弗。其次，描述了一般黎曼流形$(M,g)$中曲线的接触几何。对于特殊的情况下，其中的等距$(M,g)$行为传递，它表明，接触几何提供了一个明确的算法构造的微分不变式曲线在$M$。构造所需的输入仅由度量$g$和结构群SO（n）的参数化组成;不需要群作用，也不涉及积分。为了说明该算法，我们显式构造完整的微分不变式的曲线在庞加莱半空间$H^3$和家庭的常曲率3-度量。它是澄清，类似的结果是可能的，在其他Cartan几何。
2009-10-19 math.DG
Lewy curves in para-CR geometry
本文在para-CR几何中定义并研究了Lewy曲线，给出了其定义路径几何的刻画条件，并证明在三维及更高维情形下Lewy曲线与链重合当且仅当para-CR结构平坦，从而表明Lewy曲线在符号意义下确定para-CR结构。
2024-06-07 math.DG
Geometry of curves in parabolic homogeneous spaces
本文研究抛物型齐性空间中的常数型积分曲线。我们构造了这类曲线的一个典型的活动标架丛，并给出了它是Cartan联络的判据。推广到参数化曲线，高维子流形和一般抛物几何进行了讨论。
2013-01-13 math.DG
On the geometry of star-shaped curves in $\mathbb{R}^n$
利用向量丛上的联络理论和循环$\mathcal{D}$ -模，研究了$\mathbb{R}^n$中星形曲线的流形$\mathcal{M}$.适当的概念的“积分曲线“（即某些容许变形）上$\mathcal{M}$的定义，和由此产生的空间的容许变形分类通过等谱流，这是由方程描述的$n$ -KdV层次。
2018-11-01 math.DG
Affine Geometry of Space Curves
本文从Cartan定理出发，对空间曲线在仿射变换下的完全分类进行了研究。Spivak已经介绍了这个方法，但还没有找到不变量。并首次提出了不变量的一个充要条件。然后，我们详细研究了常曲率空间曲线的形状，并提出了它们在物理、计算机视觉和图像处理中的应用。
2009-08-25 math.DG
The Geometry of the Centre Symmetry Set of a Planar Curve
该研究聚焦平面曲线的中心对称集这一几何对象，探究其整体几何性质，明确了该集合的奇点数量与渐近线数量相关的几何特征。
2024-09-15 math.DG
Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space
本文回顾了$3$维Lorentz-Minkowski空间中的部分经典曲线曲面理论。我们重点讨论了具有常中曲率的类空曲面与欧几里得空间的异同。
2014-10-09 math.DG
Projective structures on curves and conformal geometry
本文梳理曲线上射影结构各等价定义与同构类的对应，纠正文献疏漏，并据此证明共形/Möbius 环境空间中的曲线 Yamabe 问题一般无解。
2025-02-19 math.DG
The Geometry of the Secant Caustic of a Planar Curve
平面曲线$M$的正割焦散是$M$的正割映射的奇异集的像。本文分析了平面曲线割线焦散线的几何性质，即割线焦散线的分支数、尖点数的奇偶性和每个分支上的点的个数。特别是，我们详细研究了玫瑰花的正割焦散线的一些几何性质，即具有非零曲率的光滑规则定向的闭曲线。
2021-06-05 math.DG
A fourth-order area-preserving curve flow in centro-equiaffine geometry
Tongji University（同济大学）；Henan Academic of Sciences（河南省科学院）
本文基于Guan和Li(2015)的工作，引入一种通过仿射Minkowski公式定义的四阶中心等距不变曲线流，证明在无初始曲线小性假设下，流在长时间内存在，且曲线面积保持并最终光滑收敛到圆。
2026-04-16 math.DG
Hyperkähler geometry of rational curves in twistor spaces
研究了超kähler $4$ -流形的扭量空间中高次有理曲线的伪超kähler几何.
2021-11-30 math.AG math.DG
Reducible spectral curves and the hyperkaehler geometry of adjoint orbits
通过可约谱曲线的代数几何，研究了SL（k，C）的正则半单伴随轨道的超Kaehler几何.
