Algebraic Multigrid Methods For Virtual Element Discretizations: A Numerical Study
IMATI “E. Magenes”, CNR（CNR IMATI “E. Magenes”研究所）
本文研究了代数多网格方法在求解虚拟元离散化产生的线性方程组中的性能，通过在非常一般的多边形网格上进行数值实验，验证了该方法在处理模型椭圆问题时，尤其是高异质扩散系数情况下的有效性。
2018-12-05 cs.NA math.NA
A Monolithic Algebraic Multigrid Framework for Multiphysics Applications with Examples from Resistive MHD
一个多重网格框架描述了多物理场的应用。该框架允许一个构建，适应，并定制一个单片多重网格方法来不同的线性系离散偏微分方程。主要思想集中在开发多重网格组件在一个块的方式，每个块对应于单独的物理未知数和方程组内的较大的离散矩阵。一旦定义，这些组件最终组装成一个整体的多重网格求解器的整个系统。我们证明了潜在的框架，将其应用到代表性的线性解决方案所产生的电阻磁流体动力学的子问题。
2021-03-22 cs.NA math.NA
V-cycle optimal convergence for DCT-III matrices
Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
本文分析DCT-III代数中由多项式符号生成的矩阵的两网格和多网格方法，证明V循环收敛率与矩阵大小无关，并通过微分和积分方程数值例子验证。
2007-04-16 cs.NA math.NA
Deep Multigrid: learning prolongation and restriction matrices
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）；Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院计算数学研究所）
本文提出了一种优化多重网格方法中限制和细化算子的方法，通过深度神经网络架构实现，提升了求解偏微分方程的收敛速度。
2017-11-10 cs.NA math.NA
A note on grid transfer operators for multigrid methods
Università dell’Insubria（因斯布鲁克大学）
本文证明了椭圆偏微分方程中基于局部傅里叶分析的最优性条件与Toeplitz矩阵多重网格方法中基于符号零点阶数的条件等价，并提出了与B样条细化方程相关的网格转移算子类。
2008-07-16 cs.NA math.NA
Multigrid methods for block-Toeplitz linear systems: convergence analysis and applications
在过去的几十年中，多重网格方法的线性系具有多层Toeplitz系数矩阵的标量元素已被大量研究。另一方面，只有少数论文研究了块元素的情况，其中元素是小的通用矩阵而不是标量。在这种情况下，研究人员的努力主要致力于具体的应用，专注于算法建议，但理论结果非常有限。在本文中，我们提出了一个一般的两个网格的收敛性分析证明了最佳的收敛速度的矩阵大小无关的情况下，正定块Toeplitz矩阵的一般块。特别是，近似性质的证明没有一个简单的推广标量的情况下，事实上，我们必须要求一个特定的交换条件的块符号的网格传输操作。此外，我们定义了一类网格转移算子满足以前的理论条件，我们提出了一种策略，以确保快速多重网格收敛，甚至超过两个网格。在导致块Toeplitz结构的众多应用中，高阶拉格朗日有限元法和交错间断Galerkin方法在数值结果中被考虑，证实了我们建议的有效性和所提出的理论分析的正确性。
2019-10-30 cs.NA math.NA
A Note on Algebraic Multigrid Methods for the Discrete Weighted Laplacian
Università dell’Insubria（因斯布鲁克大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
本文针对加权拉普拉斯算子离散化产生的大型线性系统，从谱互补角度设计并研究代数多重网格方法，通过广泛数值实验展示其潜力。
2008-06-27 cs.NA math.NA
Multigrid methods for Toeplitz linear systems with different size reduction
Università dell’Insubria（因苏布里亚大学）；Università degli Studi del Piemonte Orientale - Amedeo Avogadro（皮埃蒙特东方大学-阿梅代奥·阿伏伽德罗）
