Four-point correlation numbers in super Minimal Liouville Gravity in the Ramond sector
Ariel University（阿里埃尔大学）
本文研究超极小李乌利耶重力中Ramondsector的四点相关数，基于之前对Ramond和Neveu-Schwarz插入的三阶相关函数的计算，利用李乌利耶理论的更高运动方程进行解析计算，得到四点相关数的闭式表达式。
2026-09-14 hep-th math-ph math.MP
Geodesic distances in Liouville quantum gravity
为了研究Liouville引力场中随机曲面的量子几何，我们提出了正则格点上高斯自由场的测地距离定义。利用测地线距离数值计算了与共形物质场耦合的环面上二维量子引力的最短圈的Hausdorff维数，结果与Y.渡引最后，数值工具进行测试，通过定量比较的最短周期的长度分布，相应的分布在大型随机三角形。
2014-11-12 gr-qc hep-th math-ph
Spectral dimension of Liouville quantum gravity
本文研究2d-Liouville量子引力的谱维数的计算。作为热身，我们首先处理边界刘维尔量子引力的简单情况。通过边界Liouville布朗运动和热核的精确表达式，证明了谱维数为1。然后，我们通过将Liouville热核的时间积分变换分解为布朗桥的高斯乘性混沌来处理2d情形。我们证明，在这种情况下，谱维数是2，正如物理学家（见Ambj \orn等人在\cite{amb}）15年前宣布的那样。
2013-05-01 math-ph math.MP math.PR
Jackiw-Teitelboim Gravity, Random Disks of Constant Curvature, Self-Overlapping Curves and Liouville $\text{CFT}_{1}$
本文从离散自重叠随机多边形与边界CFT₁连续统两方面，给出有限截断圆盘JT量子引力的微观定义，并预测临界指数及体物质耦合。
2025-02-17 hep-th math-ph math.MP
Lecture notes on Gaussian multiplicative chaos and Liouville Quantum Gravity
这些笔记的目的是根据第二作者在Les Houches暑期学校的课程，使用高斯乘性混沌理论解释Polyakov的Liouville量子引力的概率构造。特别是，这些说明包含了一个详细的描述，所谓的刘维尔措施的理论和它们的关系，以缩放限制的大型平面地图适当嵌入的领域。这些笔记相当简短，不需要事先了解该主题。
2016-02-23 math-ph math.MP math.PR
The critical Liouville quantum gravity metric induces the Euclidean topology
我们证明了与临界（$γ=2$）Liouville量子引力（LQG）相关的每一个可能的度量在平面上都诱导出与欧氏度量相同的拓扑.更准确地说，我们表明，最佳模的连续性的关键LQG度量相对于欧几里德度量是一个权力的$1/\log(1/|\cdot|)$。我们的结果适用于每一个可能的临界刘维尔第一次通过渗流，一个自然的LQG度量，最近被证明是紧的近似计划的基本限制。
2021-08-26 math-ph math.MP math.PR
Liouville Quantum Gravity on the Riemann sphere
本文严格地构造了在黎曼球面上的$2d$ Liouville量子场论。我们还建立了它的一些基本性质，如PSL $_2(\mathbb{C})$作用下的共形协方差、Seiberg界、KPZ标度律、KPZ公式和Liouville量子引力的Weyl反常（Polyakov-Ray-Singer）公式。
2015-06-05 math-ph math.MP math.PR
From Quantum Groups to Liouville and Dilaton Quantum Gravity
