Cyclicity of Elliptic Curves Modulo Primes in arithmetic progressions
我们考虑在一个给定的等差数列中定义在有理数模素数上的椭圆曲线的约化，并研究作为Serre循环性猜想的一个特例，该约化曲线的有理点的子群是循环的.
2020-05-28 math.NT
Twins almost prime under a Elliott-Halberstam's conjecture
我们改进了Bayereri的渐近筛局部化的变量。作为结果，我们证明，根据艾略特-Halberten-motherwise猜想，存在一个无限的孪生几乎素数。这些是素数$p$，使得对于所有的$\varepsilon>0$，$p-2$要么是素数，要么可以写为$p_1 p_2$，其中$p_1$和$p_2$是素数和$p_1<X^{\varepsilon}$，我们给出了显式渐近。
2019-07-15 math.NT
Computing all elliptic curves over an arbitrary number field with prescribed primes of bad reduction
本文研究了如何通过求解$S$ -单位方程来确定定义在任意数域$K$上的所有椭圆曲线在给定的有限素数集$S$之外具有好约化.给出了$\mathbb Q$和二次域上的椭圆曲线的例子。
2015-11-16 math.NT
A uniform bound on the smallest surjective prime of an elliptic curve
本文研究无复乘椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示，证明使其满射的最小素数至多为 $7$，并完全分类了最小满射素数恰好为 $7$ 的所有椭圆曲线。
2025-02-04 math.NT
Introducing Ramanujan's Class Polynomials in the Generation of Prime Order Elliptic Curves
在本文中，我们提出了使用Ramanujan类多项式的素数阶椭圆曲线的CM-方法的建设。我们比较（理论和实验）的效率，使用这个新的类对使用的韦伯，$M_{D,l}(x)$和$M_{D,p_1,p_2}(x)$多项式，并表明，他们显然超过了所有他们在生成的素数阶椭圆曲线。
2008-04-10 math.NT
Big prime factors in orders of elliptic curves over finite fields
设$E$是有限域$\mathbb F_q$上的椭圆曲线.证明了当$n$是一个充分大的正整数时，$\#E(\mathbb F_{q^n})$有一个超过$n\exp(c\log n/\log\log n)$的素因子.
2021-12-13 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers
证明了整数表示形式$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$的平均数在短区间内的渐近公式，其中$\ell_1, \ell_2\in\{2,3\}$，$\ell_1+\ell_2\le 5$是固定整数，$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$，其中$\ell_1=2$和$2\le \ell_2\le 11$或$\ell_1=3$和$ \ell_2=2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-06-21 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers, II
本文改进了关于$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$和$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$形式的整数表示的平均数在短区间内的渐近公式的一些结果，其中$\ell_1, \ell_2\ge 2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-10-26 math.NT
Eta-quotients and divisibility of certain partition functions by powers of primes
Andrews的$(k, i)$ -奇异过分区函数$\overline{C}_{k, i}(n)$计算$n$的过分区的数量，其中没有部分可被$k$整除，并且只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可以被上划线。近来，对于$\ell$的某些值，研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被$2$和$3$整除的可能性。本文研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被素数$p\geq 5$整除的问题。对所有正整数$\ell$和$\ell$的素因子$p\geq 5$，证明了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$，$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$几乎都能被$p$的任意幂整除.对于$s\in \{3, 4, 6\}$，我们接下来证明了那些$n$的集合，其中$\overline{C}_{s\cdot\ell, \ell}(n) \not\equiv 0\pmod{p_…
2021-07-12 math.NT
Integral Tate modules and splitting of primes in torsion fields of elliptic curves
设$E$是有限域$k$上的椭圆曲线，$\ell$是不同于$k$的特征的素数.在本文中，我们考虑的问题，找到结构的泰特模块$T_\ell(E)$作为一个完整的伽罗瓦表示的$k$。我们指出了一个明确的程序来解决这个问题，从特征多项式$f_E(x)$和$j$不变的$j_E$的$E$。希尔伯特类多项式的虚二次订单在这里发挥了重要作用。我们给出了数域上椭圆曲线挠域素分裂研究的一个整体应用。