针对具有给定生成函数的循环和Toeplitz矩阵，提出一种基于g-循环矩阵投影子的多重网格方法，通过两网格收敛性分析证明最优性，并解决标准方法在生成函数零点位于“镜像点”时的病态问题。
2010-10-27 cs.NA math.NA
A Geometric Multigrid Preconditioning Strategy for DPG System Matrices
Demkowicz和Gopalakrishnan [15，17]的不连续Petrov-Galerkin（DPG）方法保证了能量范数下解的最优性，并提供了几个便于自适应方案的特征。一个关键的问题，尚未回答一般-虽然有一些结果，泊松，例如-是如何最好地预处理的DPG系统矩阵，使迭代求解器可以用来解决大规模的问题。在本文中，我们详细介绍了预处理的DPG系统矩阵使用几何多重网格，我们已经实现了Camellia [26]的一部分，并通过数值实验证明其有效性的上下文中的几个变分公式。我们观察到，在我们的一些实验中，预条件的行为是紧密联系在一起的离散测试空间丰富。我们包括实验，涉及自适应网格与悬挂节点的盖子驱动的空腔流，证明了预条件可以应用在具有挑战性的问题的背景下。我们还包括一个可扩展性的研究表明，该方法-和我们的实现-规模以及许多MPI的行列。
2016-08-08 cs.CE cs.NA math.NA
A Proposal of Multigrid Methods for Hermitian Positive Definite Linear Systems enjoying an order relation
Università dell’Insubria（因苏布里亚大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
针对满足序关系的埃尔米特正定线性系统，提出一种基于相同光滑子和投影子的多重网格方法，并证明其两网格最优性，应用于多级结构线性系统实现线性时间求解。
2012-10-24 cs.NA math.NA
A symbol based analysis for multigrid methods for Block-Circulant and Block-Toeplitz Systems
在文献中，有几个基于符号的多重网格方法的解决方案的线性系具有结构化的系数矩阵的研究。特别是，这种方法的收敛性分析已获得一个优雅的形式的情况下，由标量值函数生成的Toeplitz矩阵。在块Toeplitz设置中，也就是说，在矩阵元素是小的通用矩阵而不是标量的情况下，已经提出了一些关于特定应用的算法，并且在[7]中进行了第一次严格收敛分析。然而，利用现有的基于符号的理论工具，仍然不可能证明文献中已知的许多多重网格方法的收敛性。本文推广了已有的结果，给出了关于网格转移算子符号的更一般的充分条件，特别地，我们处理了矩阵值三角多项式在所有点处不可对角化且奇异的情形，并将新的条件用病态子空间的特征向量表示.此外，我们扩展到V-循环方法的分析证明了线性收敛速率在更强的条件下，这类似于在标量的情况下给出的。为了验证我们的理论研究结果，我们提出了一个经典的块结构问题源于有限元近似的二阶微分问题。我们专注于两个多重网格的战略，使用几何和标准的二分法网格传输运营商，我们证明，都属于投影机满足所提出的条件。此外，使用一个张量积的参数，我们提供了一个策略来构建高效的V-循环程序在块多级设置。
2021-11-12 cs.NA math.NA
Multigrid Preconditioner for Nonconforming Discretization of Elliptic Problems with Jump Coefficients
Centre de Recerca Matematica (CRM)（数学研究中心）；Department of Mathematics, University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）；Department of Mathematics, The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学数学系）
针对跳跃系数二阶椭圆问题的Crouzeix-Raviart非协调离散线性系统，提出一种使用标准协调子空间作为粗空间的多重网格预处理器，数值测试表明其对系数跳跃具有鲁棒性且自由度近最优。
2011-07-11 cs.NA math.NA
Coarsening in Algebraic Multigrid using Gaussian Processes
多重网格方法已被证明是一个非常宝贵的工具，有效地解决大型稀疏线性系中产生的离散偏微分方程（PDE）。代数多重网格方法，特别是自适应代数多重网格方法已经表明，多重网格的效率，而不必求助于PDE的属性。然而，这些方法所需的设置造成了不可忽视的间接成本。机器学习的方法已经引起了人们对基于可用数据训练的统计模型的简化流程的关注。解释代数光滑误差作为高斯过程的一个实例，我们开发了一种新的，数据驱动的方法来构建自适应代数多重网格方法。基于高斯先验分布，克里格插值最小化后验分布的均方误差，给定粗网格上的数据。更进一步，我们利用高斯过程模型中的不确定性量化，以构建有效的变量分裂。使用一个合适的协方差模型的半变异函数拟合，我们证明了我们的方法产生有效的方法，使用一个单一的代数光滑向量。
