Near-linear dynamics in KdV with periodic boundary conditions
M. B. Erdogan, N. Tzirakis, V. Zharnitsky
在高频初值假设下，建立了具有周期边界条件的Korteweg de Vries（KdV）方程的近线性演化方程.这一结果是用正规形约化方法得到的。
Near linear evolution in Korteweg de Vries (KdV) equation with periodic boundary conditions is established under the assumption of high frequency initial data. This result is obtained by the method of normal form reduction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bounded solutions of KdV: uniqueness and the loss of almost periodicity
我们解决两个紧迫的问题，在理论的Korteweg-德弗里斯（KdV）方程。首先，我们证明了KdV解的唯一性，这些解仅仅是有界的，没有任何进一步的衰减、规律性、周期性或几乎周期性的假设。第二个问题，强调Deift，关于是否几乎周期的初始数据导致殆周期解KdV。基于新的观察，这是错误的艾里方程，我们构建了一个例子，几乎周期性的初始数据的KdV演化仍然有界，但未能在以后的时间几乎周期。我们的唯一性结果确保了所构造的解是该初始数据的唯一发展。
Stability of periodic waves for the fractional KdV and NLS equations
本文针对分数阶KdV和NLS方程，构造了哈密顿量约束极小化的钟形周期波，并严格证明了其非退化性、谱稳定性和轨道稳定性。
High frequency perturbation of cnoidal waves in KdV
研究了具有周期边界条件的KdV方程。研究了周期性孤波（椭圆余弦波）与有限能量（$L^2$ -范数）高频辐射的相互作用。证明了在有限时间内低频分量（椭圆余弦波）与高频辐射的相互作用是弱的，即辐射近似满足Airy方程。
Geodesic Flows on Diffeomorphisms of the Circle, Grassmannians, and the Geometry of the Periodic KdV Equation
首先，我们构造一个希尔伯特流形T的方向保持的圆（模的双全纯自映射组的圆盘）的自同态。这个空间，可以被认为是泛Teichmueller空间的完备化，被赋予了一个右不变的Kaehler度量。利用拟共形映射理论的结果，我们构造了T到无穷维Segal-Wilson Grassmannian的一个嵌入。对于T来说，后者是一个非常自然的环境空间。这使我们能够证明T的截面曲率在全纯方向上是负的，并且沿着Cartan-Hadamard理论的路线进行推理，其测地线存在于所有时间。T的测地线通过V. Arnold对欧拉方程的推广导出了周期KdV方程的解。作为应用，我们得到了具有初始数据的周期KdV方程在指数为3/2的周期Sobolev空间的某个闭子空间中解的长期存在性。
Almost Periodicity in Time of Solutions of the KdV Equation
本文研究了KdV方程$\partial_t u - 6 u \partial_x u + \partial_x^3 u = 0$的Cauchy问题，其中初值为几乎周期初值$u(x,0)=V(x)$ .我们考虑初始数据$V$，其中相关的薛定谔算子是绝对连续的，并有一个频谱，是不是太薄，在某种意义上，我们指定，并显示的存在性，唯一性，几乎周期性的时间的解决方案。这建立了Percy Deift对这类初始数据的猜想。结果表明，适用于所有小的解析准周期初始数据与丢番图频率向量。
Long-wave KdV hierarchy approximation of the NLS hierarchy with nonzero boundary conditions
研究非零边界条件下NLS层次重整化守恒量在长波区域由KdV层次能量近似的规律，通过证明Dirac算子传输系数逼近Schrödinger算子传输系数，并利用能量方法量化近似结果。
Estimates for solutions of KDV on the phase space of periodic distributions in terms of action variables
本文考虑周期分布的索伯列夫空间上的KdV方程。我们根据作用变量获得了KdV解的估计。
On the Existence and Uniqueness of Global Solutions for the KdV Equation with Quasi-Periodic Initial Data
