Torsion and Open Book Decompositions
John B. Etnyre, David Shea Vela-Vick
我们证明了如果（B，π）是切触3-流形（Y，π）的开书分解，则结合B的补没有Giroux挠.我们还证明了缝合Heegaard-Floer c-bar不变量的装订打开的书是非零的。
We show that if (B,π) is an open book decomposition of a contact 3-manifold (Y,ξ), then the complement of the binding B has no Giroux torsion. We also prove the sutured Heegaard-Floer c-bar invariant of the binding of an open book is non-zero.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Holomorphic Curves in Blown Up Open Books
我们利用开书分解的切触纤维和定义了切触3-流形的填充障碍的无限层次，称为平面k-挠的非负整数k，所有这些都导致嵌入接触同调中的接触不变量为零。平面0-挠等价于超扭，而每个具有Giroux挠的接触流形也具有平面1-挠，并且我们给出了对于任何$k \ge 2$都具有平面k-挠但没有Giroux挠的接触流形的例子，从而产生了许多新的不可填充接触流形的例子。我们还表明，补充的装订支持打开书从来没有平面扭转。这些结果的技术基础是一个存在性和唯一性定理J-全纯曲线的积极的结束接近（可能炸毁）绑定的一个合奏的开卷分解。
The Self-Linking Number in Annulus and Pants Open Book Decompositions
对于切触流形中给定的零同调横链，我们找到了一个自环绕数公式，该公式与环或裤子的开卷分解相容。它扩展了Bennequin在标准接触$3$球中编织的自连接公式。
The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology via open book decompositions II
本文是“通过开卷分解证明Heegaard弗洛尔同调与嵌入接触同调的等价性I”的续篇，致力于证明HF=ECH同构的一些技术部分.
Open book decompositions of fibre sums in contact topology
本文描述了开书装订部件上的纤维连通和以及开书多段上的纤维连通和的相容开书。作为应用，第一描述提供了构造支持$T^3$上的所有紧密切触结构的打开书的简单方法，恢复了van Horn-Morris的结果，以及构造支持沿着打开书的装订部件的Lutz扭转的结果的打开书，恢复了Ozbagci-Pamuk的结果。
Doubles without open book decompositions from higher signatures
该研究证明各偶数维存在无双流形开书分解的闭流形，高维结论与Ranicki的高维纽结理论结论矛盾，例子源于纤维丛符号非乘法性，并探讨了四维相关例子及与单纯体积的关联。
The arc complex and contact geometry: non-destabilizable planar open book decompositions of the tight contact 3-sphere
本文引入曲面的（同调本质）弧复形作为研究开卷分解和切触结构性质的工具。在描述了一本开书的单值性的基本平移距离的不稳定性之后，我们给出了这个结果的一个应用，以表明在具有5个（或大于5的任何数）边界分量的3-球面上存在标准切触结构的平面开书不稳定。我们还表明，任何平面打开书与4个或更少的边界组件不稳定。
Planar open book decompositions and contact structures
在本文中，我们观察到，虽然所有的过扭曲的切触结构紧3-流形上的平面开卷分解支持，不是所有的切触结构。这与切触结构的不变量有关，也与Abbas Cieliebak和Hofer的工作中的Weinstein猜想有关。
Lectures on open book decompositions and contact structures
这些是克莱数学研究所暑期学校的讲义，“弗洛尔同调、规范理论和低维拓扑”，阿尔弗雷德·雷尼研究所; www.claymath.org/programs/summer_school/2004/。这些笔记的主要目标是勾勒出一个证明吉鲁对应之间的开卷分解的三个流形和切触结构，然后讨论各种应用，这一对应。
Invariants of Legendrian knots from open book decompositions
利用支持切触结构的开书分解，定义了切触流形中勒让德结的一个新的不变量。我们定义切触3-流形（M，M）中勒让德结L的支撑亏格sg（L）为M的一本打开的书的一页的最小亏格，该页支撑切触结构，使得L位于一页上，并且由该切触结构和该页给出的框架一致.我们证明了在过扭曲的切触结构中的任何零同调的松纽结都有支持亏格零。为了证明这一点，我们观察到任何3-流形M中的任何拓扑纽结或链接位于M的平面开卷分解的一页上。
Partial open book decompositions and the contact class in sutured Floer homology
我们演示了如何组合计算平衡缝合三流形的缝合弗洛尔同调群中相容切触结构的EH-类，这与抽象的部分开卷分解相关联。作为应用，我们证明了每一个切触三流形（闭流形或具有凸边界的流形）都可以通过粘接其EH-类非平凡的紧切触体而得到。
Planar open books and Floer homology
Giroux描述了3-流形上的开书分解与切触结构之间的对应关系。本文利用Heegaard的弗洛尔同调，给出了对应于具有平面页的开书分解的切触结构的限制条件，推广了Etnyre最近的一个结果.
