The Green-Tao theorem for Piatetski-Shapiro primes
Hongze Li, Hao Pan
令$m\geq 3$。设$$ 1-2^{-2^{m^24^m}}<γ<1. $$则集合$$ \{p\text{ prime}:\, p=[n^{\frac1γ}]\text{ for some }n\in{\mathbb N}\} $$包含无穷多个非平凡的$m$ -项等差数列。
Let $m\geq 3$. Suppose that $$ 1-2^{-2^{m^24^m}}<γ<1. $$ Then the set $$ \{p\text{ prime}:\, p=[n^{\frac1γ}]\text{ for some }n\in{\mathbb N}\} $$ contains infinitely many non-trivial $m$-term arithmetic progressions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Partitions into Piatetski-Shapiro sequences
设$κ$为正实数，给出$m\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$.令$p_{κ, m}(n)$表示将$n$分割成来自Piatestki-Shapiro序列$(\lfloor \ell^κ\rfloor)_{\ell\in \mathbb{N}}$的部分的数目，最多具有$m$次（允许重复）。本文利用Roth-Szekeres在1953年建立的分拆渐近框架和等分布的一些结果，建立了$p_{κ, m}(n)$的Hardy-Ramanujan型渐近公式.
The ternary Goldbach-Vinogradov theorem with almost equal Piatetski-Shapiro primes
本文证明了一个定理：每一个足够大的奇数都可以表示为三个几乎相等的Piatetski-Shapiro素数之和。
On squares associated to the Piatetski-Shapiro sequences
通过引入三种不同的思想，对Liu-Shparlinski-Zhang \cite{lsz}的Piatetski-Shapiro序列中平方分布的一个结果作了改进.
Barban-Davenport-Halberstam type theorems for exponential sums and Piatetski-Shapiro primes
该研究在数论领域建立了三类Barban-Davenport-Halberstam型定理，分别适用于素数指数和、Piatetski-Shapiro素数及该类素数上的指数和，拓展了相关定理的应用范围。
A Bombieri -- Vinogradov type result for exponential sums over Piatetski-Shapiro primes
本文利用$\frac{865}{886}<γ< 1$建立了Piatetski-Shapiro素数$p= [n^{1/γ}]$上的指数和的一个Bézieri-Vinogradov型定理.
Exponential sums over Piatetski-Shapiro primes in arithmetic progressions
设$γ<1<c$和$19(c-1)+171(1-γ)<9$。本文建立了等差数列中Piatetski-Shapiro素数$p=[n^{1/γ}]$上指数和的一个渐近公式.
Waring-Goldbach Problem with Piatetski-Shapiro Primes
在本文中，我们给出了一个关于大整数表示为Piatetski-Shapiro素数的固定幂和的渐近公式，从而建立了一个关于稀疏序列中素数的Waring-哥德巴赫问题的变形.
Hua's Theorem with the Primes in Piatetski-Shapiro Prime Sets
本文研究了Hua定理与Piatetski-Shapiro素数定理的混合问题，得到了非齐次情形$k=3$在这方面的结果，深化了Hua的经典结果.
Additive Ramsey theory over Piatetski-Shapiro numbers
本文研究了Piatetski-Shapiro数上线性方程的划分正则性，确定了当1 < c < c†(s)时的条件，并改进了Green的傅里叶分析转移原理。
Möbius orthogonality of Thue-Morse sequence along Piatetski-Shapiro numbers
证明了对于任意的$1 < c < 2$，默比乌斯函数都与沿着Piatetski-Shapiro数$\lfloor n^c \rfloor$的Thue-Morse序列$t(n)$正交.以前，这个属性是为沿着正方形$t(n^2)$的子序列建立的。这些都是具有最大熵的莫比乌斯正交序列的例子。
An Additive Problem over Piatetski-Shapiro Primes and Almost-primes
令$\mathcal{P}_r$表示一个几乎素数，至多有$r$素因子，根据重数计数。本文利用$\frac{85}{86}<γ<1$建立了Piatetski-Shapiro素数$p=[n^{1/γ}]$的Bjueri-Vinogradov型定理.利用这个结果证明了对于$0.9989445<γ<1$，存在无穷多个Piatetski-Shapiro素数使得$p+2=\mathcal{P}_3$，改进了Lu，Wang，Cai和Peneva的结果.
