Cyclic Codes over Some Finite Rings
Murat Guzeltepe, Mehmet Ozen
本文利用高斯整数建立了有限环上关于Mannheim度量的循环码，并给出了这类码的译码算法。
In this paper cyclic codes are established with respect to the Mannheim metric over some finite rings by using Gaussian integers and the decoding algorithm for these codes is given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cyclic Codes over Some Finite Quaternion Integer Rings
本文在有限四元数整数环上建立了关于四元数Mannheim距离的循环码，并给出了这类码的译码算法。
On Isodual Cyclic Codes over Finite Fields and Finite Chain Rings: Monomial Equivalence
本文给出了有限域和有限链环上循环等对偶码的构造方法。这些代码是单等价于他们的对偶。给出了循环等对偶码存在的条件。此外，有限域上的duadic码的概念被推广到有限链环。给出了等对偶循环码和自对偶码的几种构造方法。
MDS and MHDR cyclic codes over finite chain rings
本文建立了有限链环上循环码的唯一生成元集。确定了码的最小生成集和秩。此外，已经获得了循环码是MDS码和循环码是MHDR码的充分必要条件。最佳循环码的一些例子也被提出。
On cyclic DNA codes over the rings Z_{4}+wZ_{4} and Z_{4}+wZ_{4}+vZ_{4}+wvZ_{4}
研究了有限环R= Z_{4} + wZ_{4}，w^{2}=2和有限环S= Z_{4} + wZ_{4} + vZ_{4} + wvZ_{4}，w^{2}= 2，v ^{2}=v，wv=vw上奇长循环DNA码的结构.分别建立了环R、S和16和256密码子的元件之间的连接。研究了有限环R上奇长循环码满足逆补约束和有限环S上奇长循环码满足逆约束和逆补约束.确定了有限环R和S上的循环DNA码的二进制象。此外，构造了一类环R上的DNA斜循环码，并研究了其逆补性质。
Reversible cyclic codes over finite chain rings
该研究推导了有限交换链环上任意长度循环码可逆的充要条件，刻画了特定MDS可逆循环码，证明可逆循环码的挠码可逆但逆命题不成立，还确定了循环码的基数与汉明距离。
Skew Cyclic Codes Over A Finite Ring : A Note on a result of Mohammadi et al
在这个小的说明中，我们纠正了Mohammadi等人在他们题为“On Skew Cyclic Codes Over A Finite Ring”（Iranian Jl.数学科学通知。14（1）（2019），135-145）。
Reversible and Reversible Complement Cyclic codes over a class of non-chain rings
本文研究了一类非链环上任意长度的循环码，建立了其成为可逆循环码与可逆补循环码的充分必要条件，并给出了相关示例。
A class of cyclic Codes Over the Ring $\Z_4[u]/<u^2>$ and its Gray image
环R上的循环码是近年来提出的。本文研究了环R上的循环码及其$\Z_2$象。利用代数结构，我们找到了一些长度为28的好的$\Z_2$码。
Trace duality and additive complementary pairs of additive cyclic codes over finite chain rings
本文研究有限交换环上加性循环码互补对的代数结构，证明其组成码均为自由模，给出构成互补对的充要条件，还构造了有限链环上的互补对并证明两码满足迹对偶的置换等价关系。
Self-dual cyclic codes over finite chain rings
设$R$是具有唯一极大理想$\langle γ\rangle$的有限交换链环，$n$是与$R/\langle γ\rangle$的特征互素的正整数.本文研究了$R$上长度为$n$的循环码的代数结构。给出了非平凡自对偶循环码存在的一些新的充分必要条件。研究了自对偶循环码的计数公式。
Structure and Rank of Cyclic codes over a class of non-chain rings
根据环$ν^{2} \in Z_{4}+νZ_{4}.$的值，将环$Z_{4}+νZ_{4}$分为链环和非链环。本文建立了环$Z_{4}+νZ_{4}$上任意长度循环码的结构，对于环$ν^{2}$的值，它们是非链环。还获得了这些码的生成器的独特形式。此外，这些代码的秩和基数已被建立通过找到这些代码的最小生成集。
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v] / \langle u^k,v^2,uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文讨论了环$ \mathbb{F}_p[u, v] / \langle u^k, v^2, uv-vu\rangle$上循环码的结构。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。
The Discussion on Hulls of Cyclic Codes over the Ring $\Re =\Z_4+v\Z_4$, $v^2=v$
对于奇数长度的$n$，给出了$\Re= \Z_4[v]/ \langle v^2-v \rangle$上循环码的构造方法.研究了环$\Re$上循环码的壳.给出了$\Re$上循环码壳的平均$2$维数$E(n)$.其中，给出了$\Re$上循环码壳生成器的各种例子，其$\Z_4$ -象是具有好参数的好$\Z_4$ -线性码.