2015-03-09 math.NT
Degrees of isogenies over prime degree number fields of non-CM elliptic curves with rational $j$-invariant
本文确定了具有有理 $j$-不变量的非CM椭圆曲线在素数次数数域上所有可能的循环同源次数，并完成了该分类。
2024-11-05 math.NT
Poisson distribution of a prime counting function corresponding to elliptic curves
设$E$是定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，$N$是正整数.现在，$M_E(N)$表示素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。我们发现，$M_E(N)$遵循泊松分布时，采取了一个大类的曲线的平均值。
2016-09-27 math.NT
On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number
在本文中，我们将研究的椭圆曲线的整数点的数目表示的问题，模一个素数p。我们提出了一种方法来表示一个指数和，其中涉及多项式的三次，在显式的非指数项。在这个过程中，我们提出了明确的公式计算的一些系列涉及黎曼ζ函数。
2013-03-08 math.NT
On the Distribution of Atkin and Elkies Primes
给定一条q元有限域F_q上的椭圆曲线E，如果t_E^2 - 4 q是模e_l的平方，则称不整除q的奇素数e_l是E的Elkies素数，其中t_E = q+1 - #E（F_q），#E（F_q）是E上F_q-有理点的个数;否则称e_l是Atkin素数。我们证明了在F_q上的所有曲线E上平均存在渐近相同数目的Atkin素数和Elkies素数ell < L，只要对任意固定的e > 0和充分大的q，L >=（logq）^e.我们利用这个结果设计和分析了一个快速生成具有E（F_p）素数的随机椭圆曲线的算法，其中p在给定的区间[x，2x]内在素数上均匀变化.
2011-12-19 math.NT
On the Representation of Primes by Binary Quadratic Forms, and Elliptic Curves
它表明，在一些温和的技术条件下，表示素数的二进制二次型可以计算在多项式复杂度利用Schoof的算法，它计数的数量$\mathbb F_q$ -点的椭圆曲线上的有限域$\mathbb F_q$。此外，描述了一种方法，该方法通过$\mathbb Z$上多项式的整数根从约化二次型计算素数的表示。最后，对判别式的二次型的哪一类表示哪类素数这一尚未解决的一般性问题，也取得了一些进展。
2016-04-22 math.NT
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields of prime degree
令$[K:\mathbb{Q}]=p$为素数，令$E/K$为具有$j(E) \in \mathbb{Q}$的椭圆曲线。我们确定了$E(K)_{tors}$的所有可能性。我们通过研究$E$及其二次扭曲的伽罗瓦表示得到了这些结果。
2019-12-09 math.NT
The splitting of primes in division fields of elliptic curves
本文给出了椭圆曲线E的除域的Frobenius的整体描述，它严格类似于割圆的情形。然后，这被应用于确定素数p在这样的划分字段的子字段中的分裂。这些领域包括一大类不可解的五次扩展和我们的应用程序提供了一个算术对应克莱因的“解决方案”的五次方程使用椭圆函数。一个中心的作用是发挥判别环的自同态的椭圆曲线约化模p。
2001-03-24 math.NT
Stability of torsion subgroups of elliptic curves over non-Galois extensions of odd prime degree
KAIST（韩国科学技术院）；Academia Sinica（中央研究院）
本文研究了椭圆曲线在非伽罗瓦扩张下的扭子群稳定性，通过伽罗瓦理论条件和模ℓ循环同源特征像的关系，细化了Gonzalez-Jimenez的结果。
2025-12-09 math.NT
Extreme central $L$-values of almost prime quadratic twists of elliptic curves
该研究证明椭圆曲线殆素数二次扭曲的中心 $L$-函数极值，并在 BSD 猜想下推出其二次扭曲族中 Tate--Shafarevich 群的极值。
2023-10-07 math.NT
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
2021-03-10 math.NT
Sums of eight fourth power of primes
School of Mathematics and Statistics Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）
本文利用圆方法和筛法证明，足够大的整数可以表示为八个素数四次方之和，且其比例不低于1/414.465。
2026-01-23 math.NT
The main conjecture for CM elliptic curves at supersingular primes
在通常约化的素数处，椭圆曲线的Iwasawa "主图“将Selmer群与$p$ -adic $L$ -函数联系起来。在超奇异的情况下，主要猜想的陈述更加复杂，因为Selmer群和$p$ -adic $L$ -函数都不是行为良好的。最近小林发现了一个等价的制定的主要猜想在supersingular素数是类似的结构，以普通的情况。也就是说，小林猜想将他定义的修改的塞尔默群与第一作者定义的修改的$p$ -adic $L$ -函数联系起来。本文证明了Kobayashi关于椭圆曲线的一个猜想，该猜想是关于复乘的.
