Green-Tao theorem in function fields
Thai Hoang Le
我们适应的证明格林-陶定理的等差数列素数的多项式在有限域上的设置，以表明，对于每一个$k$，不可约多项式在$\mathbf{F}_q[t]$包含配置的形式$\{f+ Pg : \d(P)<k \}, g \neq 0$。
We adapt the proof of the Green-Tao theorem on arithmetic progressions in primes to the setting of polynomials over a finite field, to show that for every $k$, the irreducible polynomials in $\mathbf{F}_q[t]$ contain configurations of the form $\{f+ Pg : \d(P)<k \}, g \neq 0$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Green-Tao theorem: an exposition
著名的格林-陶定理指出素数包含任意长的等差数列。我们给一个博览会的证明，结合几个简化，已发现，因为原来的文件。
The Green-Tao theorem for primes of the form $x^2+y^2+1$
证明了$x^2+y^2+1$形式的素数包含任意长的非平凡等差数列。
The Green-Tao theorem for Piatetski-Shapiro primes
令$m\geq 3$。设$$ 1-2^{-2^{m^24^m}}<γ<1. $$则集合$$ \{p\text{ prime}:\, p=[n^{\frac1γ}]\text{ for some }n\in{\mathbb N}\} $$包含无穷多个非平凡的$m$ -项等差数列。
On the Green-Tao theorem for sparse sets
该研究改进了绿色-陶定理，证明了稀疏集在无非平凡等差数列时的密度界限，并引入了新的数学工具。
The Green-Tao theorem for affine curves over F_q
格林和陶在2008年的一篇论文中证明了存在任意长度的素数的等差数列。不久之后，陶为高斯整数环和黎为有限域上的多项式环证明了类似的陈述。2020年，Kai-Mimura-Munemasa-Seki-Yoshino将其扩展到任意数域的阶数。我们解决了有限域上仿射曲线的坐标环的情形。本文的主要贡献是巧妙地选择了给定环的多项式子环，它在数域的情况下起着$\mathbb Z$的作用。这种选择和它的令人愉快的性质的证明最终取决于黎曼-罗奇公式。
Ranges of polynomials control degree ranks of Green and Tao over finite prime fields
研究多项式范围对Green和Tao度数排名的影响，证明在特定条件下多项式具有有限的度数排名或由有限坐标确定。
A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes
陶解释说，$\mathcal{P}^d$的每个稠密子集，素数的$d$元组，包含任何给定形状的星座。最近，库克、马扎尔和提提切特拉昆证明了这一点，陶和齐格勒也独立证明了这一点。在这里，我们给出了一个简单的证明使用格林-陶定理的线性方程在素数和Furstenberg-Katznelson多维Szemerédi定理。
Best possible densities of Dickson m-tuples, as a consequence of Zhang-Maynard-Tao
我们确定的比例整数$h$一个现在知道有无限多个素数对$p,\ p+h$作为张梅纳德陶定理的结果。我们考虑自然推广这$k$ -元组的整数，我们确定的限制，可以推导出只假设张-梅纳德-陶定理。
Orchards in elliptic curves over finite fields
考虑平面上的一组$ n $点。恰好包含$ n $点中的$ 3 $的线称为富含$ 3 $的线。经典的果园问题要求平面上的$ n $点的配置最大化$ 3 $丰富的线的数量。本文利用有限域上椭圆曲线的群律，给出了几个果园的群模型，其中$ 3 $ -富线的数目与Green-Tao（或Burr，Grünbaum和Sloane）公式给出的最大线数的期望数目一致.利用有限域上的椭圆曲线，我们还证明了存在无穷多个点-线构型，其富含$ 3 $的线的数目比Green-Tao公式给出的期望数目多两个，这是除了富含$ 3 $的线的数目与Green-Tao公式一致的情况之外唯一的另一种最优可能性.