On the Hamming weight of Repeated Root Cyclic and Negacyclic Codes over Galois Rings
Galois环上的重根循环码和负循环码的研究远少于它们的简单根码。这种情况正在开始改变。例如，长度为$p^s$的重复根码，其中$p$是字母环的特征，已经在一些附加的假设下进行了研究。在每一种情况下，代码的周围空间都变成了一个链环。本文考虑了Galois环字母表上长度为$p^s$的循环码和非循环码的所有剩余情形。在这些情况下，周围空间是一个局部环与简单的脚柱，但不是一个链环。尽管如此，通过减少的问题，一个处理unispenssubambients，一种方法来计算这些代码的汉明距离。
An Algorithm to find the Generators of Multidimensional Cyclic Codes over a Finite Chain Ring
本文的目的是确定有限链环$\mathfrak{R}$上多维循环码的代数结构。利用环$\mathfrak{R}$上循环码的生成多项式，给出了一种求环$\mathfrak{R}$上长度为$m_{1}m_{2}\dots m_{n}$的$n$维（$n$ D）循环码的生成多项式的算法.此外，对于$q\equiv 1(mod~ m_{j}), j\geq 2$情形，得到了长度为$m_{1}m_{2}\dots m_{n}$的$n$ D循环码的生成元作为可分多项式，其中$q=p^{r}$是$\mathfrak{R}$的剩余域的基数.
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v,w]/\langle u^2, v^2, w^2, uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$
本文研究环$ \mathbb{F}_p[u,v,w]\langle u^2,$ $v^2, w^2$，$uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$上的循环码，其中$p$是素数.它是Frobenius环家族的一部分。我们找到了这些码的唯一生成元集，并刻画了自由循环码的特征。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们还构造了一些好的$p-ary$码作为这些循环码的Gray映象。
On cyclic DNA codes over the Ring $\Z_4 + u \Z_4$
本文研究了在DNA计算中起重要作用的$\Z_4[u]/\langle u^2 \rangle$环上奇长DNA循环码的构造理论。本文研究了$\Z_4 + u \Z_4$上奇长循环码满足逆约束和逆补约束的问题。还研究了这类码的结构和存在性。文章最后给出了一些由循环码族得到的DNA例子。
Cyclic codes over the ring $ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文研究环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上的循环码。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们得到了环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上除一个长度为12的三元最优码外的所有循环码的Gray像。我们还刻画了这些循环码在Gray映射下的$p$元象.