2007-03-14 math.AG math.DG
The curve-lengthening flow in inversive geometry
该研究提出反演几何中余紧曲线的不变梯度流，证明在可容许初始条件下解全局存在并收敛至斜驶曲线。
2025-02-25 math.AP math.DG
Differential geometry of Hilbert schemes of curves in a projective space
我们描述的自然几何希尔伯特计划曲线在${\mathbb P}^3$，在某些情况下，在${\mathbb P}^n$，$n\geq 4$。
2019-08-28 math.AG math.DG
A non-Newtonian approach in differential geometry of curves: multiplicative rectifying curves
本文研究3维乘法欧几里得空间中位置向量位于矫正平面的乘法矫正曲线，运用乘法微分几何概念给出其刻画，并借助乘法球面曲线实现完全分类。
2023-07-31 math.CA math.DG
Conformal geometry of isotropic curves in the complex quadric
设$\mathbb{Q}_3$为具有标准复共形结构的复3-二次曲面。研究了$\mathbb{Q}_3$中各向同性曲线的复共形几何。迷向曲线是指从黎曼曲面到$\mathbb{Q}_3$的非常数全纯映射，关于$\mathbb{Q}_3$的共形结构为零。讨论了黎曼空间和洛伦兹空间中迷向曲线与若干相关曲面类之间的关系。
2021-10-06 math.AG math.DG
What is differential geometry: curves and surfaces
本书通过曲线和曲面介绍微分几何，提供基础技术与可视化方法，帮助读者理解该领域的核心概念与研究方向。
2025-12-31 math.DG math.HO
Geometry of curves passing through Whitney umbrella
本文利用Darboux标架和Frenet-Serre型公式研究穿过惠特尼伞的曲线几何，定义三个不变量并分析其发散阶数、首项及几何意义，同时考虑沿曲线的可展曲面。
2025-11-10 math.DG math.GT
Log-Aesthetic Curves: Similarity Geometry, Integrable Discretization and Variational Principles
本文研究了计算机辅助几何设计中的一类平面曲线-对数美学曲线及其推广。我们认为这些曲线的框架内的相似几何和特征，它们作为不变曲线下的可积流的平面曲线，这是由Burgers方程。我们提出了一个变分原理，这些曲线，导致静态Burgers方程的欧拉-拉格朗日方程。作为这里开发的公式的应用，我们提出了这些曲线的离散化和相关的变分原理，该原理保留了潜在的可积结构。最后，我们提出了算法的离散对数美学曲线的生成给定的${\rm G}^1$数据的基础上的相似性几何。我们的方法是能够生成$S$形离散曲线与拐点以及$C$形曲线根据边界条件。由此产生的离散曲线被认为是自适应离散化，因此即使具有少量的点也是高质量的。
2021-07-07 math.DG nlin.SI
Geometry of Neighborhoods of Minimal Rational Curves
本文综述了单有理射影流形上极小有理曲线的芽等价问题，重点研究了当极小有理切线的相伴簇构成射影簇的等平凡族时，Zariski开子集上自然出现的G-结构及其与几何结构的微分几何的相互作用，并讨论了极小有理曲线芽等价的形式原理。
2026-05-23 math.AG math.DG
A translation of "What is differential geometry: curves and surfaces"
本书通过曲线与曲面介绍微分几何，强调基础技术与直观理解，为深入学习提供入门指导。
2026-01-05 math.DG math.HO
Holomorphic Cartan geometries and rational curves
证明了当Cartan几何继承自低维紧致Kähler流形上的全纯Cartan几何时，任何具有全纯Cartan几何的紧致Kähler流形都包含一条有理曲线。
2016-03-07 math.AG math.DG
On the differential geometry of curves in Minkowski space
本文讨论闵可夫斯基空间中曲线的微分几何的某些方面。本文建立了Minkowski空间中的Serret-Frenet方程，并利用它们给出了Minkowski空间中曲线基本定理的一个非常简单的证明。我们还陈述并证明了另外两个定理，它们代表了三维欧氏空间中曲线微分几何的一个非常著名的定理的闵可夫斯基版本。讨论了Minkowski空间中无挠路的一般解。然后，我们应用四维Serret-Frenet方程来描述带电测试粒子在恒定均匀电磁场中的运动，并显示粒子的四维路径的曲率和挠率如何包含作用在粒子上的电磁场的信息。
