The distribution of polynomials over finite fields, with applications to the Gowers norms
本文研究了素数阶固定有限域F上多元有界次数多项式的均匀分布性质。我们的主要结果是：多项式P：F^n -> F是差分布的，仅当P由几个低次多项式的值决定，在这种情况下，我们称P具有小秩。我们给出了这个结果的几个应用，特别注意的后果，所谓的高尔斯规范的理论。我们建立了f（x）= e_F（P（x））的Gowers U^{d+1}-范数的一个逆结果，其中P：F^n -> F是一个小于F的次数的多项式，证明了这个范数只有当f与e_F（Q（x））相关时才是大的，对于某个次数至多为d的多项式Q：F^n -> F.不能完全删除要求deg（P）< |F|。事实上，我们证明了当d = 3和deg（P）=4时，上述主张在特征2中失败，这表明F_2 ^n中的四次对称多项式S_4具有大的Gowers U^4-范数，但与任何三次多项式都不强相关。这表明，低特征的Gowers范数理论并不像以前所认为的那样简单。这个反例也被洛维特、梅舒拉姆和萨莫罗德尼茨基独立发现。最后，我们的主要结果的其他应用，包括一个递归结果和某种类型的nullstellenbrand。
2007-11-20 math.CO math.NT
Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms
(This文本是一个调查写的布尔巴基研讨会的工作F。礼貌。）高尔斯一致性范数是高阶傅里叶分析的中心对象，是加法组合学的基石之一，并且在高尔斯对塞梅雷迪定理和格林-陶定理的证明中起着重要作用。逆定理指出，如果一个函数有一个大的一致性范数，这是一个强大的结构组合测度，那么它必须与一个零序列相关，这是一个高度结构化的代数对象。格林、陶和齐格勒在定性意义上证明了这一点，但证明无法提供合理的界限。在2018年，Manners通过给出逆定理的新证明实现了突破。这个新的证明不仅包含了丰富的新见解，而且它还首次提供了数量上的界限，在最坏的情况下，只有双指数。本次演讲将给出一个高层次的概述逆定理说什么，为什么它是重要的，和新的证明方式。
2020-09-03 math.CO math.NT
Parseval-type identities for Gowers uniformity norms in finite abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中的 Gowers 一致性范数，利用特征立方的正交关系，导出了广义 Gowers 一致性范数的 Parseval 型等式与等距同构。
2025-08-12 math.CO
Multidimensional polynomial patterns over finite fields: bounds, counting estimates and Gowers norm control
本文研究了有限域上涉及线性无关多项式的多维多项式递进，证明了幂次节省界限，并通过定量 PET 归纳、Gowers 盒范数拼接、平滑技术和多维降次论证，为两两独立多项式实现了 Gowers 范数控制。
2024-04-23 math.CO math.NT
Parallelepipeds, Nilpotent Groups, and Gowers Norms
在Szemeredi定理的证明中，Gowers引入了定义在平行六面体结构上的某些规范。一个自然的问题是在哪些集合上可以定义一个平行六面体结构（以及一个Gowers范数）。我们专注于2和3维，并显示当这可能的，并描述了平行六面体结构幂零群之间的对应关系。
2006-05-31 math.CO math.DS
Quasipolynomial bounds on the inverse theorem for the Gowers $U^{s+1}[N]$-norm
本文证明了Gowers $U^{s+1}[N]$-范数逆定理的拟多项式界，证明借鉴Green、Tao和Ziegler的框架并利用第一作者关于零序列等分布的新结果，可用于改进Szemerédi定理的界。
2024-08-10 math.CO math.DS math.NT
Structure of finite nilspaces and inverse theorems for the Gowers norms in bounded exponent groups
作者的一个结果表明，有界指数阿贝尔群上的Gowers范数的性质与有限零空间有关。基于此，我们研究了有限零空间的结构。作为应用，我们证明了有界指数阿贝尔群上Gowers范数的逆定理.粗略地说，如果A上的一个函数具有不可忽略的U（k+1）-范数，那么当提升到A的某个阿贝尔群扩张时，它与k次相位多项式相关。这一结果与Tao和Ziegler的一个猜想密切相关。特别是得到了Tao-Ziegler逆定理的一个新证明。
2010-11-04 math.CO
On generalizations of Gowers norms and their geometry
受Gowers一致性规范定义的启发，我们引入并研究了一类广泛的规范。我们的目标是建立它们作为$L_p$规范的自然推广。我们将证明这些赋范空间具有$L_p$空间的许多优良性质。这些范数的一些示例是$L_p$范数、当$p$是偶数时的迹范数$S_p$、以及Gowers一致性范数。每一个这样的范数是通过一对加权超图定义的。关于Laszlo Lovasz的一个问题，我们在刻画所有对应于范数的超图对的方向上证明了几个结果。