2005-09-26 math.NT
Local torsion primes and the class numbers associated to an elliptic curve over $\mathbb{Q}$
利用$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$的Mordell-Weil群$E(\mathbb{Q})$的秩，给出了当曲线$E$不具有$p^n$ -adic阶点$p$时，$E$的除点生成的数域$\mathbb{Q}(E[p^n])$的类数的一个下界：$E(\mathbb{Q}_p)[p] =0$ .
2018-04-04 math.NT
On the plus and the minus Selmer groups for elliptic curves at supersingular primes
设$p$为奇素数，$E$为数域上定义的椭圆曲线.设$E$在$p$以上的任意素数上都有好约化，在$p$以上的某个素数上都有超奇约化.本文在比B.D. Kim的一个结果，并给出了一个推广. Kim关于正负Selmer群的Pontryagin群的有限$Λ$ -子模的平凡性，其中$Λ$是$\mathbb Z_p$ -扩张的伽罗瓦群的Iwasawa代数.
2016-07-13 math.NT
On the algebraic functional equation of the eigenspaces of mixed signed Selmer groups of elliptic curves with good reduction at primes above $p$
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域上的椭圆曲线，该数域在$p$以上的每个素数处具有好约化。在适当的假设下，证明了椭圆曲线的混合符号Selmer群的$η$ -特征空间与$\barη$ -特征空间是伪同构的.作为推论，我们证明了$η$ -特征空间是平凡的当且仅当$\barη$ -特征空间是平凡的.我们的结果可以被认为是一个反射原理，它将一个给定的本征空间中的岩泽模与另一个“反射”本征空间中的岩泽模联系起来。
2019-12-19 math.NT
Akashi series and Euler characteristics of signed Selmer groups of elliptic curves with semistable reduction at primes above p
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域$F'$上的椭圆曲线，使得$E$在$p$之上的$F'$的每个素数处具有半稳定约化，并且在$p$之上的至少一个素数处是超奇异的。在适当的假设下，计算了$F'$的有限扩张$F$上的$\mathbb{Z}_p^d$ -扩张上的$E$的带符号Selmer群的Akashi级数.作为一个副产品，我们还计算了这些Selmer群的欧拉示性数。
2020-09-26 math.NT
Iwasawa theory for elliptic curves at supersingular primes over Z_p-extensions of number fields
本文研究了当p在数域K中完全分裂时，沿数域K的任意Z_p扩张的超奇素数p的椭圆曲线的Iwasawa理论.推广Kobayashi和Perrin-Riou的工作，我们定义了限制Selmer群和λ^ \pm，μ^ \pm -不变量;然后我们推导出描述Selmer群的增长的渐近公式。为了能够处理非分圆Z_p-扩张，证明了一个新的局部结果，该结果给出了椭圆曲线沿Q_p的任意分歧Z_p-扩张在超奇素数处的形式群的完整描述.
2004-11-22 math.NT
Congruences and ramified primes in fields of coefficients of newforms
研究新形式系数域中素数ℓ的分裂行为，证明最大实子域包含在系数域中，并通过实例展示结果。
2026-03-31 math.NT
The average genus number for pure fields of prime degree
本文研究素数次数纯数域的平均亏格数，证明了亏格数为1的比例渐近于$(A_\ell\log X)^{-1}$，平均亏格数渐近于$B_\ell(\log X)^{\ell-1}$，其中常数可显式表示为素数乘积。
2025-07-18 math.NT
Etale subquotients of prime torsion of abelian schemes
设$A$是数域$K$上的阿贝尔簇，在有限素数集$S$之外具有好约化.证明了如果$\ell$ -扭子群概型$A[\ell^n]$属于某一类群概型，则$A[\ell^n]$不包含任何代数型或乘法型的子群概型.