New DNA Cyclic Codes over Rings
DNA循环码在DNA计算中起着重要的作用，已引起了人们的广泛关注。首先，我们在环$R=\mathbb{F}_2[u]/(u^6)$上引入了一类新的DNA循环码。这样的代码具有理论上的优势，以及在DNA计算中的一些应用。建立了这种环的元件与活生物体的氨基酸中使用的$64$密码子之间的直接连接。这样的对应关系允许我们将编辑距离的概念扩展到环$R$，这对于插入、删除和替换错误的校正是有用的。接下来，我们定义的李重量，格雷映射的环$R$以及二进制图像的循环DNA代码允许学习DNA代码到学习二进制代码的转移。其次，我们在环$\tilde {R}=\mathbb{F}_2+v\mathbb{F}_2=\{0,1,v,v+1\}$上构造了另一类新的DNA斜循环码，其中$v^2=v$是环上的，并研究了它们的逆补性质。我们证明了所得到的码是由环$\tilde {R}$上的循环逆补码得到的。我们将提供二进制图像，并提出一些明确的例子，这样的代码。
Quasi-Cyclic Codes Over Finite Chain Rings
本文主要研究有限链环上的准循环码。本文研究了QC码的模结构和迹表示，得到了QC码的最小汉明距离的一些下界。此外，我们还研究了1-生成元QC码的结构性质。在一定条件下，讨论了1-生成元QC码的计数问题，并给出了如何求出每个1-生成元QC码的唯一生成元的方法。
The Gray Image of Codes over Finite Chain Rings
J.F. Qann等[4]关于幂零指数为2的有限链环上的$(1-γ)$ -循环码的研究，推广到任意幂零指数为$e+1$的有限链环上的$(1-γ^e)$ -循环码. Gray映射被引入到这类环中。证明了有限链环上线性$(1 - γ^{e})$ -循环码的Gray像是其剩余域上距离不变的拟循环码.当码长与环的特征互素时，线性循环码和线性$(1+γ^e)$ -循环码的Gray像在其剩余域上置换为准循环码.
Reversible complement cyclic codes over finite chain rings
本文研究了有限交换链环上的可逆补循环码，给出了循环码成为(u,k)可逆补码的充要条件，并据此验证了特定环上长度为4的主生成循环码是否为(1,1)可逆补码。
On cyclic codes over the ring $Z_p + uZ_p + ... + u^{k-1}Z_p$
本文研究环$ \Z_p + u\Z_p +...+ u^{k-1}\Z_p $上的循环码，其中$u^k =0$ .我们找到了一套生成这些代码的生成器。我们还研究了这些码的秩、对偶和汉明距离。
Additive cyclic codes over finite commutative chain rings
Galois环上的加性循环码在以前的工作中进行了研究。在本文中，我们研究同样的问题，但在一个更一般的环族，有限交换链环。当我们关注非伽罗瓦有限交换链环时，我们观察到两种不同的可加性。其中一个是对以往研究的自然推广，而另一个具有一些特殊的性质，特别是在构造对偶码时。我们解释了这些性质的原因，并给出具体的例子说明我们的结果。
Construction of cyclic DNA codes over the Ring $\Z_4[u]/\langle u^2-1 \rangle $ Based on the deletion distance
本文基于缺失距离给出了构造$R=\Z_4[u]/\langle u^2-1 \rangle$上奇长DNA循环码的理论。首先，我们将DNA对与环$R$的一个特殊的16个元素联系起来。本文讨论了$R$上奇长循环码满足逆约束和逆补约束的问题。我们还研究了这些代码的$GC$ -内容和它们的删除距离。最后给出了具有$GC$含量的环状DNA码及其相应的缺失距离的例子。
Complete classification for simple root cyclic codes over local rings $\mathbb{Z}_{p^s}[v]/\langle v^2-pv\rangle$
设$p$为素数，$n,s\geq 2$为满足${\rm gcd}(p,n)=1$的整数，记为$R=\mathbb{Z}_{p^s}[v]/\langle v^2-pv\rangle$ .则$R$是$p^{2s}$元的局部非主理想环.首先，给出了$R$上长度为$n$的循环码的结构，并对所有循环码进行了分类。然后给出了每个码的基数以及这些码的对偶码。此外，还研究了长度为$n$的$R$上的自对偶循环码。最后，我们给出了长度为$30$的$\mathbb{Z}_4$上的最优$2$ -准循环自对偶线性码和由长度为$15$的$\mathbb{Z}_{4}[v]/\langle v^2+2v\rangle$上的循环码导出的极值$4$ -准循环自对偶二元线性$[60,30,12]$码.