Multiplicative recurrence of Piatetski--Shapiro and nil-Bohr sets
本文利用圆法建立自然数集乘法回归性的充分条件，并应用于 Piatetski-Shapiro 集与 nil-Bohr 集，同时研究乘性函数的值分布。
Prime Avoidance Property of $k$-th Powers of Piatetski-Shapiro Primes
本文研究Piatetski-Shapiro素数$k$次幂的素数避让性质，扩展了作者先前关于素数$k$次幂及Beatty序列中素数的同类结论。
Relatively prime pairs in the Piatetski-Shapiro sequences
本文证明了任意大阶Piatetski-Shapiro序列中互素对数量的渐近公式，改进了先前阶数限制的结果，关键方法包括平均技巧和推广Deshouillers的分布结果。
A remark on a converse theorem of Cogdell and Piatetski-Shapiro
本文用纯整体方法重新证明了Cogdell和Piatetski-Shapiro的一个整体逆定理。
Piatetski-Shapiro Primes in a Beatty Sequence
令$α,β$为实数，使得$α>1$为无理数且为有限型，且令$c$为$1<c<\frac{14}{13}$范围内的实数。本文证明了非齐次Beatty序列$\big(\left\lfloorαm+β\right\rfloor\big)_{m=1}^\infty$中存在无穷多个Piatetski-Shapiro素数$p = \left\lfloor n^c \right\rfloor$.
The Piatetski-Shapiro prime number theorem
本文证明了当c在(1,1.1612...)范围内时，Piatetski-Shapiro序列中存在无限多个素数，并给出了渐近公式。
A hybrid of two theorems of Piatetski-Shapiro
设$c > 1$和$0 < γ< 1$为实数，其中有$c \notin \mathbb N$。本文研究了丢番图不等式\[ \left| p_1^c + p_2^c + \dots + p_s^c - N \right| < \varepsilon \]在指标为$γ$的Piatetski-Shapiro素数$p_1, p_2, \dots, p_s$中的可解性--即对于某些$m \in \mathbb N$，素数的形式为$p = \lfloor m^{1/γ} \rfloor$。
A generalization of Piatetski-Shapiro sequences (II)
假设$α,β\in\mathbb{R}$ .设$α\geqslant1$和$c$是$1<c< 12/11$范围内的实数。本文证明了由$(\lfloorαn^c+β\rfloor)_{n=1}^\infty$定义的广义Piatetski-Shapiro数列中存在无穷多个素数。此外，我们还证明了具有$c\in(1,\frac{19137}{18746})$的广义Piatetski-Shapiro序列存在无穷多个完全由素数组成的Carmichael数.这两个定理改进了郭和齐以前的结果。
A Remark on the Piatetski-Shapiro-Hua Theorem
本文证明了对于任何固定的$205/243<γ\leqslant1$，满足$N\equiv 5 \pmod {24}$的充分大的$N$都可以表示为5个素数的平方，其中$\mathcal{P}_γ$中有一个素数，改进了Zhang和Zhai的结果.
Linear equations in Piatetski-Shapiro primes
本文研究了Piatetski-Shapiro素数集与任意nil序列之间的相关性估计，扩展了之前处理线性或多项式指数相位函数的研究，并建立了有限复杂度线性方程组在Piatetski-Shapiro素数中的渐近公式，包括任意长度的等差数列。
Improvements on exponential sums related to Piatetski-Shapiro primes
本文通过改进Type I和的方法，提高了与Piatetski-Shapiro素数相关的三次哥德巴赫问题的界，并研究了这些素数在算术级数和Beatty序列交集中的分布。
On general divisor functions over Piatetski-Shapiro sequences
本文研究了皮亚特谢克-沙皮罗序列上的通用除数函数，扩展了除数问题至函数f(n)，并探讨了其在算术进展中的性质。
Small gaps between the Piatetski-Shapiro primes
假设$1<c<9/8$ .对于任何$m\geq 1$，存在无穷多个$n$，使得$$ \{[n^c],\ [(n+1)^c],\ \ldots,\ [(n+k_0)^c]\} $$至少包含$m+1$素数，如果$k_0$足够大（仅取决于$m$）。
Squares in Piatetski--Shapiro Sequences
本文研究了具有$c>1$和$c\not\in\mathbb N$的Piatetski-Shapiro序列$\left(\lfloor n^c\rfloor\right)_{n\in\mathbb N}$的平方分布。我们还研究了更一般方程$\lfloor{n^c}\rfloor = sm^2$，$n,m\in \mathbb N$，$1\le n \le N$的整数$s$，并获得了几个界限的解决方案的数量为固定的$s$和平均在$s$在一个区间。这些结果是基于根据参数范围选择的各种技术。