A note on the theorem of Maynard and Tao
本文基于梅纳德和陶的定理，以更强形式重新证明了Shiu关于连续同余素数'字符串'的结果。
Arithmetic structures in random sets
我们扩展两个著名的结果在加性数论，Sárközy定理的平方差在稠密集和一个定理的绿色长等差数列的和集，子集的随机集的渐近密度为0。我们的证明依赖于限制型傅立叶分析的绿色和绿色陶参数。
A variant of Tao's method with application to restricted sumsets
本文发展了Terence Tao的调和分析方法，并将其应用于限制和集。著名的柯西-达文波特定理断言，如果$A$和$B$是$Z/pZ$的非空子集，且$p$是素数，则$|A+B|\ge min{p,|A|+|B|-1}$，其中$A+B={a+b: a\in A, b\in B}$。在2005年，陶泰伦（英语：Terence Tao）通过将测不准原理的一种新形式应用于傅里叶变换，给出了柯西-达文波特定理的调和分析证明。我们修改陶的方法，使它可以用来证明以下扩展的Erdos-Heilbronn猜想：如果$A,B,S$是$Z/pZ$的非空子集，$p$是一个素数，那么$|{a+b: a\in A, b\in B, a-b not\in S}|\ge min {p,|A|+|B|-2|S|-1}$。
Asymptotics for Magic Squares of Primes
本文在Green，Tao和Ziegler的工作基础上，给出了当$N \to \infty$对$[0,N]$中元素为素数的$n \times n$幻方个数的渐近性.对于每一个$n \ge 3$，我们给适当的系统的线性形式（或等价的基础）描述所有$n \times n$幻方与整数条目，我们计算这些系统的复杂性在绿色和陶的意义。我们计算了$n=3$（复杂度3）和$n=4$（复杂度1）的精确渐近性，给出的算法适用于$n \ge 5$（复杂度1）.最后，我们表明，渐近是完全相同的，如果我们强加的所有条目的幻方必须是不同的。
Periodic nilsequences and inverse theorems on cyclic groups
由Green、Tao和Ziegler证明的Gowers范数的逆定理适用于区间$[M]$上的函数。Canadian和Sisask最近的一篇论文要求在应用于$N$ -周期函数时得出更强的结论;具体地说，相应的零序列在强意义上也应该是$N$ -周期的。在大多数情况下，这一结果是隐含的工作塞格迪（和卡马雷纳和塞格迪）的逆定理。这一推论在Canadian和Sisask的论文中给出。在这里，我们给出了一个替代的证明，它只使用格林-陶-齐格勒逆定理作为一个黑盒子。结果也稍微强一些，从语句中删除了一个技术条件。证明中心围绕着一个一般的建设范畴的nilsequences和nilmanifold，这可能是一些独立的利益。
Sublattices of finite index
在有限参数$s$的Gowers逆猜想和Möbius猜想的假设下，Green-Tao证明了Dickson猜想对于复杂度至多为$s$的线性映射的格的猜想.本文将Green-Tao定理推广到Dickson猜想上，证明了：若$L$是复杂度为$s$的线性映射的值域，而$L_1$是$L$的有限指数子格，则$L_1$是复杂度为$s$的线性映射的值域.
An arithmetic transference proof of a relative Szemerédi theorem
最近，康伦、福克斯和作者给出了一个相对的塞梅雷迪定理的新证明，这个定理是著名的格林-陶定理证明的主要新成分，格林-陶定理证明素数包含任意长的等差数列。粗略地说，一个相对的Szemerédi定理说，如果S是满足一定条件的整数集合，A是S的一个具有正相对密度的子集，那么A包含长等差数列，我们最近的结果表明S只需要满足一个所谓的线性型条件。本注记包含新的相对Szemerédi定理的另一种证明，其中我们直接转移Szemerédi定理，而不是通过超图移除引理。这种方法提供了一种更直接的途径来建立结果，并且它给出了更好的定量界限。证明有三个主要成分：（1）Green-Tao和Tao-Ziegler的迁移原理/稠密模型定理（Gowers后来给出了简化的证明，Reingold-Trevisan-Tulsiani-Vadhan独立地给出了证明）应用了差异/割型范数（而不是一个高尔斯一致性规范，因为它是适用于早期的作品），（2）计数引理建立的康伦，福克斯，和作者，（3）Szemerédi定理是一个黑箱。
Linear correlations of multiplicative functions
证明了乘性函数的一个Green-Tao定理。
On sumsets in ${\Bbb F}_2^n$
设${\Bbb F}_2$是二元有限域，${\Bbb F}_2^n$是${\Bbb F}_2$上的维数为$n$的向量空间.对于集合$A,\,B\subseteq{\Bbb F}_2^n$，它们的和集被定义为所有$a+b$与$a\in A,\,b\in B$的成对和的集合。Ben Green和Terence Tao证明了，设$K\geq 1$，如果$A,\,B\subseteq{\Bbb F}_2^n$和$|A+B|\leq K|A|^{1\over 2}|B|^{1\over 2}$，则存在一个具有$$ |H|\gg\exp(-O(\sqrt{K}\log K))|A| $$和$x,\,y\in{\Bbb F}_2^n$的子空间$H\subseteq{\Bbb F}_2^n$，使得$$ |A\cap(x+H)|^{1\over 2}|B\cap(y+H)|^{1\over 2}\geq{1\over 2K}|H|. $$在本文中，我们将使用Green和Tao的方法并作一些修改来证明，如果$$ |H|\gg\exp(-O(\sqrt{K}))|A|, $$，则上述结论仍然成立.