我们研究了二维Liouville和Liouon引力模型的量子群对称性，既巩固了已知的结果，又将它们推广到了具有$\mathcal{N} = 1$超对称性的情形。我们首先计算了$\text{U}_q(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R}))$的混合抛物表示矩阵元（或Whittaker函数），并回顾了它在Liouville引力中的应用。然后，我们导出了$\text{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2, \mathbb{R}))$的相应矩阵元，并用它来解释$\mathcal{N} = 1$ Liouville超引力的结构特征.我们证明了这个矩阵元具有以下性质：（1）它的$q\to 1$极限是经典的$\text{OSp}^+(1|2, \mathbb{R})$ Whittaker函数，（2）它产生Plancherel测度作为$\mathcal{N} = 1$ Liouville超引力中黑洞态的密度，（3）它导致$3j$ -符号与适合于$\mathcal{N} = 1$ Liouville超引力的边界顶点算符与引力态的耦合相匹配.这个对象同样应该是感兴趣的超对称相对论户田链的可积性的上下文中。此外，我们还将刘维尔（超）引力与双曲正弦（前）势的狄龙（超）引力联系起来。我们这样做的目标空间泊松结构的量子化（分级）泊松西格玛模型描述直接导致量子群$\text{U}_q…
2022-12-14 hep-th math-ph math.MP
$\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories on $S^2\times S^2$ and Liouville Gravity
本文考虑四流形上的$\mathcal{N}=2$超对称规范理论，它允许等距。本文从超对称代数的相容性出发导出了广义Killing旋量方程，并在四个流形允许一个$U(1)$等距的情况下求解了广义Killing旋量方程。这是用来显式计算超对称路径积分$S^2\times S^2$通过等变本地化。所得到的配分函数的积木被示出包含三个点函数和Liouville引力的共形块。
2015-07-27 hep-th math-ph math.AG
Sine-Liouville gravity as a Vertex Model on Planar Graphs
Université Paris-Saclay, CNRS, CEA, Institut théorique（巴黎萨克雷大学、法国国家科学研究中心、法国原子能和替代能源委员会、理论物理研究所）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学与应用科学研究）
研究正弦李乌维尔引力在平面图上的顶点模型行为，揭示其在连续极限下的相变特征及与矩阵量子力学的互补性。
2026-04-17 hep-th math-ph math.MP
Duality and KPZ in Liouville Quantum Gravity
给出了欧氏平面域D中标度指数与刘维量子引力中标度指数之间KPZ关系的一个（数学上严格的）概率和几何证明.它使用适当正则化的量子面积测度dμ_γ=ε^{γ^2/2} e^{γh_ε（z）}dz，其中dz是D上的勒贝格测度，γ是实参数，0 \leq γ<2，h_ε（z）表示D上高斯自由场实例h在以z为中心的半径为ε的圆上的平均值。证明扩展到边界几何。奇异情形γ>2与量子测度dμ_{λ '}，γ' < 2，通过基本对偶γ λ '= 4相联系。
2009-01-02 math-ph math.MP
Liouville quantum gravity on the annulus
本文在复平面的圆环上构造了刘维尔量子引力。这种构造的目的是为波利亚科夫在1981年发起的理论物理学家的工作提供一个严格的数学框架。它也是共形场论（CFT）的一个非常重要的例子。结果已经得到了黎曼球和单位圆盘，所以本文将遵循相同的方法。环的情况包含两个困难：它是一个具有两个边界的曲面，并且它具有非平凡的模空间。我们恢复外尔异常-一个公式验证了所有的CFT -并从中推导出KPZ公式。我们还证明了在模空间上积分的Liouville量子引力的全配分函数是有限的。这使我们能够给出Liouville测度和随机模的联合律，并写出具有随机平面映射的约束链。
2018-07-06 math-ph math.MP math.PR
Schramm Loewner Evolution and Liouville Quantum Gravity
我们共形焊接（通过“量子拉链”）两个边界弧的刘维量子引力随机表面生成一个随机曲线称为Schramm-Loewner演化（SLE）。我们开发了一个理论的量子分形措施（符合Knizhnik-Polyakov-Zamolochikov关系），并分析其演变焊接通过SLE鞅。作为应用，我们在SLE曲线上构造了自然量子长度和边界相交测度。
2010-12-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Liouville quantum gravity spheres as matings of finite-diameter trees