2005-12-31 gr-qc math.DG
A primer on the differential geometry of quaternionic curves
本文叙述了四元数曲线微分几何的基础。由此确定了Frenet-Serret方程和特定四元数曲线的渐屈线和渐屈线。这种新的公式利用了四元数曲线的结构，其结果比现有的四元数曲线公式简单得多。
2021-07-16 math-ph math.DG math.MP
Conformal geometry of timelike curves in the (1+2)-Einstein universe
研究了（1+2）-Einstein宇宙中类时曲线的共形几何，定义为$\mathbb{R}^{2,3}$的零锥与正标量乘法作用的商的Minkowski三维空间的共形紧化.目的是描述类时曲线的局部和全局共形不变量，并讨论共形应变泛函的闭轨线的存在性和性质。讨论了类时曲线的共形几何与三维球面中纽结和链环几何之间的关系。
2016-03-03 math-ph math.DG math.MP
Multiview Differential Geometry of Curves
Brown University（布朗大学）
由于提取可靠点特征的方法和射影几何的关键发展，多视图几何领域在重建和校准方面取得了巨大进展。然而，点特征在某些应用中不可用，并导致非结构化点云重建。一般的图像曲线提供了一个互补的功能时，关键点是稀缺的，并导致在3D曲线几何，但面临的挑战没有解决的点和代数曲线的通常的投影几何。我们解决这些挑战奠定了理论基础的框架的基础上微分几何的一般曲线，包括静止曲线，闭塞的轮廓，和非刚性曲线，针对立体对应，相机估计（包括校准，姿态，和多视图极几何），和三维重建给定的测量图像曲线。通过将以前的结果收集到一个内聚理论中，新的结果成为可能，产生了三个贡献。首先，我们从基础空间曲线（切线，曲率，曲率导数，挠率）导出图像曲线（切线，曲率，曲率导数）的微分几何。其次，我们从两条相应的镜像曲线的微分几何导出空间曲线的微分几何。第三，由摄像机运动和空间曲线的微分几何和运动导出图像曲线的微分运动。这种理论的可用性，使新的基于曲线的多视图重建和摄像机估计系统，以增强现有的基于点的方法。该理论已被用于重建“3D曲线草图”，从局部曲线几何形状和跟踪确定相机姿态;其他发展正在进行中。
2016-04-27 cs.CG cs.CV cs.GR
A number theoretic question arising in the geometry of plane curves and in billiard dynamics
证明了如果$ρ\neq1/2$是介于0和1之间的有理数，则不存在整数$n>1$使得$$ n\tan(πρ)=\tan(nπρ). $$.这在自行车曲线理论和数学台球理论中都有解释.
2011-03-25 math.DG math.DS math.NT
Geometry of stable ruled surface over an elliptic curve
本文研究了椭圆曲线上稳定直纹曲面$S_1$。在$S_1$上有一个独特的叶理横交于纤维化。最小自相交截面也定义了2-腹板。我们证明了由纤维化、叶理和2-网定义的4-网是局部可并行的。
2019-03-01 math.AG math.CV math.DG
Integral geometry of plane curves and knot invariants
本文研究了Witten的Chern-Simons路径积分的微扰展开式中作为第二系数的纽结不变量的积分表达式。其中一个积分是经典Crofton积分在凸平面曲线上的推广，它与Arnold最近定义的一般平面曲线的不变量有关，具有辛几何和接触几何的深刻动机。这些平面曲线不变量的二次边界推导出使用它们的关系与结不变量。
1994-11-30 dg-ga hep-th math.DG
Self-Bäcklund curves in centroaffine geometry and Lamé's equation
25年前，平考尔发现柯尔特维格-德弗里斯方程可以实现为中心仿射几何中曲线的演化。从那时起，一些作者解释了各种性质的KdV和它的推广方面的centoraffine几何。特别地，Korteweg-de Vries方程的Bäcklund变换可以被视为中心仿射曲线之间的关系。本文研究自Bäcklund中心仿射曲线。我们描述了这些曲线的一般性质，并提供了一个详细的描述，他们的椭圆函数。我们的工作是F.韦格纳的一个类似的问题在欧几里德几何，有关乌拉姆的问题，描述（二维）机构，浮动在平衡中的所有立场和自行车运动学。我们还考虑了一个离散化的问题，曲线被多边形取代。这与KdV的离散化和理想多边形上的交比动力学有关。
