Weighted Regularity Lemma with Applications
Béla Csaba, András Pluhár
我们证明了一个扩展的正则引理与顶点和边的重量，可以适用于一个大类的图。应用程序涉及随机图和一个加权版本的Erdens-Stone定理。我们还提供了处理不受控制的异常集的方法。
We prove an extension of the Regularity Lemma with vertex and edge weights which can be applied for a large class of graphs. The applications involve random graphs and a weighted version of the Erdős-Stone theorem. We also provide means to handle the otherwise uncontrolled exceptional set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Szemerédi's Regularity Lemma for matrices and sparse graphs
Szemerédi正则引理是分析稠密图结构的重要工具。稀疏图的正则性引理有很多版本，但这些版本只适用于满足某些局部密度条件的图。在本文中，我们证明了一个稀疏正则引理，适用于所有的图。更一般地，我们给出了一个正则引理，适用于任意实矩阵。
Regularity and counting lemmas for multidimensional matrices
本文给出了有限字母表下多维矩阵的正则引理和计数引理的推广。首先，我们证明了一个变种的多维正则引理的帮助下，从图到矩阵的$\varepsilon$ -正则性的翻译。接下来，我们指出，这个$\varepsilon$ -正则性是足够的，以获得一个矩阵模拟的计数引理$2$维矩阵，但不是高维情况。最后，我们介绍了$\varepsilon$ -规则模式，使我们能够推导出一个多维计数引理。
Limits of Hypergraphs, Removal and Regularity Lemmas. A Non-standard Approach
研究了有限集的超积的积分和测度论。作为一个主要应用，我们构造了超图序列的极限对象。给出了超图去除引理和超图正则引理的新证明。
Szemerédi's regularity lemma revisited
塞梅雷迪正则引理是图论中的一个基本工具，在加法组合学中也起着重要的作用，尤其是在证明关于等差数列的塞梅雷迪定理中。在本文中，我们从概率论和信息论的角度而不是图论的角度重新审视这个引理，并观察到这个引理的一个变体，它引入了一个新的参数$F$。作者在最近的一篇论文中迭代了这个更强的正则性引理，以重新证明超图的类似正则性引理。
The Regularity Lemma with bounded VC Dimension
我们给出了一个证明Szemeredi的正则性引理的特殊情况下，有界VC维的图，并表明它是可能的，以获得“仅仅”双指数界的大小的分区在这种情况下。
A Pythagoras proof of Szemerédi's regularity lemma
我们给出了一个简短的证明Szemerédi的正则引理，基础上初等欧几里德几何。一般线的证明是标准的证明（事实上，塞梅雷迪的原始证明），但大多数技术性被吞噬应用毕达哥拉斯定理。
On regularity lemmas and their algorithmic applications
Szemerédi的正则性引理及其变体是组合数学中一些最强大的工具。在本文中，我们建立了几个结果周围的正则引理。首先，我们证明，无论我们是否包括的条件，所需的顶点划分的正则性引理是公平的分区的部分的数量上的影响最小。其次，我们使用的（弱）Frieze-Kannan正则引理的算法版本，给一个更快的确定性近似算法计算子图在一个图。以前，只有一个指数依赖的运行时间上的错误参数是已知的，我们改进它的多项式依赖。第三，我们重新审视了寻找算法正则性引理的问题，给出了几个co-NP-complete问题的近似算法。我们展示了如何使用弱Frize-Kannan正则引理来近似一对顶点子集的正则性。我们还展示了如何快速找到，为每个$ε'>ε$，一个$ε'$定期分区与$k$部分，如果存在一个$ε$定期分区与$k$部分。最后，给出了置换正则引理的一个简单证明，该引理将以往证明中的部件个数的塔型界改进为一个指数界。
Decomposition of degree-regular graphs into quasi-random pairs without the Regularity lemma
本文提出一种替代Szemerédi正则引理的顶点划分框架，适用于密度趋于零且顶点集较小的图，并将其应用于二分图打包问题。
An algorithmic regularity lemma for $L_p$ regular sparse matrices