我们证明了单位面积刘维尔量子引力球可以用两种等价的方法构造。第一，这是介绍了作者和Duplantier，使用贝塞尔偏移措施，以产生一个高斯自由场变量的圆柱体。第二种是利用关联布朗环和“树的交配”构造出一个空间填充路径修饰的Liouville量子引力球，在特殊情形$γ=\sqrt{8/3}$中，我们给出了第三种等价构造，它使用$3/2$ -稳定Lévy过程的偏移度量（只有向上的跳跃）以产生一对量子盘树，其可以配对以产生由SLE $_6$装饰的球体。这个构造与证明$γ=\sqrt{8/3}$ Liouville量子引力球等价于布朗映射的程序有关。
2018-10-10 math-ph math.CV math.MP
The fractal dimension of Liouville quantum gravity: universality, monotonicity, and bounds
我们证明了对于每个$γ\in (0,2)$，存在一个指数$d_γ> 2$，即“$γ$ -Liouville量子引力（LQG）的分形维数"，它描述了$γ$ -LQG普适类中某些随机平面映射的球体积增长指数，Liouville热核指数，以及$γ$ -LQG距离的各种连续近似的指数，例如Liouville图距离和Liouville第一次通过渗透。我们还表明，$d_γ$是一个连续的，严格递增函数$γ$和证明上，下界$d_γ$，在某些情况下大大提高了以前已知的上述指数的界限。例如，对于$γ=\sqrt 2$（对应于生成树加权平面映射），我们的边界给出$3.4641 \leq d_{\sqrt 2} \leq 3.63299$，在极限情况下，我们得到$4.77485 \leq \lim_{γ\rightarrow 2^-} d_γ\leq 4.89898$。
2019-04-22 math-ph math.MP math.PR
Large Strebel graphs and $(3,2)$ Liouville CFT
二维量子引力是这样一种思想，即一组离散化的表面（称为地图，表面上的图形），配备了图形测量，在大尺寸极限（大量的面）收敛到共形场论（CFT），并在最简单的情况下收敛到最简单的CFT，称为纯引力，也称为重力装扮（3，2）极小模型。在这里，我们考虑一组平面Strebel图（平面三价度量图）与固定的周长面，与勒贝格测度的所有边长的测量产品，提交周长限制。我们证明了一大类观测量的期望值确实收敛于（3，2）极小模型的CFT振幅。
2017-09-13 hep-th math-ph math.MP
On support sets of the critical Liouville Quantum Gravity
本文研究了平面区域中与高斯自由场相关的临界Liouville量子引力（cLQG）支撑集的分形性质，完全刻画了使其具有有限Hausdorff测度的规范函数，并解决了cLQG支撑于Hausdorff维数消失集合上的猜想。
2024-06-04 math-ph math.MP math.PR
Liouville Quantum Gravity on the unit disk
我们的目的是追求由F。David，A. Kupiainen和最后两位作者在黎曼领域的背景下，并受到Polyakov 1981年开创性工作的启发。本文研究了单连通域有边的情形。我们还精确地描述了这个理论与随机平面映射的标度极限的关系，这些随机平面映射的边界共形地嵌入到圆盘上。
2017-07-17 math-ph math.DG math.MP
Introduction to the Liouville quantum gravity metric
刘维尔量子引力（Liouville quantum gravity，LQG）是20世纪80年代首次出现在物理学文献中的一类单参数随机分形表面模型。最近的工作已经建立了一个度量（距离函数）的LQG表面。我们给出了这个度量的建设的概述，并讨论了它的一些最重要的属性，如测地线和KPZ公式的行为。我们还讨论了一些主要的技术证明声明的LQG度量，给出了它们的使用的例子，并讨论了一些开放的问题。
2023-02-23 math-ph math.MG math.MP
Liouville Quantum Gravity on the complex tori
在本文中，我们构造刘维尔量子场论（LQFT）的环形拓扑的精神，1981年的开创性工作的Polyakov。我们的方法遵循了作者与A.黎曼球面中的库皮艾宁。不同之处在于复环面的模空间是非平凡的。因此，LQFT的模性质进行了研究。这使我们能够总结复环面上模空间的LQFT，计算随机Liouville模的规律，从而恢复（和推广）物理学家得到的公式，并说明与亏格为1的随机平面映射的关系，最后用共形域论加权，共形地嵌入环面上.