2022-05-10 math.CA math.DG math.DS
Spectral geometry of surfaces with curved conic singularities
设$(M,g)$是具有黎曼度量和曲锥奇点的曲面。更准确地说，奇点的邻域与具有度量$g_{\text{conic}}=dr^2+f(r)^2dθ^2, r\in(0,1)$的$(0,1)\times S^1$等距。利用热迹展开方法研究了$(M,g)$的光谱几何。我们通过奇点的几何来表示展开式中的前几项。常数项包含关于圆锥尖端的角度的信息。下一项$bt^{1/2}$通过曲率和圆锥尖端的角度表示。
2017-11-02 math.AP math.DG math.SP
The planar 3-body problem II:reduction to pure shape and spherical geometry (2nd version)
在等变黎曼几何的框架下，研究了牛顿平面三体问题的几何约化，将三体运动轨迹的研究归结为在有向质量三角形的模空间中的模曲线，即记录其大小和形状变化的曲线.后一个空间是形2-球面上的黎曼锥，形曲线是这个球面上的像曲线。结果表明，时间参数化模量曲线一般由形状曲线和形状势函数的相对几何形状决定。这也需要时间的重建，即几何形状曲线确定模量曲线的时间参数化，因此也确定三体运动本身，以平面的固定旋转为模。这项工作的第一个版本是2012年的一篇（未发表的）论文，目前的版本是对这篇论文的编辑修订。
2018-03-19 math-ph math.DG math.MP
Geometry of webs of algebraic curves
覆盖一个射影簇$X$的代数曲线族称为$X$上的曲线网，如果它通过$X$的一般点的成员只有100个。$X$上的曲线网在局部微分几何意义下在$X$的一般点的邻域内诱导出网结构。我们研究了网状结构的局部微分几何如何影响$X$的全局代数几何。在两个几何假设下的网络结构，成对不可积条件和括号生成条件，我们证明了局部微分几何决定的整体代数几何的$X$，一般有限的代数对应。例如，当$X \subset {\bf P}^N$是Picard数为1的Fano子流形，覆盖$X$的线族成为网时，这两个几何假设都得到满足。在这种特殊情况下，我们有一个更强的结果，当地的微分几何的网络结构确定$X$的双正则等价。作为应用，我们证明了如果$X, X' \subset {\bf P}^N, \dim X' \geq 3,$是两个Picard数为1的Fano流形，则任何满射态射$f: X \to X'$都是同构.
2016-05-17 math.AG math.CV math.DG
Special geometry of quartic curves
我们分类最大四次广义射影特殊实曲线等价。极大四次广义射影特殊实曲线由四次齐次实多项式$h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$的双曲点与其水平集$\{h=1\}$的交点的连通分支组成。如果两条这样的曲线通过线性坐标变换相关联，则它们被称为等价曲线。作为我们的结果的应用，我们证明了四次广义射影特殊实流形的齐性空间具有非正则边界行为，这意味着这些空间的定义多项式的微分相同地消失在相应的流形所张成的锥的边界的射线上。最后，我们描述了每一条曲线的渐近行为。
2022-06-25 hep-th math.AG math.DG
Geometry of moduli spaces of meromorphic connections on curves, Stokes data, wild nonabelian Hodge theory, hyperkahler manifolds, isomonodromic deformations, Painleve equations, and relations to Lie theory
1999-2012年主要工作总结
2013-05-28 math.AG math.DG math.HO
Distinguished curves and integrability in Riemannian, conformal, and projective geometry
我们给出了一个新的特征的非参数化测地线，或区分曲线，仿射，伪黎曼，共形，射影几何。这是一种移动关联关系。该表征用于提供非常一般的理论和沿着曲线必然守恒的量的构造。该形式立即给出这些曲线首次积分的显式公式。通常的作用Killing张量和共形Killing张量恢复作为一个特殊的情况下，但建设表明，一个显着更大的一类方程的解决方案也产生曲线首次积分。特别地，来自第一类BGG方程的方程的任何正规解都可以产生这样的守恒量。对于某些方程，不需要正规性条件。对于伪黎曼几何和共形几何中的无处零曲线，还可得到其它结果。我们提供了一个基本的牵引值不变的曲线，这个数量是平行的，当且仅当曲线是一个unparametrised共形圆。
2020-01-07 gr-qc math-ph math.DG
