Long-Time Existence of Quasilinear Wave Equations Exterior to Star-shaped Obstacle in $2\mathbf{D}$
本文研究二维星形障碍外部拟线性波动方程小数据解的长时间存在性，通过建立Morawetz型能量估计和加权L^2乘积估计，得到几乎尖锐的存在寿命下界。
2025-07-09 math.AP
Global smooth solutions of 2-D quadratically quasilinear wave equations with null conditions in exterior domains, II
本文研究了二维一般拟线性波方程在外部领域中满足空条件的全局光滑解的存在性，通过构造适当的散度结构和引入新的未知量，证明了小数据解的全局存在性。
2026-02-03 math.AP
Long time smooth solutions of 2-D quadratic quasilinear wave equations in exterior domains with Neumann boundary conditions
Nanjing University（南京大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）；Changzhou University（常州大学）
本文研究了二维二次拟线性波方程在外域中带有Neumann边界条件的小数据解的长期存在性，通过建立新的时空衰减估计和引入好的未知量，获得了相关能量估计。
2026-02-15 math.AP
Normalized solutions of quasilinear Schrödinger equation with Sobolev critical exponent on star-shaped bounded domains
本文研究星形有界域上具Sobolev临界指数的拟线性Schrödinger方程，通过双偶方法证明了基态与山路解两类正归一化解的存在性。
2025-09-16 math.AP
Almost Global Existence for 4-Dimensional Quasilinear Wave Equations in Exterior Domains
本文研究了四维外区域上具有小初值的拟线性波动方程解的几乎整体存在性。允许非线性依赖于在二次水平的解决方案，以及其第一和第二导数。对于这个问题在无边界设置，Hörmander证明，寿命是有界的以下由$\exp(c/ε)$其中$ε>0$表示的大小柯西数据。后来，杜、第二作者索格和周表明，这种不平等也适用于星形障碍。在三维情况下，我们削弱了对几何的假设，只要求障碍物允许线性齐次波动方程的局部能量足够快地衰减。本文的主要创新之处在于使用了第二作者和Sogge的边界项估计以及Klainerman和Sideris的一个估计的一个变体，该估计将通过杜和周的Sobolev不等式得到。
2014-02-20 math.AP
Lifespan of Classical Solutions to Quasilinear Wave Equations Outside of a Star-Shaped Obstacle in Four Space Dimensions
研究四维空间中拟线性波动方程在星形障碍物外的初边值问题，其中所考虑的非线性项可能显式依赖于未知函数本身.通过对未知函数本身的新的$L^{\infty}_{t}L^{2}_{x}$和加权$L^{2}_{t,x}$估计，结合能量估计和KSS估计，得到了拟线性障碍问题的寿命估计的一个下界$T_{\varepsilon}\geq \exp{(\frac{c}{\varepsilon^2})}$，它与相应的Cauchy问题的寿命估计的一个尖锐的下界相一致.