The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology via open book decompositions I
给定一个适合于闭的定向3-流形M的开卷分解（S，h），我们定义了一个从与（S，h）相关联的Heegaard Floer链复形到与（S，h）相关联的嵌入接触同调链复形的链映射，如arXiv：1008.2734中所定义的，并证明了它在同调水平上诱导同构.这意味着-M的Heegaard弗洛尔同调的帽子形式与M的嵌入接触同调的帽子形式之间的同构。
Mapping class group relations, Stein fillings, and planar open book decompositions
本文的目的是利用映射类群关系来研究切触三维流形的Stein填充的“地理”问题。特别是，我们适应远藤和Nagami的公式，以便计算签名的填充物作为一个相关的开卷分解的单值的基本关系的签名的总和。我们结合这一点与Wendl定理表明，对于任何Stein填充的切触结构支持的平面开卷分解，签名和欧拉示性数的总和只取决于接触流形。这给了一个简单的障碍，平面性，我们解释在存在的某些配置的曲线在一个因式分解的monodromy。我们使用这些技术来演示的例子，非平面结构，不能显示非平面的先前现有的方法。
Holomorphic Open Book Decompositions
Emmanuel Giroux证明了闭三维流形上的每一个切触结构都由一个开书分解支撑。我们将扩展这个结果表明，开卷分解可以选择这样一种方式，即页面是解决方案的同调扰动全纯曲线方程。
On symplectic fillings of spinal open book decompositions I: Geometric constructions
本文介绍了脊柱开放书与接触结构及辛或Stein结构的关系，提出新的辛cobordism构造脊柱移除手术，扩展了Eliashberg、Gay-Stipsicz和第三作者的构造，并应用该手术得到新的非强（有时非弱）辛填充的接触流形例子。
Open book decompositions for contact structures on Brieskorn manifolds
本文给出了Brieskorn流形上的切触结构，特别是Ustilovsky的切触结构的一个开卷分解.分解使用右手Dehn扭曲，如Giroux所示。
Contact open books with flexible pages
本文给出了维数为$2q{+}1 \geq 7$的流形$M$的一个初等拓扑阻塞：若$q$的整同调群的挠子群非零，则不存在具有柔性Weinstein页的切触开书和$c_1(π_2(M)) = 0$.我们实现这一点，证明了一个灵活的Weinstein流形的symplectomorphism行为平凡上同调。我们还使用相关的想法产生的非平凡的灵活的切触结构的循环的例子。
HF = ECH via open book decompositions: a summary
给出了Heegaard弗洛尔同调的帽子形式与嵌入接触同调的等价性证明.关键是要表达这两个弗洛尔同调理论的环境流形的开卷分解。
On the transverse invariant for bindings of open books
考虑一个横结，它是一本打开的书的装订，用于环境接触流形。在本文中，我们证明了由Lisca，Ozsvath，Stipsicz和Szabo（LOSS）定义的横向不变量对于这样的横向结是非零的。无论周围的切触结构是否紧密，这都是真实的。我们还证明了一个消灭定理的损失的勒让德和横向不变量。作为推论，我们证明了：如果（T，π）是连通约束的开书，则T的补没有Giroux挠.
A Hierarchy of Local Symplectic Filling Obstructions for Contact 3-Manifolds
我们推广了熟悉的概念overtwedness和Giroux挠在3维接触流形，定义了一个无限层次的局部填充障碍称为平面扭转，其整数值的顺序$k \ge 0$可以被解释为衡量一个层次的“紧密度”的接触流形。我们特别指出，任何具有平面挠率的切触流形都不允许在闭辛4-流形中嵌入切触型，并且在嵌入切触同调中具有零切触不变量，并且我们给出了对任何$k \ge 2$具有平面k-挠率但不具有Giroux挠率的切触流形的例子.我们还表明，补充的装订支持打开书从来没有平面扭转。背景中的统一思想是根据打开的书籍沿其装订的接触纤维和来分解接触流形。作为这些结果的技术基础，我们建立了存在性，唯一性和紧性定理的某些类J-全纯曲线在炸毁总结开卷，这些也意味着代数障碍的平面性和嵌入的部分平面域。结果进一步应用于后续论文弱辛填充（arXiv：1003.3923，联合K。Niederkrueger），非精确辛配边（arXiv：1008.2456）和辛域论（arXiv：1009.3262，与J. Latschev联合）。
On the existence of supporting broken book decompositions for contact forms in dimension 3
证明了在3维空间中，每个非退化切触形式都可由断书分解进行。作为应用，我们得到了：如果M是一个非图流形的闭不可约定向3-流形，例如双曲流形，则M上的每个非退化Reeb向量场都有正的拓扑熵.进一步证明了在闭三维流形上，每个非退化Reeb向量场都有两个或无穷多个周期轨道，并且两个周期轨道只可能在球面或透镜空间上存在.
