A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes
陶解释说，$\mathcal{P}^d$的每个稠密子集，素数的$d$元组，包含任何给定形状的星座。最近，库克、马扎尔和提提切特拉昆证明了这一点，陶和齐格勒也独立证明了这一点。在这里，我们给出了一个简单的证明使用格林-陶定理的线性方程在素数和Furstenberg-Katznelson多维Szemerédi定理。
2014-06-25 math.CO math.NT
Orchards in elliptic curves over finite fields
考虑平面上的一组$ n $点。恰好包含$ n $点中的$ 3 $的线称为富含$ 3 $的线。经典的果园问题要求平面上的$ n $点的配置最大化$ 3 $丰富的线的数量。本文利用有限域上椭圆曲线的群律，给出了几个果园的群模型，其中$ 3 $ -富线的数目与Green-Tao（或Burr，Grünbaum和Sloane）公式给出的最大线数的期望数目一致.利用有限域上的椭圆曲线，我们还证明了存在无穷多个点-线构型，其富含$ 3 $的线的数目比Green-Tao公式给出的期望数目多两个，这是除了富含$ 3 $的线的数目与Green-Tao公式一致的情况之外唯一的另一种最优可能性.
2020-09-01 math.CO math.NT
Arithmetic structures in random sets
我们扩展两个著名的结果在加性数论，Sárközy定理的平方差在稠密集和一个定理的绿色长等差数列的和集，子集的随机集的渐近密度为0。我们的证明依赖于限制型傅立叶分析的绿色和绿色陶参数。
2007-03-26 math.CO math.NT
Asymptotics for Magic Squares of Primes
本文在Green，Tao和Ziegler的工作基础上，给出了当$N \to \infty$对$[0,N]$中元素为素数的$n \times n$幻方个数的渐近性.对于每一个$n \ge 3$，我们给适当的系统的线性形式（或等价的基础）描述所有$n \times n$幻方与整数条目，我们计算这些系统的复杂性在绿色和陶的意义。我们计算了$n=3$（复杂度3）和$n=4$（复杂度1）的精确渐近性，给出的算法适用于$n \ge 5$（复杂度1）.最后，我们表明，渐近是完全相同的，如果我们强加的所有条目的幻方必须是不同的。
2012-07-17 math.CO math.NT
Periodic nilsequences and inverse theorems on cyclic groups
由Green、Tao和Ziegler证明的Gowers范数的逆定理适用于区间$[M]$上的函数。Canadian和Sisask最近的一篇论文要求在应用于$N$ -周期函数时得出更强的结论;具体地说，相应的零序列在强意义上也应该是$N$ -周期的。在大多数情况下，这一结果是隐含的工作塞格迪（和卡马雷纳和塞格迪）的逆定理。这一推论在Canadian和Sisask的论文中给出。在这里，我们给出了一个替代的证明，它只使用格林-陶-齐格勒逆定理作为一个黑盒子。结果也稍微强一些，从语句中删除了一个技术条件。证明中心围绕着一个一般的建设范畴的nilsequences和nilmanifold，这可能是一些独立的利益。
2014-04-30 math.CO math.NT
Sublattices of finite index
在有限参数$s$的Gowers逆猜想和Möbius猜想的假设下，Green-Tao证明了Dickson猜想对于复杂度至多为$s$的线性映射的格的猜想.本文将Green-Tao定理推广到Dickson猜想上，证明了：若$L$是复杂度为$s$的线性映射的值域，而$L_1$是$L$的有限指数子格，则$L_1$是复杂度为$s$的线性映射的值域.