2015-03-07 math.AP
Scattering for solutions of NLS in the exterior of a 2d star--shaped obstacle
我们证明了二维非线性薛定谔方程的解在能量空间中是分散的，并且在有界光滑星形障碍物的外部也是如此。非线性势是散焦的，并且至少以五次幂增长。
2012-08-03 math.AP
Global smooth solutions of 3-D null-form wave equations in exterior domains with Neumann boundary conditions
研究了具有Neumann边界条件的三维拟线性波动方程在紧凸障碍物外的光滑小数据量解的长时间行为。
2016-11-25 math.AP
V-shaped transition fronts of monotone bistable reaction-diffusion systems in exterior domains
School of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学学院）；Aix Marseille Univ, CNRS, I2M（艾克斯-马赛大学，法国国家科学研究中心，I2M研究所）
研究单调双稳反应扩散系统在外部领域中的传播现象，通过构造合适的上下解，证明了V形行波的存在性和单调性，并在完全传播条件下证明其最终恢复V形轮廓。
2026-03-24 math.AP
Existence and uniqueness for a quasilinear elliptic problem with nonlinear Robin conditions
本文利用单调算子理论，研究了一类具有非线性Robin边界条件的拟线性椭圆型偏微分方程弱解的存在唯一性。该问题的边界是两个不相交曲面的并，其中外边界上具有Dirichelet条件，内边界上具有非线性Robin条件。本文证明了该问题弱解的存在唯一性
2015-07-05 math.AP
Global existence of quasilinear, nonrelativistic wave equations satisfying the null condition
证明了在紧障碍物外具有二次非线性项且满足零条件的多速Dirichlet波动方程解的整体存在性。这通过允许一般高阶项来扩展了我们以前的论文的结果。在目前的设置，这些条款是更难以处理比自由波方程，我们这样做，使用模拟的逐点估计由于久保田和横山。
2004-09-20 math.AP
Global existence for quasilinear wave equations satisfying the null condition
当初值足够小时，我们研究了满足零条件的拟线性波动方程组解的整体存在性。我们适应基尔，史密斯和Sogge的方法，它依赖于集成的本地能量估计和加权Sobolev估计，产生衰减$|x|$，通过使用Dafermos和Rodnianski的$r^p$加权本地能量估计。这种方法的一个优点是，所有的时间相关的向量场可以避免和证明可以很容易地适应于解决波动方程外部的星形障碍。
2022-08-26 math.AP
On fractional quasilinear equations with elliptic degeneracy
本文提出系统方法，研究具有局部梯度退化的非局部拟线性方程解的存在性、多重性与梯度正则性，通过交互式几何论证与齐次问题唯一性结合，获得梯度Hölder估计，并展示多重解与唯一性情形。
2023-07-25 math.AP
Global existence of null-form wave equations in exterior domains
证明了满足零条件的拟线性波动方程在某些外区域上整体解的存在性。特别是，我们的证明不需要估计的自由波方程的基本解。相反，我们依赖于一类Keel-Smith-Sogge估计的扰动波动方程。利用这一点，一个显着的简化相比，以前的作品有关波动方程在外部区域：一个不再需要区分的缩放向量场从其他允许的向量场。
2006-11-16 math.AP
Global Hoelder continuity of solutions to quasilinear equations with Morrey data
我们研究一般的拟线性发散型强制算子，其原型是$m$ -Laplacean算子.非线性项由Carathéodory函数给出，满足受控增长结构条件，数据属于适当的Morrey空间。基本域的非正则边界假设满足一个容量密度条件，该条件允许域具有外螺旋性质。我们证明了这种方程的弱解的全局有界性和Hoelder连续到边界，从而将Ladyzhenskaya和Ural'tseva的经典$L^p$ -结果推广到Morrey空间的情形.
2021-08-09 math.AP
Global Lorentz and Lorentz-Morrey estimates below the natural exponent for quasilinear equations