Heegaard splittings and the tight Giroux Correspondence
该研究引入紧Heegaard分裂概念，借助加细过程建立其与开书的关联，利用Heegaard分裂与凸曲面技术给出紧切触3-流形上Giroux对应的新证明。
Notes On Open Book Decompositions For Engel Structures
我们将4-流形M的开书分解与它的Engel结构联系起来。我们的主要结果是，给定M的开卷分解，其装订是2-环面的集合，并且其单值性保留了页面的框架，其各向同性叶理横向于页面的内部并且相切于装订的En-gel结构的构造。特别地，页面是接触的man-ifolds和monodromy是一个contactomorphism。因此，在一个可平行化的闭四维流形上，每一本带有环面装订的打开的书都带有先前意义上的恩格尔结构。此外，我们表明，在支持的恩格尔结构，我们构建，有一类松散的恩格尔结构。
On symplectic fillings of spinal open book decompositions II: Holomorphic curves and classification
本文证明当接触3流形具有平面页的统一脊柱开书分解时，其(弱、强和/或精确)辛和Stein填充可由Lefschetz纤维化的微分同胚类分类。进一步结果包括新的ECH接触不变量和SFT中代数扭力消失准则，非定向圈 bundles的填充分类，以及关于四维实数中Stein结构变形类的
The Weinstein conjecture for iterated planar contact structures
在本文中，我们引入了迭代平面Lefschetz纤维化和迭代平面开卷分解的概念，并证明了Weinstein猜想接触流形支持一个开卷迭代平面页。对于$n\geq 1$，我们证明了支持迭代平面开卷分解的$(2n+1)$维接触流形$M$满足Weinstein猜想.
Cabling, contact structures and mapping class monoids
在本文中，我们讨论了切触结构的变化，因为他们的支持开卷分解有他们的装订组件电缆。为了促进这一点和应用程序，我们定义了一个合理的开卷分解的概念，概括了开卷分解的标准概念，并允许一个更容易地研究手术的横向结。作为我们研究的一个推论，我们能够证明存在由打开的书支持的Stein可填充的切触结构，其单值性不能写成正Dehn扭曲的产物。我们还展示了几个幺半群的映射类群的表面，接触几何意义。
Spinal open books and symplectic fillings with exotic fibers
本文推广了Wendl的结果，证明平面脊柱开卷分解支撑的接触3-流形的最小辛填充形变等价于带边Lefschetz纤维化中正多截面的补集，并利用新定义的脊柱映射类群完成抛物环面丛的强填充分类。
Nested open books and the binding sum
我们介绍的概念，嵌套的开书，一个子流形配备了一个开放的书结构兼容的环境开放的书，并详细描述了特殊情况下推出的装订的一本开放的书。这使我们能够明确地描述一个自然的开书分解的纤维连接和两个开放的书籍沿其绑定，只要他们是同构的，并承认一个开放的书籍结构本身。此外，我们将结果应用于接触打开的书，显示了接触纤维连接的两个适应打开的书的总和的自然打开的书结构沿着它们的接触形态绑定再次适应于所得到的切触结构。
On Legendrian Embbeddings into Open Book Decompositions
研究了紧致Legendrian子流形$L$在闭切触流形$(M,ξ)$中的Legendrian嵌入，该闭切触流形的切触结构由$M$上的（切触）开书$\mathcal{OB}$支持.我们证明了，如果$\mathcal{OB}$有Weinstein页，那么存在一个切触结构$ξ'$ $M$，同位素$ξ$和$\mathcal{OB}$支持，和接触同构$f:(M,ξ) \to (M,ξ')$，使任何这样的子流形的图像$f(L)$可以勒让德同位素，使它成为不相交的一页的封闭$\mathcal{OB}$。
Open book decompositions and stable Hamiltonian structures
我们发现，每一个开书分解的接触3-流形可以表示（合线）的光滑R-不变族的拟全纯曲线的辛化相对于一个合适的稳定的Hamilton结构。在平面的情况下，这个家庭生存的小扰动，从而给出了一个具体的建设，稳定的有限能量叶状已被用于各种应用，平面接触流形，包括温斯坦猜想和等价的强和斯坦填充。