2007-01-05 math.NT
An arithmetic transference proof of a relative Szemerédi theorem
最近，康伦、福克斯和作者给出了一个相对的塞梅雷迪定理的新证明，这个定理是著名的格林-陶定理证明的主要新成分，格林-陶定理证明素数包含任意长的等差数列。粗略地说，一个相对的Szemerédi定理说，如果S是满足一定条件的整数集合，A是S的一个具有正相对密度的子集，那么A包含长等差数列，我们最近的结果表明S只需要满足一个所谓的线性型条件。本注记包含新的相对Szemerédi定理的另一种证明，其中我们直接转移Szemerédi定理，而不是通过超图移除引理。这种方法提供了一种更直接的途径来建立结果，并且它给出了更好的定量界限。证明有三个主要成分：（1）Green-Tao和Tao-Ziegler的迁移原理/稠密模型定理（Gowers后来给出了简化的证明，Reingold-Trevisan-Tulsiani-Vadhan独立地给出了证明）应用了差异/割型范数（而不是一个高尔斯一致性规范，因为它是适用于早期的作品），（2）计数引理建立的康伦，福克斯，和作者，（3）Szemerédi定理是一个黑箱。
2013-10-30 math.CO math.NT
Linear correlations of multiplicative functions
证明了乘性函数的一个Green-Tao定理。
2019-11-03 math.NT
On sumsets in ${\Bbb F}_2^n$
设${\Bbb F}_2$是二元有限域，${\Bbb F}_2^n$是${\Bbb F}_2$上的维数为$n$的向量空间.对于集合$A,\,B\subseteq{\Bbb F}_2^n$，它们的和集被定义为所有$a+b$与$a\in A,\,b\in B$的成对和的集合。Ben Green和Terence Tao证明了，设$K\geq 1$，如果$A,\,B\subseteq{\Bbb F}_2^n$和$|A+B|\leq K|A|^{1\over 2}|B|^{1\over 2}$，则存在一个具有$$ |H|\gg\exp(-O(\sqrt{K}\log K))|A| $$和$x,\,y\in{\Bbb F}_2^n$的子空间$H\subseteq{\Bbb F}_2^n$，使得$$ |A\cap(x+H)|^{1\over 2}|B\cap(y+H)|^{1\over 2}\geq{1\over 2K}|H|. $$在本文中，我们将使用Green和Tao的方法并作一些修改来证明，如果$$ |H|\gg\exp(-O(\sqrt{K}))|A|, $$，则上述结论仍然成立.
2012-05-26 math.CO math.NT
Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms
(This文本是一个调查写的布尔巴基研讨会的工作F。礼貌。）高尔斯一致性范数是高阶傅里叶分析的中心对象，是加法组合学的基石之一，并且在高尔斯对塞梅雷迪定理和格林-陶定理的证明中起着重要作用。逆定理指出，如果一个函数有一个大的一致性范数，这是一个强大的结构组合测度，那么它必须与一个零序列相关，这是一个高度结构化的代数对象。格林、陶和齐格勒在定性意义上证明了这一点，但证明无法提供合理的界限。在2018年，Manners通过给出逆定理的新证明实现了突破。这个新的证明不仅包含了丰富的新见解，而且它还首次提供了数量上的界限，在最坏的情况下，只有双指数。本次演讲将给出一个高层次的概述逆定理说什么，为什么它是重要的，和新的证明方式。
2020-09-03 math.CO math.NT
Norm forms for arbitrary number fields as products of linear polynomials
设K/Q是有限次的域扩张，P（t）是Q上的多项式，可分解为Q上的线性因子.我们证明了由方程N_{K/Q}（k）= P（t）定义的仿射簇的任何光滑模型满足Hasse原理和弱逼近，只要Brauer-Manin阻塞为空.我们的证明是基于一个组合的方法，从添加剂组合由于绿陶和绿陶齐格勒，连同应用的下降理论的Colliot-Thélène和Santiago。
2016-09-07 math.AG math.NT
Generalized Fourier coefficients of multiplicative functions
我们介绍并分析了一般类不一定有界的乘性函数，其中的例子包括功能$n \mapsto δ^{ω(n)}$，其中$δ\neq 0$和$ω$计数的数目不同的素因子的$n$，以及功能$n \mapsto |λ_f(n)|$，其中$λ_f(n)$表示的傅里叶系数的原始全纯尖点形式。对于这类功能，我们表明，应用后的“$W$技巧”，他们的元素成为正交多项式nilsequences。由此产生的功能，因此有小的一致性规范的所有订单的绿色-陶-齐格勒逆定理，一个后果，将用于在一个单独的文件，以渐近评估线性相关性的乘性函数从我们的类。我们的结果推广了格林和陶关于莫比乌斯函数的工作。