本文证明了$L_p$正则矩阵$(1 < p \leq \infty),$（一类稀疏$\{0,1\}$矩阵，它们服从自然伪随机性条件）的算法正则性引理。这推广了Coja-Oghlan，Cooper和Frieze关于$L_{\infty}$正则矩阵的一个结果.我们还提出了张量和MAX-CSP的情况下，这一结果的应用。
An Abstract Regularity Lemma
将Szemeredi正则引理推广到抽象测度空间.我们的主要目的是找到一般条件下，原来的证明Szemeredi仍然有效。为了说明我们的方法有一定的优点，我们概述了几个应用程序。其中一些应用程序似乎是针对我们的方法：特别是，我们不知道任何替代的证明。
A Short Proof of Gowers' Lower Bound for the Regularity Lemma
Gowers的一个著名结果是：对于每个ε> 0，存在一个图G，使得G的每个ε-正则划分（在Szemeredi正则引理的意义下）的阶由1/ε中高度多项式的指数塔给出。在本说明中，我们给出了一个新的证明这个结果，使用的建设和证明的正确性，显着更简单，更短。
A Sparse Regular Approximation Lemma
我们引入一个新的变种Szemerédi的正则引理，我们称之为“稀疏正则逼近引理”（SRAL）。这个引理的输入是边密度$p$和参数$ε, δ$的图$G$，其中我们认为$δ$是一个常数。我们的目标是构建$G$的$ε$ -规则分区，同时可以自由添加/删除多达$δ|E(G)|$的边。正如我们在这里所展示的，正则引理的这个较弱的变体已经足以证明图移除引理和超图正则引理，这是（标准）正则引理的两个主要应用。这当然提出了以下问题：一个可以获得定量界限SRAL显着优于那些与正则引理？我们的第一个结果肯定地回答了上述问题，证明了一个上界SRAL的高度$O(\log 1/p)$塔。这使我们能够重新证明福克斯的上界的图删除引理。我们的第二个结果是一个匹配的下界SRAL表明塔的高度$Ω(\log 1/p)$是不可避免的。事实上，我们证明了一个更一般的多色下界，这是必不可少的证明下界的超图正则性引理。
A version of Szemerédi's regularity lemma for multicolored graphs and directed graphs that is suitable for induced graphs
在这篇手稿中，我们开发了一个版本的Szemerédi的正则引理，适合于分析多色的完全图和有向图。在这方面，我们遵循Alon，Fischer，Krivelevich和M. Szegedy [Combinatorica，20（4）（2000），451- 476]，他们证明了图的类似结果。其目的是推广经典的结果密集的遗传性质，如速度的财产或编辑距离，上述组合对象。
Regularity inheritance in pseudorandom graphs
提出了稀疏正则性方法，证明了双混乱图的子图的单侧和双侧正则性继承引理，改进了Conlon、Fox和Zhao [Adv. Math. 256（2014），206--290]的结果。这些继承引理也意味着改进的$H$计数引理的子图的双混杂图，对于某些$H$。
A unified abstract regularity lemma
本文证明了一个统一抽象正则引理，直接推导出Szemerédi图正则引理、Green算术正则引理和布尔函数正则引理。
A Permutation Regularity Lemma
我们介绍了一个置换模拟著名的Szemeredi正则引理，并得出一些后果。这个工具使我们能够提供一个结构描述的排列，避免指定的模式，一个结果，排列分散小区间包含所有可能的模式的一个给定的大小，证明每个排列避免指定的模式有一个几乎单调的线性大小的子集，和一个“瘦删除”的结果。我们还展示了如何可以计数子模式的置换与积分，并将我们的结果置换准随机性的方式类似的图论设置。
A Wowzer Type Lower Bound for the Strong Regularity Lemma
Szemeredi的正则性引理断言，人们可以将每个图划分为有界数目的拟随机二部图。然而，在某些应用中，人们希望对这些二部图的准随机性有很强的控制。阿隆、费舍尔、克里维列维奇和塞格迪得到了正则引理的一个强大的变体，它允许人们对这种准随机性的度量进行任意控制。然而，他们的证明只能保证产生一个分区，其中部分的数量由Wowzer函数给出，这是Tower函数的迭代版本。我们在这里表明，这种类型的界限是不可避免的，通过构建一个图H，与属性，即使一个人想要一个非常温和的控制准随机性的一个经常分区，那么任何这样的分区H必须有一些部分由Wowzer型函数。
Low discrepancy and spectral gap for directed hypergraphs via spectral regularity lemma for tensors
本文证明有向均匀超图的低差异等价于谱间隙，通过建立基于变分特征值的Frieze-Kannan型张量谱正则引理，给出Lenz-Mubayi定理的简短证明，并讨论相关变体。