2012-05-07 math.NT
Short average distribution of a prime counting function over families of elliptic curves
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$N$是正整数。现在，$M_E(N)$计算素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。在早期的联合工作与Balasubramanian，我们表明，$M_E(N)$服从泊松分布时，平均采取了一个家庭的椭圆曲线参数$A$和$B$其中$A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+γ}$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+γ}$为一个固定的整数$\ell$和任何$γ>0$。在本文中，我们表明，对于足够大的$N$，相同的结果保持，即使我们采取$A$和$B$范围内的$\exp(N^{\frac{ε^2}{20\ell}})\ge A, B>N^ε$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+γ}$任何$ε>0$。
2016-09-27 math.NT
On Elliptic Curves of prime power conductor over imaginary quadratic fields with class number one
本文的主要结果是将Serre（1987）和Mestre-Oesterlé（1989）的一个结果，即如果$E$是素导体的椭圆曲线，则$E$或$2$ -，$3$ -或$5$ -等生曲线有素判别式，从$\Q$推广到九个第一类虚二次域中的每一个.对于九个域中的四个域，定理保持不变，而对于其余五个域，具有素导体的曲线的判别式是素数或素数的平方。证明是有条件的两种方式：第一，曲线是模块化的，所以与合适的比安奇新形式;第二，一定的水平降低猜想比安奇新形式成立。我们还分类所有椭圆曲线的总理电力导体和非平凡扭转的九个领域：在$2$ -扭转的情况下，我们发现，这样的曲线要么有CM或与一个小的有限数量的例外出现从一个家庭类似的Setzer-Neumann家庭在$\Q$。
2018-11-02 math.NT
Extremal primes of elliptic curves without complex multiplication
在Q上固定一条椭圆曲线E。E的一个极素数是一个具有好约化的素数p，使得E上模p的有理点的数目相对于Hasse界是最大或最小的。假设所有与E相关的对称幂L-函数都是自守的，并且满足广义黎曼假设，当E是一条没有复乘的曲线时，我们给出了这类素数个数的第一个非平凡上界.为了得到这个界，我们使用明确的等分布的Sato-Tate措施，在工作中的劳斯和索恩纳（arXiv：1305.5283），并完善某些中间估计，利用这一事实，极值素数有一个非常小的Sato-Tate措施。
2019-07-01 math.NT
A conjecture of Erdos, supersingular primes and short character sums
当$k$是一个充分大的正整数时，证明了丢番图方程$$n (n+d) \cdots (n+ (k-1)d) = y^{\ell}$$在正整数$n, d, y$和$\ell$中至多有2个解，其中有$\operatorname{gcd}(n,d)=1$和$\ell \geq 2$ .我们的证明依赖于Frey-Hellegouarch曲线和结果超奇异素数的椭圆曲线没有复乘，来自上界短字符和筛，分析和组合。
2017-09-04 math.NT
Elliptic curves of twin-primes over Gauss field and Diophantine Equations
设$p, q$与$q-p=2$是孪生素数.考虑椭圆曲线E=E_σ：y^2 = x（x+σp）（x+σq）.（σ= \pm 1）。当σ=+1或$-1时，E=E_σ也记为E_+或E_-.这里确定了高斯域K=Q（\sqrt-1）（和有理域Q）上椭圆曲线E的Mordell-Weil群和秩，并给出了有关的丢番图方程和联立Pellian方程解的结果.上一篇文章[1]研究了Q上椭圆曲线E的算术结构，确定了Selmer群，得到了关于Mordell-Weil群、秩、Shafarevich-Tate群和扭子群的结果.