2015-04-02 math-ph math.MP math.PR
Roughness of geodesics in Liouville quantum gravity
通过最近的一系列工作，我们构造了与Liouville量子引力（LQG）曲面相关的度规，并研究了与之相关的测地线的若干性质。在本文中，我们证实了民间传说的猜想，即欧氏豪斯多夫维数的LQG测地线是stirctly大于1的所有值的所谓的刘维首次通过渗流（LFPP）参数$ξ$。我们推导出这一点，从一个一般的标准，由于Aizenman和Burchard，在我们的情况下，相当于近几何界的概率，某些交叉事件的LQG测地线的交叉点的数量。我们得到这样的界限使用的公理化特征的LQG度量后，证明了一个特殊的正则性高斯自由域（GFF）。我们还证明了LFPP测地线的类似结果。
2022-05-02 math-ph math.MP math.PR
KPZ formula derived from Liouville heat kernel
本文利用刘维尔布朗运动的热核，建立了刘维尔量子引力的Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov（KPZ）公式. KPZ公式的推导首先由F.大卫和M.为了得到一种几何上更内在的方法来测量刘维尔量子引力中集合的维数。我们还提供了一个仔细研究的（无）-加倍行为的刘维尔措施的附录，这是独立的利益。
2014-06-27 math-ph math.MP math.PR
Heat kernels on 2d Liouville quantum gravity: a numerical study
本文数值计算了具有Liouville量子引力（LQG）测度的正方形格点环面上的热核。从对角热核我们验证了LQG的谱维数为2。此外，当扩散开始从一个高点的基础高斯自由场，我们的数值表示超扩散的时空尺度相对于欧几里德度量在小的时空制度。这一结果的影响需要进一步的调查，但似乎符合的概念，欧几里德度量是不是正确的测地线表征几何的LQG。
2014-11-06 hep-lat math-ph math.MP
Confluence of geodesics in Liouville quantum gravity for $γ\in (0,2)$
我们证明了对于任何一个可以与满足某些自然公理的$γ\in (0,2)$的Liouville量子引力（LQG）曲面相联系的度量，它的测地线具有如下的汇合性质。对于任何不动点$z$，a.s.\从不同于$z$的不同点开始的任何两个$γ$-LQG测地线必须彼此合并并且随后重合，直到它们到达$z$。这类似于Le Gall（2010）证明的布朗映射的测地线性质的汇合。我们的结果适用于刘维第一次通过渗流的基本限制，是一个重要的输入在证明的存在性和唯一性的LQG度量的所有$γ\in (0,2)$。
2020-02-01 math-ph math.CV math.MP
Reconstructing SLE-decorated Liouville quantum gravity surfaces from random permutons
本文证明了从基于Liouville量子引力曲面和空间填充SLE构造的permutons可以确定性地重构出原始曲面和SLE对，涵盖了斜布朗permutons和meandric permuton等情况。
2024-09-23 math-ph math.CO math.MP
Random surfaces and Liouville quantum gravity
Liouville量子引力（LQG）曲面是一类随机分形曲面，它们可以看作是随机二维黎曼流形的正则模型，就像布朗运动是随机路径的正则模型一样，LQG曲面是离散随机曲面（称为随机平面映射）的连续极限.本文讨论了随机平面映射和LQG的定义，随机平面映射收敛于LQG的意义，以及研究这些问题的动机。我们还提到几个开放的问题。我们不假设任何背景知识超出了二年级数学研究生。
2021-02-28 math-ph math.CV math.MP
The geodesics in Liouville quantum gravity are not Schramm-Loewner evolutions
证明了满足某些自然假设的Liouville量子引力（LQG）度量所对应的测地线，对于任何类型的SLE $_κ$的律都是奇异的.这些假设是由第一作者和Sheffield构造的$γ=\sqrt{8/3}$的LQG度量满足的，Gwynne和第一作者的后续工作表明，存在一个唯一的度量满足每个$γ\in (0,2)$的这些假设。作为我们分析的结果，我们还建立了LQG测地线的某些正则性，这意味着，除其他事项外，它们是共形可移动的。
2019-10-16 math-ph math.CV math.MP
Up-to-constants comparison of Liouville first passage percolation and Liouville quantum gravity
含参数$ξ> 0$的Liouville第一通过渗流（LFPP）是平面上随机距离函数族$\{D_h^ε\}_{ε>0}$，它是通过对$e^{ξh_ε}$沿路径积分得到的，其中$\{h_ε\}_{ε>0}$是平面高斯自由场的光滑化.最近的工作表明，对于所有的$ξ> 0$的LFPP度量，适当地重新缩放，承认非平凡的连续限制度量。在$ξ< ξ_{\mathrm{crit}} \approx 0.41$的情况下，它已被证明是唯一的，并定义了一个度量的$γ$ -刘维量子引力$γ= γ(ξ) \in (0,2)$。我们证明了，对于所有的$ξ> 0$，每个可能的序贯限制度量是几乎bi-Lipschitz等价于LFPP度量$D_h^ε$时，$ε$是小的，即使$ε$不属于适当的子序列。利用这个结果，我们得到的LFPP的标度常数是尖锐的多对数因子的界限。我们还证明了任意两个连续极限度量是双Lipschitz等价的。我们的结果是在后续工作的输入，这表明LFPP的连续极限诱导相同的拓扑结构的欧氏度量时，$ξ= ξ_{\mathrm{crit}}$。我们希望我们的结果也有其他几个用途，例如，证明了当$ξ\geq ξ_{\mathrm{crit}}$ .