2020-04-23 cs.NA math.NA
An algebraic multigrid method for quadratic finite element equations of elliptic and saddle point systems in 3D
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM), Austrian Academy of Sciences（约翰·拉东计算与应用数学研究所（RICAM），奥地利科学院）
本文提出一种稳健的代数多重网格方法，用于求解三维椭圆和saddle点系统中的线性方程组，采用分层二次基函数和新的粗化策略，提升数值计算的鲁棒性与效率。
2015-03-04 cs.NA math.NA
A Robust Multigrid Method for Isogeometric Analysis using Boundary Correction
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文提出了一种基于B-样条的最大光滑度的多网格求解器，解决了等几何离散化椭圆偏微分方程线性系统求解中的收敛率问题。
2015-12-22 cs.NA math.NA
V-cycle multigrid algorithms for discontinuous Galerkin methods on non-nested polytopic meshes
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文分析了V-循环多重网格算法在求解多边形网格上不连续伽辽金方法得到的线性方程组的收敛性质，证明了在适当选择平滑步骤数时，算法对网格细度和多项式阶数具有均匀收敛性。
2017-09-29 cs.NA math.NA
An adaptive multigrid solver for DPG methods with applications in linear acoustics and electromagnetics
提出了一种自适应多重网格预处理技术，用于求解由不连续Petrov-Galerkin（DPG）离散化引起的线性系。与标准的多重网格技术不同，该预条件只涉及定义在网格骨架上的迹空间，适用于自适应hp网格。构造的关键点是将迭代求解器与由DPG技术提供的全自动和可靠的网格细化过程相结合。的解决方案的技术的功效展示与线性声学和电磁模拟，包括在高频政权，否则将是棘手的问题的模拟的许多例子。最后，我们分析了一级预处理（平滑）均匀网格，我们证明了理论估计的预处理线性系的条件数可以来自良好的自伴正定算子理论的基础上。
2020-10-14 cs.NA math.NA
Optimal-order preconditioners for linear systems arising in the semismooth Newton solution of a class of control-constrained problems
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）；Thomas More College（托马斯莫尔学院）
本文提出一种非符合多网格预条件子，用于求解受控约束问题中semismooth Newton方法出现的线性系统，通过合理几何假设实现最优阶逼近，经经典椭圆约束最优控制问题和受约束图像去模糊问题验证。
2016-02-13 cs.NA math.NA
On the use of Multigrid Preconditioners for Topology Optimization
大规模问题的拓扑优化仍然是一个计算挑战。在文献中存在几个作品来解决这个问题，并且都利用迭代求解器来处理由有限元分析（FEA）产生的线性系。然而，在这些作品中使用的预条件各不相同，在许多情况下，显着次优。几何多重网格（GMG）预条件子在拓扑优化中的有效性已经得到了一些研究成果的验证。在这里，我们表明，代数多重网格（AMG）预处理器提供卓越的鲁棒性，只有一个小的开销成本。当优化开发精细尺度结构特征或需要对同一线性系的多个解决方案时，差异最为明显。因此，我们认为，扩大使用AMG预条件的拓扑优化将是必不可少的更复杂的标准在大规模的3D域的优化。
2020-10-20 cs.NA math.NA