Topological entropy for Reeb vector fields in dimension three via open book decompositions
给出了一个具有伪Anosov单值性和分数Dehn扭曲系数c = k n的接触三流形（M，$ξ$）的开卷分解，构造了一个接近于稳定叶理的勒让德结$Λ$，以及一个小的勒让德pushoff $Λ$ .当k $\ge$为5时，我们应用[CH 2]技巧证明了$Λ$ $\rightarrow$ $Λ$的带状Legendrian接触同调是明确的，并且具有指数增长性.工作[Al 2]则意味着$ξ$的所有Reeb向量场具有正的拓扑熵。
Essential open book foliation and fractional Dehn twist coefficient
我们介绍了一个重要的开卷叶理，一个完善的开卷叶理，并开发技术估计的分数德恩捻系数（FDTC）的monodromies和FDTC的封闭编织，我们介绍以及。作为应用，我们定量地研究了过扭曲切触结构和非右转向单值点的“间隙”。给出了三维流形不可约且超环面的充分条件。我们还表明，一个3-流形的几何形状和一个封闭的辫子的补充确定的Nielsen-Thurston型的monodromies的开卷分解。
Transverse links, open books and overtwisted manifolds
我们证明了在任何接触流形$(M,ξ)$中的横向链接可以实现为一个兼容的开卷分解的子绑定。定义了横杆的支集亏格，证明了当横杆上存在不相交的过扭圆盘时，横杆的支集亏格为零，并给出了横杆支集亏格与其勒让德近似之间的关系.
Embedded H-holomorphic maps and open book decompositions
研究了H-全纯映射嵌入稳定的Hamilton三维流形的问题。特别是，我们证明了这样的地图局部叶状，并满足一个没有第一交属性。利用arXiv：0904.1603的紧性结果，我们证明了这种映射空间的连通分量可以紧化，如果它们包含一个整体截面曲面。作为应用，我们证明了3-流形上的任何切触结构都存在H-全纯开书分解。这项工作的动机是由阿巴斯，Cieliebak和Hessel计划提供一个证明温斯坦猜想使用全纯曲线。除紧性陈述外，本文的结果都是由C。阿巴斯在arXiv：0907.3512。
Embedded contact homology and open book decompositions
本文是证明Heegaard Floer同调与嵌入接触同调等价性系列的第一篇，证明了闭接触3-流形的ECH与其适配开书分解装订补集上的ECH版本等价，并提供了Morse-Bott粘合结果的完整证明。
Morse structures on open books
我们使用参数化的莫尔斯理论的一本开卷分解的页面上有效地编码的接触拓扑结构的标记图的不相交的联合环面（一个绑定组件）。这种构造允许我们将勒让德结的前投影的概念从标准接触$\mathbb{R}^3$推广到任意闭接触$3$ -流形。我们描述了一套完整的移动这样的前图，扩展标准的Legendrian Reidemeister移动，我们给出了一个组合公式来计算Thurston-Bennequin数的nullhomologous Legendrian结从它的前投影。
Dehn surgery, rational open books and knot Floer homology
根据Baker-Etnyre-VanHorn-Morris的最新结果，有理开卷分解定义了相容的切触结构.我们表明，Heegaard弗洛尔接触不变量的切触结构可以计算的结弗洛尔同调的（理性零同源）绑定。然后，我们使用这种描述的接触不变量，连同一个公式的结弗洛尔同调的核心的外科手术固体环面，以显示某些流形获得的外科手术的装订打开的书籍进行紧密的切触结构。可能的应用透镜空间手术进行了讨论。
Embedded contact knot homology and a surgery formula
