比亚特-夏皮罗序列中的平方根抵消更优的结果
Better than square-root cancellation and Gaussian behavior on Piatetski-Shapiro Sequences
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中文总结 AI 辅助
本文证明亚特-夏皮罗序列上存在比平方根抵消更优的现象，还得出该序列上特征和典型大小的结论，其特征和对素数模几乎所有特征可达到韦伊界。
中文摘要 AI 辅助
本文研究当A为亚特-夏皮罗（Piatetski-Shapiro）序列，且f(n)为斯坦豪斯（Steinhaus）或拉德马赫（Rademacher）随机乘性函数时，∑_{n≤X,n∈A}f(n)是否存在比平方根抵消更优的现象。哈珀（Harper）2019年的突破性成果表明，当A为自然数集ℕ时，该现象成立；徐（Max Wenqiang Xu）2023年证明，若A由R-粗糙数构成，结论同样成立；哈迪（Hardy）与徐2026年的最新论文指出，对于y-光滑数也可得到类似结果。本文结果为A不具备小至(2+o(1))|A|²的乘性能量的情况，提供了比平方根抵消更优现象存在的又一正例。此外，受哈珀2023年工作启发，本文还证明了亚特-夏皮罗序列上的特征和的典型大小为o(√|N_c(x)|)，基于此，亚特-夏皮罗序列上的特征和对素数p模的几乎所有特征均可达到韦伊（Weil）界。
英文摘要
In this paper, we investigate whether Harper's better than square-root cancellation phenomenon still appears in Piatetski-Shapiro sequences, and when one should expect only square-root size. If $c=c(X)$ satisfies $(c-1)\log X\to 0$ as $X\to\infty$, then for Steinhaus or Rademacher random multiplicative functions we have \[ \mathbb{E}\left|\sum_{n\in\mathcal{N}^{(c)}(X)}f(n)\right|=o\!\left(\sqrt{|\mathcal{N}^{(c)}(X)|}\right). \] For Lebesgue almost every fixed $1<c<\frac{8}{7}$, we prove the multiplicative energy satisfies \[ E^\times(\mathcal{N}^{(c)}(X))=2|\mathcal{N}^{(c)}(X)|^2-|\mathcal{N}^{(c)}(X)|+o\left(|\mathcal{N}^{(c)}(X)|^2\right). \] Together with a largest prime factor estimate, this allows us to apply the criterion of Soundararajan and Xu and obtain a standard complex Gaussian limit for the normalized Steinhaus sum. To the best of our knowledge, this gives the first asymptotic formula for the multiplicative energy of Piatetski-Shapiro sequences. For fixed exponent argument, our proof combines metric arguments with the Van der Corput's $B$-process and a double large sieve estimate with Robert-Sargos spacing theorem.
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
- Research Center for Number Theory and Its Applications, Northwest University（西北大学数论及其应用研究中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