Polynomial configurations in the primes
Bergelson-Leibman定理指出，如果P_1，...，P_k是具有整系数的整系数多项式，则正上密度的整数的任何子集都包含多项式配置x+P_1（m），.，x+P_k（m），其中x，m为整数。这个定理的各种推广是已知的。Wooley和Ziegler证明了变量m实际上可以取为素数减1，Tao和Ziegler证明了Bergelson-Leibman定理适用于正相对上密度的素数子集。在这里，我们证明了后两个结果的混合，即在陶-齐格勒定理的步骤m可以被限制到素数集减1。
Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms
(This文本是一个调查写的布尔巴基研讨会的工作F。礼貌。）高尔斯一致性范数是高阶傅里叶分析的中心对象，是加法组合学的基石之一，并且在高尔斯对塞梅雷迪定理和格林-陶定理的证明中起着重要作用。逆定理指出，如果一个函数有一个大的一致性范数，这是一个强大的结构组合测度，那么它必须与一个零序列相关，这是一个高度结构化的代数对象。格林、陶和齐格勒在定性意义上证明了这一点，但证明无法提供合理的界限。在2018年，Manners通过给出逆定理的新证明实现了突破。这个新的证明不仅包含了丰富的新见解，而且它还首次提供了数量上的界限，在最坏的情况下，只有双指数。本次演讲将给出一个高层次的概述逆定理说什么，为什么它是重要的，和新的证明方式。
Norm forms for arbitrary number fields as products of linear polynomials
设K/Q是有限次的域扩张，P（t）是Q上的多项式，可分解为Q上的线性因子.我们证明了由方程N_{K/Q}（k）= P（t）定义的仿射簇的任何光滑模型满足Hasse原理和弱逼近，只要Brauer-Manin阻塞为空.我们的证明是基于一个组合的方法，从添加剂组合由于绿陶和绿陶齐格勒，连同应用的下降理论的Colliot-Thélène和Santiago。
A relative Szemerédi theorem
著名的格林-陶定理指出素数中存在任意长的等差数列。其中一个主要成分在他们的证明是一个相对Szemerédi定理说，任何子集的伪随机集的整数正相对密度包含长期等差数列。在本文中，我们给出了一个简单的证明加强相关Szemerédi定理，表明一个弱得多的伪随机性条件是足够的。我们的加强版本可以应用于给出密度为$N^{-c_k}$的$\mathbb{Z}_N$的伪随机子集中的$k$项等差数列的第一相对Szemerédi定理。在我们的证明中的关键组成部分是稀疏伪随机超图的正则性方法的扩展，我们相信这是有趣的。由此我们得到了超图移除引理的一个相对推广。这是一个加强早期的定理所使用的陶在他的证明，高斯素数包含任意形状的星座，并通过标准的论点，使我们能够推导出相对Szemerédi定理。
Generalized Fourier coefficients of multiplicative functions
我们介绍并分析了一般类不一定有界的乘性函数，其中的例子包括功能$n \mapsto δ^{ω(n)}$，其中$δ\neq 0$和$ω$计数的数目不同的素因子的$n$，以及功能$n \mapsto |λ_f(n)|$，其中$λ_f(n)$表示的傅里叶系数的原始全纯尖点形式。对于这类功能，我们表明，应用后的“$W$技巧”，他们的元素成为正交多项式nilsequences。由此产生的功能，因此有小的一致性规范的所有订单的绿色-陶-齐格勒逆定理，一个后果，将用于在一个单独的文件，以渐近评估线性相关性的乘性函数从我们的类。我们的结果推广了格林和陶关于莫比乌斯函数的工作。
Constellations in prime elements of number fields
对任意数域，证明了整数环存在由两两互不相关的素元组成的任意形状的星座。这一结果推广了著名的格林-陶有理素数等差数列定理和陶高斯素数星座定理。此外，我们证明了一个关于整数系数二元二次型素表示的星座定理。更确切地说，对于非负定的非退化本原二元二次型$F$，存在由整数对$(x,y)$组成的任意形状的星座，其中$F(x,y)$是有理数素数。后一个定理是通过将框架从整数环推广到一个阶及其可逆分式理想对而得到的。
The abelian arithmetic regularity lemma
本文给出了$\{1,\dots,N\}$上Green和Tao在交换（$U^2$）情形下的算术正则引理的一个简单的阐述和证明.这对于那些只需要引理的$U^2$情况的人来说可能很有用，因为一般情况涉及得更多。它也可以作为一般情况的介绍。没有原创性。
Patterns of primes in arithmetic progressions