2021-08-26 math-ph math.MP math.PR
Conformal welding for critical Liouville quantum gravity
考虑两个临界刘维尔量子引力表面（即，$γ$-$γ=2$的LQG），每个都具有$\mathbb{H}$的拓扑结构和无限的边界长度。我们证明，A. S。当边界由量子边界长度确定时，存在两个表面的共形焊接。这导致由独立SLE $_4$修饰的临界LQG表面。结合McEnteggart，Miller和Qian（2018）最近建立的这种焊接的唯一性证明，这表明焊接操作是明确定义的。我们的结果是谢菲尔德量子引力拉链定理（2016）的关键模拟，这表明亚临界LQG的类似保形焊接（即，$γ$-$γ\in(0,2)$的LQG）定义明确。
2020-10-28 math-ph math.CV math.MP
Geodesic networks in Liouville quantum gravity surfaces
最近的工作表明，对于$γ\in (0,2)$，Liouville量子引力（LQG）曲面可以被赋予正则度规。我们证明了几个结果有关测地线为这个度量。特别是，我们完全分类的可能网络的测地线从一个典型的点在表面上的表面上的任意点，以及类型的网络的测地线连接两个点发生在一个密集的一组对点的表面上。后一个结果是Angel，Kolesnik和Miermont（2017）在布朗地图中对测地线网络分类的$γ$ -LQG模拟。我们还表明，有一个确定性的$m\in\mathbb N$，使几乎肯定任何两个点加入最多$m$不同的LQG测地线。
2021-07-29 math-ph math.MP math.PR
Time reversing procedure of SLE and 2d gravity
分析了Schramm-Loewner演化的时间反演过程及其与Liouville场论或二维纯引力的关系。它使人们能够通过计算刘维尔场论的关联函数来获得鞅观测量。
2018-08-31 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Double scaling limits of Dirac ensembles and Liouville quantum gravity
本文通过Dirac算子空间上的路径积分研究有限实谱三元组系综，在双重标度极限下导出Liouville共形场论耦合引力的极小模型临界指数，并用随机矩阵理论严格证明其配分函数渐近满足Painlevé I等微分方程。
2023-05-30 hep-th math-ph math.MP
Liouville Quantum Gravity and KPZ
考虑一个有界平面域D，它是D上高斯自由场的一个实例h（狄利克雷能量归一化为1/（2π）），常数0 < gamma < 2。D上的Liouville量子引力测度是测度ε^{γ^2/2} e^{γh_ε（z）}dz的弱极限，其中dz是D上的勒贝格测度，h_ε（z）表示h在以z为中心的半径为ε的圆上的平均值。给定D的随机（或确定性）子集X，可以使用勒贝格测度或该随机测度来定义X的标度维数。我们推导出这两个维度之间的一般二次关系，我们认为这是共形域论的KPZ关系的概率公式。我们还提出了一个边界模拟KPZ（为子集的边界D）。我们讨论了离散和连续量子引力之间的联系，并提供了一个框架，通过量子引力理解欧几里德标度指数。
2010-12-02 math-ph math.MP math.PR
The Tutte embedding of tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
该研究证明，从临界Boltzman测度采样的树加权平面图在Tutte嵌入下，当边界长度趋于无穷时收敛于参数$\gamma=\sqrt{2}$的Liouville量子引力圆盘，且其上的简单随机游走收敛于平面布朗运动。
2026-10-08 math-ph math.CV math.MP
Diffusion in planar Liouville quantum gravity
我们构造了平面刘维尔量子引力随机几何中的自然扩散。形式上，这是复平面的区域$D$中的布朗运动，其中点$z \in D$处的黎曼度量张量由$\exp (γh(z) - \frac12 γ^2 \E (h(z)^2))$给出。这里$h$是$D$上高斯自由场的一个实例，而$γ\in (0,2)$是一个参数。我们证明了该过程几乎必然是连续的，并具有一定的共形不变性。我们还估计了Hausdorff维数的时间，扩散花在厚点的高斯自由场，并表明，它花勒贝格几乎所有的时间在一组$γ$厚点，几乎肯定。扩散是由高斯自由场正则化后的限制程序。证据的灵感来自参数的Duplantier-谢菲尔德的收敛的刘维量子引力措施，以前的工作多重分形随机措施，并依赖于估计的占领措施的平面布朗运动Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。一个类似但更深刻的结果已经被加尔班、罗兹和巴尔加斯同时独立地证明。
2013-01-15 math-ph math.MP math.PR
Harmonic balls in Liouville quantum gravity
本文利用Hele-Shaw流的障碍问题证明了刘维尔量子引力曲面上调和球的存在性与唯一性，刻画了其几何性质，并猜想其为随机平面图上IDLA的标度极限。