本文考虑具有准周期初值的KdV方程$$ \partial_t u +\partial^3_x u +u\partial_x u=0 $$，其傅里叶系数是指数衰减的，证明了在具有指数衰减的傅里叶系数展开式的函数类中，解在小时间区间上的存在唯一性，其长度取决于给定的初值和频率向量.对于丢番图频率矢量和小的准周期数据（即，当傅里叶系数服从$|c(m)| \le \varepsilon \exp(-κ_0 |m|)$且$\varepsilon > 0$足够小时（依赖于$κ_0 > 0$和频率向量），我们证明了解的整体存在唯一性.后者的结果依赖于我们最近的工作\cite{DG}的逆谱问题的准周期薛定谔方程。
Qualitative features of periodic solutions of KdV
本文证明了圆上KdV解的新的定性特征。第一个结果表明，索伯列夫空间$H^N,\, N\geq 0$中KdV解的傅里叶系数允许WKB型展开，直到一阶，其中强振荡相位因子根据KdV频率定义。第二个结果提供了这样的解决方案的三角多项式足够大的程度的近似估计。
Multilinear estimates for periodic KdV equations and applications
我们证明了一个端点多线性估计的$X^{s,b}$空间与周期Airy方程。因此，我们获得了周期广义KdV方程的尖锐的局部适定性结果，以及一些低于能量范数的整体适定性结果。特别是，我们证明了一个多线性估计，完成了证明的全球适定性周期KdV在前面的文件（数学。AP/0110045）下降到最佳的正则性H^{-1/2}。
Local well-posedness of periodic fifth order KdV type equations
本文研究了具有非线性项的五阶周期色散方程$P_1(u)\p_xu + P_2(u)\p_x u\p_xu $的局部适定性。这里，$P_1(u)$和$P_2(u)$是$u$的多项式。我们还得到了一些新的哈茨估计。
The KdV, the Burgers, and the Whitham limit for a spatially periodic Boussinesq model
我们感兴趣的Korteweg-de Vries（KdV），Burgers和Whitham极限的空间周期Boussinesq模型与非小对比度。我们证明了KdV，Burgers，和Whitham近似和真实的原始系统的解决方案，保证这些振幅方程作出正确的预测的空间周期Boussinesq模型的动态振幅方程的自然时间尺度之间的估计。证明是基于布洛赫波分析和能量估计。该结果是第一个理由的KdV，Burgers，和Whitham近似的色散偏微分方程中提出的空间周期性介质的非小对比度。
Modified energies for the periodic generalized KdV equation and applications
我们构造了广义KdV方程的修正能量。因此，我们得到了高阶高斯测度的拟不变性以及相应Radon-Nykodim密度的$L^p$正则性，以及解的Sobolev范数增长的新界.
On the stability of periodic multi-solitons of the KdV equation
本文得到了KdV方程周期多孤子的稳定性结果：我们证明了在任意给定的小尺寸$\varepsilon > 0$的半线性Hamilton扰动下，KdV方程的一大类周期多孤子，包括大振幅周期多孤子，对于至少$O(\varepsilon^{-2})$的时间间隔是轨道稳定的.据我们所知，这是第一个稳定的结果，这种类型的周期多孤子的大尺寸的可积偏微分方程。
Global Smoothing for the Periodic KdV Evolution
研究了具有周期边界条件的KdV方程。结果表明，对于$H^s$初始数据$s>-1/2$和任意$s_1<\min(3s+1,s+1)$，非线性演化和线性演化的差始终在$H^{s_1}$内，至多多项式增长$H^{s_1}$范数.在$s\geq 0$情形下，结果还扩展到KdV，具有平滑的、平均为零的、随时间变化的电势。我们的结果和Oskolkov定理的Airy发展意味着，如果一个开始与连续和有界变化的初始数据，然后KdV的解决方案（由$L^2$理论的Bourgain）是一个连续函数的空间和时间。此外，我们证明了光滑的修改KdV方程上的环面$s>1/2$。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the periodic case
我们证明了KdV-Burgers在$ H^{-1}(\T) $中是全局适定的，其解映射是从$H^{-1}(\T) $到$C([0,T];H^{-1}(\T))$的解析解映射，而它在$ H^s(\T) $中是不适定的，只要$ s<-1 $，在这个意义上，流映射$u_0\mapsto u(t) $在任何足够小的固定$ t>0 $处都不能从$ H^s(\T) $连续到甚至${\cal D}'(\T) $。根据Kappeler和Topalov关于KdV的结果，由此看来，即使KdV-Burgers方程的耗散部分允许相对于KdV方程降低$ C^\infty $临界折射率，它也不允许提高$ C^0$临界折射率。