Piatetski-Shapiro primes in the intersection of multiple Beatty sequences
假设$α_1, α_2,β_1, β_2 \in\mathbb{R}$ .设$α_1, α_2 > 1$是无理的有限型的，使得$1, α_1^{-1}, α_2^{-1}$在$\mathbb{Q}$上线性无关.令$c$为$1 < c < 12/11$范围内的实数。本文证明了Beatty序列$\mathcal{B}_{α_1,β_1} = \lfloorα_1 n + β_1\rfloor, \mathcal{B}_{α_2, β_2} = \lfloorα_2 n + β_2\rfloor$与Piatetski-Shapiro序列$\mathscr{N}^{(c)} = \lfloor n^c\rfloor$的交集中存在无穷多个素数.此外，我们还给出了多个Beatty序列交集中Piatetski-Shapiro素数的一个简单证明。
On Hecke Eigenvalues at Piatetski-Shapiro Primes
令$λ(n)$为全纯尖点形式的正规化n阶傅里叶系数。我们表明，对于一些恒定的$C > 0$取决于尖点形式和每个固定的$c$范围内的$1 < c < 8/7$，$λ(p)$的平均值是$\ll \exp (-C \sqrt{\log N})$作为p运行在所有（Piatetski-Shapiro）素数的形式$[n^c]$与自然数$n \leq N$。
Vinogradov's three primes theorem in the intersection of multiple Piatetski-Shapiro sets
本文将维诺格拉多夫三素数定理推广到多个Piatetski-Shapiro序列的交集情形，证明充分大奇数仍可表示为三个来自该交集的素数之和。
Synchronizing automatic sequences along Piatetski-Shapiro sequences
本文研究了$k$ -自动序列$a(n)$沿Piatetski-Shapiro序列$\lfloor n^c \rfloor$与非整数$c>1$的同步性。特别是，我们表明，$a(\lfloor n^c \rfloor)$满足素数定理的形式$\sum_{n\le x} Λ(n)a(\lfloor n^c \rfloor) \sim C\, x$，而且，它是确定性的$c \in \mathbb R\setminus \mathbb Z$。作为一个有趣的额外的结果，我们表明，序列$\lfloor n^c\rfloor \bmod m$具有多项式的子字复杂度。
On a question of Luca and Schinzel over Segal-Piatetski-Shapiro sequences
我们推广到Segal-Piatetski-Shapiro序列以前的结果Luca-Schinzel问题整值多项式序列。也就是说，我们证明了对于任何大于$1$的实$c$，序列$(\sum_{m\le n} φ(\lfloor m^c \rfloor) /\lfloor m^c \rfloor)_n$是稠密模$1$，其中$φ$表示欧拉函数。证明的主要部分在于表明，当$R$是一个大整数，序列的剩余$\lfloor m^c \rfloor$模$R$包含块的连续值是在一个等差数列。
Piatetski-Shapiro sequences
我们考虑了Piatetski-Shapiro序列$\fl{n^c}$（$n=1,2,3,...$）与$c>1$，$c\not\in\N$的各种算术问题.我们证明了一个正函数$θ(c)$，它具有$\fl{n^c}$的最大素因子无限次超过$n^{θ(c)-\eps}$的性质.对于$c\in(1,\tfrac{149}{87})$，我们证明了$\fl{n^c}$无平方的自然数$n\le x$的计数函数满足期望的渐近公式.对于$c\in(1,\tfrac{147}{145})$，我们证明了有无穷多个完全由$p=\fl{n^c}$形式的素数组成的卡迈克尔数。
Quadratic residues and non-residues for infinitely many Piatetski-Shapiro primes
本文证明了$\mathbb{N}^+$的每一个非空有限子集都是一个具有$1\leqslant c\leqslant243/205$的$[n^c]$形式的无穷多个素数的二次剩余集这一命题的一个定量版本。相应地，在合理的假设下，对于二次非剩余的情形，我们也可以得到类似的结果。这些结果推广了S.在某些方面，莱特。
Diophantine approximation by Piatetski-Shapiro primes
设$[\,\cdot\,]$为地板函数。本文证明了当$η$为实数时，若常数$λ_i$满足某些必要条件，则对任意固定的$1<c<38/37$，存在无穷多个满足不等式\begin{equation*} |λ_1p_1 + λ_2p_2 + λ_3p_3+η|<(\max p_j)^{{\frac{37c-38}{26c}}}(\log\max p_j)^{10} \end{equation*}的素数三元组$p_1,\, p_2,\, p_3$，且使得$p_i=[n_i^c]$，$i=1,\,2,\,3$ .