2000-04-07 math.NT
Almost prime values of the order of elliptic curves over finite fields
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线，不需要复乘，且与具有非平凡有理挠率的曲线不同构.对于每个良好约化的素数$p$，令$|E(\F_p)|$为$\F_p$上约化曲线的点群的阶。本文证明了在GRH下，至少存在$2.778 C_E^{\rm twin} x / (\log{x})^2$素数$p$，使得$|E(\F_p)|$至多有8个素因子（重数）.这改进了Steuding & Weng和Murty & Miri以前的结果。这也是第一个结果，其中的依赖性出现在孪生素数猜想椭圆曲线（也被称为Koblitz猜想）的几何常数$C_E^{\rm twin}$是明确的。这是通过筛选与先前作者使用的序列略有不同的序列来实现的。通过对同一序列进行筛选，并利用Selberg线性筛选，我们还可以改进素数$p$个数上界中出现的常数，使得$|E(\F_p)|$是素数.最后，我们注意到，我们的结果仍然成立的假设弱于GRH。
2008-12-15 math.NT
Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for elliptic curves at some additive reduction primes
设$E$是有理椭圆曲线，$p$是加性约化的奇素数.设$K$是虚二次域，并固定一个正整数$c$与$E$的导体互素。本文的主要目的是定义一个反割圆的$p$-adic $L$-函数$Ł$，当$E/\QQ_p$在阿贝尔扩张上达到半稳定约化时，该函数附在$E/K$上.我们证明，$Ł$满足预期的插值性质，即，我们表明，如果$χ$是一个anticyclotomic字符的导体$cp^n$然后$χ(Ł)$等于（明确常数）$L(E,χ,1)$或$L'(E,χ,1)$。
2018-09-24 math.NT
Orders of reductions of elliptic curves with many and few prime factors
本文研究了$ω(E(\mathbb{F}_p))$的极值问题，其中$E/\mathbb{Q}$是具有复数乘法的椭圆曲线，$ω$是异素因子数函数.对于固定的$γ> 1$，我们证明了，\[ \#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) > γ\log\log x\} = \frac{x}{(\log x)^{2 + γ\logγ- γ+ o(1)}}. \]相同的结果适用于数量$\#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) < γ\log\log x\}$当$0 < γ< 1$。文中详细讨论了曲线$E : y^2 = x^3 - x$的参数，并讨论了该方法如何适用于其它CM椭圆曲线。
2015-11-07 math.NT
Power Products in Elliptic Divisibility Sequences and Prime-Incidence Obstructions
Dongguk University（东国大学）
研究椭圆可除序列中有限乘积为素数ρ次幂的条件，证明在D_1被2或3整除的假设下，索引的大素数因子必须满足ρ-平衡块约束。
2026-05-29 math.NT
Average twin prime conjecture for elliptic curves in arithmetic progressions
Bilkent University（比尔肯特大学）；Fordham University（福特汉姆大学）；Wake Forest University（维克森林大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
该研究将Koblitz关于椭圆曲线约化素数阶的平均孪生素数猜想推广到算术级数中的素数，得到了一致成立的渐近公式，且平均常数与理论预测一致。
2026-09-01 math.NT
A local-global principle for isogenies of prime degree over number fields
本文给出数域$K$的例外偶集的描述，即$(\ell, j(E))$偶集，其中$\ell$是素数，$j(E)$是$K$上椭圆曲线$E$的$j$ -不变量，它允许$\ell$ -局部几乎处处但不允许全局等距.根据$K$的度和判别式，我们得到了这种对中$\ell$的上界.此外，我们还证明了例外对个数的有限性结果。
2014-01-13 math.NT
A Cesàro average for an additive problem with prime powers
在本文中，我们推广和改进我们的结果加权平均数的整数表示为两个幂的素数之和。设$1\le \ell_1 \le \ell_2$是两个整数，$Λ$是von Mangoldt函数，% \(r_{\ell_1,\ell_2}(n) = \sum_{m_1^{\ell_1} + m_2^{\ell_2}= n} Λ(m_1) Λ(m_2) \) %是表示整数为两个素数幂和的数的加权计数函数。令$N \geq 2$为整数。我们证明了$r_{\ell_1,\ell_2}$在区间$[1, N]$上的权$k > 1$的Cesàro平均有一个发展，它是明确依赖于黎曼ζ函数零点的项之和。