2009-03-18 math.CO math.FA
An Inverse Theorem for Certain Directional Gowers Uniformity Norms
设$G$是素域$\mathbb{F}_p$上的有限维向量空间，其中包含若干子空间$H_1, \dots, H_k$。设$f \colon G \to \mathbb{C}$为函数。推广了Gowers一致性范数的概念，Austin引入了$f$在$(H_1, \dots, H_k)$上的方向Gowers一致性范数为\[\|f\|_{\mathsf{U}(H_1, \dots, H_k)}^{2^k} = \mathbb{E}_{x \in G,h_1 \in H_1, \dots, h_k \in H_k} \partial_{h_1} \dots \partial_{h_k} f(x)\]，其中$\partial_u f(x) \colon= f(x + u) \overline{f(x)}$是离散乘法导数。设$G$是子空间$G = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_k$的直和。本文证明了范数\[\|\cdot\|_{\mathsf{U}(U_1, \dots, U_k, \smash[b]{\underbrace{\scriptstyle G, \dots, G}_{\scriptscriptstyle \ell}})},\]的逆定理，这是方向Gowers一致性范数的逆问题中最简单有趣的未知情形。也就是说，写作$\|\cdot\|_{\mat…
2021-03-10 math.CO math.NT
Improved quadratic Gowers uniformity for the Möbius function
我们证明了$$\|μ\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$ $$\|Λ- Λ_Q\|_{U^3([N])} \ll_{A}^{\text{ineff}} \log^{-A}(N)$$对于任何$A > 0$，其中$Λ_Q$是von Mangoldt函数的近似，并将在下面定义，改进Tao-Teräväinen（2021）的界。因此，除其他事项外，我们有以下内容：$$\mathbb{E}_{x, y \in [N], x + 3y \in [N]} Λ(x)Λ(x + y)Λ(x + 2y)Λ(x + 3y) = \mathfrak{S} + O_A(\log^{-A}(N))$$其中$\mathfrak{S}$是配置$(x, x + y, x + 2y, x + 3y)$的奇异系列。事实上，我们证明了$$\|μ- μ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$ $$\|Λ- Λ_{Siegel}\|_{U^3([N])} \ll \exp(-O(\log^{1/C}(N)))$$，其中$μ_{Siegel}$和$Λ_{Siegel}$分别是$μ$和$Λ$的近似，表示$μ$的西格尔零贡献，并在上面的文章中定义。为此，我们使用了Sanders对$U^3$逆定理的改进，…
2023-03-20 math.CA math.CO math.NT
Uniformity norms, their weaker versions, and applications
我们表明，在一些温和的假设下，Gowers一致性规范（无论是在添加剂和超图设置）基本上是等价的某些较弱的规范，更容易理解。我们提出了两个应用程序的等价性：一个变种的Koopman-冯诺依曼分解，并证明了相对逆定理的Gowers $U^s[N]$ -范数使用的范数型伪随机性条件。
2022-06-09 math.CO math.NT
Inverse Conjecture for the Gowers norm is false
设$p$是一个固定的素数，$N$是一个大整数。“Gowers范数的逆猜想”指出，如果函数$f:\F_p^N \to \F_p$的“$d$次Gowers范数”不可忽略，即大于与$N$无关的常数，则$f$可以通过次数$d-1$多项式非平凡地近似。已知该猜想对$d=2,3$和任何素数$p$都成立。在本文中，我们证明该猜想是假的$p=2$和$d = 4$，提出了一个明确的功能，其第4次Gowers范数是不可忽略的，但其相关性的任何多项式的次数3是指数小。Green和Tao \cite{gt07}独立地获得了基本相同的结果（具有不同的相关性界限）。他们的分析使用了阿隆和贝格尔\cite{ab}的拉姆齐型参数的修改，以显示某些函数的低次多项式的不可逼近性。我们观察到，我们的结果与阿隆和Beigel的参数相结合，意味着逆猜想是假的任何总理$p$，为$d = p^2$。
2008-10-20 math.CO
A point of view on Gowers uniformity norms
Gowers范数已经被广泛研究，无论是在直接意义上，从函数开始并理解相关的范数，还是在反向意义上，从范数开始并推导函数的性质。而不是专注于规范本身，我们研究相关的双重规范和双重功能。结合这项研究的一个变种的Szemeredi正则引理，我们给出了一个分解定理的对偶函数，连接的对偶规范的经典规范，并表明，对偶规范更容易理解比规范本身。利用对偶函数，我们引入了高阶代数，它们是经典傅立叶代数的类似物，这反过来又可以用来进一步刻画对偶函数。