The regularity lemma is false over small fields
正则引理是矩阵线性子空间张量爆破可能秩的严格条件。Ivanyos、Qiao和Subrahmanyam在下伏场足够大时证明了这一点。我们表明，如果字段的大小是太小，正则引理是假的。
A tight lower bound for Szemerédi's regularity lemma
解决一个问题的Gowers，我们确定的顺序塔的高度分区大小的一个版本的Szemerédi的正则引理。
Efficient arithmetic regularity and removal lemmas for induced bipartite patterns
设$G$是指数有界的阿贝尔群，$A \subseteq G$ .证明了如果$A$的平移集合的VC维至多为$d$，则对于每个$ε>0$，都存在$G$的子群$H$，其索引至多为$ε^{-d-o(1)}$，使得最多可以在$A$中添加或删除$ε|G|$元素，使之成为$H$ -陪集的并集.对于指数有界的有限阿贝尔群中的诱导偶模式，我们还建立了一个多项式界的移除引理，并应用于性质检验。
A non-flag arithmetic regularity lemma and counting lemma
本文提出了一个不依赖旗形条件的算术正则引理和计数引理，适用于所有线性形式系统，推广了Green和Tao的经典结果。
A Tight Bound for Hypergraph Regularity I
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。我们表明，这样的阿克曼型界限是不可避免的每一个$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。在我们的工作之前，上述类型的唯一结果是Gowers著名的图的正则性的下界。在本文中，我们描述了关键的新思想，使我们能够克服几个障碍，站在这样的界限，更高的一致性超图的方式。其中之一是{ \em graph}正则引理的一个新的（非常弱的）版本的紧界。利用这个界，我们证明了满足一定温和条件的$3$ -一致超图的任何正则引理的一个下界。然后，我们展示了如何使用这个结果，以证明一个紧界的超图正则引理的Gowers和Frankl-Rödl。我们将在随后的论文中得到类似的结果，超图的任意均匀$k\geq 2$。
Efficient Removal without Efficient Regularity
三角形去除引理的有效界是极值组合学最突出的公开问题之一。也许实现这一目标的主要瓶颈是无三角形图可能是高度非结构化的。例如，无三角形图可能只有塔型大小的规则分区（在Szemerédi意义上）。事实上，基本上所有的图的性质${\cal P}$的去除引理与合理的界限，是这样的，每个图满足${\cal P}$有一个小的定期分区。因此，在某种意义上，获得性质${\cal P}$的有效移除引理的障碍是具有满足${\cal P}$的图的有效正则引理。在本文中，我们考虑的属性被诱导$C_4$ -免费的，这也遭受的事实，即一个图可能满足这一性质，但仍然只有塔型大小的常规分区。通过开发一种新的方法来解决这个问题，我们设法克服这个障碍，从而获得一个仅仅是指数界的诱导$C_4$删除引理。因此，我们得到了第一个有效的去除引理，不依赖于一个有效的版本的正则性引理。这是阿隆在2001年提出的一个问题的第一个实质性进展，最近阿隆，康伦和福克斯提出了这个问题。
Bounds for graph regularity and removal lemmas
本文证明了，对于任意正整数k，存在一个图，它的顶点被均匀划分为k个部分，其中至少有ck^2/ \log^* k对部分不是ε-正则的，其中c，ε>0是绝对常数.这个界限是紧的常数c和地址的问题高尔斯的数量不规则对Szemerédi的规律性引理。为了获得对不规则对的一些控制，另一个正则性引理，称为强正则性引理，由阿隆，费舍尔，Krivelevich和Szegedy开发。对于这个引理，我们证明了一个关于强正则引理中部分个数的Wowzer型下界，它在Ackermann族中比塔函数高一级，本质上与上界相匹配.另一方面，对于导出图移除引理，强正则引理的标准应用，我们找到了一个不同的证明，它产生了一个塔型界。我们还讨论了几个相关的正则性引理的界，包括Frieze和Kannan的弱正则性引理以及最近建立的正则逼近定理。特别地，我们证明了具有近似参数ε的弱划分可能需要多达2^{Ω（ε^{-2}）}个部分。这是紧到隐含常数，并解决了一个问题的研究Lovász和Szegedy。
The abelian arithmetic regularity lemma
本文给出了$\{1,\dots,N\}$上Green和Tao在交换（$U^2$）情形下的算术正则引理的一个简单的阐述和证明.这对于那些只需要引理的$U^2$情况的人来说可能很有用，因为一般情况涉及得更多。它也可以作为一般情况的介绍。没有原创性。
An Algebraic Hypergraph Regularity Lemma