Normality of the Thue--Morse sequence along Piatetski-Shapiro sequences
证明了对于$1<c<4/3$，由$\lfloor n^c\rfloor$索引的Thue-Morse序列$\mathbf t$的子序列定义了一个正规序列，即每个有限序列$(\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{T-1})\in \{0,1\}^T$作为序列$n\mapsto \mathbf t\left(\lfloor n^c\rfloor\right)$的连续子序列以渐近频率$2^{-T}$出现.
On almost primes in Piatetski-Shapiro sequences
本文研究 Piatetski-Shapiro 序列中的殆素数问题，证明在 γ 接近 1 时无穷多个相关取整值至多含 5 个素因子，改进了已有结果。
Piatetski-Shapiro Primes in short intervals
研究短区间中形如⌊n^c⌋的Piatetski-Shapiro素数的存在性，分别给出渐近公式和下界结果。
Thin subgroups isomorphic to Gromov--Piatetski-Shapiro lattices
在本文中，我们产生了许多例子的薄子群的特殊线性群是同构的基本群的非算术双曲流形。具体地说，我们证明了由Gromov和Piatetski-Shapiro构造的$\mathrm{SO}(n,1)$中的非算术格可以嵌入到$\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$中，使得它们的像是薄子群
Vinogradov three prime theorem with Piatetski-Shapiro primes
本文证明当指数在(1,41/35)内时，每个充分大的奇数都可表示为三个Piatetski-Shapiro素数之和，方法结合Green转移原理变体、Bourgain限制性估计与Harman筛法。
Solutions to certain linear equations in Piatetski-Shapiro sequences
用$\text{PS}(α)$表示Piatetski-Shapiro序列$n \mapsto \lfloor n^α \rfloor$的图像，其中$α> 1$是非整数，而$\lfloor x \rfloor$是$x \in \mathbb{R}$的整数部分。本文部分地回答了哪些二元线性方程在$\text{PS}(α)$中有无穷多个解的问题：如果$a, b \in \mathbb{R}$使得方程$y=ax+b$在正整数中有无穷多个解，则对Lebesgue-a. e. $α> 1$，它在$\text{PS}(α)$中根据$α< 2$（和$0 \leq b < a$）或$α> 2$（和$(a,b) \neq (1,0)$）有无穷多个或至多无穷多个解。我们收集了一些有趣的开放式问题，这些问题与进一步的结果有关。
Linear Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences
指数为$α$的Piatetski-Shapiro序列是具有非整数$α> 0$的$n^α$ $(n = 1,2,\ldots)$的整数部分的序列。我们让$\mathrm{PS}(α)$表示这些项的集合。本文研究了$α$的集合，使得方程$ax + by = cz$有无穷多个两两相异解$(x,y,z) \in \mathrm{PS}(α)^3$，并给出了它的Hausdorff维数的一个下界.作为一个推论，我们发现了无数个$α> 2$，使得$\mathrm{PS}(α)$包含无限多个长度为$3$的算术级数。
Randomness and non-randomness properties of Piatetski-Shapiro sequences modulo m
我们研究Piatetski-Shapiro序列$(\lfloor n^c\rfloor)_n$模m，非整数$c >1$和积极的$m$，我们特别感兴趣的子字出现在这些序列。我们证明，每个块$\in\{0,1\}^k$的长度$k < c + 1$出现作为一个子字的频率$2^{-k}$，而总是有块不出现。特别是，这些序列是不正常的。对于$1<c<2$，我们估计子字的数量从上面和下面，产生的事实，我们的序列是确定性的，而不是形态。最后，利用Daboussi-Kátai准则，证明了序列$\lfloor n^c\rfloor$模m渐近正交于以$1$为界且均值为$0$的乘法函数.