嵌入接触结同调（ECK）是嵌入接触同调（ECH）的一个变体，它是关于与某个三维流形M上的切触结构相容的开卷分解定义的.所讨论的结是由打开的书的（零同调）绑定给出的，并且链复形是根据Reeb向量场的闭轨道和结补的辛化中的某些伪全纯曲线来定义的。在这篇论文中，我们首先推广这种结构的情况下，合理的开卷分解，允许我们定义ECK的合理零同源结。在其最一般的形式中，这是一个双滤链复形，其同调产生闭流形的ECH。在这种情况下，也有一个帽子版本的ECK，它配备了一个亚历山大分级等效于在Heegaard Floer设置，归类亚历山大多项式，并在拓扑同构的帽子版本的结弗洛尔同调，HFK。本文的主要结果是得到了ECK的大负n-手术公式。也就是说，我们从具有约束K的流形的（积分）开卷分解开始，并且对于大的n，计算通过对K执行（-n）-手术而获得的结K（-n）的ECK。该公式与Hedden的HFK大n-外科手术公式一致，为两种理论之间的等价性提供了支持证据。在此过程中，我们还证明了ECK是，在许多情况下，独立的选择，以定义它，即殆复结构上的辛和同伦型的接触形式。我们还证明，在积分开书分解的情况下，帽子版本的ECK支持亚历山大分级小于或等于两倍的纽结属。
Foliated Open Books
本文提出叶状开卷这一新工具，用于研究具有指定边界特征叶状结构的切触三维流形，建立了其存在唯一性、与部分开卷的关系、三种模型等价性及 Giroux 对应定理。
Brieskorn manifolds as contact branched covers of spheres
证明了具有标准切触结构的Brieskorn流形是球面的切触分支覆盖。这个覆盖映射的Brieskorn流形的接触开书分解到一个Milnor开书的领域。
On the support genus of a contact structure
Akbulut-Ozbagci给出的算法构造了一个由三球面上的一个环节上的切触手术描述的切触三流形上的显式开卷分解。本文将利用Giroux的接触胞腔剖分过程对该算法进行改进。我们的算法是更经济的选择支持亏格的开放的书，特别是它给了一个很好的上界最近定义的“最小支持亏格不变量”的切触结构。
Open books and configurations of symplectic surfaces and erratum
研究了辛4-流形中辛曲面的构形邻域。我们发现，适当的“积极”的配置有凹边界的邻域，我们明确描述了支持相关的负切触结构的边界的开卷分解。这是用来证明辛非填充某些接触3-流形，从而非积极的某些映射类的表面上的边界。同样，我们证明了某些切触3-流形对不能作为任何连通辛4-流形的不连通凸边界出现。我们的结果也有可能产生障碍，嵌入特定的辛配置在封闭的辛4-流形，并产生新的辛手术。从纯拓扑的角度，本文中的技术展示了如何在任何垂直4-流形的边界上构造一个自然的开卷分解。勘误（2003年12月添加）：我们更正了主要定理及其证明。如前所述，该定理给出了辛4-流形中辛曲面的一种构形的条件，在此条件下，我们可以构造一个具有凹边界的模型邻域，并明确地描述了支持边界上切触结构的开书。该语句应包括对曲面面积的约束。
Tight contact structures and genus one fibered knots
我们研究了具有一个边界分支的亏格为一的开书分解的切触结构。对于这样一本打开的书，任何单值都可以写成德恩扭曲的产物，它围绕着曾经被刺穿的环面上的对偶非分离曲线。给出了一种算法来确定相应的切触结构是紧的还是过扭曲的。我们依赖于Ozsv{á}th-Szab{ó} Heegaard弗洛尔同调在我们的建设，特别是，我们完全确定的$L$ -空间与亏格一，一个边界组件，伪Anosov开卷分解。最后，我们揭示了一个新的无限族的双曲三流形没有共同定向拉紧叶理，扩展家庭发现在\cite{RSS}。
Contact homology of left-handed stabilizations and plumbing of open books
我们证明了在维数大于1的闭切触流形上，可以构造出切触同调为零的切触结构。建筑的基本思想来自Giroux。我们对球面使用一种特殊的开卷分解。页面是一个领域的余切丛和monodromy是由左手德恩扭曲。在由此产生的接触流形，我们表现出一个封闭的Reeb轨道，边界一个单一的有限能量平面。其结果是切触同调代数的单位元是正合的，从而切触同调为零。这个结果可以通过连通和推广到其它切触流形。后者是有关管道-或2-Murasugi总和的接触打开书籍。我们将对这种结构作一个可能的描述，并对管道的操作作一些说明。
On the Classification of Planar Contact Structures
在本文中，我们专注于切触结构支持的平面开书分解。本文研究了右转向同态在某些单值变化下的切触结构的过扭性。作为应用，我们给出了无限多个由四穿孔球面支撑的开书支撑的过扭曲切触结构的例子，并利用灯笼关系证明了某族是全纯可填充的.