我们证明了对于任意m>0，存在m个连续素数的有界模式，即m个不同的非负整数h_i（i= 1，2，.）m）使得它的平移包含任意长（有限）的等差数列。更确切地说，自然数分量n+h_i（i= 1，2，. m）是包含任意长（有限）等差数列的连续素数。此外，满足此性质的m元组的集合表示所有m元组的正比例。本文的结果是Green-Tao（关于任意长等差数列的存在性）和Maynard/Tao（关于无穷多个有界m个素数块的存在性，其中m是任意自然数）的结果的推广.它还推广了作者的工作，该工作首次证明了存在无穷多个Polignac数，并且它们包含任意长（有限）的等差数列（arXiv：1305.6289v1，2013年5月27日），这是上述Green-Tao和Zhang的结果（关于素数之间存在无穷多个有界间隙）的共同推广。
Szemerédi's theorem in the primes
格林和陶在2005年证明了一个著名的定理：任何固定正密度的素数子集都包含任意长的等差数列。格林以前曾证明，事实上任何子集的素数的相对密度趋于零足够缓慢地包含一个3长期长期进展。随后是Helfgott和de Roton以及Naslund的工作，他们改进了3项级数情况下相对密度的界限。本文的目的是通过将Conlon、Fox和Zhao给出的相对Szemerédi定理的量化版本与Henriot对包络筛重的估计相结合，为更长的级数给出一个类似的结果。
Asymptotics for some polynomial patterns in the primes
我们证明了渐近公式的形式$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}^d\cap K}\prod_{i=1}^tF_i(ψ_i(n)), $$ $K$是凸体，每个$F_i$是冯Mangoldt功能或二次型的表示功能，和$Ψ=(ψ_1,\ldots,ψ_t)$是一个系统的线性形式的有限复杂性。当所有的函数$F_i$都等于von Mangoldt函数时，我们恢复了Green和Tao的一个结果，而当它们都是二次型的表示函数时，我们恢复了Matthiesen的一个结果.我们的公式暗示了一些多项式模式在素数中的渐近性。具体来说，他们描述的渐近行为的数量$k$长期等差数列的素数的公差是一个总和的两个平方。文章结合成分的工作绿色和陶的线性方程组的素数和马蒂森之间的线性相关整数表示的二次形式。为了使冯Mangoldt函数与二次型的表示函数兼容，我们为两者提供了一个新的伪随机优势-每个函数的已知优势的平均值-并证明它具有所需的伪随机特性。
Arithmetic progressions of primes in short intervals
格林和陶证明了素数包含任意长的等差数列。我们表明，本质上相同的证明导致以下结果：在一个短的时间间隔的素数包含许多等差数列的任何给定的长度。
Improved quadratic Gowers uniformity for the Möbius function
我们证明了$$\|μ\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$ $$\|Λ- Λ_Q\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$对于任何$A > 0$，其中$Λ_Q$是von Mangoldt函数的近似，并将在下面定义，改进Tao-Teräväinen（2021）的界。因此，除其他事项外，我们有以下内容：$$\mathbb{E}_{x, y \in [N], x + 3y \in [N]} Λ(x)Λ(x + y)Λ(x + 2y)Λ(x + 3y) = \mathfrak{S} + O_A(\log^{-A}(N))$$其中$\mathfrak{S}$是配置$(x, x + y, x + 2y, x + 3y)$的奇异系列。事实上，我们证明了$$\|μ- μ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$ $$\|Λ- Λ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$，其中$μ_{Siegel}$和$Λ_{Siegel}$分别是$μ$和$Λ$的近似，表示$μ$的西格尔零贡献，并在上面的文章中定义。为此，我们使用了Sanders对$U^3$逆定理的改进，…
Primes in Tuples of Linear Forms in Number Fields and Function Fields
本文将 Maynard-Tao 定理推广至数域与函数域中任意首项系数的线性形式可容许元组，并给出若干应用。
A Quantitative Result on Diophantine Approximation for Intersective Polynomials
在这个简短的说明中，我们密切关注的方法，绿色和陶延长最知名的界递归模1从平方到最大可能类的多项式。本文最后简要讨论了这一结果的多项式结构和方法的局限性的后果。