Cubic Waring-Goldbach problem with Piatetski-Shapiro primes
本文研究Piatetski-Shapiro素数的三次Waring-Goldbach问题，证明了当γ∈(317/320,1)时，每个充分大的奇数可表示为九个形如[n^{1/γ}]的素数立方之和，改进了Akbal和Güloğlu的已有结果。
Diophantine Approximation with Piatetski-Shapiro Primes
本文证明了关于Piatetski-Shapiro素数的丢番图逼近结果，即在特定参数条件下存在无穷多个形如$p=[n^c]$的素数满足给定的逼近不等式。
The ternary Goldbach problem with two Piatetski-Shapiro primes and a prime with a missing digit
令$$γ^*=\frac{8}{9}+\frac{2}{3}\:\frac{\log(10/9)}{\log 10}\:(\approx 0.919\ldots)\:.$$令$γ^*<γ_0\leq 1$、$c_0=1/γ_0$固定。也设为$a_0\in\{0,1,\ldots, 9\}$。\\在广义黎曼猜想的假设下，我们证明了每一个足够大的奇数$N_0$都可以表示为$$N_0=p_1+p_2+p_3\:,$$的形式，其中$p_i$的形式为$p_i=[n_i^{c_0}]$，$n_i\in\mathbb{N}$，对于$i=1,2$，$p_3$的十进制展开式不包含数字$a_0$ .这个证明融合了J. Maynard关于素数的无限性的论文中的方法和A.关于Piatetski-Shapiro素数和Hardy-Littlewood圆方法的二元方法。这是第一个结果的三元哥德巴赫问题与混合类型的素数，其中涉及总理与失踪数字。
On the distribution of $αp^2$ modulo one in the intersection of two Piatetski--Shapiro sets
研究在两个皮亚特斯基-沙皮罗集交集中，对于任意实数β和无理数α，存在无限多个素数p使得αp²+β的模一距离小于p的特定指数次方。
On the distribution of $αp$ modulo one over Piatetski-Shapiro primes
本文研究了模一意义下 $αp$ 在 Piatetski-Shapiro 素数上的分布，证明了当 $α$ 为无理数、$β$ 为实数且 $1<c<12/11$ 时，存在无穷多个满足特定不等式且形式为 $p=[n^c]$ 的素数。
Diophantine approximation with mixed powers of Piatetski-Shapiro primes
本文研究了混合幂Piatetski-Shapiro素数的丢番图逼近问题，证明在特定条件下存在无限多个素数三元组满足特定不等式。
Piatetski-Shapiro sequences via Beatty sequences
形式为$\lfloor n^c\rfloor$的序列，其中$1<c<2$，可以用形式为$\lfloor nα+β\rfloor$的序列以非常好的方式局部近似。按照这种方法，我们被引导到差\[\sum_{n\leq x}φ\left(\lfloor n^c\rfloor\right)-\frac 1c\sum_{n\leq x^c}φ(n)n^{\frac 1c-1},\]的估计，其测量子序列$\lfloor n^c\rfloor$上的$φ$的平均值与期望值的偏差，通过涉及指数和的表达式。作为应用，我们证明了对于$1<c\leq 1.42$，由$\lfloor n^c\rfloor$索引的Thue-Morse序列的子序列以渐近密度$1/2$达到它的两个值.
Consecutive Piatetski-Shapiro primes based on the Hardy-Littlewood conjecture
本文基于Hardy-Littlewood猜想，研究连续素数对分别属于两个Piatetski-Shapiro序列的分布，提出计数函数猜想并给出启发式论证，还证明了奇异级数加权平均的命题。
Linear equations with two variables in Piatetski-Shapiro sequences
对于每一个非整数的$α>1$，$n^α$ $(n=1,2,\ldots)$的整数部分的序列称为指数为$α$的Piatetski-Shapiro序列，并且让$\mathrm{PS}(α)$表示所有这些项的集合。对于所有的$X\subseteq \mathbb{N}$，我们说一个方程$y=ax+b$在$X$中是可解的，如果这个方程有无穷多个不同对$(x,y)\in X^2$的解。设$a,b\in \mathbb{R}$有$a\neq 1$和$0\leq b<a$，并假设方程$y=ax+b$在$\mathbb{N}$中可解.证明了对于所有的$1<α<2$，方程$y=ax+b$在$\mathrm{PS}(α)$中是可解的.进一步，我们研究了$α\in (s,t)$的集合，使得方程$y=ax+b$在$\mathrm{PS}(α)$中可解，其中$2< s <t$。最后，我们证明了该集合的Hausdorff维数与$2/s$是一致的.