给出了拟线性方程组$$\text{div}\,\mathcal{A}(x, \nabla u)=\text{div}\, |{\bf f}|^{p-2}{\bf f},$$的弱解的梯度的Lorentz和Lorentz-Morrey估计，其中$\text{div}\,\mathcal{A}(x, \nabla u)$是在$p$ -Laplacian之后建立的，即$p>1$ .估计是全球有界域，满足一个温和的外部均匀厚度条件，涉及$p$ -能力。允许向量场数据${\bf f}$具有低可积度，因此解可能不具有有限的$L^p$能量。一个更高的可积性的结果，在地面区域的边界处也获得了无限能量的解决方案，相关的齐次方程。
2014-12-15 math.AP
On 2D NLS on non-trapping exterior domains
二维非线性散焦薛定谔方程的整体存在性和散射性在星形障碍物外的区域和至少以五次幂增长的非线性中是已知的。在本文中，我们推广了所有非陷阱障碍和非线性项的幂严格大于大于四次的整体存在性结果。对于这样的非线性，我们也证明了散射一类所谓的几乎是星形的障碍。
2013-12-04 math.AP
Global existence for systems of quasilinear wave equations in (1+4)-dimensions
Hörmander证明了全球存在的解决方案足够小的初始数据标量波动方程在$(1+4)-$维度的形式$\Box u = Q(u, u', u'')$其中$Q$消失到二阶和$(\partial_u^2 Q)(0,0,0)=0$。如果没有后一个条件，只能保证几乎全局存在。第一作者和Sogge考虑了星形障碍物外部的模拟。这两个结果都依赖于编写最低阶项$u\partial_αu = \frac{1}{2}\partial_αu^2$，因此不能立即推广到系统。目前的研究补救，并将这两个结果扩展到多速系统的情况下。
2018-12-31 math.AP
Liouville results and asymptotics of solutions of a quasilinear elliptic equation with supercritical source gradient term
考虑椭圆型拟线性方程$Δ$ m u = u p| $\nabla$使用|其中q $\ge$ m且p > 0，1 < m < N。我们的主要结果是一个Liouville型性质，即RN中所有的正C1解都是常数.我们还给出了它们的渐近性质：在外部区域RN \B r 0中的所有解都是有界的. B r 0\ {0}中的解可以推广为B r 0中的一个连续函数。RN\ {0}中的解有一个有限极限l $\ge$ 0为|x| $\rightarrow$ $\infty$ .我们的主要论点是一个伯恩斯坦估计的梯度的权力的解决方案，结合一个精确的Osserman型估计的方程所满足的梯度。
2020-08-24 math.AP
Asymptotics of the critical non-linear wave equation for a class of non star-shaped obstacles
在3+1维空间中，能量临界非线性波动方程在非俘获障碍物外部区域的散射是已知的星形情况。本文推广了一类非星型障碍物的散射，称之为外部照明。我们使用的主要工具是乘法器的方法，推广的Morawetz乘数，以适应几何形状的障碍物的权重。
2013-05-15 math.AP
Boundary Stabilization of Quasilinear Maxwell Equations
研究了拟线性非齐次各向异性Maxwell方程组在$\mathbb{R}^{3}$中光滑、有界、严格星形区域上的初边值问题，该方程组具有Silver & Müller型吸收边界条件.施加通常的小假设，除了标准的正则性和兼容性条件，非线性稳定性不等式得到的非线性耗散性和可观性估计增强了一个复杂的正则性分析。利用可镇定性不等式，利用经典的非线性障碍方法证明了小初值条件下存在唯一的全局经典解，并且解以指数速率衰减到零.我们的方法是基于最近建立的局部适定性理论在一类$\mathcal{H}^{3}$值函数。
2018-12-18 math.AP
Decay estimates for variable coefficient wave equations in exterior domains
本文考虑外部区域上的变系数、不定常波动方程。我们证明了本地化的能量估计，如果该域是星形和全球的时间Ehartz估计，如果该域是严格凸。
2009-08-28 math.AP
Remarks on global solutions for nonlinear wave equations under the standard null conditions
本文对三维空间中具有标准零条件的拟线性波动方程的Cauchy问题，应用了一些加权能量估计的组合。其他证明全球解决方案，包括外部域的问题。
2012-10-31 math.AP
Almost global existence for quasilinear wave equations in three space dimensions