2010-10-13 math.CO math.DS
Quantum Algorithms for Gowers Norm Estimation, Polynomial Testing, and Arithmetic Progression Counting over Finite Abelian Groups
本研究提出有限阿贝尔群上Gowers范数估计的量子算法，推广至任意域与高阶k，应用于多项式测试、等差数列计数，且具噪声鲁棒性，可用于NISQ时代量子属性测试等领域。
2025-08-02 math.CO math.NT quant-ph
The inverse conjecture for the Gowers norm over finite fields in low characteristic
我们建立了\emph{inverse conjecture for the Gowers norm over finite fields}，它断言（粗略地说），如果有限维向量空间$V$上的有限域$\F$上的有界函数$f: V \to \C$具有大的Gowers一致性范数$\|f\|_{U^{s+1}(V)}$，则存在次数至多为$s$的（非经典）多项式$P: V \to \T$，使得$f$与相位$e(P) = e^{2πi P}$相关。这一猜想已经在“高特征情况”中得到证实，此时$\F$的特征至少与$s$一样大。我们的证明依赖于弱形式的逆猜想建立较早的作者和Bergelson，连同新的结果的结构和equidistribution的非经典多项式，在精神的工作绿色和第一作者和考夫曼和洛维特。
2011-09-08 math.CO
Oscillating sequences, Gowers norms and Sarnak's conjecture
证明了存在与拓扑熵为零的动力流类不正交的高阶振荡序列。进一步证明了$d$阶振荡序列与$d$ -维环面$\mathbb{T}^d$上斜积产生的$d$ -零序列正交.证明了任何高阶振荡序列都与具有拟离散谱的拓扑动力系统的任何动力序列正交。然而，我们提供了一个具有大Gowers范数高阶振荡序列的例子。利用Bourgain的双递归论证，我们进一步得到了短区间上默比乌斯函数的平均值的一个新的估计.
2017-10-05 math.CO math.DS math.NT
Estimates for $L^p$ variants of Gowers norms
University of Zagreb（萨格勒布大学）；Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC-UAM-UC3M-UCM（西班牙国家研究委员会-马德里自治大学-马德里理工大学-马德里大学联合数学科学研究所）
本文研究Gowers范数的$L^p$变体，证明尖锐界、刻画近极值函数，建立降次不等式，并证实Bennett-Tao关于对数凸性常数小于1的猜想。
2026-10-15 math.CA math.CO
Gowers norms for automatic sequences
本文证明自动序列可高效分解为结构化部分与 Gowers 一致性部分，并据此得出自动集合中等差数列数量的下界。
2023-05-23 cs.FL math.CO math.DS
A quasipolynomial inverse theorem for the $\mathsf{U}^k(\mathbb{F}_p^n)$ norm in the high characteristic
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院艺术系数学研究所）
本文证明了高特征下 Gowers 范数的拟多项式逆定理，通过建立 Freiman 多同态的结构定理，结合代数正则化、BSG 定理和多线性映射理论，显著简化了证明。
2026-11-03 math.CO math.NT
The inverse theorem for the $U^3$ Gowers uniformity norm on arbitrary finite abelian groups: Fourier-analytic and ergodic approaches
本文证明了任意有限阿贝尔群上 $U^3$ Gowers 一致性范数的定量反定理，并利用 Host--Kra 型结构定理给出了其定性版本。
2023-08-01 math.CO
Concatenation theorems for anti-Gowers-uniform functions and Host-Kra characteristic factors
我们建立了一些“级联定理”，断言，粗略地说，如果一个函数分别在两个不同的方向上表现出“多项式”（或“Gowers反均匀”，“一致几乎周期”或“nilsequence”）行为，那么它也表现出相同的行为（但在更高的程度）在两个方向联合。除此之外，这允许通过全局Gowers均匀性规范来控制平均的局部Gowers均匀性规范。在本文的续集中，我们将应用这种控制来获得“多项式级数”$n+P_1(r),\dots,n+P_k(r)$在各种整数集合中的渐近性，例如素数。
2017-01-17 math.CO math.DS
Large values of the Gowers-Host-Kra seminorms