On a variant of the Piatetski-Shapiro prime number theorem
本文研究Piatetski-Shapiro素数定理的变体，证明当$\u03b3 > 15/13$时相关渐近公式成立，改进了Balog此前$\u03b3 > 6/5$的结果。
On the quadratic Waring-Goldbach problem with primes in Piatetski-Shapiro sets
本文证明了在皮亚特谢茨基-沙皮罗集中的素数条件下，每个足够大的整数n≡5 mod 24都可以表示为五个素数平方的和，改进了之前的结果。
A Khintchine-type theorem and solutions to linear equations in Piatetski-Shapiro sequences
我们的主要结果涉及丢番图逼近中欣钦经典定理的扰动。给出了正实数序列$(ψ_n)_{n \in \mathbb{N}}$和可微函数$(φ_n: J \to \mathbb{R})_{n \in \mathbb{N}}$的充分条件，使得对于Lebesgue-a. e. $θ\in J$，不等式$\| nθ+ φ_n(θ) \| \leq ψ_n$有无穷多个解。主要的新颖之处在于，扰动的大小$|φ_n(θ)|$被允许超过$ψ_n$，改变通常的“收缩目标”的问题变成一个“移动目标”的问题。作为主要结果的应用，我们证明了：如果线性方程$y=ax+b$，$a, b \in \mathbb{R}$在$\mathbb{N}$中有无穷多个解，则对Lebesgue-a. e. $α> 1$，根据$α< 2$或$α> 2$，它有无穷多个或无穷多个$\lfloor n^α\rfloor$形式的解。
Roth-type Theorem for high-power system in Piatetski-Shapiro primes (II)
本文研究了Piatetski-Shapiro素数中高幂非线性系统的Roth型定理，证明了在特定参数条件下，若该系统在素数子集中仅有K-平凡解，则该子集的密度上界受到对数项的严格限制。
The quaternary Piatetski-Shapiro inequality with one prime of the form $\mathbf{p=x^2+y^2+1}$
本文证明了在 $1<c<967/805$ 范围内，含一个形如 $p=x^2+y^2+1$ 素数的四元 Piatetski-Shapiro 丢番图不等式对充分大的正数 $N$ 存在素数解。
Finiteness of solutions to linear Diophantine equations on Piatetski-Shapiro sequences
本文证明对几乎所有α>3，Piatetski-Shapiro序列中方程x+y=z仅有有限解；对几乎所有α>10，长度3的等差数列有限，并给出无穷解对应α集合的Hausdorff维数上界。
On Piatetski-Shapiro primes from almost primes
该数论研究将Piatetski-Shapiro素数相关结果中殆素数的素因子上限从8优化至7，针对0.98353到1之间的$\u03b3$，证明存在无穷多符合条件的素数。
Distributions of Finite Sequences Represented by Polynomials in Piatetski-Shapiro Sequences
通过使用Frantzikinakis和Wierdl的工作，我们可以看到，对于所有的$d\in\mathbb{N}$，$α\in(d,d+1)$，以及整数$k\ge d+2$和$r\ge1$，存在无穷多个$n\in\mathbb{N}$，使得序列$(\lfloor{(n+rj)^α}\rfloor)_{j=0}^{k-1}$通过使用次数至多为$d$的多项式$p(x)\in\mathbb{Q}[x]$表示为$\lfloor{(n+rj)^α}\rfloor=p(j)$，$j=0,1,\ldots,k-1$。特别地，当$d=1$时，上述序列是算术级数。在本文中，我们证明了这样的数$n$的渐近密度如上所述。当$d=1$时，渐近密度等于$1/(k-1)$。虽然在上述结果中，公差$r$是任意固定的，但我们也研究了$r$不固定的情况。利用Hardy域中的函数推广了本文的大部分结果。
Primes in the intersection of two Piatetski-Shapiro sets
本文研究两个 Piatetski-Shapiro 集合交集中的素数计数问题，在更宽的指数和范围 $21/11<γ_1+γ_2<2$ 内建立渐近公式，改进了 Baker 的已有结果。
Better than square-root cancellation and Gaussian behavior on Piatetski-Shapiro Sequences
本文证明亚特-夏皮罗序列上存在比平方根抵消更优的现象，还得出该序列上特征和典型大小的结论，其特征和对素数模几乎所有特征可达到韦伊界。
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