证明了三维空间中具有二次非线性项的多速度拟线性波动方程解的几乎整体存在性。我们证明了Minkowski空间和非线性Dirichlet波方程的星状障碍外的新结果。Minkowski空间的结果推广了John和Klainerman的一个经典定理。我们的技术只使用经典的不变性下的平移，空间旋转和缩放的波算子。我们利用$O(|x|^{-1})$衰减的波动方程的解决方案，而不是更困难的$O(|t|^{-1})$衰减。因此，在我们的方法中的一个关键步骤是证明一个逐点估计的波动方程的解决方案，给出$O(1/t)$衰减的非齐次线性波动方程的解决方案的基础上的$O(1/|x|)$估计的强迫项。
2003-11-10 math.AP
Spherical rigidity for an exterior overdetermined problem with Neumann data prescribed by mean curvature
Institut für Analysis und Numerik, Universität Münster（明斯特大学分析与数值研究所）
本文研究了外域中带有由平均曲率给定的Neumann数据的过定椭圆自由边界问题，证明了当Γ≥N-2时，星形域中的球形解具有刚性，且在Γ=N-2时，星形性假设可被去除，刚性在所有有界域中成立。
2026-04-08 math.AP
Exterior stability of Minkowski space in generalized harmonic gauge
我们给出了一个简短的证明存在一小片零无穷的$(3+1)$维时空演化渐近平坦的初始数据作为解决方案的爱因斯坦真空方程。我们介绍了一个修改的标准波坐标规范，其中所有的非物理度规自由度在零无穷大有很强的衰减。使用规范固定的爱因斯坦真空方程，实现约束阻尼的制定，我们建立这种强衰减的约束方程的有效性无关。在技术层面上，我们使用几何奇异分析的概念，给出了一个简化的证明半奇异存在的相关拟线性双曲型方程。
2023-02-27 gr-qc math.AP
The Glassey conjecture for nontrapping obstacles
在满足局部能量假设的条件下，证明了三维外区域（M，g）上的Blossey猜想，其中度量g是渐近欧氏的.球外部的径向Alfressey猜想也在三维或更高维的情况下得到了验证。在许多重要的情形下，包括具有非陷阱障碍和平坦度量的外区域，具有星型障碍和小渐近欧氏度量的外区域，以及非陷阱渐近欧氏流形（R^n，g）都满足局部能量假设.
2015-02-12 math.AP
Radial symmetry for p-harmonic functions in exterior and punctured domains
在Serrin超定条件$$ | \nabla u| = c \mbox{ on } Γ. $$下，证明了满足$$ Δ_p u = 0 \, \mbox{ in } \mathbb{R}^N \setminus \overlineΩ , \; u=1 \, \mbox{ on } Γ, \; \lim_{|x|\rightarrow \infty} u(x)=0 , \; \; \; \; \; \; \; \; 1<p<N, $$的p-容性势的对称性。这里$Ω$是任何没有先验假设的有界区域，$Γ$表示其边界。我们的结果改进了Garofalo和Sartori的工作，其中当$Ω$是星形时得到了相同的结论。我们的证明使用了一个适当的$P$ -函数的最大值原理，一些积分恒等式，等周不等式，和肥皂泡型定理。然后，我们处理的情况下，$1<p=N$，改善以前的结果在文献中。最后，利用类似的工具，我们给出了有界星形区域$Ω$中内部超定问题$$ - Δ_p u = K \, δ_0 \, \mbox{ in } Ω, \, u=c \, \mbox{ on } Γ, \; \; \; \; \; \; \; \; 1<p<N, $$ $$ | \nabla u| = 1 \mbox{ on } Γ, $$对称性的一个新的证明。
2018-04-09 math.AP
Existence and Nonexistence for Hessian Exterior Dirichlet Problems with \(k\)-Admissible Asymptotic Matrices
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
研究k-Hessian方程的外部Dirichlet问题，允许渐近矩阵仅为k-容许而不必正定，通过线性化得到正确度量，构造外部屏障和子解，并利用线性化容量比较和切向迹矛盾完成存在性与不存在性的刻画。
2026-06-27 math.AP
Global existence for Dirichlet-wave equations with quadratic nonlinearties in high dimensions
本文证明了四维及四维以上空间中具有二次非线性项的拟线性波动方程在非捕获障碍物外解的整体存在性。这推广了Shibata和Tsutsumi在空间维度大于或等于6时的结果。证明的技术将允许更复杂的几何形状，只要相关的线性波动方程存在适当的局部能量衰减。
2005-04-08 math.AP