Nonsymmetric Reduction-based Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解对称正定线性系的一种有效方法，它可以将一般椭圆型偏微分方程离散化，也可以将抛物型偏微分方程空间离散化。然而，收敛理论和AMG的大多数变体依赖于$A$是SPD。双曲偏微分方程，经常出现在大规模的科学模拟，仍然是一个挑战，AMG，以及其他快速线性求解器，部分原因是得到的线性系往往是高度非对称的。在这里，一个新的收敛框架的非对称，减少为基础的AMG，并推导出$\ell^2$ -误差和残差收敛的充分条件。特别是，经典的多重网格近似属性与减少为基础的措施，以发展一个强大的框架，非对称，减少为基础的AMG。块三角形结构的矩阵，然后被认为是服从约简型算法，和约简为基础的AMG方法开发的迎风离散的双曲型偏微分方程，基于Neumann近似的概念，理想的限制（$n$ AIR）。$n$ AIR可以看作是在以前的工作中引入的局部AIR（$\ell$ AIR）的变体，特别针对具有三角结构的矩阵。尽管功能不如$\ell$ AIR，但$n$ AIR的设置时间可以大大缩短，以解决高连通性问题。$n$ AIR被证明是一个有效的和可扩展的求解器的稳定状态传输的不连续，迎风离散，非结构化网格，并高达6阶有限元，提供了一个显着的改善现有的AMG方法。$n$空气也被证明是有效的几类“近三角形”矩阵，导致曲线有限元和人工扩散。
2019-09-09 cs.NA math.NA
A New Semi-Structured Algebraic Multigrid Method
多重网格方法非常适合于大规模并行计算机体系结构，因为它们在数学上是最优的，并显示出良好的并行化特性。由于当前的体系结构趋势倾向于使用常规计算模式来实现高性能，因此表达结构的能力变得更加重要。hypre软件库通过概念接口提供了高性能的多重网格预处理器和求解器，包括一个半结构化接口，该接口主要根据stenetrance和逻辑结构化网格来描述矩阵。本文提出了一种新的半结构代数多重网格（SSAMG）方法建立在这个接口。一组半结构化的问题，该方法的CPU实现的数值收敛性和性能进行评估。SSAMG实现了比hypre的非结构化AMG求解器更好的设置时间和可比的收敛性。此外，新方法能够解决比hypre的结构化求解器更复杂的问题。
2022-05-27 cs.NA math.NA
Analysis of a multigrid preconditioner for Crouzeix-Raviart discretization of elliptic PDE with jump coefficient
University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对跳跃系数二阶椭圆问题的非协调Crouzeix-Raviart离散化，提出一种使用标准协调子空间作为粗空间的多重网格V循环预处理器，分析表明预处理系统仅有少数小特征值受跳跃影响，有效条件数关于网格尺寸对数有界，从而预条件共轭梯度法几乎一致收敛。
2011-10-24 cs.NA math.NA
Algebraic error analysis for mixed-precision multigrid solvers
本文建立了第一个理论框架，分析舍入误差的多重网格方法使用混合精度迭代细化求解器的影响。虽然由离散线性椭圆偏微分方程产生的稀疏对称正定（SPD）矩阵方程激发，但该框架是纯代数的，因此它适用于不一定来自连续统的矩阵。基于所谓的能量或$A$范数，这是自然规范的许多问题，涉及SPD矩阵，我们提供了一个规范的向前误差分析，并介绍了渐进精度的多重网格求解器的概念。多重网格层次结构的每一级都使用三种不同的精度，每一种精度都随着级别的精细度而增加，但以不同的速率增加，从而确保大部分计算使用尽可能低的精度。在这里开发的理论结果的能量规范显着不同，从以前的理论基础上的欧几里德规范的重要方式。特别是，我们表明，简单地四舍五入一个确切的结果，有限的精度会导致错误的能量范数，是成比例的平方根的$κ$，相关的矩阵条件数。(By相反，当以欧几里德范数测量时，该误差为$1$阶。）鉴于这一观察，我们表明，V-周期和完整的多重网格的限制精度是最佳的意义上说，它也是成比例的$κ^{1/2}$的能量。此外，我们表明，由于四舍五入的收敛速度的损失成比例增长的$κ^{1/2}$，但认为这种损失是微不足道的，在实践中。本文的理论是第一次在迭代加密能量范数下的向前误差分析，也是第一次一般意义上的多重网格舍入误差分析。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Matrix-Free Geometric Multigrid Preconditioning Of Combined Newton-GMRES For Solving Phase-Field Fracture With Local Mesh Refinement