2018-06-21 math.NT
Duality between prime factors and the Prime Number Theorem for Arithmetic Progressions -- II
本文利用涉及 Moebius 函数与不同素因子个数 ω(n) 的次大、最小素因子深层对偶恒等式，由算术级数素数定理推出相关加权和为零，并给出定量版本。
2024-10-23 math.NT
A lower bound for the least prime in an arithmetic progression
将$k$固定为正整数，并令$\ell$与$k$互质。令$p(k,\ell)$表示等价于$\ell \pmod{k}$的最小素数，并将$P(k)$设置为所有$p(k,\ell)$的最大值。我们寻求$P(k)$的下界。特别是，我们表明，几乎每一个$k$之一有$P(k) \gg ϕ(k) \log k \log_2 k \log_4 k / \log_3 k,$回答福特，绿色，Konyangin，梅纳德，和道的问题。我们依赖于他们最近关于素数之间大间隔的工作。我们主要的新想法是使用筛权不仅可以捕获素数，还可以捕获素数的小倍数。我们还给出了一个启发式的建议，$\liminf_{k} \frac{P(k)}{ ϕ(k) \log^2 k} = 1.$
2016-12-22 math.NT
On short products of primes in arithmetic progressions
我们给出了几个族的合理小整数$k, \ell \ge 1$和实正$α, β\le 1$，使得产品$p_1\ldots p_k s$，其中$p_1, \ldots, p_k \le m^α$是素数和$s \le m^β$是一个产品的最多$\ell$素数，代表所有约化剩余类模$m$。这是P.Erdos，A. M. Odlyzko和A. Sarkozy（1987），它对应于$k = \ell =1$（即两个素数的乘积）。特别地，我们改进了A. Walker（2016）.
2017-05-17 math.NT
Elliptic analogue of irregular prime numbers for the $p^{n}$-division fields of the curves $y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$
一个素数$p$被称为不规则的，如果它能整除第$p$个分圆域$\mathbb{Q}(ζ_{p}) = \mathbb{Q}(\mathbb{G}_m[p])$的类数。本文研究了椭圆曲线除域的椭圆模拟。更确切地说，对于素数$p \geq 5$和正整数$n$，我们研究了$y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$形式的椭圆曲线$E$的$p^{n}$ -除域$\mathbb{Q}(E[p^{n}])$的类数的$p$ -整除性.特别地，我们构造了一个由曲线组成的无限子族，这些曲线具有新的性质，即它们的Mordell-Weil秩为1，并且它们的$p^{n}$ -可除域的类数可被$p^{2n}$整除.此外，我们还可以证明这些可除域彼此不同构。在我们的结构中，我们使用第一作者最近获得的结果。
2022-05-18 math.NT
On the difference in values of the Euler totient function near prime arguments
我们无条件地证明了对于每个$\ell \geq 1$，差$ϕ(p-\ell) - ϕ(p+\ell)$对于奇素数$p$的$50\%$是正的，对于$50\%$是负的。
2017-07-14 math.NT
Elliptic mod \ell Galois representations which are not minimally elliptic
在最近的预印本中，F。Calegari已经表明，对于$\ell = 2, 3, 5$和7，存在$\Gal(\bar{\Q}/\Q)$的二维满射表示$ρ$，其中$\F_\ell$中的值来自在$\Q$上定义的椭圆曲线的$\ell$ -扭点，但不是最小的，即，使得产生$ρ$的任何椭圆曲线具有比$ρ$的（素数到$\ell$）导体大的素数到$\ell$导体。在这篇简短的笔记中，我们将证明对于任何素数$\ell >7$也是如此，具体地说，我们将证明对于任何这样的$\ell$，椭圆曲线$$E^\ell: \qquad Y^2 = X (X- 3^\ell ) (X - 3^\ell - 1) $$是半稳定的，在3处有坏的约化，相关的$\mod \ell$伽罗瓦表示$ρ$是满射的，在3处未分歧，并且没有相关的$\mod \ell$表示与$ρ$同构的在3处有好约化的椭圆曲线。
2005-02-01 math.NT
On rational Eisenstein primes and the rational cuspidal groups of modular Jacobian varieties