Nonexistence of positive supersolutions of elliptic equations via the maximum principle
给出了一种新的方法，证明了椭圆型不等式在$\mathbb{R}^n$的无界区域上不存在正上解。我们的最大值原理为基础的参数的简单性和鲁棒性提供了它的适用性，许多椭圆不等式和系统，包括准线性算子，如$p$ -拉普拉斯算子，和nondivergence形式的完全非线性算子，如Bellman-Isaacs算子。我们的方法根据不等式中出现的非线性函数给出了新的和最优的结果，并适用于在整个空间以及外部区域和锥状区域上保持的不等式。
2010-06-27 math.AP
The global behaviors for defocusing wave equations in two dimensional exterior region
本文研究二维外部区域中带星形障碍物和 Dirichlet 边界条件的散焦半线性波动方程，证明解的势能衰减、逐点衰减以及能量空间和临界 Sobolev 空间中的散射，并将 $\mathbb{R}^{1+2}$ 上的相关结论推广到外部区域。
2023-09-20 math.AP
A quasilinear elliptic equation with absorption term and Hardy potential
本文研究了带有吸收项和Hardy势的拟线性椭圆方程的正解，通过相平面技术证明非径向解可与径向解比较，完整描述了解的存在性与渐近行为，并揭示了特定条件下的非唯一性和局部常数解现象。
2024-11-13 math.AP
On the Laplace operator with a weak magnetic field in exterior domains
本文研究二维外部区域中带Neumann边界条件的磁拉普拉斯算子在弱磁场下的低特征值渐近行为，给出了圆盘外部的精确渐近和星形区域的上界，并证明了圆盘外部在矩约束下是局部最大化形状。
2024-05-28 math-ph math.AP math.MP
General monotone formula for homogeneous $k$-Hessian equation in the exterior domain and its applications
针对外区域齐次 $k$-Hessian 方程超定问题，论文结合积分恒等式与几何不等式提出新方法，并建立一般单调公式以证明球特征刻画及相关几何不等式。
2025-07-23 math.AP math.DG
Naked Singularities for the Einstein Vacuum Equations: The Interior Solution
在以前的工作[一。Rodnianski和Y. Shlapentokh-Rothman，Naked Singularities for the Einstein Vacuum Equations：The Exterior Solution，arXiv：1912.08478]我们构造了3+1维爱因斯坦真空方程的解，它对应于裸奇点的外部区域。在这项工作中，我们构造的解决方案，对应于内部区域，并表明，这两个解决方案可能会粘在一起，产生一个裸奇点。我们的建设的基础是新类型的自相似性的爱因斯坦真空方程，我们介绍了在我们以前的工作，也是一类新的混合退化椭圆双曲型拟线性偏微分方程的研究。
2022-04-21 gr-qc math-ph math.AP
Optimisation and monotonicity of the second Robin eigenvalue on a planar exterior domain
本文研究平面外区域上带 Robin 边界条件的 Laplace 算子第二特征值的优化问题，提出圆盘外部区域在等体积或等周约束下使第二特征值最大的猜想，并证明凸域情形的等弹性版本及严格星形中心对称条件下的单调性结果。
2023-07-26 math-ph math.AP math.MP
Exterior Serrin Rigidity for the Homogeneous{k}-Hessian Equation
本文在三维情形下对2≤k<n的齐次k-Hessian方程外部超定问题，结合参数q与尺度函数，通过不同积分机制建立球刚性结果，将构造从凸域扩展至严格星形域。
2026-09-04 math.AP
Stability in exponential time of Minkowski Space-time with a translation space-like Killing field
本文证明了具有平移类空Killing场的Minkowski时空在指数时间内的非线性稳定性。在这种对称性的存在下，3 + 1真空爱因斯坦方程简化为具有标量场的2 + 1爱因斯坦方程。我们在广义波坐标下工作。在这个规范下，爱因斯坦方程可以写成一个准线性二次波动方程组。本文的主要困难在于二维波动方程自由解在$\frac{1}{\sqrt{t}}$中的衰减性，这种衰减性比三维波动方程的衰减性弱。我们必须依赖于波坐标系中爱因斯坦方程的特殊结构。我们还必须仔细选择我们的度量在外部区域的行为，以强制收敛到类时无穷大的闵可夫斯基时空。