Periodic waves of the modified KdV equation as minimizers of a new variational problem
修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程的周期波被确定在一个新的变分问题的上下文中有两个约束。这个变分问题的优点是它的非退化局部极小在mKdV方程的时间演化中是稳定的，而鞍点是不稳定的。我们探讨了Jacobi椭圆函数给出的周期波的解析表示，并数值计算了约束变分问题的临界点。发现了三个光滑解族的一个分叉，其中两个解族表示约束变分问题的（稳定）极小解，另一个解族表示（不稳定）鞍点。
An index theorem for the stability of periodic traveling waves of KdV type
我们考虑Korteweg-Devries型方程的周期解。虽然周期波的稳定性理论已经得到了很多关注，但该理论比孤波稳定性的类似理论发展得更少，并且似乎在数学上更丰富。我们证明了一个指数定理，给出了一个精确的计数的线性化算子的不稳定的特征值的行波轮廓的导数的零点的数目与几何信息的常微分方程的积分常数和偏微分方程的守恒量之间的一定的映射。该指标可以看作是Sturm振荡定理和Korteweg-de Vries型方程孤波解的经典稳定性理论的推广。在多项式非线性的情况下，这个指数，以及之前由Bronski和Johnson介绍的相关指数，可以用黎曼曲面上周期积分的导数来表示。由于这些周期积分满足Picard-Fuchs方程，这些导数可以用积分本身表示，从而得到解的各种矩的表达式。最后，我们举一些说明性的例子。
Global well-posedness for periodic generalized KdV equation
本文证明了周期gKdV方程在空间$H^s(\mathbb{T})$、四次空间$s\ge \frac12$和五次空间$s> \frac59$中的整体适定性.这改进了I-team在2004年的结果。特别地，对于五次情形，结果是尖锐的。主要的方法是结合Miao等人在2010年提出的共振分解的I-方法，以及周期设置下的双线性Eschhartz估计。
The periodic KdV with control on space-time measurable sets
本文研究环面上KdV方程在正测度时空控制集下的局部精确可控性，提出新的可观测性不等式证明策略，并推广至一大类色散方程。
Periodic travelling waves of the modified KdV equation and rogue waves on the periodic background
我们解决最一般的周期性行波的修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程写为雅可比椭圆函数的有理函数。通过应用代数方法，其中涉及的周期行波和平方周期本征函数的Lax运营商，我们明确的特征的位置特征的周期谱问题远离虚轴。我们证明了具有周期本征函数的达布变换仍属于mKdV方程的相同周期行波类。在一般情况下，离虚轴正好有三对对称的特征值，对于相同的特征值，我们给出了Lax方程第二非周期解的一种新表示.我们发现，达布变换的非周期解的Lax方程产生流氓波的周期背景下，这是从无穷远带来的传播代数孤子或形成在有限区域的时间-空间平面。
Stability of Small Periodic Waves in Fractional KdV Type Equations
考虑了色散和非线性对KdV型非线性偏微分方程周期行波解稳定性的影响，包括广义KdV方程和Benjamin-Ono方程.在这项研究中，我们考虑的谱稳定性的解决方案，出现的小扰动的平衡态。我们的分析的一个关键特点是一个非局部Floquet理论，适合于分析相关的线性化运营商的$L^2(\RM)$频谱的发展。利用谱扰动理论，我们推导出了非线性项的幂次与分数阶色散算子的符号之间的关系，该关系决定了对任意小的局部微扰的谱稳定性和不稳定性。
On the boundary stabilization of the KdV-KdV system with time-dependent delay
本文研究了 Boussinesq KdV-KdV 型系统的边界镇定问题，设计了结合阻尼机制与时滞项的边界反馈律，并利用 Kato 方法、不动点论证及 Lyapunov 方法证明了系统的适定性与能量指数衰减。
Orbital Stability of Periodic Waves for the Log-KdV Equation
本文建立了与对数Korteweg-de Vries方程有关的周期波的轨道稳定性。我们的动机是在最近的工作\cite{carles}，其中作者建立了高斯孤波的适定性和线性稳定性的启发。利用最近在\cite{natali1}中提出的构造周期波光滑分支的方法，以及得到相应线性化算子的谱性质，我们应用\cite{grillakis1}和\cite{weinstein1}中的抽象理论，推导了周期行波在能量空间中的轨道稳定性.