2017-11-07 math.CO math.DS math.NT
On Sums of Sets of Primes with Positive Relative Density
本文证明了如果$A$是具有正相对密度$δ$的素数子集，则$A+A$在$\mathbb{N}$中必有正上密度$C_1δe^{-C_2(\log(1/δ))^{2/3}(\log\log(1/δ))^{1/3}}$.我们的论点适用的技术开发的绿色和绿色陶用来找到等差数列的素数，结合结果的总和子集的乘法分组的整数模$M$。
2010-12-14 math.CO math.NT
Szemerédi's theorem in the primes
格林和陶在2005年证明了一个著名的定理：任何固定正密度的素数子集都包含任意长的等差数列。格林以前曾证明，事实上任何子集的素数的相对密度趋于零足够缓慢地包含一个3长期长期进展。随后是Helfgott和de Roton以及Naslund的工作，他们改进了3项级数情况下相对密度的界限。本文的目的是通过将Conlon、Fox和Zhao给出的相对Szemerédi定理的量化版本与Henriot对包络筛重的估计相结合，为更长的级数给出一个类似的结果。
2017-09-14 math.CO math.NT
Arithmetic progressions of primes in short intervals
格林和陶证明了素数包含任意长的等差数列。我们表明，本质上相同的证明导致以下结果：在一个短的时间间隔的素数包含许多等差数列的任何给定的长度。
2007-05-01 math.NT
Improved quadratic Gowers uniformity for the Möbius function
我们证明了$$\|μ\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$ $$\|Λ- Λ_Q\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$对于任何$A > 0$，其中$Λ_Q$是von Mangoldt函数的近似，并将在下面定义，改进Tao-Teräväinen（2021）的界。因此，除其他事项外，我们有以下内容：$$\mathbb{E}_{x, y \in [N], x + 3y \in [N]} Λ(x)Λ(x + y)Λ(x + 2y)Λ(x + 3y) = \mathfrak{S} + O_A(\log^{-A}(N))$$其中$\mathfrak{S}$是配置$(x, x + y, x + 2y, x + 3y)$的奇异系列。事实上，我们证明了$$\|μ- μ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$ $$\|Λ- Λ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$，其中$μ_{Siegel}$和$Λ_{Siegel}$分别是$μ$和$Λ$的近似，表示$μ$的西格尔零贡献，并在上面的文章中定义。为此，我们使用了Sanders对$U^3$逆定理的改进，…
2023-03-20 math.CA math.CO math.NT
Quantitative disjointness of nilflows from horospherical flows
我们证明了一个定量的变种的不相交定理的零流从horosphere流Venkatesh技术，结合零流的结构定理的绿色，陶和齐格勒。
2019-10-10 math.DS math.NT
A Quantitative Result on Diophantine Approximation for Intersective Polynomials
在这个简短的说明中，我们密切关注的方法，绿色和陶延长最知名的界递归模1从平方到最大可能类的多项式。本文最后简要讨论了这一结果的多项式结构和方法的局限性的后果。
2014-04-21 math.CA math.CO math.NT
A non-flag arithmetic regularity lemma and counting lemma
本文提出了一个不依赖旗形条件的算术正则引理和计数引理，适用于所有线性形式系统，推广了Green和Tao的经典结果。
2022-09-28 math.CO math.DS math.NT
Patterns without a popular difference
