KPZ formulas for the Liouville quantum gravity metric
设$γ\in (0,2)$，$h$为平面高斯自由场，$D_h$为相应的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度规.证明了对任意独立于$h$的随机Borel集$X \subset \mathbb{C}$，$X$关于欧氏度量和关于$γ$-LQG度量$D_h$的Hausdorff维数是a. s.由（几何）KPZ公式相关。作为推论，我们推导出连续$γ$ -LQG度量的Hausdorff维数等于Ding和Gwynne（2018）研究的指数$d_γ> 2$，它描述了$γ$ -LQG离散近似中的距离，如随机平面映射。当$X$和$h$不一定独立时，我们还推导出与$X$的欧几里得和$γ$-LQG维数相关的“最坏情况”界限，这回答了Aru（2015）提出的问题。利用这些界，我们得到了当$γ= \sqrt{8/3}$等于$1.312\dots$时$γ$ -LQG测地线的欧几里德Hausdorff维数的上界;以及$\sqrt{8/3}$ -LQG度量球的边界的连通分支的欧几里德Hausdorff维数的上界$1.9428\dots$.我们使用$γ$ -LQG度量的公理化定义，因此读者可以通过最少的背景知识来理解本文，这些知识超出了对高斯自由场的基本熟悉程度。
2019-12-28 math-ph math.MP math.PR
Point-interacting Brownian motions in the KPZ universality class
我们讨论相互作用的布朗运动链。它们的时间反演不变性被打破，因为左右邻居之间的相互作用强度的不对称性。在一个非常陡和短程势的极限下，我们得到带有斜反射的布朗运动。对于这个模型，我们证明了转移概率和自对偶的Bethe ansatz公式。在半泊松初始数据的情况下，对偶性用于在任何正时间到达某个参考点左侧的粒子数的生成函数的Fredholm行列式。这个行列式的形式渐近性建立了与Kardar-Parisi-Zhang普适类的联系。
2014-11-12 math-ph math.MP
Connecting SLE and minisuperspace Liouville gravity
我们证明了弦SLE过程的Fokker-Planck方程在概率密度的简单重标度下可以追溯到二维Liouville引力中边界算子的小超空间Wheeler-de Witt方程。在WdW方程中插入一个算子，计算SLE临界指数，相当于增加了物质的贡献。这一观测结果可能有助于理解为什么SLE临界指数由KPZ引力标度维数给出。所得到的关系可能的应用进行了讨论。
2007-09-24 hep-th math-ph math.MP
Stationary measures of the KPZ equation on an interval from Enaud-Derrida's matrix product ansatz representation
Kardar-Parisi-Zhang方程在区间上的平稳测度是近年来得到的。我们提出了一个相当直接的推导这个结果，采取弱不对称极限的矩阵乘积的不对称简单的排斥过程。我们依赖于矩阵积animals表示的Enaud和德里达，它允许表达的稳定状态的重新加权简单的随机游动。在连续极限中，它的测度变成了刘维量子力学中遇到的形式的路径积分（或重加权布朗运动），恢复了最近的公式。
2022-11-18 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Introduction to the Liouville quantum gravity metric
刘维尔量子引力（Liouville quantum gravity，LQG）是20世纪80年代首次出现在物理学文献中的一类单参数随机分形表面模型。最近的工作已经建立了一个度量（距离函数）的LQG表面。我们给出了这个度量的建设的概述，并讨论了它的一些最重要的属性，如测地线和KPZ公式的行为。我们还讨论了一些主要的技术证明声明的LQG度量，给出了它们的使用的例子，并讨论了一些开放的问题。
2023-02-23 math-ph math.MG math.MP
Langlands duality in Liouville-H_3^+ WZNW correspondence