Szemerédi正则性引理是图论中的一个强有力的工具。证明了对任意大的图，存在边集的有界划分，使得大多数诱导子图是拟随机的。当图是有限域$F_q$中的可定义集$ϕ(x, y)$时，Tao的代数图正则引理证明了存在图$ϕ(x, y)$的一个划分，使得所有诱导子图都是拟随机的，且拟随机的误差界是$O(q^{-1/4})$ .本文证明了有限域中可定义集的一个代数超图正则引理，从而回答了Tao的一个问题。我们还将代数正则引理推广到差域$(F_q^{alg}, x^q)$中的可定义集合上，并对代数正则引理的几何内容提供了一个新的观点。
On Generalized Regularity
Szemeredi正则引理是正则引理家族中的一个例子，它用更一般的系数代替了图的密度的定义。最近，Fan Chung证明了另一个例子，聚类图的正则引理，并询问是否可以为它提供的定量估计导出良好的上界。对于每个广义正则引理，我们都否定地回答这个问题。
A Note on "Regularity lemma for distal structures"
在最近的一篇论文中，Chernikov和Starchenko证明了在远端理论中定义的图具有强正则性，推广了以前关于由半代数关系定义的图的结果。我们给出了一个较短的，纯粹的模型理论证明这一事实。
The sparse regularity method with Schatten norms and entropy
本文提出基于Schatten范数的稀疏图正则方法，导出k-圈移除引理，应用于加法组合学中的线性方程与多边形模式，并推广至稠密图移除引理。
Hypergraph regularity and the multidimensional Szemerédi theorem
我们证明类似物的超图Szemerédi的正则引理和相关的计数引理的图。作为一个应用，我们给出了多维Szemerédi定理的Furstenberg和Katznelson的第一个组合证明，并提供了一个明确的界限的第一个证明。内格尔、罗尔、沙赫特和斯科坎分别得到了具有相同结果的类似结果。
A Noisy-Influence Regularity Lemma for Boolean Functions
我们提出了一个规则性引理布尔函数$f:\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$的基础上的噪声的影响，如何局部相关的$f$与每个输入位的措施。我们提供了一个应用的正则引理，以削弱条件的多数是稳定的定理。我们还证明了一个“同质化”的版本，说明有一组输入位，使大多数限制的$f$对这些位有小的噪声影响。这些结果由[OSTW 10]勾勒出来，但从未发表。在他们的许可下，我们在这里提供全部细节。
A Tight Bound for Hypergraph Regularity II
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。在最近的一篇论文中，我们证明了这些界限是不可避免的$3$ -一致超图。在本文中，我们扩展了这一结果表明，这样的阿克曼型界是不可避免的每$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。
Definable regularity lemmas for NIP hypergraphs
本文系统地研究了NIP超图的正则性现象及其与（局部）一般稳定测度理论的联系，给出了[L.洛瓦斯湾Szegedy，“Regularity partitions and the topology of graphons”，An irregular mind，Springer Berlin Heidelberg，2010，415-446]。此外，我们还修正了稳定超图和远点超图的正则性的两种极值情形，改进和推广了[A. Chernikov，S. Starchenko，“远端结构的规则引理”，J. Eur. 20（2018），2437-2466]和[M. Malliaris，S. Shelah，“Regularity lemmas for stable graphs”，Transactions of the American Mathematical Society，366.3，2014，1551-1585]。最后，我们考虑了NIP超图的大（近似）齐次可定义子集的存在性的相关问题，并给出了一些肯定的结果和反例。
Regularity for hypergraphs with bounded VC$_2$ dimension
本文针对有界VC$_2$维数的3-图，证明了可将其正则性界限在阿克曼层级中降低一层且达到最佳，核心方法是基于柱体正则性引理设计新方法并扩展至超图。
Notes on the Linear Algebraic View of Regularity Lemmas
本文从线性代数视角从头推导正则性引理，将其视为用小矩阵素描大矩阵的结果，并以此推导出熟悉的图版本。
A Tight Bound for Hyperaph Regularity