有限加性群$G$上的函数$f: G \to \C$的\emph{Gowers uniformity norms} $\|f\|_{U^k(G)}$，以及为离散区间$[N] := \{1,...,N\}$上的函数定义的轻微变体$\|f\|_{U^k([N])}$，在大集合内计数加性模式（如算术级数）的现代理论中具有重要意义。与这些范数密切相关的是可测函数$f: X \to \C$在测度保持系统$X = (X, {\mathcal X}, μ, T)$上的\emph{Gowers-Host-Kra seminorms} $\|f\|_{U^k(X)}$。最近的许多努力一直致力于获得这些高尔斯规范的必要和充分条件的问题有非平凡的大小（例如至少$η$的一些小$η> 0$），导致特别是逆猜想的高尔斯规范，并到主机克拉分类的特征因子的高尔斯主机克拉规范。在本文中，我们调查的近极值（或“属性测试”）版本的这个问题，当一个函数的Gowers范数或Gowers-Host-Kra范数几乎一样大，因为它可以受到一个$L^\infty$或$L^p$的幅度限制。我们的主要结果断言，粗略地说，这发生当且仅当$f$的行为像一个多项式相位，可能局部化到一个子群的域，这可以被视为一个高阶模拟的经典结果的Russo和Fournier，也有关的多项式测试结果在有限领域的Blum-Luby-Rubinfeld和Alon-…
2011-06-26 math.CA math.CO math.DS
A discretized approach to W.T. Gowers' game
我们给出了W的另一种证明。T. Gowers的块基上的定理通过减少它到一个离散的模拟特定的可数网。我们还给出了一个关于赋范线性空间中具有Schauder基的块序列的k-元组的Ramsey型结果。
2010-03-01 math.CO math.FA
The inverse conjecture for the Gowers norm over finite fields via the correspondence principle
关于有限域$\F$上的有限维向量空间$V$的Gowers范数$U^d(V)$的逆猜想断言，粗略地说，有界函数$f$具有大的Gowers范数$\|f\|_{U^d(V)}$当且仅当它与次数至多为$d-1$的相位多项式$ϕ= e_\F(P)$相关，因此$P: V \to \F$是次数至多为$d-1$的多项式。在本文中，我们开发了一个变种的Furstenberg对应原理，使我们能够建立这个猜想在大的特征情况下$\charac(F) \geq d$从遍历理论对应，这是最近建立的Bergelson和作者。在低特征下，我们得到了一个部分结果，其中相位多项式$ϕ$允许有较大的次数$C(d)$。完整的逆猜想在低特征中仍然是开放的;在这种情况下，Lovett-Meshulam-Samorodnitsky或Green-Tao的反例可以通过稍微重新表述猜想来避免。
2009-10-29 math.CO math.DS
Yet another proof of Szemeredi's theorem
利用Roth和Gowers的密度增量策略，我们从作者和Ziegler最近建立的Gowers范数的逆矩阵GI（s）导出了关于等差数列的Szemeredi定理.
2010-06-20 math.CO math.NT
The Littlewood-Gowers problem
我们证明了：如果A是Z/pZ（p是素数）的一个子集，其密度从0和1有界，那么当p趋于无穷大时，A的特征函数的A（Z/pZ）-范数（即傅里叶变换的l^1-范数）由一个绝对常数乘以（log p）^{1/2 - ε}有界.这在Green和Konyagin最近的工作中改进了指数1/3。
2010-04-01 math.CA math.CO
Gowers norms, regularization and limits of functions on abelian groups
对任意自然数k，证明了紧阿贝尔群上有界可测函数的一个分解定理，即分解为结构部分、拟随机部分和小误差项。在这个定理中，准随机性用Gowers范数U（k+1）来度量，结构部分是k次的有界复杂性“零空间多项式”。这个陈述隐含了U（k+1）范数的一般逆定理。(We讨论了特殊群族中的一些结果，如有界指数群、零特征群和圆群。沿着这些路线，我们介绍了一个收敛的概念和相应的极限对象的功能阿贝尔群。本课题与最近发展起来的图和超图极限理论密切相关。本文的一个重要目的是提出“高阶傅里叶分析”概念的一个新的代数方面。根据这一点，k阶傅里叶分析被认为是研究称为紧k步零空间的结构之间的连续态射。我们所有的证明都是基于超积群的拓扑零空间因子的基础理论。
2010-10-29 math.CO math.DS
An equivalence between inverse sumset theorems and inverse conjectures for the U^3 norm
我们建立了逆和集定理（可视为近似（阿贝尔）群的分类）和逆定理的Gowers规范（可视为近似多项式的分类）之间的对应关系。特别地，我们证明了Freiman型逆和集定理等价于已知的关于Gowers U^3范数的逆结果，而且前者的多项式加强也等价于后者的多项式加强.我们在两个模型中建立了这个等价，即有限域向量空间F_2 ^n和循环群Z/NZ。在这两种情况下，论证都涉及澄清某些类型的近似同态的结构。
2009-06-17 math.CO math.NT