我们给出了H_3^+ WZNW模型的关联函数中Langlands对偶性的物理实现。我们导出了一个将H_3^+ WZNW关联函数与对偶Liouville理论联系起来的Stoyanovky-Riabult-Teschner（SRT）公式的对偶形式，以研究WZNW关联函数中的能级对偶k-2 \to（k-2）^{-1}.然后，我们证明了这种H_3^+ - Liouville关系的对偶形式可以被解释为Ribault最近提出的基于Liouville关联函数的双参数非有理CFTs族的一个特例.我们研究这些新的非理性的CFTs的对称性和计算关联函数明确使用自由场实现，看看如何在这个框架中体现了广义朗兰兹对偶。最后，我们提出了一个解释的SRT公式实现Drinfeld-Sokolov哈密顿约化。哈密顿约化再次揭示了H_3^+ WZNW模型的朗兰兹对偶性。我们对H_3^+ WZNW模型的关联函数的新恒等式可能为理解量子几何朗兰兹对应迈出了第一步。
2008-05-09 hep-th math-ph math.MP
Liouville quantum gravity on the annulus
本文在复平面的圆环上构造了刘维尔量子引力。这种构造的目的是为波利亚科夫在1981年发起的理论物理学家的工作提供一个严格的数学框架。它也是共形场论（CFT）的一个非常重要的例子。结果已经得到了黎曼球和单位圆盘，所以本文将遵循相同的方法。环的情况包含两个困难：它是一个具有两个边界的曲面，并且它具有非平凡的模空间。我们恢复外尔异常-一个公式验证了所有的CFT -并从中推导出KPZ公式。我们还证明了在模空间上积分的Liouville量子引力的全配分函数是有限的。这使我们能够给出Liouville测度和随机模的联合律，并写出具有随机平面映射的约束链。
2018-07-06 math-ph math.MP math.PR
The complex Liouville string: the matrix integral
本文提出复 Liouville 弦与二矩阵积分的对偶，借助谱曲线和拓扑递归计算微扰弦振幅，为全息对偶提供可控检验实例。
2025-02-09 hep-th math-ph math.AG
Quantum gravity and the KPZ formula
本文是对B.Duplantier和S. Sheffield的“Liouville量子引力和KPZ”一文的综述（Bourbaki研讨会）。二维（d=2）统计物理模型在其临界点的研究通常是一个相当困难的问题（更不用说d=3的情况了）。八十年代，三位物理学家Knizhnik，Polyakov和Zamolodchikov（KPZ）在\cite{\KPZ}中提出了一种新颖而深远的方法，以理解这些模型的临界行为。其中，人们发现例如随机游动，渗流以及伊辛模型。他们的方法的主要基本思想是沿着如下的两步过程来研究这些模型：a/首先，不是考虑平面的一些规则晶格上的模型（例如$\Z^2$），而是将其定义在精心选择的“随机平面晶格”上。这样做相当于研究{ \it量子引力}形式的模型。在渗流的情况下，随机格的适当选择与所谓的平面映射相匹配。b/然后返回到实际的{ \it Euclidean}设置。这要归功于著名的{ \bf KPZ公式}，它给出了量子引力公式中模型的几何性质与欧几里得情况下模型的类似物之间非常精确的对应关系。这种强大的对应关系的性质和起源在很长一段时间内都是相当神秘的。事实上，KPZ公式仍然没有严格建立，仍然是一个几何对应。这项调查的目的是解释如何最近的工作Duplantier和谢菲尔德能够解释一些神秘隐藏在这个KPZ公式。用一句话来总结他们的贡献，他们的工作意味着通过随机晶格的均匀化对KP…
2012-06-01 math-ph math.CO math.MP
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps
本文研究块加权随机平面地图模型，发现其在临界值 $u=u_{cr}$ 处发生退化相变，并证明该临界点与临界点之下的计数性质和临界指数由对偶关系相联系，这与Liouville量子引力描述的预期一致。
2025-07-16 math-ph math.CO math.MP
Gaussian Free Fields and KPZ Relation in R^4
本文将Duplantier和Sheffield关于Liouville量子引力的部分二维结果推广到四维空间，并指出推广到其它偶维空间R^（2n）和黎曼流形的可能性.设“Θ”是R ^4上的高斯自由场，其基础希尔伯特空间是索伯列夫空间H ^2，其内积由算子（I-Δ）^2确定。假设“θ”是来自Θ的通用元素。我们考虑R^4上的随机Borel测度序列，每个序列关于勒贝格测度dx是绝对连续的，并且密度函数由R^4中以x为参数的中心高斯族的指数给出。我们证明了在概率为1的情况下，这个测度序列弱收敛到一个极限随机测度，它可以“形式上”写成“exp（2γθ（x）dx”.在这种情况下，我们还证明了一个KPZ关系，它是R^4上有界博雷尔集在勒贝格测度下的标度指数与它在上面得到的随机测度下的对应标度指数之间的二次关系。我们的方法类似于杜普兰蒂埃和谢菲尔德在2D中使用的方法，但对R^4进行了修改。