Cyclic codes over a commutative non-unitary ring of order 4
研究4阶交换非酉环\(I_2\)上的循环码，通过相关剩余码和挠码，引入扭曲与非扭曲循环码概念，利用格雷映射建立与二元准循环码联系，研究对偶性质，对长度\(n\leq7\)的码分类并确定其结构性质。
An explicit expression for Euclidean self-dual cyclic codes of length $2^k$ over Galois ring ${\rm GR}(4,m)$
对于任何正整数$m$和$k$，现有文献仅确定了Galois环${\rm GR}(4,m)$上所有长度为$2^k$的欧几里德自对偶循环码的个数，例如在[Des.密码（2012）63：105 - 112]。利用特定类型矩阵的Kronecker积和列向量的性质，给出了一种简单有效的方法来精确构造所有这些自对偶循环码.在此基础上，我们给出了一个明确的表达式，以准确地表示所有不同的欧氏自对偶循环码的长度$2^k$在${\rm GR}(4,m)$，使用组合数。作为应用，我们对$k=4,5,6$明确列出了长度为$2^k$的${\rm GR}(4,m)$上所有不同的欧氏自对偶循环码.
Contraction of Cyclic Codes Over Finite Chain Rings
设$\texttt{R}$是一个可交换的有限链环，其不变量为$(q,s)$，$Γ(\texttt{R})$是$\texttt{R}.$的Teichmüller集。本文给出了长度为$\ell,$的循环$\texttt{R}$ -线性码的迹表示，当$\texttt{gcd}(\ell, q) = 1.$时，我们将证明某些长度为$u\ell$的循环$\texttt{R}$ -线性码的压缩是$γ$ -常循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码，其中$γ\inΓ(\texttt{R})$和的乘法阶为$u.$
A Matrix Ring Description for Cyclic Convolutional Codes
本文研究了具有特定循环结构的卷积码。根据定义，这些码是某个斜多项式环中的左理想。利用斜多项式环与矩阵环同构的性质，我们可以更方便地描述码的代数参数。我们表明，存在这样的代码与给定的代数参数可以减少到一个修改的车问题的可解性。我们坚信车问题总是可以解决的，并且我们在特定情况下提出解决方案。
On the Lattice of Cyclic Linear Codes Over Finite Chain Rings
设$\texttt{R}$是交换有限链环的不变量$(q,s).$本文利用$q$ -模$\ell,$的分圆陪集给出了任意自由循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的迹表示.研究了循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的格$\left(\texttt{Cy}(\texttt{R},\ell), +, \cap\right)$.建立了长度为$\ell,$的循环$\texttt{R}$ -线性码的汉明距离的一个下界.当$q$为偶数时，构造了一类MDS和自正交$\texttt{R}$ -线性循环码.
Cyclic and Quasi-Cyclic DNA Codes
在本文中，我们讨论的DNA代码是循环或准循环的$\Z_{4}+ω\Z_{4}$，其中$ω^{2}=2+2ω$随着方法来构建这些组合约束。利用\cite{3}中的广义Gau映射和Gau距离，我们还将环$\Z_{4}+ω\Z_{4}$（其中$ω^{2}=2+2ω$）和其它一些环的结果推广到16环$R_θ=\Z_{4}+ω\Z_{4}$（其中$ω^{2}=θ\in \Z_{4}+ω\Z_{4}$）.我们确定了16个环$R_θ$上线性码的Gau距离和Hamming距离之间的关系，这使得我们能够获得环$R_θ$上自对偶的自由码的Gau距离的上界.
