Moving planes, Jacobi curves and the dynamical approach to Finsler geometry
Carlos Duran, Henrique Vitorio
我们用运动平面及其相应的Jacobi曲线（固定的齐次Grassmann流形中的曲线）来表示Finsler流形的几何不变量。给出了一些应用实例。
We express invariants of Finsler manifolds in a geometrical way by means of using moving planes and their associated Jacobi curves, which are curves in a fixed homogeneous Grassmann manifold. Some applications are given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Geodesics and Jacobi fields of pseudo-Finsler manifolds
本文利用与Chern联络相联系的仿射联络族，导出了伪Finsler度量的能量泛函的第一和二阶变分.这为使用无坐标方法完成计算提供了可能性。利用二阶变分公式，引入了Jacobi场的指数形式，并给出了Jacobi场的一些性质。
The Hermitian Connection and the Jacobi Fields of a Complex Finsler Manifold
证明了复Finsler流形的所有不变函数都可以由Kobayashi对复Finsler结构的全纯向量丛引入的联络的挠率和曲率完全恢复.本文还导出了一般复Finsler流形的测地线方程和Jacobi场方程，它们用Kobayashi联络表示。
Moving frames on generalized Finsler structures
本文研究了三维流形上的R-Cartan结构α与（I，J，K）-广义Finsler结构之间的关系，指出了寻找一个将这两种结构相互映射的一般变换的困难性.在某些特殊情况下，映射可以由几何条件唯一确定。
A class of Hamilton-Jacobi equations on Banach-Finsler manifolds
次可微性的概念研究的背景下，$C^1$芬斯勒流形（建模的巴拿赫空间与Lipschitz $C^1$冲击函数）。研究了一类定义在$C^1$ Finsler流形上的Hamilton-Jacobi方程，得到了与黏性解的存在唯一性有关的几个结果.
Metric regularity, pseudo-Jacobians and global inversion theorems on Finsler manifolds
本文的目的是研究Finsler流形之间的局部Lipschitz映射$f:X \to Y$的整体可逆性，着重讨论了$f$的覆盖性质和度量正则性之间的联系.为此，我们引入一个自然的概念，伪雅可比$Jf$在这种设置，是一种集值微分对象相关的$f$。利用适当的指标，研究了伪Jacobian $Jf$的性质与映射$f$的局部度量性质之间的关系，得到了$f$是覆叠映射和$f$全局可逆的条件.特别地，我们得到了一个版本的阿达玛积分条件在这方面。
Finsler connection in moving frame formalism
在我们以前的工作中，我们定义了Finsler流形的一个非线性联络，它保持Finsler度量$L=L(x,dx)$。为了使该方法更容易和更有用的应用，移动框架（vielbein）$θ^a={e^a}_μdx^μ$形式的非线性连接的新考虑。在Finsler度规不依赖于坐标$x^μ$，而只依赖于移动标架$θ^a$：$L=L(θ)$的特殊情况下，我们导出了计算Finsler联络的公式.
Curvatures and hyperbolic flows for natural mechanical systems in Finsler geometry
考虑Finsler流形上的自然力学系统，利用系统最小作用量的极值点上的内禀Jacobi方程（称为\emph{Jacobi curves}）研究其\emph{curvature}.这样一个系统的曲率表示为Finsler流形的Riemann曲率和Chern曲率（包括势的梯度）以及势w.r.t.的Hessian。从芬斯勒度量导出的黎曼度量。作为应用，我们给出了最小作用量的Hamilton流为双曲的充分条件，并给出了Anosov流的新例子。
On rigidity of Finsler manifolds without conjugate points and with constant $S$-curvature
本文研究无共轭点且具常S-曲率的闭芬斯勒流形的刚性，证明满足特定条件的闭C^ω或C^∞芬斯勒流形必为黎曼流形，进而得到相关刚性结果，方法基于Cartan向量场与Green丛几何的分析。
Sub-Finsler geometry in dimension three
我们定义的亚芬斯勒几何的概念作为一个自然推广的亚黎曼几何应用到最优控制理论。我们计算一套完整的局部不变量，测地线方程，和Jacobi算子的三维情况下，调查均匀的例子。