Quasipolynomial inverse theorem for the $\mathsf{U}^4(\mathbb{F}_p^n)$ norm
本文针对有限向量空间中的 $\mathsf{U}^4$ 范数证明拟多项式逆定理，并借助抽象 Balog-Szemerédi-Gowers 定理及多种代数组合工具给出新的定量证明策略。
2024-10-24 math.CO math.NT
Quantitative bounds for the $U^4$-inverse theorem over low characteristic finite fields
本文给出了$\mathbb{F}_p^n$上Gowers $U^4$ -模逆定理的第一定量界，当$p=2,3$ .我们建立在Gowers和Miliević的早期工作，他们解决了$p\geq 5$的相应问题。我们的证明有两个主要步骤：对称化和低特征三线性形式的整合。我们能够解决所有$k$ -线性型的积分问题，但对称化问题，我们只能解决三线性型。我们提出了几个开放的问题，对称化的低特征$k$ -线性型的决议，结合最近的工作Gowers和Milienević，将给予定量界的逆定理的Gowers $U^{k+1}$ -范数超过$\mathbb{F}_p^n$的所有$k,p$。
2022-10-27 math.CO
An inverse theorem for the Gowers U^{s+1}[N]-norm
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）；Department of Mathematics UCLA（加州大学洛杉矶分校数学系）；Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文证明了Gowers U^{s+1}[N]-范数的反向猜想，针对s≥3的情况，提出了一种具有有限复杂度的s步nil序列与函数f的相关性，从而推导出Hardy-Littlewood素数元猜想。
2026-04-23 math.CO math.DS
The structure of totally disconnected Host--Kra--Ziegler factors, and the inverse theorem for the $U^k$ Gowers uniformity norms on finite abelian groups of bounded torsion
University of Bonn（波恩大学）；Bar Ilan University（巴伊兰大学）；University of California Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文研究完全不连通的Host–Kra–Ziegler因子的结构，证明其为Weyl型$\boldsymbol{\text{Z^ω}}$系统的广义因子，进而利用对应原理得到有界挠有限阿贝尔群上$U^k$ Gowers均匀性范数的弱逆定理。
2026-08-04 math.CO math.DS
Three Dimensional Corners: A Box Norm Proof
在加法群（G，+）中，三维角点是四个点g，g+d（1，0，0），g+d（0，1，0），g+d（0，0，1），其中g在G ^3中，d是G的非零元素。我们感兴趣的拉姆齐数是R_3（G），它是G ^3的一个不包含三维角点的子集的最大基数。Furstenberg和Katznelson已经证明了R_3（Z_N）是N^3的小-o，事实上相应的结果在所有维度上都成立，这个结果是Szemeredi定理的一个深远的推广。我们给出了一个新的证明的有限域版本的这一事实，一个证明，是一个共同的推广的Gowers证明Szemeredi定理的四项级数，和结果Shkredov的二维角落。主要工具是Gowers Box Norms。
2008-04-18 math.CA math.CO math.NT
Good Bounds in Certain Systems of True Complexity One
令$Φ= (ϕ_1,\dots,ϕ_6)$是$3$变量中的$6$线性形式的系统，即每个$i$的$ϕ_i \colon \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}$。还假设PDMATHAMR有柯西-施瓦茨复杂性$2$和真正的复杂性PDMATHAMT，在这个意义上定义的高尔斯和沃尔夫;事实上，这是真正的一般在这个设置。最后，设$G = \mathbb{F}_p^n$为任何$p$素数和$n \ge 1$。然后，我们表明，多线性平均$Φ$控制的$U^2$ -范数，多项式依赖，即如果$f_1,\dots,f_6 \colon G \to \mathbb{C}$是功能与$\|f_i\|_{\infty} \le 1$为每个$i$，然后为每个$j$，$1 \le j \le 6$：\[ \left| \mathbb{E}_{x_1,x_2,x_3 \in G} f_1(φ_1(x_1,x_2,x_3)) \dots f_6(ϕ_6(x_1,x_2,x_3)) \right| \le \|f_j\|_{U^2}^{1/C} \]为一些$C > 0$依赖于$Φ$。这恢复和加强了高尔斯和沃尔夫在这些情况下的结果。此外，证明只使用柯西-施瓦茨不等式的多个应用，避免上诉的高尔斯规范的逆理论。我们还表明，$C$对$Φ$的一些依赖性是必要的，也就是说，常数$C$可以随着$Φ$系数的增长而逐渐变大。