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。我们表明，这样的阿克曼型界限是不可避免的每一个$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。在我们的工作之前，这种类型的唯一结果是Gowers著名的下界图的正则性。
Weak and strong regularity, compactness, and approximation of polynomials
设$X$是内积空间，$G$是$X$的正交变换群，$R$是$X$的有界$G$稳定子集.我们定义了这种对$(R,G)$的非常弱和非常强的正则性（在Szemerédi正则引理的意义下），并证明了这两个性质是等价的。而且，这些性质等价于空间$(B(H),d_R)/G$的紧性。这里$H$是$X$（希尔伯特空间）的完备化，$B(H)$是$H$中的单位球，$d_R$是由$d_R(x,y):=\sup_{r\in R}|<r,x-y>|$给出的$H$上的度量，而$(B(H),d_R)/G$是$(B(H),d_R)$的轨道空间（以$G$ -轨道作为商类的商拓扑空间）。作为应用程序，我们给Szemerédi的规律性引理，一个相关的规律性引理分区成区间，和一个低秩逼近定理齐次多项式。
Limits of kernel operators and the spectral regularity lemma
我们研究图极限理论的谱方面。本文用特征值和特征空间的正则性描述了图子的收敛性。沿着这些路线，我们证明了一个谱版本的强正则引理。利用谱方法研究了图子上的群作用。作为一个应用，我们证明了球面上等距不变图子的集合在图收敛方面是封闭的，但类似的陈述并不适用于圆。这一事实植根于正交群的表示论。
An Algorithmic Version of the Blow-up Lemma
最近，我们在图论中发展了一种新的基于正则引理的方法。该方法被应用于稠密图中某些生成子图的寻找。除了正则性引理之外，该方法的另一个主要的通用工具是所谓的爆破引理。这个引理有助于在$\varepsilon$ -正则图中寻找有界度生成子图。我们对引理的原始证明不是算法的，它应用了概率方法。在本文中，我们提供了一个算法版本的爆破引理。对于$n$ -顶点图，可以在时间$O(nM(n))$中找到所需的子图，其中$M(n)=O(n^{2.376})$是将两个$n$乘以整数上具有0，1项的$n$矩阵所需的时间。我们表明，该算法可以并行化，并在$NC^5$中实现。
An analogue of the Szemeredi Regularity Lemma for bounded degree graphs
我们证明了一个足够大的有界度的图可以被分解成准齐次的块。这个结果可以看作是经典Farrell-Varadarajan遍历分解定理的“有限化”。
A tower lower bound for the degree relaxation of the Regularity Lemma
该研究证明了图的度数正则划分所需的簇数下界为塔函数，揭示了即使在正则性放松的情况下，Szemerédi正则引理的界仍不可大幅改进。
Szemerédi's regularity lemma via martingales
我们证明了一个变种的抽象概率版本的Szemerédi的正则引理，由于陶，它适用于一些结构（包括图，超图，超立方体，graphons，以及更多）和工程随机变量在$L_p$的任何$p>1$。我们的方法是基于鞅差序列。
A note on lower bounds for arithmetic regularity partitions
本文为有限域向量空间上的强算术正则划分匹配了wowzer型下界，并证明高阶算术正则划分的tower型大小增长不可避免。
Regularity lemmas in a Banach space setting
Szemerédi正则引理是极值图论、理论计算机科学和组合数论中的一个基本工具。Lovász和Szegedy [L. Lovász和B.塞格迪：Szemerédi's Lemma for the analyzer，Geometric and泛函分析17（2007），252 - 270]给出了该引理的希尔伯特空间解释和根据图极限空间的紧性的解释。本文证明了巴拿赫空间中的几个紧性结果，推广了Lovász和Szegedy的结果以及Borgs，Chayes，Cohn和Zhao [C. Borgs，J.T. Chayes，H. Cohn和Y.赵敏：稀疏图收敛的Lp理论I：极限，稀疏随机图模型和幂律分布，arXiv预印本arXiv：1401.2906（2014）。
A polynomial regularity lemma for semi-algebraic hypergraphs and its applications in geometry and property testing
Fox，Gromov，Lafforgue，Naor和Pach证明了半代数$k$ -有界复杂度一致超图的正则性引理，证明了对于每个$ε>0$，顶点集可以被公平地划分为有界数量的部分（根据$ε$和复杂度），使得除了一个$ε$ -部分之外，所有的$k$ -元组都是齐次的。我们证明了在$1/ε$中零件数可以取为多项式。我们改进的正则引理可以应用到几何问题和以下一般问题的属性测试：是否有可能决定，查询复杂性多项式的倒数的近似参数，超图是否具有给定的遗传属性？对于有界复杂度的半代数超图的典型遗传性质，我们给出了肯定的回答。