Quantitative bounds in the nonlinear Roth theorem
我们证明了存在$c>0$，使得密度至少为$(\log\log{N})^{-c}$的$\{1, \dots, N\}$的任何子集包含$x,x+y,x+y^2$形式的非平凡级数。这是第一个定量有效版本的伯格森-莱布曼多项式Szemerédi定理的进展涉及多项式的不同程度。我们的关键创新是一个逆定理特征集的配置$x,x+y,x+y^2$的数量大大偏离期望值。在证明这一点，我们开发的第一个有效的例子的级联定理的陶和齐格勒，多项式的界限。
A non-flag arithmetic regularity lemma and counting lemma
本文提出了一个不依赖旗形条件的算术正则引理和计数引理，适用于所有线性形式系统，推广了Green和Tao的经典结果。
On the number of three-term arithmetic progressions in a dense subset of $F_q^n$
设$q$是奇素数幂。结合Varnavides的讨论和Ellenberg和Gijswijt最近的一个定理，我们证明了一个子集$A\subset{\mathbb F}_q^n$将包含许多非平凡的三项等差数列，每当$|A|\geq (c_q q)^n$为一些常数$c_q>0$。在我们的初稿上传到arXiv后，我们从Jacob Fox和Terence Tao教授那里得知，我们的结果是Fox和Lovasz [1，定理3]结果的一个特例。事实上，[1，定理3]给出了一个比我们更好的界。例如，当$q=3$时，Fox和Lovasz给出的下界是$|A|^{2}\cdot (|A|q^{-n})^{11.901}$，而我们的下限是$|A|^{2}\cdot (|A|q^{-n})^{25.803}$。我们感谢Jacob Fox教授和Terence Tao教授对我们的手稿提出的有益意见。[1]Jacob Fox，László Miklós Lovász，A tight bound for Green's arithmetic triangle removal lemma in vector spaces，preprint，arXiv：1606.01230.
Correlations of the divisor function
本文利用Green和Tao提出的方法研究了除数函数τ（n）= sum_{d|n} 1的线性相关性。例如，我们获得了sum_{n,d} tau（n）tau（n+d）.τ（n+（k-1）d）。
An improved $L^2$ restriction theorem in finite fields
本文将有限域 Stein–Tomas 型 $L^2$ 限制定理中 Fourier 变换的一致界改为 $L^p$ 界，从而在多种情形下扩展 Mockenhaupt–Tao 指数范围，并给出 Sidon 集与 Hamming 簇应用。
A higher-dimensional Siegel-Walfisz theorem
格林-陶-齐格勒定理提供了当$n$在凸体$K\subset [-N,N]^d$的整数向量之间的范围内时$(ψ_1(n),\ldots,ψ_t(n))$形式的素数元组的数量的渐近性，并且$Ψ=(ψ_1,\ldots,ψ_t)$是其线性系数保持有界（根据$N$）的仿射线性形式的系统。在$t=1$的情况下，Siegel-Walfisz定理表明，当系数像$\log N$的幂一样变化时，渐近仍然成立。我们证明了这一事实的一个高维（即$t>1$）版本。我们提供了自然的例子，我们的定理超越了一个绿色和陶，如计数的算术级数的步骤$\lfloor \log N\rfloor$倍的素数在素数高达$N$。我们也适用于我们的定理的数量的线性模式在一个密集的素数子集，即素数$p$的$p-1$是squarefree的渐近确定。据我们所知，这是第一个这样的结果密集子集的素数保存的同余类。
A Multidimensional Szemerédi Theorem in the primes
本文证明素数多维组中任意有限集均存在仿射副本，推广了Green-Tao定理，其通过非均匀超图伪随机权重系统并扩展超图移除引理证明完成。
Arithmetic progressions in multiplicative groups of finite fields
设$G$是素数域$\mathbb F_p$的一个乘法子群，其大小为$|G|> p^{1-κ}$，$r$是一个任意固定的正整数.假设$κ=κ(r)>0$和$p$足够大，它表明，任何比例子集$A\subset G$包含长度为$r$的非平凡等差数列。主要成分是Szemerédi-Green-Tao定理。
The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes
一个著名的定理Szemerédi断言，所有子集的整数正上密度将包含任意长的等差数列。这个深刻的定理有许多不同的证明，但它们都基于结构和随机性之间的基本二分法，这反过来又导致（粗略地说）任何对象分解为结构化（低复杂性）组件和随机（不相关）组件。这些类型的分解的重要例子包括Furstenberg结构定理和Szemerédi正则性引理。这种二分法的一个最近的应用是格林和陶的结果，他们建立了素数包含任意长的等差数列（尽管整数的密度为零）。这种二分法的力量可以从以下事实中得到证明：格林-陶定理几乎不需要解析数论的技术，而是几乎完全依赖于这种二分法的表现形式，如塞梅雷迪定理。在本文中，我们调查的二分法在组合学，调和分析，遍历论，和数论的各种表现。正如我们希望在此强调的那样，这些论点的基本主题非常相似，尽管背景截然不同。
Two averaged dynamical generalizations of Chowla's conjecture
该研究针对平均意义下的Chowla猜想给出动力学推广，借鉴Qi与Zheng在不可约二元三次型上的相关方法，证明了平均意义下的动力学Chowla猜想，还得到了素数序列上的类似结论。
A consequence of the factorisation theorem for polynomial orbits on nilmanifolds
我们讨论的后果绿色和陶的分解定理多项式轨道的nilmanifold，调整的要求，某些算术应用。更确切地说，我们证明了定理16.4的推广，Acta Arith。154（2012），235-306，通过稍微重新安排它的证明。这样加强了结果，消除了上述论文中的一个疏忽，这是由于以前的结论太弱而造成的。由于这种类型的结果被证明是必要的进一步的应用，我们借此机会更详细地讨论它。
Orthogonality of the Möbius function to polynomials with applications to Linear Equations in Primes over $\mathbb{F}_p[x]$
本文证明了Möbius函数与多项式的正交性，并以此计数$\mathbb{F}_p[x]$中仿射线性方程的素数解，类比Green和Tao的工作。
Almost arithmetic progressions in the primes and other large sets
格林和陶的一个著名而深刻的结果指出，素数包含任意长的等差数列。在本文中，我提供了一个简单的论证，证明素数任意地接近任意长的等差数列。这一论点也适用于Erdens-Turán意义上的“大集合”。这个证明很简短，完全独立，目的是给出一个启发式的解释，为什么素数和其他大集合具有算术结构。
Rigidity Theorems for Multiplicative Functions
我们建立了几个预期的一般现象的结果，给定一个乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$，$f(n)$和$f(n+a)$的值是“一般”独立，除非$f$是一个“特殊”的形式。首先，我们分类所有有界完全乘性函数，其连续值之间具有一致的大差距。这就意味着解决了下面的一个猜想：对于任何完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{T}$，我们有$$\liminf_{n\to\infty}|f(n+1)-f(n)|=0.$$。丘达科夫[《ICM行为》（{N}ice，1970），{T}。1，p.487]，它指出任何完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$：a）只取1000个值，b）只在1000个素数处为零，c）有界偏差，是狄利克雷特征标。这推广了以前的工作陶的Erdés离散问题。最后，我们表明，如果许多的二元相关的1-有界乘法函数是渐近等于一个狄利克雷字符$χ$模$q$然后$f(n) = χ'(n)n^{it}$的所有$n$，其中$χ'$是一个狄利克雷字符模$q$和$t \in \mathbb{R}$。这建立了H.乘性算术函数。主要成分包括工作陶对数埃利奥特猜想，相关公式为\emph{pretentious}乘性函数的第一作者和Szemeredi定理长期算术级数。
Strings of special primes in arithmetic progressions
格林-陶定理是现代数论中最著名的定理之一，它指出存在任意长的素数的等差数列。在一个相关但不同的方向，最近的一个定理萧证明，存在任意长的字符串的连续素数躺在任何等差数列，其中包含无限多个素数。本文利用Shiu和Maier的技巧，将Shiu定理推广到素数的某些子集，如$\lfloor πn\rfloor$形式的素数和算术密度为零的某些子集，如$\lfloor n\log\log n\rfloor$形式的素数.
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