2024-11-19 math-ph math.AP math.MP
Weyl's law in Liouville quantum gravity
本文证明了Liouville布朗运动特征值的Weyl定律，指出第n个特征值随n线性增长，比例常数由区域的Liouville面积和确定性常数c_γ决定。证明核心是对角热核小时间行为的精确渐近分析，并发现热迹层面逐点波动相互抵消。
2024-05-30 math-ph math.DG math.MP
Metric growth dynamics in Liouville quantum gravity
研究了$γ\in (0,2)$在Liouville量子引力（LQG）中的度规增长.我们表明，一个充满LQG球的边界上的自由场的轨迹相关联的过程是平稳的，对于每个$γ\in (0,2)$。这种平稳性的无穷小版本与迹场$(h_t)$的演化的生成器的明确表达相结合，提供了迹场上的测量必须满足的正式不变性方程。当考虑一个相应于LQG曲面演化的修正过程时，我们证明了迹场上的一个显式$σ$ -有限测度满足不变方程。这种迹场上的显式测度只对应于纯引力情形。在证明这种不变性的过程中，我们检索了$γ= \sqrt{8/3}$和LQG维度$d_γ = 4$的特异性。在这种情况下，我们得到一个明确的表达（非对称）狄利克雷形式与过程$(h_t)$和构造动力学与其对称部分。
2022-12-20 math-ph math.MP math.PR
The Minkowski content measure for the Liouville quantum gravity metric
本文证明LQG测度可作为LQG度量的Minkowski测度恢复，由此推出γ-LQG曲面的度量结构决定其共形结构，主要工具为空间填充SLE的连续配对树理论，并建立了相关Hölder连续性结果。
2023-10-12 math-ph math.MP math.PR
Renormalizability of Liouville Quantum Gravity at the Seiberg bound
Liouville量子场论可以看作是二维黎曼度量$e^{ϕ(z)}dz^2$的概率理论，它详细地描述了离散$2d$ -随机曲面的标度极限. LQFT中随机场$ϕ$的定律取决于权重$α\in \mathbb{R}$，权重在经典黎曼几何中将度量中的幂律奇点参数化。在权值低于Seiberg界的情况下，在\cite{DKRV}中进行了LQFT的严格构造：$α<Q$，其中$Q$参数化所讨论的随机表面模型。这些对应于经典设置中的圆锥奇点。本文在Seiberg界饱和的情况下构造了LQFT，它可以看作是具有尖点奇点的Riemann曲面的概率形式。它们的构造涉及临界状态下高斯乘性混沌理论的方法。
2015-06-05 math-ph math.MP math.PR
Volume of metric balls in Liouville quantum gravity
研究了Liouville量子引力中度规球的体积。对于$γ\in (0,2)$，自从Kahane（1985）和Molchan（1996）的早期工作以来，人们已经知道欧几里得球的LQG体积对于$p \in (-\infty, 4/γ^2)$具有精确的有限矩。在这里，我们证明了LQG度量球的LQG体积允许所有有限矩。这回答了Gwynne和Miller的一个问题，推广了Le Gall关于布朗映射的一个结果，即$γ= \sqrt{8/3}$情形.我们利用这个矩界证明了在紧集上尺寸为$r$的度量球的体积由$r^{d_γ+o_r(1)}$给出，其中$d_γ$是LQG度量空间的维数。利用类似的技巧，我们证明了Liouville布朗运动首次离开度量球的时间的类似结果。Gwynne-Miller-Sheffield（2020）证明了$γ$ -LQG a.s.当$γ=\sqrt{8/3}$时，确定其共形结构;他们的论证和我们的估计产生所有$γ\in (0,2)$的结果。
2020-11-30 math-ph math.MP math.PR
Regularity and confluence of geodesics for the supercritical Liouville quantum gravity metric
本文证明超临界刘维尔量子引力度量球的互补连通分量边界是Jordan曲线且紧致有限维，并利用此正则性将测地线汇合性结果推广至超临界情形。
2023-09-03 math-ph math.MP math.PR
Gaussian free field and Liouville quantum gravity
本书介绍了物理学家Polyakov提出的弦理论框架及其简化后的随机曲面研究问题，阐述了过去十五年来为Liouville quantum gravity理论提供数学基础并验证其预测的最新突破，旨在以尽可能少的先决条件引导读者了解这些进展。
2025-02-03 math-ph math.MP math.PR
String equation for conformal loop ensemble on Liouville quantum gravity sphere
本文在Liouville量子引力球面上构造量子n孔球面，计算其面积拉普拉斯变换，证明其满足超几何弦方程，并揭示其与Weil-Petersson体积的联系。
2026-09-17 math-ph math.MP math.PR
Geodesics and metric ball boundaries in Liouville quantum gravity