Zarankiewicz bounds from distal regularity lemma
本文证明所有满足远距离正则性引理的关系均享有改进的扎兰基维茨界，扩展了半代数关系的上界研究。
The stable regularity lemma revisited
本文证明了关于任意Keisler测度μ在V上，nu在W上的一个正则引理，其中二部图（V，W，R）可定义在饱和结构M中，且公式R（x，y）是稳定的.证明是相当快的，并使用局部稳定性理论。其中（V，W，R）是伪有限的，mu，nu是计数测度，并且M被适当地选择（例如集合论的非标准模型）的特殊情况产生了Malliquid-Shelah的稳定正则性定理（AMS Transactions，366，2014，1551-1585），尽管没有明确的界限或公平性。
Limits, Regularity and Removal for Finite Structures
我们的工作建立在已知的结果，k-一致超图，包括极限的存在性，正则引理和删除引理。我们的主要工具在这里是一个理论的措施，超积空间，建立了一个对应的超积空间和欧几里得空间。首先，我们证明了关系结构的收敛序列的极限对象的存在性，作为一个特殊情况，我们检索了图和有向图的已知极限。然后，我们将这一概念扩展到一个固定的普遍理论的有限模型。我们还陈述并证明了一个正则引理和一个移除引理。我们将讨论我们的工作之间的联系和拉兹博罗夫的旗帜代数以及。
A hypergraph blow-up lemma
我们得到了一个超图推广的图爆破引理证明的Komlos，萨科齐和Szemeredi，表明超图具有足够的正则性，没有非典型顶点的行为，如果他们是完整的嵌入有界度超图。
Removal lemma for infinitely-many forbidden hypergraphs and property testing
本文推广了Alon和Shapira的一个图的结果.肯定地解决了他们提出的性能测试问题。所有的单调超图性质和所有的遗传部超图性质都是可测的。我们的证明是建设性的，并基于一个新的超图正则引理。
A Szemeredi-type regularity lemma in abelian groups, with applications
Szemeredi正则性引理是图论中的一个重要工具，在组合数学中有广泛的应用。本文在阿贝尔群的背景下证明了Szemeredi正则引理的一个类似，并利用它得到了加性数论中的一些结果.一个是几乎无和集的结构定理。如果A是[N]的一个子集，它只包含o（N^2）个三元组（x，y，z），使得x + y = z，那么A可以写为B和C的并集，其中B是无和的，并且|C| = o（N）。另一个回答了Bergelson，Host和Kra的问题。如果α，β> 0，如果N > N_0（α，β）并且如果A是{1，.，N}，则存在某个非零d使得A至少包含（alpha^3 -n）N个具有公差d的三项等差数列。
Regularity lemma for distal structures
已知具有有界复杂度的半代数边关系的图族满足比任意图强得多的正则性性质，并且它们可以被分解成非常齐次的半代数片，直到很小的误差（例如，见[33，2，16，18]）。我们发现，可以得到类似的结果，家庭的图的边缘关系一致定义的结构，满足一定的模型理论的性质称为远距离，就一大类一般稳定的措施。此外，远距性表征了这些强正则性。这特别适用于可定义在任意$o$ -极小结构和$p$ -代数中的图。
Regularity inheritance in hypergraphs
给出了一种处理超图正则性的新方法。这种方法允许顶点的顶点嵌入到超图的常规分区，并推广到稀疏超图的常规分区。我们还证明了一个相应的稀疏超图正则性引理。
A weak regularity lemma for polynomials
本文提出一个具有强界的弱正则引理，用于分解多项式为有界数量的近似独立多项式，并应用于算术电路和多项式秩的定量研究。
Regularity lemmas for stable graphs
设G是具有非k阶性质的有限图（本质上是导出子半图的大小的一致有限界）。本文的一个主要结果应用模型理论的参数，以获得一个更强的版本Szemerédi的正则引理这样的图，定理5.18，其中没有不规则对，边界显着改善，每个组件满足不可分割的条件。这项工作的动机来自于模型理论和图论思想的巧合。也就是说，由于半图的反例，Szemerédi正则引理陈述中的“不规则对”不能被消除。本文的结果表明，在什么意义上这个反例是唯一的本质困难。证明主要是模型理论的（虽然写的是有限组合主义者可以理解的）：任意大的半图与模型理论的不稳定性相吻合，所以在它们不存在的情况下，结构定理和稳定性理论的技术适用。除了上述定理外，我们还给出了其它几个具有不同优点的正则引理，其中改进了分支不可分的条件（代价是使分支数随|G|增长），并将其中的一些结果推广到更大的不具有独立性的图类.