Algebraic Torsion in higher-dimensional contact manifolds
我们构造的例子在任何奇数维的接触流形有限和非零代数挠（在拉切夫-温德尔的意义上），因此是紧的，不承认强辛填充。证明了在任意奇数维上Giroux挠蕴含代数$1$ -挠，从而证明了Massot-Niederkrueger-Wendl的一个猜想.我们构造了无穷多个非纯的例子，$5$维接触流形是紧的，不允许强填充，并没有吉鲁挠。我们得到辛配边的阻塞结果，为此我们给出了一个不依赖于SFT机器的证明。本文在Lisi-van Horn Morris-Wendl的$3$维分解的基础上，给出了一个高维spinal开卷分解的定义.与理查德·西弗林合著的附录给出了穿孔全纯曲线和超曲面的相交理论的基本轮廓，将他的$3$维结果推广到更高维。从相交理论，我们得到一个应用余维- $2$全纯叶理，我们用它来限制我们的例子中的全纯曲线的行为。
A landscape of contact manifolds via rational SFT
本文基于有理辛场论的$BL_\infty$形式定义了从精确辛配边范畴到全序集的层级函子，开发了计算工具并证明其满射性，进而用于研究精确配边存在性及探讨相关几何实例。
Tightness is preserved by Legendrian surgery
本文描述了闭切触3-流形紧性的一个刻画，它支持开书分解。主要结果是，勒让德手术下的封闭接触3歧管的紧密性得以保留。
Comultiplicativity of the Ozsvath-Szabo contact invariant
设S是一个有边界的曲面，g和h是S的限制于边界上恒等式的双同态.设Y_g，Y_h和Y_{hg}分别是具有由（S，g），（S，h）和（S，hg）给出的开卷分解的三流形.证明了Heegaard弗洛尔同调上的Ozsvath-Szabo接触不变量在余乘映射下是自然的.由此得出，如果与打开的书（S，g）和（S，h）相关联的接触不变量为非零，则与打开的书（S，hg）相关联的接触不变量也为非零。我们将这个余乘推广到HF^+上的映射，从而得到了三流形Y_{hg}成为L-空间的障碍。我们也使用这个来找到与平面打开书兼容的切触结构的限制。
On the relative Giroux correspondence
最近，Honda，Kazez和Matic通过推广Giroux在闭情况下的工作，描述了具有凸边界的紧致切触3-流形的一个适应的部分开书。他们还隐式地建立了部分开书分解模正稳定的同构类与具有凸边界的紧切触3-流形的同构类之间的一一对应。在这篇文章中，我们解释了吉鲁对应的相对版本。
Geometric decompositions of almost contact manifolds
这些笔记的目的是介绍使用近似全纯技术在几乎接触和接触几何。我们发展了近似全纯几何的体系。一旦完成，我们素描的存在性的两个主要的几何分解可用于几乎接触或接触流形：开放的书籍和莱夫谢茨铅笔。文中还讨论了这两种分解在求解切触结构存在性问题中的应用。
On invariants of almost symplectic connections
研究了几乎辛联络的挠率张量空间在Sp（2n，R）下的不可约分解.然后给出了挠类张量的所有辛二次不变量的描述。当应用到一个流形M几乎辛结构，这些仪器提供了初步的洞察力，找到一个首选的线性几乎辛联络M。我们在几乎辛联络上重新发现了Ph.Tondeur定理。推导了向量类挠率的性质。
Dirac spectral flow on contact three manifolds II: Thurston--Winkelnkemper contact forms
给定三个流形$Y$的翻开书分解$(Σ,τ)$，Thurston和Winkelnkemper [TW]在$Y$上构造了一个特定的接触形式$a$。给定$Y$上的自旋c狄拉克算子$D$，接触形式自然地将$r\geq0$的狄拉克算子$D_r = D - \frac{ir}{2}\cl(a)$的单参数族关联起来。当$r>>1$时，我们证明了$[-(r^{1/2})/2, (r^{1/2})/2]$内的$D_r = D_0 - \frac{ir}{2}\cl(a)$的谱几乎是均匀分布的。利用第一部分的结果，我们得到了从$D_0$到$D_r$的谱流的次前导阶项为$r (\log r)^{\frac{9}{2}}$阶。除了对谱流的兴趣外，本文的方法还提供了一种分析Dirac算子的开卷分解的工具。
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