哪些有限集$P \subseteq \mathbb{Z}^r$与$|P| \ge 3$具有以下性质：对于每个$A \subseteq [N]^r$，存在某个非零整数$d$使得$A$包含$d \cdot P = \{d p : p \in P\}$的$(α^{|P|} - o(1))N^r$平移，其中$α= |A|/N^r$？Green表明所有3点$P \subseteq \mathbb{Z}$都具有上述性质。Green和Tao证明了形式为$P = \{a, a+b, a+c, a+b+c\} \subseteq \mathbb{Z}$的4点集也具有该性质。我们证明了没有其他集合具有上述性质。此外，对于各种$P$，我们提供了新的上限上的数量的$d \cdot P$，可以保证找到的翻译。
2021-07-30 math.CO math.NT
A relative Szemerédi theorem
著名的格林-陶定理指出素数中存在任意长的等差数列。其中一个主要成分在他们的证明是一个相对Szemerédi定理说，任何子集的伪随机集的整数正相对密度包含长期等差数列。在本文中，我们给出了一个简单的证明加强相关Szemerédi定理，表明一个弱得多的伪随机性条件是足够的。我们的加强版本可以应用于给出密度为$N^{-c_k}$的$\mathbb{Z}_N$的伪随机子集中的$k$项等差数列的第一相对Szemerédi定理。在我们的证明中的关键组成部分是稀疏伪随机超图的正则性方法的扩展，我们相信这是有趣的。由此我们得到了超图移除引理的一个相对推广。这是一个加强早期的定理所使用的陶在他的证明，高斯素数包含任意形状的星座，并通过标准的论点，使我们能够推导出相对Szemerédi定理。
2014-11-25 math.CO math.NT
A higher-dimensional Siegel-Walfisz theorem
格林-陶-齐格勒定理提供了当$n$在凸体$K\subset [-N,N]^d$的整数向量之间的范围内时$(ψ_1(n),\ldots,ψ_t(n))$形式的素数元组的数量的渐近性，并且$Ψ=(ψ_1,\ldots,ψ_t)$是其线性系数保持有界（根据$N$）的仿射线性形式的系统。在$t=1$的情况下，Siegel-Walfisz定理表明，当系数像$\log N$的幂一样变化时，渐近仍然成立。我们证明了这一事实的一个高维（即$t>1$）版本。我们提供了自然的例子，我们的定理超越了一个绿色和陶，如计数的算术级数的步骤$\lfloor \log N\rfloor$倍的素数在素数高达$N$。我们也适用于我们的定理的数量的线性模式在一个密集的素数子集，即素数$p$的$p-1$是squarefree的渐近确定。据我们所知，这是第一个这样的结果密集子集的素数保存的同余类。
2016-07-22 math.NT
Sparse $k$-AP Covering Sets and the Arithmetic Kakeya Conjecture
Harvard University（哈佛大学）
该研究否定了Kiss等人关于k-AP覆盖集的猜想，证明k≥6时存在满足特定密度界的k-AP覆盖集，并将该问题与算术Kakeya猜想建立关联。
2026-09-03 math.CO math.NT
A Multidimensional Szemerédi Theorem in the primes
本文证明素数多维组中任意有限集均存在仿射副本，推广了Green-Tao定理，其通过非均匀超图伪随机权重系统并扩展超图移除引理证明完成。
2023-09-09 math.NT
An inverse theorem for the Gowers $U^3$-norm relative to quadratic level sets
该研究证明了有限向量空间高秩二次水平集上Gowers $U^3$-范数的有效逆定理，可用于密度增量论证，得到Brauer四元组Ramsey数指数界等结果，为相关组合数论问题提供新方法。
2024-09-12 math.CO math.NT
Polylogarithmic bounds in the nilpotent Freiman theorem
证明了若$A$是$s$ -步幂零群的有限$K$ -近似子群，则存在一个有限正规子群$H\subset A^{K^{O_s(1)}}$模，其中$A^{O_s(\log^{O_s(1)}K)}$包含秩至多为$O_s(\log^{O_s(1)}K)$且大小至少为$\exp(-O_s(\log^{O_s(1)}K))|A|$的幂零级数.这部分地推广了Sanders在阿贝尔情形下得到的接近最优的界，改进了该界，简化了对作者早先一个结果的阐述.结合Breuillard-Green，Breuillard-Green-Tao，Gill-Helfgott-Pyber-Szabó和作者的结果，改进了剩余幂零群和某些有界度线性群中Freeman型定理的秩界.