Well-posedness for the Non-integrable Periodic Fifth Order KdV in Bourgain Spaces
本研究针对非可积周期五阶KdV方程，利用分部微分法在低调制限制范数空间建立适定性与非线性光滑性，推导了相关适定性推论，并给出解的上Minkowski维数非平凡上界。
Quasi-periodic solutions for quasi-linear generalized KdV equations
证明了拟线性自治Hamilton广义KdV方程小振幅线性稳定拟周期解的Cantor族的存在性.我们考虑最一般的拟线性二次非线性。证明是基于迭代Nash-Moser算法。为了初始化这个计划，我们需要进行分叉分析，考虑到强扰动的非线性附近的原点的影响。特别是，我们实现了一个弱版本的Birkhoff范式方法。在迭代的每一步的线性化算子的反演是通过伪微分技术，线性Birkhoff标准形算法和线性KAM约化方案。
Remarks on nonlinear smoothing under randomization for the periodic KdV and the cubic Szegö equation
本文考虑一类具有随机初值的色散偏微分方程的柯西问题。特别地，我们通过在积分公式的第二次迭代上展示随机化下的非线性平滑，几乎必然地为H^s（T），s > s_0（其中s_0 = -11/6 + \sqrt{61} /6 \thickapprox -0.5316 < -1/2）上的平均零高斯测度支持的初始数据构造平均零周期KdV的局部时间解。我们还证明了无色散三次Szegö方程在初始数据随机化下不存在非线性光滑。
Cancellation properties and unconditional well-posedness for the fifth order KdV type equations with periodic boundary condition
本研究针对带周期边界条件的五阶KdV型方程，通过正规形约化与抵消性质处理导数损失，证明了$s \u003e 1$时$H^s(\u2124)$空间中无条件适定性的最优性。
Khasminskii--Whitham averaging for randomly perturbed KdV equation
考虑阻尼驱动的KdV方程$$ \dot u-ν{u_{xx}}+u_{xxx}-6uu_x=\sqrtνη(t,x), x\in S^1, \int u dx\equiv \intηdx\equiv0, $$，其中$0<ν\le1$和随机过程$η$在$x$中是光滑的，在$t$中是白色的.对于任何周期函数$u(x)$，令$ I=(I_1,I_2,...) $为矢量，由运动的KdV积分形成，为势$u(x)$计算。我们证明，如果$u(t,x)$是上述方程的解，那么对于$0\le t\lesssimν^{-1}$和$ν\to0$，矢量$ I(t)=(I_1(u(t,\cdot)),I_2(u(t,\cdot)),...) $满足（Whitham）平均方程。
Non-homogeneous boundary value problems for coupled KdV-KdV systems posed on the half line
本文研究了具有非齐次边界条件的射线$ \mathbb{R}^+ $上的耦合KdV-KdV系统的初边值问题：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} u_t+v_x+u u_x+v_{xxx}=0, \quad v_t+u_x+(vu)_x+u_{xxx}=0, \quad u(x,0)=ϕ(x),\quad v(x,0)=ψ(x), \quad u(0,t)=h_1(t),\quad v(0,t)=h_2(t),\quad v_x(0,t)=h_3(t), \end{array} \right. \qquad x,\,t>0. \end{equation*}.证明了当初始数据$(ϕ,ψ)$在$H^s(\mathbb{R}^+)\times H^{s}(\mathbb{R}^+)$中，边界数据$(h_1,h_2,h_3) $在$H^{\frac{s+1}{3}}(\mathbb{R}^+)\times H^{\frac{s+1}{3}}(\mathbb{R}^+)\times H^{\frac{s}{3}}(\mathbb{R}^+)$中时，该问题在$H^s(\mathbb{R}^+)\times H^s(\mathbb{R}^+)$中是局部无条件适定的.本文所发展的方法也可用于研究更一般的射线上的KdV-KdV系统。
Stability of the line soliton of the KP-II equation under periodic transverse perturbations