Two nonrelated Finsler structures on a manifold
本文考虑同一基流形$M$上的两个不同的{ \em Finsler}结构$L$和$L^*$，它们之间没有任何关系. \par引入$π$ -张量场表示与$L$和$L^*$相关联的Cartan连接之间的差异，我们研究了与$L$和$L^*$相关联的几何对象具有相同属性的条件。在本文的研究项目中，我们考虑的性质是测地线，雅可比场，Berwald流形，局部Minkowski流形和Landsberg流形。\par应当注意，我们的方法是内在的，即，它不使用局部坐标技术。
Anisotropic conformal invariance of lightlike geodesics in pseudo-Finsler manifolds
本文利用Chern联络和各向异性微积分，以及测地线是能量泛函和Jacobi场的临界点这一事实，证明了伪Finsler流形及其焦点的类光测地线在各向异性共形变换下保持不变.这一结果在芬斯勒时空的研究中有应用。
Geometry of weighted Lorentz-Finsler manifolds I: Singularity theorems
在加权Lorentz-Finsler框架下发展了加权里奇曲率理论，推广了广义相对论的经典奇点定理.为了得到这个结果，我们将Jacobi，Riccati和Raychaudhuri方程推广到加权Finsler时空，并研究了它们对因果测地线上共轭点存在性的影响。我们还显示了一个加权的洛仑兹-芬斯勒版本的Bonnet-Myers定理的基础上推广的主教不等式。
(Non)Commutative Finsler Geometry from String/M--theory
我们综合和扩展了以前的想法，无论是非交换和Finsler几何的外观在弦论与非零B-场和/或非完整（超）框架结构\cite{vstring,vstr2,vnonc,vncf}。有调查的限制，爱因斯坦引力和字符串的推广包含局部各向异性结构的移动框架模型。本文讨论了非完整框架和非线性联络几何与M-理论和局部各向异性超引力和D-膜物理的可能的非对易形式的关系。我们构造并分析了一类新的精确解，这些精确解描述了弦引力中的非完整变形黑洞（黑椭球）、嵌入的Finsler弦二维结构、额外维中的孤子运动黑洞以及由弦论导出的具有非对易性和各向异性的虫洞.
Differential geometry of curves in Lagrange Grassmannians with given Young diagram
拉格朗日-格拉斯曼曲线在流形几何结构的内在研究中自然出现。所谓流形上的光滑几何结构，我们指的是它的切丛中横切于纤维的任何子流形。人们可以考虑自然地与几何结构相关联的时间最优问题。该优化问题的Pontryagin极值是余切丛中某个哈密顿系统的积分曲线。余切丛纤维的动力学。该系统沿极值由Lagrange Grassmannian中的某条曲线描述，称为极值的Jacobi曲线。Jacobi曲线的任何辛不变量产生原始几何结构的不变量。拉格朗日格拉斯曼曲线的基本特征是它的杨氏图。其第k列中的框的数量等于曲线（其是适当定义的线性映射）在泛点处的第k阶导数的秩。我们将描述构造的辛不变量的参数曲线在拉格朗日格拉斯曼与给定的杨图的完整系统。它允许以统一的方式发展局部微分几何的非常广泛的类的几何结构的流形上，包括经典的几何结构，如黎曼和Finslerian结构和不太经典的，如分黎曼和分Finslerian结构，定义在非完整分布。
The structure Jacobi operator for hypersurfaces in CP^2 and CH^2
利用活动标架的方法，研究了复射影空间CP ^2和复双曲空间CH ^2中的实超曲面，其结构Jacobi算子具有各种特殊性质.我们的结果补充了其他几位作者在CP^n和CH^n（n>2）中研究这类超曲面的工作。
Hamilton-Jacobi Theory and Moving Frames
结合具体实例，研究了正交分离变量的Hamilton-Jacobi理论与群作用理论之间的相互作用。
Einstein Gravity, Lagrange-Finsler Geometry, and Nonsymmetric Metrics
我们制定了一个方法的几何黎曼-Cartan空间提供了非完整分布的一般非对角和非对称度量诱导有效的非线性和仿射连接。这样的几何可以通过在（伪）黎曼流形上移动非完整框架来建模，并描述各种类型的非完整爱因斯坦，艾森哈特-莫法特和芬斯勒-拉格朗日空间，其连接与一般的非对称度量结构兼容。阐述了任意可区分联络的度量化过程，定义了一类可区分线性联络，它与非线性联络和一般的非对称度量结构相容.非对称引力理论是用度规相容联系表述的。最后，当爱因斯坦流形和/或拉格朗日-芬斯勒流形等价变换到具有由非对称度量和广义连接引起的一般局部各向异性的空间时，构造了几何结构的非完整变形。我们推测这种几何方法在爱因斯坦和广义引力理论、类引力和几何力学中的可能应用。
A new perspective on the Kosambi-Cartan-Chern theory, and its applications