令$N$是非无平方正整数，令$\ell$是奇素数，使得$\ell^2$不能整除$N$。考虑Hecke环$\mathbb{T}(N)$的重量$2$为$Γ_0(N)$，其有理爱森斯坦素数的$\mathbb{T}(N)$包含$\ell$，在第3节中定义。如果$\mathfrak{m}$是这样一个有理Eisenstein素数，那么我们证明$\mathfrak{m}$是$(\ell, ~\mathcal{I}^D_{M, N})$的形式，其中$\mathbb{T}(N)$的理想$\mathcal{I}^D_{M, N}$也在第3节中定义。进一步证明了$\mathcal{C}(N)[\mathfrak{m}] \neq 0$，其中$\mathcal{C}(N)$是$J_0(N)$的有理尖点群.为了做到这一点，我们计算在第4节中定义的尖形因子$\mathcal{C}^D_{M, N}$的精确阶，以及$\mathcal{I}^D_{M, N}$在$\mathbb{T}(N)\otimes \mathbb{Z}_\ell$中的索引。
2018-05-17 math.NT
Heegner points at Eisenstein primes and twists of elliptic curves
给定$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，Goldfeld的一个著名猜想断言，其二次扭曲的正比例应该具有解析秩0（分别为0和0）。1）。我们证明了这个猜想在$E$有有理3-等距时成立。我们还证明了$j$ -不变0曲线（Mordell曲线）的六次扭曲的类似结果。为了证明这些结果，我们利用数域的$p$类数建立了Heegner点在Eisenstein素数$p$上的$p$ -adic对数非平凡的一般判据，并将该判据应用于特殊情况$p=3$ .作为副产品，我们还证明了3-部分的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的许多椭圆曲线的$j$ -不变0。
2017-11-27 math.NT
On the Surjectivity of Galois Representations Associated to Elliptic Curves over Number Fields
给定数域$K$上的椭圆曲线$E$，$E$的$\ell$ -扭点$E[\ell]$定义了伽罗瓦表示$\gal(\bar{K}/K) \to \gl_2(\ff_\ell)$。Serre的一个著名定理指出，只要$E$没有复数乘法（CM），映射$\gal(\bar{K}/K) \to \gl_2(\ff_\ell)$对除了1000个$\ell$之外的所有映射都是满射的。我们说一个素数$\ell$是例外的（相对于对$(E,K)$），如果这个映射不是满射的。本文给出了$E$的最大例外素数和所有例外素数的乘积的一个新的界。我们特别表明，有条件的广义黎曼假设（GRH），最大的例外素数的椭圆曲线$E$没有CM是不大于一个常数（取决于$K$）倍$\log N_E$，其中$N_E$是导体的范数的绝对值。这肯定地回答了塞尔的一个问题。
2012-03-30 math.NT
Equidistribution of $αp^θ$ with a Chebotarev condition and applications to extremal primes
我们建立了关于$θ\in (0,1), \ α>0$的$αp^θ$的分数部分的联合分布结果，其中$p$是$\mathbb{Q}$上固定有限Galois扩张中满足Chebotarev条件的素数.作为应用，对于固定的非CM椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，给出了Sato-Tate测度模大素数$\ell$的极值素数个数的渐近公式.这些正是Frobenius迹$a_p(E)$满足同余式$a_p(E)\equiv [2\sqrt{p}] \bmod \ell$的素数$p$。本文对数域的戴德金ζ函数作了无零区假设。
2021-03-11 math.NT
An Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of CM elliptic curves at supersingular primes
本文在Kobayashi符号Selmer群的附加假设下，对具有复乘的椭圆曲线在反圆$\mathbb{Z}_p$-扩张中间层上的Tate-Shafarevich群证明了渐近公式。
2025-04-08 math.NT
Averages and moments associated to class numbers of imaginary quadratic fields
对于任何奇素数$\ell$，令$h_\ell(-d)$表示虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的类数的$\ell$ -部分。非平凡的逐点上界仅为$\ell =3$所知; $h_\ell(-d)$的平均值的非平凡上界先前仅为$\ell =3,5$所知。本文证明了所有素数$\ell \geq 7$的$h_\ell(-d)$的平均值的非平凡上界，以及所有素数$\ell \geq 3$的某些高阶矩的非平凡上界.
2017-07-01 math.NT