最近的工作表明，对于任意参数$γ\in (0,2)$，都有一个规范的方法来给Liouville量子引力（LQG）曲面指定一个度量（距离函数）。我们建立了LQG测地线的一个强汇合性质，推广了Angel，Kolesnik和Miermont关于布朗映射的一个结果。利用这一性质，我们还建立了0 - 1法律的豪斯多夫维数的测地线，度量球边界，和度量网w.r.t.欧几里德或LQG度量。在度量球边界的情况下，我们的结果与Gwynne（2020）的早期工作相结合，给出了a.s.根据整个LQG曲面的豪斯多夫维数，度量球在撞击不动点时停止的边界的豪斯多夫维数。我们还证明了度量球边界的豪斯多夫维数是由不位于球的任何互补连通分支的边界上的点所携带的。
2022-01-17 math-ph math.MP math.PR
Rigorous results for timelike Liouville field theory
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究时序李维勒场论，通过发展负方差高斯随机变量理论，证明了在电荷中性条件下3点相关函数的时序DOZZ公式，并推导了k点相关函数及 semiclassical 极限。
2026-04-11 hep-th math-ph math.MP
Critical Liouville quantum gravity and CLE$_4$
研究证明临界（γ=2）LQG圆盘与独立κ=4的CLE₄环包围区域参数化的临界LQG曲面在给定环LQG长度时条件独立，且环长度联合律由3/2-稳定过程跳跃描述，结果用于构建超临界LQG与CLE₄的耦合。
2024-11-29 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding
我们赋予$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力球一个度量空间结构，并证明由此得到的度规测度空间与布朗映射符合律.回想一下，刘维尔量子引力球是由欧几里得球${\mathbf S}^2$先验地自然参数化的。本系列以前的工作使用量子Loewner演化（QLE）在${\mathbf S}^2$的可数稠密子集上构造了一个度量$d_{\mathcal Q}$。在这里，我们表明，$d_{\mathcal Q}$ a.s.唯一且连续地扩展到所有${\mathbf S}^2$上的度量$\bar{d}_{\mathcal Q}$。设$d$表示${\mathbf S}^2$上的欧几里德度量，证明了$({\mathbf S}^2, d)$与$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$之间的恒等映射是a. s. Hölder连续的两个方向。我们建立了$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$的其他几个性质，最终的事实是（作为一个随机度量测度空间），它同意在法律上的布朗映射。我们建立类似的结果布朗盘和平面。我们的证明包括对QLE球和相关量子表面的大小和形状的新估计，以及对$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$测地线的仔细分析。
2021-04-19 math-ph math.CV math.MP
Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$_{6}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
设$Q$是一个自由Boltzmann四边形，其边界由临界（$p=3/4$）面渗流构形修饰.证明了$Q$上的弦渗流探索路径在两个有标记的边界边之间收敛于一个独立的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力圆盘（等价于一个布朗圆盘）上的弦$_6$的标度极限.收敛拓扑是Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。我们还获得了类似的比例极限结果的面渗流的均匀无限半平面四边形与简单边界，并为网站渗流的均匀三角形与简单边界。我们的证明方法是强大的，并在一定的技术步骤，扩展到任何渗流模型的随机平面地图，可以通过剥离探索。
2021-02-10 math-ph math.CO math.CV
Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees
对于$γ\in (0,2)$，量子盘和$γ$ -量子楔是两种最自然的具有边界的Liouville量子引力（LQG）表面.这些表面出现的有限和无限的随机平面映射的标度极限的边界，分别。我们证明了量子圆盘或$γ$ -量子楔上充满空间的$_{16/γ^2}$曲线的左/右量子边界长度过程是一个具有关联$-\cos(πγ^2/4)$的显式条件二维布朗运动.这将Duplantier、Miller和Sheffield（2014）的树的交配定理扩展到了有边界的量子表面的情况（$γ\in (\sqrt 2 , 2)$的圆盘情况之前由Duplantier、Miller和Sheffield使用不同的方法处理）。作为应用，我们通过计算关联布朗运动的相应泛函的规律，给出了给定边界长度的量子盘的LQG面积的条件规律的显式表达式.