2018-12-28 math.CO math.NT
Non-classical polynomials and the inverse theorem
在这篇文章中，我们刻画了Gowers $U^k$ -范数的逆定理中何时需要非经典多项式。本文给出了当$k\leq p+1$时，$\mathbb F_p^n$上具有大$U^k$ -范数的有界函数必与经典多项式相关的一个简单推论.据我们所知，该结果对于$k=p+1$是新的（当$p>2$）。然后，我们证明了非经典多项式是必要的，在逆定理的Gowers $U^k$ -范数超过$\mathbb F_p^n$的所有$k\geq p+2$，完全表征时，经典多项式就足够了。
2021-07-15 math.CO
On the inverse theorem for Gowers norms in abelian groups of bounded torsion
本文利用幂零空间理论研究有界挠阿贝尔群Gowers范数逆定理，证明有限幂零空间准素分解定理，在m无平方因子及U³范数情形下肯定了界C可降至最优值k，并给出一般情形的部分解答。
2023-12-14 math.CO math.GR
Polynomial towers and inverse Gowers theory for bounded-exponent groups
University of Bonn（波恩大学）；Bar Ilan University（巴伊兰大学）；University of California Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文研究有限指数群的逆Gowers理论，通过多项式塔结构推导出Gowers范数的逆定理，解决了相关猜想和问题。
2026-08-10 math.CO math.DS math.GR
Free nilspaces, double-coset nilspaces, and Gowers norms
本文刻画紧有限秩及一般 $k$ 步紧 nilspace，证明其可由自由 nilspace 经高阶格作用取商并表示为双陪集空间，进而得到有限 Abel 群上 Gowers 范数的新逆定理。
2025-10-21 math.CO math.DS math.FA
On the Ramsey number of the Brauer configuration
我们得到一个双指数界布劳尔的推广范德瓦尔登定理，其中涉及的级数与相同的颜色作为他们的公差。这样的结果是由桑德斯独立地和更普遍地获得的。利用Gowers的局部逆定理，我们的界限是五倍指数的级数的长度。我们完善这方面的颜色方面的三项进展，并结合我们的论点与莱夫曼的洞察力，以获得类似的界限某些非线性二次方程的拉姆齐数。
2020-01-03 math.CO math.NT
Another proof of the $U^4(\mathbf{F}_p^n)$-inverse theorem
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了有限域上高维向量空间中Gowers $U^4$-范数定量逆定理的一个更短的新证明。
2026-09-29 math.CO math.NT
On the Structure of Cubic and Quartic Polynomials
本文研究了任意素域上具有高偏差或高Gowers范数的三次和四次多项式的结构。特别地，我们得到以下结果。1.我们给出了一个典型的表示为三或四阶多项式，有一个显着的偏见（即，他们不是均匀分布）。这个结果推广了二次型理论中的相应结果。它也显着改善了结果的绿色和陶和考夫曼和洛维特这样的多项式。2.对于具有高Gowers范数的四次多项式的情况，我们证明了F^n的余维为O（1）的子空间可以划分为维为Omega（n）的子空间，使得在每个子空间上多项式等于某个三次多项式。格林和陶以及洛维特、梅舒拉姆和萨莫罗德尼茨基证明，具有高高尔斯范数的四次多项式不一定与任何三次多项式相关。我们的结果表明，一个稍微弱一点的陈述确实成立。证明的基础是在基础多项式的偏导数的空间中找到一个结构。
2010-01-01 math.CO
Sharp estimates for Gowers norms on discrete cubes
本文研究离散立方体上函数与集合的Gowers范数最优无量纲不等式，通过建立一般理论得到临界指数关系，进而证明三个核心结果：t_{k,2}的显式公式、固定k时t_{k,n}的双侧渐近估计及固定n时的精确渐近公式，推广了已有定理。
2024-10-14 cs.IT math.CA math.CO
An arithmetic transference proof of a relative Szemerédi theorem
最近，康伦、福克斯和作者给出了一个相对的塞梅雷迪定理的新证明，这个定理是著名的格林-陶定理证明的主要新成分，格林-陶定理证明素数包含任意长的等差数列。粗略地说，一个相对的Szemerédi定理说，如果S是满足一定条件的整数集合，A是S的一个具有正相对密度的子集，那么A包含长等差数列，我们最近的结果表明S只需要满足一个所谓的线性型条件。本注记包含新的相对Szemerédi定理的另一种证明，其中我们直接转移Szemerédi定理，而不是通过超图移除引理。这种方法提供了一种更直接的途径来建立结果，并且它给出了更好的定量界限。证明有三个主要成分：（1）Green-Tao和Tao-Ziegler的迁移原理/稠密模型定理（Gowers后来给出了简化的证明，Reingold-Trevisan-Tulsiani-Vadhan独立地给出了证明）应用了差异/割型范数（而不是一个高尔斯一致性规范，因为它是适用于早期的作品），（2）计数引理建立的康伦，福克斯，和作者，（3）Szemerédi定理是一个黑箱。