An arithmetic regularity lemma, associated counting lemma, and applications
Szemeredi的正则性引理可以被看作是任意稠密图的粗糙结构定理，将这样的图分解为结构化的部分（划分为具有边缘密度的单元），小误差（对应于不规则单元）和均匀部分（与边缘密度的伪随机偏差）。我们建立了一个算术正则性引理，类似地将有界函数f：[N] -> C分解为一个（均匀分布的，虚拟的）-步零序列，一个在L^2中很小的误差和一个在Gowers U^{s+1}-范数中很小的误差，其中s是正整数。然后，我们建立了一个互补的算术计数引理，计数的算术模式的nilsequence分量的f。我们提供了一些应用这些引理：证明Szemeredi定理的等差数列，证明了一个猜想的Bergelson，主机和克拉，并概括了某些结果的Gowers和狼。我们的结果依赖于作者和T.齐格勒2020年11月修订：本文已被修订，因此计数引理仅涵盖满足称为标志性质的条件的线性型系统。平移不变系统，以及柯西-施瓦茨复杂度为1的系统和其他一些自然发生的系统都具有这个性质。我们感谢丹尼尔·奥尔特曼提请我们注意什么似乎是一个小的技术问题在我们的证明之一，但最终导致我们意识到，计数引理失败相当严重（相当简单的例子，我们将描述）没有一些假设这种类型。此外，我们还提供了一个简短的附录，说明系统的Gowers-Wolf复杂性受其Cauchy-Schwarz复杂性的限制。
A regularity lemma and twins in words
对于单词$S$，令$f(S)$为最大整数$m$，使得存在两个长度为$m$的不相交的相同（分散）子字。令$f(n, Σ) = \min \{f(S): S \text{is of length} n, \text{over alphabet} Σ\}$。这里，它表明，\[2f(n, \{0,1\}) = n-o(n)\]使用的正则性引理的话。也就是说，任何长度为$n$的二进制字都可以被分成两个相同的子字（被称为双（twins）），并且可能还有长度为$o(n)$的剩余子字。一个类似的结果被证明为$k$相同的子字的一个词在一个字母表，最多$k$字母。
Homogeneous hypergraph regularity lemmas via $k$-strong honest definitions
研究在NIP强k-远结构中可定义的(k + 1)-一致超图，通过引入k-强诚实定义，证明其满足齐次正则引理，扩展了Chernikov和Starchenko的相关成果，将强诚实定义理论推广到高元情形。
A Practical Regularity Partitioning Algorithm and its Applications in Clustering
在本文中，我们介绍了一种新的聚类技术，称为正则聚类。这种新技术是基于正则性引理的两个构造性版本的实际变体，正则性引理是图论中非常有用的工具。该引理声称每个图都可以被划分为伪随机图。虽然正则性引理在证明理论结果方面已经变得非常重要，但到目前为止它还没有直接的实际应用。这种缺乏实际应用的一个重要原因是，所考虑的图形必须是天文学上的大。这一要求使其在实际应用中受到限制，因为图形通常要小得多。在本文中，我们提出了修改的正则引理的建设性版本的工作，以及较小的图。我们称之为实用正则划分算法。由此获得的分区用于构建简化图，该简化图可以被视为原始图的压缩表示。然后，我们应用成对聚类方法，如谱聚类，在这个约简图上得到一个聚类的原始图，我们称之为正则聚类。我们目前的结果使用正则聚类的基准数据集，并将它们与标准的聚类技术，如$k$ -手段和谱聚类。这些实证结果非常令人鼓舞。因此，在本文中，我们报告了一种尝试，以利用电力的正则引理的现实世界中的应用。
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