2020-05-11 math-ph math.CV math.MP
Active spanning trees with bending energy on planar maps and SLE-decorated Liouville quantum gravity for $κ> 8$
在平面映射的生成树上引入了一类双参数概率测度族。其中一个参数控制生成树的活动，另一个参数是其弯曲能量的度量。当弯曲参数为1时，我们恢复了与临界Fortuin-Kasteleyn模型密切相关的活动生成树模型。一个随机的平面地图装饰的生成树从我们的模型可以编码的谢菲尔德的汉堡包，奶酪汉堡双射的广义版本。使用这种编码，我们证明了，对于一系列的参数值（包括对应的地图装饰的积极的生成树），无限体积限制的生成树装饰的平面地图从我们的模型采样收敛在peanosphere意义上，重新缩放后，SLE $_κ$ -装饰$γ$ -刘维量子锥$κ> 8$和$γ= 4/\sqrtκ\in (0,\sqrt 2)$。
2017-12-30 math-ph math.MP math.PR
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
Liouville quantum gravity and the Brownian map III: the conformal structure is determined
本系列以前的工作已经证明了$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）球的一个实例具有一个定义良好的距离函数，并且由此得到的度量测度空间（mm-空间）与布朗映射（TBM）在定律上一致。在这项工作中，我们表明，只要给定的mm空间结构，可以a.s.找回LQG球体这意味着有一种规范的方法可以通过欧几里德球面（直到莫比乌斯变换）来参数化TBM的实例。换句话说，TBM的实例具有规范共形结构。结论是，TBM和$\sqrt{8/3}$ -LQG球等效。它们最终编码相同的结构（一个具有测度、度量和共形结构的拓扑球），并具有相同的定律。从这个角度来看，事实上，共形结构a.s.确定度量，反之亦然，可以理解为这个统一定律的一个属性。这一工作的结果也意味着类似的事实适用于布朗和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面与其他拓扑结构。
2020-11-20 math-ph math.CV math.MP
Conformal covariance of the Liouville quantum gravity metric for $γ\in (0,2)$
对于$γ\in (0,2)$、$U\subset \mathbb C$和$U$上高斯自由场（GFF）的实例$h$，与$(U,h)$相关的$γ$-Liouville量子引力（LQG）曲面由$U$上的黎曼度量张量$e^{γh} (dx^2 + dy^2)$形式化描述.作者以前的工作表明，可以在与$γ$-LQG表面相关的$U$上定义一个正则度量（距离函数）$D_h$。我们发现，这个度量是共形协变的意义上，它尊重$γ$-LQG表面的坐标变化公式。也就是说，如果$U,\widetilde{U}$是域，$ϕ\colon U \to \widetilde{U}$是保形变换，$Q=2/γ+γ/2$和$\widetilde h = h\circϕ^{-1} + Q\log|(ϕ^{-1})'|$，则对于所有$z,w \in U$，都是$D_h(z,w) = D_{\widetilde{h}}(ϕ(z),ϕ(w))$。这证明$D_h$是$(U,h)$的量子表面结构所固有的，即，它不依赖于参数化的特定选择。
2020-09-09 math-ph math.CV math.MP