2013-10-30 math.CO math.NT
Optimal Testing of Reed-Muller Codes
我们考虑一个给定的函数f：F_2^n -> F_2是否接近n元任意d次多项式的检验问题，也称为Reed-Muller检验问题。Gowers范数基于此属性的自然2^{d+1}-查询测试。Alon等人[AKKLR 05]重新发现了这个测试，并表明它接受概率为1的所有d次多项式，而拒绝概率为Omega（1）-far的函数。我们给出了这个检验的渐近最优分析，并表明它拒绝（甚至只有）Omega（2^{-d}）-far具有Omega（1）-概率的函数（因此拒绝概率是独立于d和n的普适常数）。这意味着函数的（d+1）st Gowers范数与其与d次多项式的最大相关性之间的紧密关系，当相关性接近1时。我们的证明是通过对n的归纳来进行的，并且甚至对经典的Blum-Luby-Rubinfeld [BLR 93]线性检验进行了新的分析，用于设置将F_2^n映射到F_2的函数。最优性来自对反例的更严格分析，以[GT 09，LMS 08]构建的“Gowers范数的逆猜想”。我们的结果有几个含义。首先，它表明Gowers范数检验是宽容的，因为它也接受封闭码字。其次，它改进了Viola和Wigderson [VW 07]给出的多项式异或引理的参数。第三，它意味着一个“查询层次”的结果，仿射不变属性的属性测试。也就是说，对于每个函数q（n），它给出了一个仿射不变的性质，可以用O（q（n））-查询来测试，但不能用O…
2010-04-09 cs.CC cs.IT math.CO
On the Quantitative Bounds of Nonlinear Roth Theorem
该研究针对不含非平凡多项式进展$(x, x + y, x + y^2)$的子集$A \subseteq \{1, \dots, N\}$，推导了其大小的定量上界，通过发展密度增量框架、多线性转移原理等技术完成证明，为非线性Roth定理提供了严格的定量界。
2026-10-14 math.CO math.NT
An algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa theorem
University of Cambridge（剑桥大学）；Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（数学与计算机科学中心）；Leiden University（莱顿大学）；IBM Research, Silicon Valley Lab（IBM硅谷实验室）；IBM Research, Cambridge（IBM剑桥研究中心）
本文提出多项式自由-鲁茨萨定理的算法版本，提供多项式时间算法以找到子空间，用于覆盖给定集合的翻译。还提供了多项式Gowers逆定理等等效形式的高效算法。
2026-04-06 cs.DS math.CO
Quadratic Goldreich-Levin Theorems
经典傅立叶分析中的分解定理使我们能够用几个具有大傅立叶系数的线性相位加上相对于线性相位是伪随机的部分来表示有界函数。Goldreich-Levin算法可以被看作是这种分解的算法模拟，因为它给出了一种有效地找到与大傅立叶系数相关联的线性相位的方法。在"二次傅立叶分析"的研究中，已经开发了这种分解的更高程度的类似物，其中伪随机性更强，但结构部分相应地更弱。例如，先前已经表明，可以将有界函数表示为几个二次相位加上在$U^3$范数中较小的部分的总和，该范数由Gowers定义，用于计数长度为4的算术级数。我们给出了一个计算这种分解的多项式时间算法。该算法的一个关键部分是一个局部自校正程序的里德-穆勒码的顺序2（超过$\F_2^n$）的功能在距离$1/2-ε$从码字。给定一个函数$f:\F_2^n \to \{-1,1\}$，它与二次相位（二阶Reed-Muller码的码字）的汉明距离为$1/2-ε$的分数倍，本文给出了一个在$n$中按时间多项式运行的算法，该算法为$η= η(ε)$找到距离至多为$1/2-η$的码字.这是一个算法模拟Samorodnitsky的结果，这给了一个测试上述问题。据我们所知，它代表了任何类别的代码的纠正过程的第一个实例，超出了列表解码半径。在这个过程中，我们给算法版本的结果添加剂组合在Samorodnitsky的证明和一个改进版本的逆定理的Gowers $U^3$规…
2011-05-22 cs.DM cs.DS math.CO
$L_p$ regular sparse hypergraphs: box norms
我们认为一些变种的Gowers盒规范，介绍了哈塔米，并显示其相关性的背景下，稀疏超图。我们的主要结果如下。首先，我们证明了$L_p$图子的一个推广的von Neumann定理。其次，我们给出了伪随机族的自然例子，即满足计数引理和移除引理的相关版本的稀疏加权一致超图。
2018-08-30 math.CO math.FA math.PR