2014-12-19 math.AP
Inverting covariant exterior derivative
本文提出一种基于庞加莱引理线性同伦算子的算法，用于在星形区域上求逆变协变外导数的逆，以几何和算法方式求解协变常数方程，并讨论了约束条件与解的正则性。
2024-02-05 math-ph math.AP math.DG
Radial solutions of quasilinear Hardy--Emden--Fowler equations: exact decay rates, Delaunay solutions, and nonexistence
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law, Ho Chi Minh City, Vietnam（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University, Ho Chi Minh City, Vietnam（越南国立大学）
本文研究拟线性Hardy--Emden--Fowler方程径向正解在无穷远处的行为，通过斜率变量将方程化为平面系统，完整刻画了四种参数区间下解的精确衰减率、Delaunay周期解的存在性及无解条件。
2026-09-10 math.AP
The $2D$ nonlinear shallow water equations with a partially immersed obstacle
本文证明了带有部分浸没障碍物的2D非线性浅水方程在拟线性正则性阈值下的适定性，通过引入仅在时空积分后成立的弱耗散性概念，结合未知量变换和拟线性化过程，克服了非标准特征边界条件下的导数损失问题。
2023-06-27 math.AP
Feedback stabilization for entropy solutions of a 2x2 hyperbolic system of conservation laws at a junction
本文研究了星形网络上p-system的反馈镇定问题，通过扩展Coron等人的策略并利用front-tracking算法与指数加权Glimm型Lyapunov泛函控制BV范数，证明了在适当条件下系统的熵解是指数可镇定的。
2024-07-30 math.AP
Solutions stable outside a compact set for anisotropic quasilinear equations with negative exponent or exponential nonlinearity
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science（大学数学与计算机科学学院）；Vietnam National University（越南国立大学）；Institute of Information Technology and Electrical, Electronics Engineering, University of Transport Ho Chi Minh City（胡志明市交通大学信息技术与电气电子工程学院）；Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济法律大学经济数学学院）
研究Finsler p-Laplacian下负幂和指数非线性方程在紧集外稳定解的不存在性，给出尖锐临界阈值，并修复了早期证明的缺陷。
2026-10-06 math.AP
Nonlinear Schrödinger equation in an exterior domain
Universidade Federal de Pernambuco（巴西联邦伯南布哥大学）；University of Cincinnati（辛辛那提大学）
该研究针对非捕获障碍物外区域的三次、五次非线性薛定谔方程，利用局部光滑效应与Strichartz型估计，证明了其在二维、三维中围绕零解及非平凡轨迹的局部精确可控性，并讨论了相关开放问题。
2026-10-14 math.AP math.OC
Scattering, Polyhomogeneity and Asymptotics for Quasilinear Wave Equations From Past to Future Null Infinity
Princeton University（普林斯顿大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进研究所数学研究所）；University of Leipzig（莱比锡大学）
本文提出了一种构造二次波方程半全局散射解的方法，证明了多项齐次性传播，并扩展了爱因斯坦真空方程的散射理论。
2025-12-19 gr-qc math-ph math.AP
Boundary value problems for Choquard equations
本文证明 Choquard 方程在环形和外部区域上 Neumann 或 Dirichlet 边值问题正径向解的存在性，并给出严格星形域上不存在非平凡正则解的条件。
2023-05-15 math.AP