我们证明了KdV孤波作为KP-II方程的解的非线性稳定性。
Exponential stabilization of cascade ode-linearized kdv system by boundary Dirichlet actuation
本文研究了一类由线性常微分方程和一维线性化的Korteweg-de Vries方程（KdV）控制的级联常微分方程-偏微分方程系统的指数镇定问题.整个系统的控制作用在KdV方程的Dirichlet条件的左边界上，而KdV通过Dirichlet连接作用在线性常微分方程中。利用无穷维Backstepping设计将系统转化为指数稳定的级联ODE-PDE系统，然后利用这种设计的可逆性，利用李雅普诺夫分析实现了级联ODE-PDE系统的指数稳定性。
Norm inflation for equations of KdV type with fractional dispersion
我们证明了非线性非局部方程，扩展Korteweg-de Vries方程允许分数色散，在周期和非周期设置的范数膨胀。也就是说，初始数据在索伯列夫空间中是光滑的且任意小，但是在任意短的时间之后，解在索伯列夫空间中变得任意大。
Local well-posedness of the KdV equation with quasi periodic initial data
证明了拟周期函数空间中Korteweg-de Vries方程Cauchy问题的局部适定性.函数空间包含函数，使得f=f_1+f_2+.+其中f_j在a_j周期函数的阶数s>-1/2N的Sobolev空间中。注意，当周期比a_i/a_j为无理数时，f不是周期函数。证明的主要工具是Bourgain提出的Fourier限制范数方法。我们还证明了一个不适定性结果，在这个意义上，流图（如果它存在）不是C^2，这是有关丢番图问题。
Cancellation properties and unconditional well-posedness for fifth order modified KdV type equations with periodic boundary conditions
本文针对周期边界条件下的五阶修正KdV型方程，利用正规形约化和消去性质克服导数损失，证明了在 $H^s(\mathbb{T})$（$s \geq 3/2$）中的无条件适定性，并借助守恒律得到 $s=2$ 时的全局适定性，结果覆盖不可积情形。
Solution of the KdV equation using evolutionary vessels
本文提出了求解KdV方程q '_t = - \dfrac{3}{2} q'_x + \dfrac{1}{4} q "'_{xxx}的一种新方法.所提出的方法是一个特殊的情况下，进化的船只，在这项工作中开发的理论。Sturm-Liouville算子的逆散射及其势的演化是基本成分，类似于Gardner-Greene-Kruskal-Miura（1967），Zacharov-Shabbath（1974）和Peter Lax（1977）开发的现有方法。进化KdV血管可以被认为是这些以前的工作的推广。新方法的优点是，它产生了一个统一的方法，现有的KdV方程的解决方案。例如，奇数或偶数解析，周期，殆周期解被证明是这个理论的特殊情况。推广这种方法，我们也可以产生许多偏微分方程，与可积系统，在任意数量的变量（在精神Zakarov-Shabat）。
On the stability of the dnoidal waves for the Schrödinger-KdV system
本文研究周期Schrödinger-KdV系统的两参数2T周期dnoidal型行波，建立其关于同周期扰动的谱稳定性，并在T趋于无穷时复现实线孤子解稳定性的已有结果。
KAM for autonomous quasi-linear perturbations of KdV
我们证明了KdV的拟线性（即强非线性）自治Hamilton扰动的拟周期小振幅解的Cantor族的存在性和稳定性。
Large KAM tori for quasi-linear perturbations of KdV
本文证明了任意大小的空间周期多孤子在任意准线性哈密顿扰动下的持续生存性，它是光滑的且充分小的。这肯定地回答了一个长期存在的问题，是否KAM技术可以进一步发展，以证明存在的拟周期解的任意大小的强非线性扰动的可积偏微分方程。
Well-posedness for a Family of Perturbations of the KDV Equation in Periodic Sobolev Spaces of Negative Order