An arithmetic regularity lemma, associated counting lemma, and applications
Szemeredi的正则性引理可以被看作是任意稠密图的粗糙结构定理，将这样的图分解为结构化的部分（划分为具有边缘密度的单元），小误差（对应于不规则单元）和均匀部分（与边缘密度的伪随机偏差）。我们建立了一个算术正则性引理，类似地将有界函数f：[N] -> C分解为一个（均匀分布的，虚拟的）-步零序列，一个在L^2中很小的误差和一个在Gowers U^{s+1}-范数中很小的误差，其中s是正整数。然后，我们建立了一个互补的算术计数引理，计数的算术模式的nilsequence分量的f。我们提供了一些应用这些引理：证明Szemeredi定理的等差数列，证明了一个猜想的Bergelson，主机和克拉，并概括了某些结果的Gowers和狼。我们的结果依赖于作者和T.齐格勒2020年11月修订：本文已被修订，因此计数引理仅涵盖满足称为标志性质的条件的线性型系统。平移不变系统，以及柯西-施瓦茨复杂度为1的系统和其他一些自然发生的系统都具有这个性质。我们感谢丹尼尔·奥尔特曼提请我们注意什么似乎是一个小的技术问题在我们的证明之一，但最终导致我们意识到，计数引理失败相当严重（相当简单的例子，我们将描述）没有一些假设这种类型。此外，我们还提供了一个简短的附录，说明系统的Gowers-Wolf复杂性受其Cauchy-Schwarz复杂性的限制。
2020-11-24 math.CO math.DS
Higher order Fourier analysis of multiplicative functions and applications
我们证明了一个结构定理的乘性函数，其中规定，一个任意有界乘法函数可以分解成两个条款，一个是近似周期性的，另一个具有小的Gowers均匀性规范的任意程度。证明使用高阶傅里叶分析的工具和一些软数论输入，这些输入以Kátai正交准则的形式出现。我们使用这个结构定理的变体来推导数论和组合风格的应用：$(i)$我们给出了Gowers范数的简单的充要条件（在$\mathbb{N}$上）证明了乘性函数对“无理”零序列的渐近正交性，$(ii)$推广了Daboussi和Delange的一个经典结果，$(iii)$我们证明了对于某些二元多项式，所有的“非周期”乘性函数满足Chowla的零均值猜想，$(iv)$我们给出了三元齐次二次方程的第一个剖分正则性结果，例如，在整数的每一个剖分上，属于相同小区的不同$x,y$和$λ\in \mathbb{N}$，使得$16x^2+9y^2=λ^2$和相同的等式$x^2-xy+y^2=λ^2$成立。
2016-01-26 math.CO math.DS math.NT
Approximate quadratic varieties
本文针对加法组合学经典结论的高阶拓展问题，定义了$(c_0,δ,ε)$-近似二次簇的概念，证明其与规模相当的精确二次簇有大交集，为高阶近似代数结构研究提供了二次情形的结构定理。
2023-08-24 math.CO math.NT
The sovability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectra of graphs
本文对最近用Fourier分析方法得到的关于有限域上某些方程组可解性的几个结果给出了统一的证明。粗略地说，我们表明，几乎所有的系统的范数，双线性或二次方程的有限域是可解的任何大子集的向量空间在有限域。
2009-04-02 math.CO math.NT
Periodic nilsequences and inverse theorems on cyclic groups
由Green、Tao和Ziegler证明的Gowers范数的逆定理适用于区间$[M]$上的函数。Canadian和Sisask最近的一篇论文要求在应用于$N$ -周期函数时得出更强的结论;具体地说，相应的零序列在强意义上也应该是$N$ -周期的。在大多数情况下，这一结果是隐含的工作塞格迪（和卡马雷纳和塞格迪）的逆定理。这一推论在Canadian和Sisask的论文中给出。在这里，我们给出了一个替代的证明，它只使用格林-陶-齐格勒逆定理作为一个黑盒子。结果也稍微强一些，从语句中删除了一个技术条件。证明中心围绕着一个一般的建设范畴的nilsequences和nilmanifold，这可能是一些独立的利益。
2014-04-30 math.CO math.NT
An inverse theorem for the uniformity seminorms associated with the action of $F^ω$
设$\F$为有限域。我们表明，Gowers-Host-Kra均匀性的普适特征因子$U^k(\X)$的概率空间$X = (X,\B,μ)$上的无限阿贝尔群$\F^ω$的遍历作用$(T_g)_{g \in \F^ω}$是由相位多项式$ϕ: X \to S^1$的次数小于$C(k)$ $X$，其中$C(k)$只依赖于$k$。在$k \leq \charac(\F)$的情况下，我们得到了清晰的结果$C(k)=k$。这是Host和Kra对$\Z$的类似结果的有限域对应。在本文的姊妹篇中，我们将把这个结果与对应原理结合起来，建立高特征情形$k \leq \charac(\F)$下有限域中Gowers范数的逆定理，并给出低特征情形下的部分结果。
2009-06-08 math.CO math.DS