Hardy-Sobolev Type Equations for p-Laplacian, 1 < p < 2, in Bounded Domain
研究了R^kPDMATHABMOR ^{N-k}中的-Delta_p型拟线性退化奇异椭圆方程u = \frac{u^{p^*(s)-1}}{|y|^t} $ in a smooth bounded domain Ωin R^n=R^k \times R^{N-k}$，x=（y，z），2 \leq k<N且\geq 3，1<p<2，0 \leq s \leq p，0 \leq t \leq s，p^*（s）= \frac{p(n-s)}{n-p} .研究了t<s时解的存在性，t=s和s<k时在星形区域上解的不存在性（\frac{p-1}{p}）.当t<\frac{p-1}{p}（\frac{p-1}{p}）时，当0< \al <1时，解在C^{1，\al }（Ω）中.当t<k（\frac{p-1}{p}）时，解的正则性可改进为W^{2，p}（Ω）类.利用对称性方法研究了柱对称区域上奇异集的一些性质。
2010-07-08 math.AP
The location of hot spots and other extremal points
在欧几里得空间的一个区域中，我们从下面估计了具有齐次Dirichlet边值的椭圆型和抛物型方程解的全局极大值点到边界的距离.作为参考案例，我们首先考虑杆的扭转刚度函数，振动膜的第一模式，以及在边界处接地为零的热导体的温度。我们的主要结果提出了平均凸边界的域，并比较了相关域的内径的距离。对于扭转刚度函数，所得到的界仅与空间维数有关。更一般的情况下，这是不平均凸的边界也被认为是。然而，估计值还依赖于一些几何量，例如最大外部密切球到相关区域的直径和半径，或边界的中曲率的最小值。同样在第一模式的情况下，相关的界限仅取决于空间维度。此外，它在很大程度上改善了早期的估计所获得的第一作者和合作者，为凸区域。与温度有关的边界依赖于时间和温度的初始分布。这样一个界限基本上与人们在静止情况下得到的界限一致。所采用的方法是基于基本参数和现有的文献，并可以扩展到其他情况下，需要准线性方程，各向同性和各向异性，以及某些类的半线性方程。
2020-06-12 math.AP
The Helmholtz equation in random media: well-posedness and a priori bounds
证明了Helmholtz方程$\nabla\cdot(A\nabla u) + k^2 n u = -f$的解的适定性结果和先验界，该方程在$\mathbb{R}^d$中或在星形Lipschitz障碍物的外部，对于一类随机$A$和$n,$随机数据$f$，以及对于所有$k>0$ . $A$和$n$的特殊类以及障碍物上的条件确保了该问题几乎必然是非陷阱的。这些是第一个适定性的结果和先验界的随机Helmholtz方程为任意大的$k$和$A$和$n$变化独立的$k$。这些结果是通过结合最近的界限Helmholtz方程的确定性$A$和$n$和一般参数（即不是特定的Helmholtz方程）本文提出的证明先验界和适定性变分公式的线性椭圆随机偏微分方程。我们强调，这些一般性的结果不依赖于无论是拉克斯-米尔格拉姆定理或Fredholm理论，因为既不适用于随机变分制剂的亥姆霍兹方程。
2020-05-15 math.AP
Method of scaling spheres: Liouville theorems in inner or outer (unbounded or bounded) generalized radially convex domains, blowing-up analysis on domains with not necessarily $C^1$ boundary and other applications
在本文中，我们的目的是介绍的方法的缩放球（MSS）作为一个统一的方法在$\mathbb R^n$的一般区域上的刘维尔定理，并将其应用于建立任意无界或有界MSS适用的区域上的刘维尔定理的一般（$\leq n$阶）偏微分方程和积分方程没有平移不变性或具有奇异性。MSS适用域集包括任意无界或有界的广义径向凸区域及其闭包的补集，它在Kelvin变换下是不变的，是使MSS起作用的单连通域的最大集合.例如，$ \mathbb R^n$、$\mathbb R^n_+$、球、锥状域、凸区域、星形区域以及它们的闭包的所有补都是MSS可应用的域。MSS适用域对于MSS的意义，就像凸区域对于移动平面法的意义一样。作为应用，我们利用Blowing-up变元在具有Blowing-up锥边界的区域（简称BCB区域）上得到了Lane-Emden方程Dirichlet或Navier问题的边界Hölder估计的先验估计和解的存在性.在爆破过程之后，BCB域允许域的极限形状是圆锥（半空间是圆锥）。虽然经典的爆破技术在以前的文件工作的$C^1$ -光滑域，我们能够应用爆破分析更一般的BCB域上的边界Hölder估计举行（可以保证一致的外锥性质等）。由于MSS适用域和BCB域的边界上不存在光滑条件，我们的结果清楚地表明解的存在性和不存在性主要依赖于域的拓扑结构（而不是光滑性）.
2023-03-13 math.AP