利用$s\geq -1/2$在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{T})$中建立了方程$$ u_t + u_{xxx}+ηLu + uu_x=0;\; x\in \mathbb{T},\; t\geq0, $$的初值问题的局部适定性，其中$η>0$，$(Lu)^{\wedge}(k)=-Φ(k)\hat{u}(k)$，$k\in \mathbb{Z}$和$Φ\in \mathbb{R}$有上界.这个问题的特殊情况是$Φ(k)=-k^2$的Korteweg-de Vries-Burgers方程，$Φ(k)=k^2-k^4$的导数Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky方程，以及$Φ(k)=|k|-|k|^3$的Ostrovsky-Stepanyams-Tsimring方程。
Control of a Boussinesq system of KdV-KdV type on a bounded interval
本文考虑由J. Bona，M. Chen和J. - C. Saut作为理想流体表面上小振幅长波运动的模型。这两个方程的系统可以描述波在两个方向上的传播，而单个KdV方程仅限于单向波。本文研究了Boussinesq系统的精确能控性，给出了利用某些边界控制的精确能控性.通过将能控性问题化为一个谱问题，并利用第三作者对KdV引入的Paley-Wiener方法求解，我们明确地确定了线性化系统精确能控性失效的所有临界长度，并给出了具有一个或两个Dirichlet或Neumann型边界控制的能控性结果的完整图像.本文在能量空间中导出了在Neumann型控制情形下的完全Boussinesq系统的精确能控性的推广。它是通过将边界反馈控制，以确保全球加藤平滑效果。
Two approaches for the stabilization of nonlinear KdV equation with boundary time-delay feedback
研究了具有边界时滞反馈的非线性Korteweg-de Vries方程。在适当的反馈系数的假设下（延迟或不延迟），我们首先证明了这个非线性无穷维系统在小的初始数据下是适定的。本文的主要结果是关于非线性时滞系统指数稳定性的两个定理。采用两种不同的方法：一个李雅普诺夫函数的方法（允许有一个估计的衰减率，但与KdV方程的空间域的长度的限制性假设）和可观测性不等式的方法，与矛盾的论点（任何非临界长度，但没有估计的衰减率）。给出了一些数值模拟来说明结果。
On the Cauchy problem for quasi-linear Hamiltonian KdV-type equations
证明了一类拟线性Hamilton KdV型方程在周期边界条件下的局部时间适定性，更精确地说，我们证明了解映射的存在性、唯一性和连续性.我们改进了\cite{Mietka}中的结果，推广了所考虑的方程类，并改进了对初始数据的正则性假设。
Modulation equations near the Eckhaus boundary: the KdV equation
我们感兴趣的描述波训练解决方案的复杂的金斯堡-朗道方程\begin{align*} \partial_T Ψ= (1+ i α) \partial_X^2 Ψ+ Ψ- (1+i β) Ψ|Ψ|^2, \end{align*}附近的埃克豪斯边界的时间和空间的小调制，也就是说，当波训练是其第一个不稳定的阈值附近。根据参数$ α$、$ β$，可以导出多个调制方程，例如KdV方程、Cahn-Hilliard方程和基于Ginzburg-Landau的幅度方程族。在这里，我们建立误差估计表明，KdV近似在一定的参数制度作出正确的预测。我们的证明是基于能量估计和利用守恒律结构的临界模式。为了改善线性阻尼，我们在解析函数空间中工作。
Periodic FPU system: Continuum limit to KdV via regularization and Fourier analysis
本文研究周期FPU系统在更广泛初始数据下向KdV方程的连续极限，通过推导L4-Strichartz估计和运用正规型方法正则化系统，克服了周期解缺乏局部平滑效应的挑战，证明了粗糙数据的适定性并严格推导了连续极限。
Sharp Global well-posedness for KdV and modified KdV on $\R$ and $\T$
研究了Korteweg-de Vries（KdV）和修正KdV（mKdV）方程在周期和衰减边界条件下的初值问题.这些初值问题被证明是全球性的良好的所有$L^2$为基础的索伯列夫空间$H^s$的地方适定性目前已知的，除了$H^{1/4} (\R)$端点mKdV。KdV的结果依赖于一种新的方法，使用多线性调和分析和可用的局域时间理论来构建几乎守恒量。利用Miura变换证明了标准KdV方程的整体适定性隐含了修正KdV方程的整体适定性.