2012-10-30 math-ph math.FA math.MP
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps II
Université Paris-Saclay, CEA, CNRS, Institut de Physique Théorique（巴黎萨克雷大学，法国原子能和替代能源委员会，法国国家科学研究中心，理论物理研究所）
本文研究平面图的块加权性质及利ouville量子对偶临界点的标度行为，推导了根块大小与总大小的条件分布，并展示其与利ouville量子引力的结果一致，同时分析了双根图的块距离谱及多标度性质。
2026-04-27 math-ph math.CO math.MP
Liouville field theory coupled to a critical Ising model: Non-perturbative analysis, duality and applications
考虑了${Z}_{n}$ -仿费米子场和刘维场论之间的两种不同的相互作用.对于通用值的$n$，有效的中心荷描述两个模型的UV行为计算在Neveu-Schwarz部门。对于$n=2$，给出了Liouville场论的主场和第一后裔场的精确真空期望值.对于$n=1$，恢复了Sinh-Gordon和Bullough-Dodd模型的已知结果，而对于$n=2$，这两个可积耦合Ising-Liouville模型的精确结果在弱-强耦合对偶关系下交换.特别地，得到了作用中的参数与粒子质量之间的精确关系。在耦合和$n=2$的特定虚值下，我们使用以前的结果来获得关于以下模型的精确信息：（a）可积耦合模型，如Ising- ${\cal M}_{p/p'}$，齐次sine-Gordon模型$SU(3)_2$或Ising-XY模型;（b）N=1超对称极小模型的$Φ_{13}$可积扰动的Neveu-Schwarz扇区。几个非微扰检查，支持确切的结果。
2002-04-17 cond-mat hep-th math-ph
The q-Schwarzian and Liouville gravity
本文提出 q-Schwarzian 量子力学与 Liouville 引力的新全息对偶，通过将 sinh dilaton 引力改写为拓扑规范理论证明量子层面等价，并给出盘拓扑上的精确解。
2025-06-03 hep-th math-ph math.MP
Boundary Loop Models and 2D Quantum Gravity
本文研究了Jacobsen和Saleur最近发现的一种新型边界条件下的动态三角形圆盘上的O（n）loop模型。该模型的配分函数是覆盖在圆盘上的自避环气体的配分函数。Jacobsen-Saleur（JS）边界条件规定不接触边界的回路在[-2，2]中具有逸度n，而至少接触一次边界的回路被赋予不同的逸度y。JS边界条件的类，由实数y标记，包含Neumann（y=n）和Dirichlet（y=1）边界条件作为特殊情况。这里我们考虑稠密相的回路气体，在这里我们计算的两点边界算子的L-leg混合Neumann-JS边界条件。这一结果与Fateev，Zamolodchikov和Zamolodchikov在Liouville理论中导出的边界两点函数一致。边界算子的Liouville荷通过KPZ对应与JS给出的L-leg边界指数相匹配。
2007-08-05 hep-th math-ph math.MP
Surface Operators and Separation of Variables
Alday、Gaiotto和Tachikawa证明了某些四维N = 2超对称场论和二维刘维共形场论之间的关系。我们研究这些关系的推广到4d理论与表面运营商。对于一种类型的曲面算子，对应的二维理论是WZW模型，而对于另一种类型-插入额外简并场的刘维尔理论。我们发现，这两个4D理论与表面运营商表现出IR的对偶性，这反映了已知的关系（所谓的分离变量）之间的共形块的WZW模型和刘维理论。此外，我们跟踪这种IR对偶性的膜创建建设相关的系统的M5和M2膜在M理论。最后，我们表明，这种对偶性可以表示为一个显式的关系之间的生成函数之间的变化的自然集之间的达布坐标的希钦模空间的变量。
2015-06-24 hep-th math-ph math.AG
Dynamical Liouville