Some constructions of cyclic and quasi-cyclic subspaces codes
本文利用计算离散代数的GAP系统构造了有限域F_{2^{10}}上的循环子空间码，特别是最优码。进一步给出了F_{2^{8}}上$m$ -拟循环子空间码的$q$ -类码的定义和一个例子.
Quantum codes constructed from cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q+v^2\mathbb{F}_q+v^3\mathbb{F}_q+v^4\mathbb{F}_q$
本文研究了有限非链环$\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q+v^2\mathbb{F}_q+v^3\mathbb{F}_q+v^4\mathbb{F}_q,$上循环码的性质，其中$q=p^r,$ $r$是正整数，$p$是奇素数，$4 \mid (p-1),$和$v^5=v.$是有限域$\mathbb{F}_q.$上的量子纠错码
DNA Cyclic Codes Over The Ring $ \F_2[u,v]/\langle u^2-1,v^3-v,uv-vu \rangle$
本文主要研究环$R = \F_2[u,v]/\langle u^2-1,v^3-v,uv-vu \rangle$上奇长循环DNA码的一些结构，这些码在DNA计算中起着重要的作用。我们通过引入从$R$到$R_1 = F_2 + uF_2, u^2 = 1$的Gray映射建立了环$R$的元素与64个密码子之间的直接联系，其中$R_1$是四个元素的环。本文研究了$R$和$R_1$上的反向约束码和反向补约束码。还研究了环R上循环码的二元象.最后给出了利用灰度图获得DNA编码的一些实例。
Galois hulls of cyclic serial codes over a finite chain ring
本文研究了链环上循环串行码的Galois壳的一些性质，并给出了计算该码的Euclidean壳的所有可能参数的算法。我们还建立了欧氏壳的平均$p^r$ -维数，其中$\mathbb{F}_{p^r}$是$R$的剩余域，我们提供了它的相对增长的一些结果。
Cyclic codes over some special rings
本文主要研究环上的循环码：F_{q} [u]/（u^{i}），F_{q} [u_1，. u_{i} ]/（u_1^2，u_2^2，.，u_{i} ^2，u_1 u_2 - u_2 u_1，.，u_{i} u_{j} - u_{j} u_{i}，.），F_{q} [u，v]/（u^{i}，v^{j}，uv-vu），q=p^{r}，其中p是素数，r \in N-{0}，并且F_{q}是具有q个元素的字段。
The Grassl-Rötteler cyclic and consta-cyclic MDS codes are generalised Reed-Solomon codes
本文证明了Grassl和Rötteler在arXiv：1502.05267中构造的循环码和常循环码是广义Reed-Solomon码。本说明可视为该条的增编。它也可以被认为是arXiv：2106.10180的附录，其中arXiv：1502.0526的猜想11，这是针对Grassl-Rötteler码提出的，对于广义Reed-Solomon码得到了证明。因此，这篇笔记的内容，连同arXiv：2106.10180，意味着来自arXiv：1502.0526的猜想11是正确的。
Self-dual cyclic codes over $M_2(\mathbb{Z}_4)$
本文研究了$\mathbb{Z}_4$上矩阵环上的码，这也许是第一次把环结构$M_2(\mathbb{Z}_4)$看作是一个码字母表。该环同构于$\mathbb{Z}_4[w]+U\mathbb{Z}_4[w]$，其中$w$是不可约多项式$x^2+x+1 \in \mathbb{Z}_2[x]$和$U\equiv$ ${11}\choose{11}$的根。首先讨论了环$M_2(\mathbb{Z}_4)$的结构，然后重点讨论了环$M_2(\mathbb{Z}_4)$上循环码和自对偶循环码的代数结构。得到了循环码及其对偶码的生成元。文末给出了几个实例。