Regular Global Solutions for A Generalized KdV Equation Posed on A Half-Line
考虑射线上广义KdV方程的初边值问题。对任意光滑初值建立了整体正则解的存在唯一性。
Sharp well-posedness and ill-posedness of the Cauchy problem for the higher-order KdV
本文研究了具有低正则性数据的高阶KdV型方程\begin{eqnarray*} u_{t}+(-1)^{j+1}\partial_{x}^{2j+1}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2}) = 0,j\in N^{+},x\in\mathbf{T}= [0,2πλ) \end{eqnarray*}和$λ\geq 1$的柯西问题。首先，我们证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题在具有$s\geq -j+\frac{1}{2},j\geq2.$的$H^{s}(\mathbf{T})$中的局部适定性。我们还证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题是病态的，本文的结果改进了\cite{H}的结果，$j\geq2$。
On the KdV approximation for a Boussinesq equation posed on the infinite necklace graph
该研究针对无限周期项链图上的Boussinesq方程，推导用于描述长波行波的KdV方程，通过能量估计给出误差界，验证了该形式近似的有效性。
Modulational Instability in Equations of KdV Type
经验表明，色散介质中的非线性波主要沿一个方向传播，在小的空间和时间尺度中可能呈现周期性，但它们的特性--振幅、相位、波数等--在大的空间和时间尺度中变化缓慢。在20世纪70年代，Whitham发展了一种渐近（WKB）方法来研究小的“调制”对非线性周期波列的影响。从那时起，有大量的工作，旨在严格证明预测从惠瑟姆的正式理论。我们讨论了最近的进展，在数学理解的动力学，特别是慢调制波列的不稳定性的非线性色散方程的KdV型。
Decay for the nonlinear KdV equations at critical lengths
本文研究了在有界区间上的非线性KdV方程，方程的右边分别满足Dirichlet边界条件和Neumann边界条件.已知存在一组临界长度，对于这组临界长度，如果线性化系统的初始数据属于有限维子空间$\M$，则线性化系统的解保持$L^2$ -范数。本文证明了当$\dim \M = 1$或$\dim \M$为偶数且满足特定条件时，只要它们的初始数据足够小，非线性KdV系统的所有解至少以$1/ t^{1/2}$的速率衰减到0.我们的分析受到幂级数展开方法的启发，并涉及准周期函数理论。因此，我们重新发现已知的结果，以前建立的$\dim \M = 1$或最小临界长度$L$与$\dim \M = 2$通过不同的方法使用中心流形理论，并获得新的结果。我们还表明，衰减速率是不慢于$\ln (t + 2) / t$的所有临界长度。
Discrete Fourier restriction associated with KdV equations
在本文中，我们考虑一个离散的限制与KdV方程。得到了一些新的Eschenhartz估计。我们还建立了具有非线性项$ F(u)\p_x u$的周期广义Korteweg-de Vries方程的局部适定性，其中初始数据为$F\in C^5$，初始数据为$ϕ\in H^s$，初始数据为$s>1/2$ .