本文的目的是分析一个SPDE自然产生的背景下，刘维尔量子引力。这个SPDE与所谓的Sine-Gordon方程有一些共同的特征，并且是为了保持David-Kupiainen-Rhodes-Vargas最近在二维球$S^2$和环面$T^2$上构造的Liouville测度而构造的。我们将关注的SPDE具有以下（简化）形式：\[ p_t X = \frac 1 {4π} ΔX - e^{γX} + ξ\,, \]其中$ξ$是$R_+ \times S^2$或$R_+ \times T^2$上的时空白噪声。这种奇异随机随机偏微分方程区别于最近研究的著名随机偏微分方程（KPZ，动态$Φ^4_3$，动态Sine-Gordon等）的主要方面是：是不稳定性的存在。描绘这种效果的一种方式是，一个天真的重新缩放参数表明上述SPDE对所有$γ>0$都是次临界的，而我们不期望当$γ> 2$时存在解决方案。在这项工作中，我们开始研究这种间歇性的SPDE通过分析人们可能称之为“经典”或“大普拉托-德彪西”相对应的$γ\in[0,γ_{dPD}=2\sqrt{2} -\sqrt{6})$在这里。通过利用非线性$e^{γX}$的正性，我们可以进一步推动这一经典阈值，并以这种方式获得当$γ\in[γ_{dPD}, γ_{pos}=2\sqrt{2} - 2)$。我们的证明需要分析自然空间/时间高斯乘性混沌（GMC）测…
2019-10-03 math-ph math.MP math.PR
Weak Liouville quantum gravity metrics with matter central charge $\mathbf{c} \in (-\infty, 25)$
物理学的考虑表明，刘维尔量子引力（LQG）理论应该存在于所有的物质中心电荷值$\mathbf{c} \in (-\infty,25)$。概率学家已经严格地将LQG定义为$\mathbf{c} < 1$的随机度量测度空间;然而，他们直到最近才开始在$\mathbf{c} \in (1,25)$阶段探索LQG。我们定义了一个随机度量LQG为所有$\mathbf{c} < 25$的公理类似于公理的集合中规定的$\mathbf{c} < 1$设置。我们表明，这样的度量存在于每个$\mathbf{c}$考虑近似度量称为刘维第一次通过渗流。丁和Gwynne证明，这些近似度量是紧在一个适当选择的拓扑结构，我们表明，每一个连续极限满足我们的公理。特别是，我们的结果定义了一个度量相关的LQG在临界情况下$\mathbf{c} =1$。我们为$\mathbf{c} \in (1,25)$定义的度量表现出与$\mathbf{c} < 1$机制形成鲜明对比的几何行为。我们证明了，对于$\mathbf{c} \in (1,25)$，度量并不诱导欧氏拓扑，因为它们也是一个拓扑.有一个稠密的（测量为零）奇点集，这些点与所有其他点的距离是无限远的。我们用这一事实来证明。度量球不是紧的，它的边界具有无穷大的豪斯多夫维数.尽管有这些差异，我们证明了许多性质的LQG指标$\mathbf{c} < 1$以某种形式扩展到整…
2024-02-22 math-ph math.MP math.PR
Environment seen from infinite geodesics in Liouville Quantum Gravity
$\mathbb{Z}^d$或$\mathbb{R}^d$上的首次通过渗流（FPP）是随机度量空间的规范模型，其中标准欧几里得几何被随机噪声扭曲。中心感兴趣的是测地线的长度和几何形状，点之间的最短路径。由于后者，由于其长度最小化，遍历通过潜在的噪声变量的极低值，它是一个重要的问题，以量化的差异植根于一个点的测地线和典型的环境。我们调查这一背景下的$γ$ -刘维量子引力（LQG）（其中$γ\in (0,2)$是一个参数）-一个随机黎曼表面诱导的复平面上的随机度量张量$e^{2γh/d_γ} ({dx^2+dy^2}),$，其中$h$是整个平面，适当的中心，高斯自由场（GFF），和$d_γ$是相关的尺寸。我们考虑唯一的无限测地线$Γ$从原点，参数化的对数，其化学长度，并表明，几乎肯定实现的$h$，分布的适当规模的领域和诱导度量的球，植根于一个点“均匀”采样$Γ$，分别收敛于广义函数空间上的确定性测度和单位圆盘上的连续度量。此外，我们还证明了单位圆盘上的极限对象相对于它们的典型对应物是奇异的，但在远离原点处是绝对连续的。我们的论点依赖于发掘再生结构的快速衰减的相关性在测地线由于合并和域马尔可夫性的GFF。虽然最近有显着的进展，围绕这个问题的随机平面生长模型在KPZ类，目前的工作启动这一研究计划的背景下，LQG。
2021-07-26 math-ph math.MP math.PR
Conformal Fractal Geometry and Boundary Quantum Gravity