Reversible double cyclic codes over a chain ring
本文研究了环F_q+uF_q（u^2=0）上长度为(γ,δ)的双循环码的结构，给出了其对偶码和最小生成集，并得到了双循环码为可逆和可逆补码的充要条件，进而构造了DNA码和最优码。
Skew-Polynomial Rings and Skew-Cyclic Codes
本文综述了基于自同构型斜多项式环的斜循环码理论。斜多项式环由Ore（1933）引入并讨论。Lam（1986）首先考虑了斜多项式和（右）根集的求值，此后Lam和Leroy对其进行了详细的研究。在详细介绍了斜多项式的最相关的性质之后，我们回顾了Boucher和Ulmer（2007）介绍的斜循环码的代数理论，以及此后许多作者的研究。一个至关重要的作用将发挥斜循环矩阵。最后，讨论了具有设计最小距离的斜循环码，并报告了2014年及以后设计的两种不同类型的斜BCH码。
New quantum codes from dual-containing cyclic codes over finite rings
设$R=\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}+\cdots+u^{k}\mathbb{F}_{2^{m}}$，其中$\mathbb{F}_{2^{m}}$是具有$2^{m}$元素的有限域，$m$是正整数，$u$是具有$u^{k+1}=0.$的不定式.本文利用$R$上的奇长含对偶循环码构造了两类新的量子码.定义了$R$上一种新的Gray映射，给出了$R$上存在对偶循环码的一个充要条件.利用Gray映射和Calderbank-Shor-Steane构造方法，从$R.$上的对偶包含循环码出发，得到了一族新的$2^{m}$ -ary量子码。利用Gray映射、迹映射和Calderbank-Shor-Steane构造方法，从$R.$上的对偶包含循环码出发，得到了一族新的二元量子码
Structure and Performance of Generalized Quasi-Cyclic Codes
广义准循环（GQC）码是准循环（QC）码的自然推广。它们在这里被看作是一个环字母表族上的混合字母码。通过中国剩余定理将这些环分解为局部环，得到GQC码分解为级联码之和。这种分解导致一个跟踪公式，最小距离界，并为GQC码是自对偶或线性互补对偶（LCD）的标准。显示了LCD但不是QC的显式长GQC代码。
Double Constacyclic Codes over Two Finite Commutative Chain Rings
在两个特殊的有限交换链环上具有两个循环结构的码，如${\Bbb Z}_2{\Bbb Z}_4$ -可加循环码和分数阶准循环码等，被证明是渐近好的。在本文中，我们将研究扩展到两个方向：我们考虑任何两个有限交换链环满同态从一个到另一个，并考虑双常循环结构。构造了两个有限交换链环上的一类推广的双重常循环码。并给出了域上拟循环码的概率方法，证明了两个有限交换链环上的双重常循环码是渐近好码。
Cyclic codes over a non-chain ring $R_{e,q}$ and their application to LCD codes
设$\mathbb{F}_q$是一个阶为$q$的有限域，一个素数幂整数使得$q=et+1$，其中$t\geq 1,e\geq 2$是整数.本文研究了非链环$R_{e,q}=\mathbb{F}_q[u]/\langle u^e-1\rangle$上长为$n$的循环码。本文定义了一种Gray映射$φ$，并从循环码的Gray映射中得到了许多{最大距离可分}（MDS）和最优$\mathbb{F}_q$ -线性码.在一定的条件下，我们确定了当$\gcd(n,q)\neq 1$和$\gcd(n,q)= 1$分别为{线性互补对偶}（LCD）码时，其长度为$n$.证明了{ a}长为$n$的循环码$\mathcal{C}$是LCD码当且仅当它的Gray图像$φ(\mathcal{C})$是长度为$4n$的$\mathbb{F}_q$上的LCD码.其中，我们提出了自由和非自由LCD代码的存在条件。此外，我们得到了许多最佳的LCD代码作为非自由LCD代码的灰度图像在$R_{e,q}$。