2019-10-01 math.CO math.GR math.NT
Quasipolynomial bounds on the inverse theorem for the Gowers $U^{s+1}[N]$-norm
本文证明了Gowers $U^{s+1}[N]$-范数逆定理的拟多项式界，证明借鉴Green、Tao和Ziegler的框架并利用第一作者关于零序列等分布的新结果，可用于改进Szemerédi定理的界。
2024-08-10 math.CO math.DS math.NT
Improved Bounds for Szemerédi's Theorem
本文利用Gowers $U^k$范数逆定理的拟多项式界和密度增量策略，改进了$k\ge5$时无$k$项等差数列集合的上界。
2024-02-29 math.CO math.NT
Linear forms and quadratic uniformity for functions on $\mathbb{F}_p^n$
本文对文献[GW 09]中的定理给出了改进的界，证明了在$\mathbb{F}_p^n$的任意线性一致子集中，具有线性无关平方的$\mathbb{F}_p^n$上的线性型组具有期望的解数.而在[GW 09]的依赖性之间的一致性的设置和由此产生的误差的平均超过线性系是塔型，我们现在得到的两个参数之间的双指数关系。代替格林和陶[GrT 08]的有界函数的结构定理，我们使用Hahn-Banach定理将函数分解为二次结构加上二次一致部分。这种新的分解更有效地利用了$U^3$逆定理[GrT 08]。
2010-02-10 math.CO math.NT
Convergence results for systems of linear forms on cyclic groups, and periodic nilsequences
给定正整数$N$和实数$α\in [0, 1]$，令$m(α,N)$表示在所有大小至少为$αN$的集合$A\subset \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上，包含在$A$中的3项算术级数的归一化计数的最小值。Croot的一个定理指出$m(α,N)$通过素数收敛为$N\to\infty$，回答了Green的一个问题。利用高阶傅立叶分析的最新进展，我们证明了这一定理的扩展，结果表明，持有$k$ -长期级数一般$k$，并进一步为所有系统的整数线性型的有限复杂性。对于线性方程组无解集的最大密度，我们也得到了类似的收敛结果。这些结果依赖于一个正则性方法的功能有限循环群，我们框架内的周期nilsequences，特别是使用一些规律性的结果Szegedy（依靠他的联合工作与Camarena）和equidistribution结果的绿色和陶。
2014-09-10 math.CO math.NT
A consequence of the factorisation theorem for polynomial orbits on nilmanifolds
我们讨论的后果绿色和陶的分解定理多项式轨道的nilmanifold，调整的要求，某些算术应用。更确切地说，我们证明了定理16.4的推广，Acta Arith。154（2012），235-306，通过稍微重新安排它的证明。这样加强了结果，消除了上述论文中的一个疏忽，这是由于以前的结论太弱而造成的。由于这种类型的结果被证明是必要的进一步的应用，我们借此机会更详细地讨论它。
2015-09-20 math.NT
Linear patterns of prime elements in number fields
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
研究数字段中一次多项式同时取素数值的结构，应用包括有理点哈塞原理和椭圆曲线秩构造，推翻广义希策诺夫第十问题的肯定回答。
2026-03-12 math.AG math.CO math.NT
A transference principle for systems of linear equations, and applications to almost twin primes
转移原则的绿色和陶使各种作者转移塞梅雷迪定理长期等差数列在密集集的各种稀疏集的整数，主要是稀疏集的素数。在本文中，我们提供了一个转移原则，适用于一般的仿射线性配置的有限复杂性。我们说明了广泛的适用性，我们的迁移原则的情况下，几乎孪生素数，我们的意思是陈素数或“有界间隙素数”，以及与情况下的素数的形式$x^2+y^2+1$。因此，我们表明，在这些素数的集合中，有限复杂性的线性方程系统的解的存在性是由自然局部条件决定的。这些应用程序依赖于最近的工作的最后两个作者的Bennieri-Vinogradov型估计的nilsequences。
2022-04-29 math.NT
On arithmetic progressions in nullspaces of integer matrices
受Erdös-Turan猜想的启发，我们考虑包含无限多个任意给定长度的算术级数（AP）的自然数的子集-这样的集合将被称为AP-集，并且我们知道由于Green-Tao定理和Schummeredis定理，素数和正上密度的所有子集都是AP-集。我们证明了（1，1，...，1)是方程Mx = 0的解，其中M是整数矩阵，其零空间的维数至少为2，当且仅当该方程有无穷多个解，使得每个解的坐标都是同一AP中的元素。这给了我们一个新的算术特征的AP-集，即他们是有无穷多个解决方案的齐次线性方程组，每当列的总和为零的集合。
2011-06-15 math.NT