KCC理论是研究动力系统性质的一种强有力的数学方法。在这种方法中的时间演化的动力系统描述的几何术语，治疗的解曲线的动力系统的几何方法的启发测地线理论的Finsler空间。为了将动力学演化几何化，我们分别引入了一个非线性和一个Berwald型连接，因此任何动力系统的性质都可以用五个几何不变量来描述，第二个几何不变量给出了系统的Jacobi稳定性。Jacobi（in）稳定性是赋以度量（黎曼或芬斯勒）的微分流形上的测测地流的（in）稳定性到{ \it非度量}设置的自然推广。通常，KCC理论是通过将动力学发展方程化为一组二阶微分方程来表述的。在本文中，我们提出了另一种观点的KCC理论，其中该理论是适用于一阶动力系统。在介绍了KCC理论的一般框架之后，我们详细研究了二维自治动力系统的性质。建立了线性稳定性与Jacobi稳定性之间的关系。作为形式主义的一个物理应用，我们考虑了具有一个自由度的哈密顿系统的几何化及其稳定性。
Cut and conjugate points of the exponential map, with applications
本论文的目的是研究黎曼流形和芬斯勒流形的指数映射的奇点（一个与焦散线和灾变有关的概念），以及被称为割迹（aka ridge，medial axis or skeleton）的对象，改进现有的关于其结构的结果，以新的方式看待它，并导出Ambrose猜想和Hamilton-Jacobi方程的应用。
Kosambi-Cartan-Chern (KCC) theory for higher order dynamical systems
Kosambi-Cartan-Chern（KCC）理论是研究动力系统性质的一种强有力的数学方法。KCC理论引入了动力系统时间演化的几何描述，其中动力系统的解曲线由Finsler空间中测地线理论启发的方法描述。通过引入非线性连接，使得KCC共变导数和偏差曲率张量的构造成为可能，从而将动力系统的演化几何化。在KCC理论中，任何动力系统的性质都用五个几何不变量来描述，第二个几何不变量给出了系统的Jacobi稳定性。通常，KCC理论是通过将动力学发展方程化为一组二阶微分方程来表述的。本文介绍并发展了任意$n$维一阶微分方程描述的动力系统的KCC方法。我们详细研究了$n$维自治动力系统的性质，以及线性稳定性和Jacobi稳定性之间的关系。作为主要结果，我们发现只有偶数维动力系统同时具有Jacobi稳定性和不稳定性，而奇数维动力系统无论其Lyapunov稳定性如何，都是Jacobi不稳定的.作为所发展的形式主义的应用，我们考虑的几何化和研究的Jacobi稳定性的复杂动力学网络，和$Λ$ -冷暗物质宇宙学模型，分别。
Canonical bundles of moving frames for parametrized curves in Lagrangian Grassmannians: algebraic approach
这些笔记的目的是描述如何构造正则束的活动标架和微分不变式参数曲线在拉格朗日格拉斯曼，至少在单调的情况下。这样的曲线表现为亚黎曼极值的Jacobi曲线[1，2]。最初这个构造是在[6，7]中完成的，在那里它使用了拉格朗日格拉斯曼的细节。在后来的著作[3，4]中，对于所谓的广义旗簇中的参数化或非参数化曲线，建立了一个更为一般的构造活动标架的典范丛的理论，因此这里讨论的问题可以被认为是这个一般理论的一个特例。虽然在[3]的最后对此进行了简要的讨论，但应用[3，4]的理论来获得[6，7]的结果从未详细地写过，这是我们的目标。我们认为，这一论述对[6，7]的原始结果给出了一个更概念性的观点，特别是澄清了那里的活动标架的典范丛的正规化条件的起源，它实际上归结为辛李代数的某个子空间的补的选择。这些注释以几乎相同的形式作为附录收录在我的著作《从哈密尔顿观点全面介绍次黎曼几何》中。阿格拉切夫湾巴里拉里湾博斯坎按照本书的风格，一些不太难的语句作为教学目的的练习。
Complete systems of invariants for rank 1 curves in Lagrange Grassmannians
当人们研究与控制系统和几何结构相关的“极值雅可比方程”时，自然会出现拉格朗日格拉斯曼曲线。以这种方式减少了问题的建设的曲率型不变量为这些对象的更具体的问题发现不变量的曲线在拉格朗日格拉斯曼w.r.t.线性辛群的作用。在本文中，我们发展了一种新的方法来微分几何的所谓秩1曲线的拉格朗日格拉斯曼，即，具有速度的曲线是秩为一的线性映射（在拉格朗日格拉斯曼点的切空间与适当的线性映射空间的标准标识下）。这类曲线与“极值的Jacobi方程”相关联，对应于具有标量控制的控制系统和秩2矢量分布。特别是，我们构造的元组的m个主要的不变量，其中m是等于周围的线性辛空间的维数的一半，使得对于一个给定的元组的任意m光滑函数存在唯一的，直到一个辛变换，秩1曲线具有这个元组，作为元组的主要不变量。这种方法推广并简化了我们以前的文章（J. Dynamical and控制系统，8，2002，No.1，93-140）中的一些结果，其中只证明了唯一性部分，而且证明的方式相当繁琐。它是基于构造具有最简单结构方程的新的规范活动标架。
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