Polyadic cyclic codes over a non-chain ring $\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v), uv-vu\rangle$
令$f(u)$和$g(v)$分别是次数为$k$和$\ell$的任意两个多项式（$k$和$\ell$不都是$1$），它们在$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同的线性因子。设$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v),uv-vu\rangle$是有限交换非链环。本文研究了环$\mathcal{R}$上的多元码及其扩张.我们给出了一些例子的polyadic码是最佳的Griesmer型界环。从保持对偶性的$\mathcal{R}^n \rightarrow \mathbb{F}^{k\ell n}_q$定义了一个Gray映射.利用环$\mathcal{R}$上多元码的Gray像及其推广，构造了环$\mathbb{F}_q$上的自对偶、等对偶、自正交和互补对偶（LCD）码.文中还举例说明了这一点。
On the Parameters of Convolutional Codes with Cyclic Structure
本文研究具有循环结构的卷积码。这些码可以理解为适当的斜多项式环中的左主理想。在[3]中已经表明，对于循环码，只有某些参数（字段大小，长度，维数和Forney指数）的组合才能出现。我们将研究是否所有这些组合确实可以实现一个合适的循环码，如果是这样的话，如何构造这样的代码。给出了极小循环码的一个完整的刻画和构造。它是在对斜多项式环的单位进行详细研究的基础上导出的。
Cyclic DNA codes over F2+uF2+vF2+uvF2
本文研究了环R=F2+uF2+vF2+uvF2上任意长度的循环DNA码的结构，并通过定义R和R1^2之间的Gray映射建立了环R1=F2+uF2上任意长度的循环DNA码的结构关系，其中R1是4元环.本文研究了环R上任意长度的循环码满足逆约束和逆补约束的问题。最后考虑了GC内容约束。
Construction of $(σ,δ)$-cyclic codes over a non-chain ring and their applications in DNA codes
该文研究非链环$\text{R}_l$上的$(σ,δ)$-循环码，通过定义Gray映射构造有限域上的经典码，推导码的可逆性及DNA码的判定条件，最终得到参数更优的经典码与DNA码。
Linear and cyclic codes over some special rings
本文研究了形如 $R_{s,p}=\mathbb{Z}_{p}[u]/\left( f\left(u ight) /\left( u-s ight) ight)$ 的环上的线性码和循环码，其中 $p$ 为素数，$f(u)=u^p-u$，$s\in\{0,1,\dots,p-1\}$。
Cyclic codes over $M_2(\F_2)$
标题中的环是第一个被用作分组码字母表的非交换环。最初的动机是从码构造一些四元数模格。新的应用是从黄金码级联获得的空时码的建设。本文给出了该环上循环码的结构定理，并利用它们刻画了自对偶循环码存在的长度。这些代码反过来又产生形式上的自对偶四元码。
Constacyclic Codes Over Finite Principal Ideal Rings
本文给出了有限主理想环上循环码与接触循环码的一个重要同构。给出了有限主理想环上非平凡循环自对偶码存在的充要条件。
On cyclic codes over $\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$
设$R=\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$，其中$q=p^s$和$u^2=0$。本文研究了环$R$上循环码的一些结构性质。给出了环$R$上循环码为自由码的一个充要条件，并给出了循环码的最小汉明距离的BCH型界.