本文给出了平面或半平面上保角不变（CI）标度曲线的分形几何的全面描述。它的重点是通过利用底层的量子引力（QG）结构来推导与相互作用的随机路径相关的临界指数，该结构使用KPZ映射将平面中的指数与随机晶格上的指数相关联，即，在一个波动的度量。这适用于关键模型，如O（N）和Potts模型，以及随机Löwner演化（SLE）。在任意CI分形边界附近，调和测度的多重分形（MF）函数f（alpha，c）是相应CFT的中心荷c的函数.非简单标度曲线或团壳的Hausdorff维数D_{H}和它的外周长或边界的Hausdorff维数D_{EP}服从对偶方程（D_{H}-1）（D_{EP}-1）=1/4，对任何c都成立.给出了描述任意CI标度曲线附近势的局部螺旋率λ和奇异性指数α的普适混合MF谱f（α，λ;c）。通过KPZ量子引力映射的对称性建立了简单随机路径和非简单随机路径之间的对偶性。对SLE_{kappa}引入了一个扩展的对偶KPZ关系，它与kappa到kappa '= 16/kappa对偶可交换.这给出了SLE指数从简单的QG规则，建立从一般结构的任意相互作用的随机集的随机格上的关联函数。
2003-03-14 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Liouville quantum gravity with matter central charge in $(1,25)$: a probabilistic approach
关于中心电荷共形物质场${\mathbf{c}}_{\mathrm M}\in(-\infty,1]$的二维Liouville量子引力已有大量的文献。通过DDK变换，LQG可以等价地描述为通过对$γ$乘以平面高斯自由场（GFF）的变体求幂而获得的随机几何，其中$γ\in(0,2]$满足$\mathbf c_{\mathrm M}=25-6(2/γ+γ/2)^2$。物理学的考虑表明，LQG在$\mathbf c_{\mathrm M}>1$时也应该有意义。然而，在这种状态下的行为是相当神秘的，部分原因是$γ$的相应值是复杂的，所以各种公式的解析延拓给出了复杂的答案，这在概率设置中很难解释。我们介绍和研究的LQG的离散化，这是有意义的所有值的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(-\infty,25)$。我们的离散化由一个随机的平面地图，定义为相邻图的平铺的平面由二进广场，都有大约相同的“LQG大小”相对于GFF。我们证明了几个公式的尺寸相关的数量仍然是有效的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，与警告的尺寸是无限的公式时，给出了一个复杂的答案。特别是，我们证明了一个扩展的（几何）KPZ公式$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，它给出了一个有限的量子维数当且仅当欧氏维数是最多$(25-\mathbf c_{\math…
2019-11-11 math-ph math.MP math.PR
The complex Liouville string: the worldsheet
本文通过耦合两份复中心荷Liouville CFT提出了一种新的二维弦理论，利用世界面精确解和解析约束完全确定了弦振幅，无需计算模空间积分，并以球面四点和环面一点振幅为例进行了说明。
2025-02-09 hep-th math-ph math.MP
SLE Loop Measure and Liouville Quantum Gravity
本文利用刘维尔量子引力（LQG）研究SLE环路测度，证明了共形环路系综与SLE环路测度的等价性，建立了κ与16/κ的对偶性，并导出了电厚度矩的精确公式。
2024-12-27 math-ph math.MP math.PR
Infinitely many inequivalent field theories from one Lagrangian
对数类时Liouville量子场论具有推广的PT不变性，其中T是时间反演算符，P代表Liouville场$ϕ$的S-对偶反射。在欧几里德空间的拉格朗日这样一个理论，$L=\frac{1}{2}(\nablaϕ)^2-igϕ\exp(iaϕ)$，分析使用PT对称量子理论的技术。它表明，L定义了无穷多个酉不等价部门的理论标记的整数n。在一维空间（量子力学）中，能谱是在半经典极限下计算的，第n个扇区中的第m个能级由$E_{m,n}\sim(m+1/2)^2a^2/(16n^2)$给出。
2014-08-11 hep-th math-ph math.MP