Green's function for the fractional KdV equation on the periodic domain via Mittag-Leffler's function
线性算子$c + (-Δ)^{α/2}$，其中$c > 0$和$(-Δ)^{α/2}$是周期域上的分数拉普拉斯算子，在分数Korteweg-de Vries方程中周期行波的存在下产生。我们建立的格林函数的这种线性算子与Mittag-Leffler函数，这是以前使用的上下文中的Riemann-刘维和卡普托的分数阶导数的关系。利用这一关系，我们证明了对每个$c > 0$和每个$α\in (0,2]$，格林函数是严格正的和单叶的（从极大点单调递减）.另一方面，我们认为，从数值逼近的情况下，$α\in (2,4]$，格林函数是积极的和单叶小$c$和非积极的和非单叶大$c$。
The KdV equation on the half-line: The Dirichlet to Neumann map
考虑半直线$x \geq 0$上KdV方程$u_t + u_x + 6uu_x + u_{xxx} = 0$的初边值问题.对于适定问题，可以指定初始数据$u(x,0)$以及三个边界值之一$\{u(0,t), u_x(0,t), u_{xx}(0,t)\}$;其他两个边界值仍然未知。我们提供的Dirichlet以及两个Neumann问题的未知边值的非线性积分方程组的一个特征。的特征是有效的，在这个意义上，积分方程可以解决扰动的所有订单在一个定义良好的递归计划。
Nonlinear Stability of Periodic-Wave Solutions for Systems of Dispersive Equations
本文证明了具有耦合非线性项的色散方程组周期行波解的轨道稳定性。我们的方法基本上是在两个假设下开发的：一个是关于行波周围的线性化算子的谱，另一个是关于存在一个具有适当性质的守恒量。该方法可应用于Liu-Kubota-Ko系统、修正的KdV系统和log-KdV型系统。
Diophantine Conditions in Well-Posedness Theory of Coupled KdV-Type Systems: Local Theory
研究了一类单参数KdV型耦合系统在周期和非周期背景下的局部适定性问题。特别是，我们表明，某些共振发生，密切依赖于耦合参数α的值时，α \ne 1。在周期条件下，我们利用丢番图条件刻画了系统的共振态，建立了系统在H^s中的局部适定性（\mathbb{T}_λ），s \geq s^ \ast，其中s^ \ast = s^ \ast（α）\in（{1/2}，1]由从耦合参数α导出的某些常数的丢番图表征确定。我们还在L^2（\mathbb{R}）中给出了一个清晰的局部（和全局）结果。在附录中，我们通过引入向量值X^{s，b}空间，简要讨论了在α= 1且不作均值0假设时H^{-{1/2}}（\mathbb{T}_λ）中的局部适定性结果.
Complex-valued Burgers and KdV-Burgers equations
本文研究了Burgers方程和KdV-Burgers方程的空间周期复值解。证明了对于任意充分大的时间T，存在一个显式初值，使得Burgers方程的解在T处爆破.另外，在较弱的条件下，证明了该问题的级数解的整体收敛性和正则性。
Low regularity Cauchy problem for the fifth-order modified KdV equations on $\mathbb{T}$
本文研究了五阶修正KdV方程在周期边界条件下的解.利用能量方法证明了$H^s(\mathbb T)$，$s > 2$的局部适定性.主要工具是短时傅立叶限制范数方法，其首先由Ionescu、Kenig和Tataru以其当前形式引入[Global well-posedness of the KP-I初值问题in the energy space，Invent. 173（2）（2008）265- 304]。此外，我们使用频率局域化的修正能量来控制能量估计中的高低相互作用分量。我们注意到，在周期设置下，可积结构是非常有用的（但不是必要的），以消除有害的非线性项，这项工作是第一个低正则性适定性结果的五阶修正KdV方程。
Elliptic solutions and solitary waves of a higher order KdV--BBM long wave equation
利用Weierstrass $\wp$函数给出了三阶和五阶KdV-BBM（Korteweg-de Vries-Benjamin，Bona \& Mahony）正则长波方程双曲、无界周期和椭圆解的存在性条件.对三阶KdV-BBM方程的初值问题进行了分析，并给出了局部和整体适定性理论.行波约化与零边界条件一起使用，以产生孤子和周期无界解，而对于非零边界条件，我们找到解决方案的Weierstrass椭圆$\wp$功能。对于五阶KdV-BBM方程，我们表明，一个参数$γ=\frac {1}{12}$，方程的哈密顿量，代表一个限制，其中有约束曲线，从来没有相交的区域的无界孤波，这反过来又表明，只有黑暗或明亮的孤子，没有无界解存在。由于$γ\neq\frac{1}{12}$没有哈密顿结构，我们给出了$H^k$的界，并证明了非哈密顿系统中暗孤子和亮孤子共存，且存在无界周期解.对于非零边界条件，由于椭圆方程的系数的非线性代数系统的复杂性，我们构造Weierstrass解决方案的一组特定的参数。
Invariant Gibbs Measures and a.s. Global Well-Posedness for Coupled KdV Systems
我们继续研究周期环境下单参数KdV型耦合系统的适定性理论。当耦合参数α \in（0，4）\setminus 1时，我们证明了Gibbs测度在流动下是不变的，并且当满足一定的Diophantine条件时，系统在统计系综上几乎必然是整体适定的.
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