On Quasi-Cyclic Codes as a Generalization of Cyclic Codes
在这篇文章中，我们把准循环码看作块循环码。将循环码的一些性质推广到拟循环码，如生成多项式和理想。实际上，我们证明了长度为m的l-拟循环码与M_l（Fq）[X]/（X^m-1）的理想之间的一一对应。这允许构建新的代码类，即准BCH和准评估代码。我们研究了这些代码的参数，并提出了一个解码算法的一半设计的最小距离。我们甚至发现了一个新的准循环码，其参数比已知的[189，11，125]_F4和48个导子码的参数都要好。
Non-Commutative Ring Learning With Errors From Cyclic Algebras
错误学习（LWE）问题是现代基于格的密码学的基本支柱，允许人们在充分研究的计算问题的难度上建立密码学。然而，基于LWE的方案往往是不切实际的，因此Ring LWE被引入作为一种“结构化”LWE的形式，通过在精心选择的环上工作来权衡难以量化的安全损失以提高效率。另一个流行的变体，模块LWE，通过在环上实现模块结构来推广这种交换。在这项工作中，我们引入了一个新的变体LWE循环代数（CLWE）复制的环结构LWE环LWE添加循环结构模块LWE。拟议的建设既比模块LWE更有效，又比环LWE更安全，是两个世界中最好的。我们表明，安全减少预期的LWE问题举行，即减少从某些结构化的格子问题的硬度的CLWE问题的决策变体。作为理论上的贡献，我们认为CLWE作为环LWE的第一个变种，支持非交换乘法运算。该环结构与模块LWE相比是有利的，并且自然地允许用于纠错编码的更大的消息空间。
Cyclic Codes over the Matrix Ring $M_2(F_p)$ and Their Isometric Images over $F_{p^2}+uF_{p^2}$
设$F_p$是具有$p$元素的素域。利用生成特征，导出了Frobenius矩阵环$M_2(F_p)$上的齐次权.我们还给出了有限链环$F_{p^2}+uF_{p^2}$上Lee重量的推广，其中$u^2=0$ .通过从$F_{p^2}$到$M_2(F_p)$的酉嵌入$τ$，构造了一个非交换环，记为$\mathcal{F}_{p^2}+\mathbf{v}_p \mathcal{F}_{p^2}$，$\mathbf{v}_p$是$M_2(F_p)$中的对合，它同构于$M_2(F_p)$，是一个左$F_{p^2}$ -向量空间. $\mathcal{F}_{p^2}$的元素来自$M_2(F_p)$，使得$τ(F_{p^2})=\mathcal{F}_{p^2}$。在$τ$中所需的不可约多项式$f(x)=x^2+x+(p-1) \in F_p[x]$限制了我们对赋予Bachoc权的$M_2(F_p)$上的循环码的研究，使其限于$p\equiv$ $2$或$3$ mod $5$的情况。这些码通过左$F_p$ -模等距的图像是赋予Lee重量的$F_{p^2}+uF_{p^2}$上的加性循环码。新的例子，这样的代码。
Quasi-cyclic subcodes of cyclic codes
对于非常广泛的一类循环码，我们完整地描述了循环码中准循环子码的可能索引。本文给出了具有固定指数的拟循环子码的计数结果，并证明了计数问题等价于有限域上某些向量子空间的计数问题。特别是，我们提出了枚举结果的准循环子码的单工码和某些BCH码。我们的结果是基于循环码的迹表示。
Describing A Cyclic Code by Another Cyclic Code
提出了一种新的$q$ -元循环码最小距离的界。的BCH和Hartmann-Tzeng界的连接制定，它表明，在几种情况下，实现了改进。我们将第二个循环码与原始循环码相关联，并根据相关代码的参数约束其最小距离。
Construction of Cyclic Codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$ for DNA Computing
我们用$u^2=0$构造环$\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$上的码.这些代码被设计用于DNA计算应用。所得到的码满足逆补约束、$GC$内容约束和避免了二级结构。它们是从环$\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$上的循环补可逆码导出的。我们还构造了一个无限的BCH DNA码族。
Skew cyclic codes over $\mathbb{F}_{q}+v\mathbb{F}_{q}+v^{2}\mathbb{F}_{q}$
本文研究环$R=\mathbb{F}_{q}+v\mathbb{F}_{q}+v^{2}\mathbb{F}_{q}$上的斜循环码，其中$q=p^{m}$，$p$是奇素数，$v^{3}=v$是环上的斜循环码.本文描述了环上斜循环码的生成多项式，并利用分解定理研究了环$R$上斜循环码的结构性质。我们还描述了斜循环码的逆的生成多项式。此外，还研究了$\mathbb{F}_{q}$和$R$上斜循环码的幂等生成元.
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