本文研究准静态相场断裂问题的无矩阵求解，采用准整体式表述及原始-对偶活动集方法施加不可逆性约束，通过线搜索辅助的 Newton 方法求解非线性问题，并利用结合局部网格细化的无矩阵几何多重网格预处理 GMRES 求解线性系统，数值测试验证了求解器的有效性。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Multigrid algorithms for $hp$-Discontinuous Galerkin discretizations of elliptic problems
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文提出W循环多重网格算法，用于求解广义$hp$-版本非连续伽辽金离散化所得到的线性方程组，分析了网格精细度和层次数对收敛性的影响，并通过数值实验验证理论结果。
2013-11-28 cs.NA math.NA
Generalizing Reduction-Based Algebraic Multigrid
针对基于约简的代数多重网格（AMGr）在非对角占优矩阵上性能下降的问题，本文结合连接强度、SPAI等技术改进经典AMGr算法，在控制成本的同时提升鲁棒性，数值实验验证了其在两类扩散问题上的有效性。
2023-08-22 cs.NA math.NA
An Adaptively Constructed Algebraic Multigrid Preconditioner for Irreducible Markov Chains
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出一种自适应构造的代数多网格预条件器，用于高效求解非对称M矩阵线性系统，通过使用奇异向量代替特征向量改进插值与限制过程，提升GMRES收敛速度并验证其在多种测试问题中的优良扩展性。
2014-02-17 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid block preconditioning for multi-group radiation diffusion equations
针对多群辐射扩散方程的全耦合隐式格心有限体积离散所产生的大规模稀疏线性系组，发展和研究了基于经典代数多重网格的高效块预处理器，其系数矩阵可以重新排列成$(G+2)\times(G+2)$块形式，其中$G$是能量群的数目.预处理技术是基于单片经典代数多重网格方法，基于物理变量的粗化两级算法和两种类型的块舒尔补预处理。经典的代数多重网格被用来解决在最后三个块预条件子系统。进一步研究了耦合强度和对角优势对性能的影响。我们使用代表性的一组和20组线性系从胶囊内爆模拟的鲁棒性，效率，强和弱的并行标度性能的测试所提出的方法。数值结果表明，块预条件导致网格和问题无关的收敛，以及规模算法和并行。
2020-02-12 cs.NA math.NA
Auxiliary Space Multigrid Method Based on Additive Schur Complement Approximation for Graph Laplacian
University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
本文提出基于加法Schur补近似法的辅助空间多网格方法，用于解决一般图的图拉普拉斯矩阵问题，该方法具有纯代数构造、无需限制图结构和易分析计算复杂度等优势。
2017-08-18 cs.NA math.NA
Riemannian multigrid line search for low-rank problems
University of Geneva（日内瓦大学）
针对PDE离散化产生的大规模优化问题，提出一种在固定秩黎曼流形上直接优化的多重网格算法，并采用Hager-Zhang线搜索的黎曼推广实现机器精度解。
2021-03-02 cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
Norm-based convergence bounds for nonsymmetric algebraic V-cycle multigrid methods
Institute of Mathematics, Technische Universität Berlin（柏林工业大学数学研究所）
本文基于非对称代数多网格方法，利用任意正定矩阵B诱导的范数，推导了非对称情况下的收敛界，并展示了多网格方法中误差传播矩阵的范数估计。
2026-04-24 cs.NA math.NA
Primal-dual interior-point multigrid method for topology optimization
University of Birmingham（伯明翰大学）；Institute of Information Theory and Automation, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院信息论与自动化研究所）；University of Kirkuk（基尔库克大学）
本文提出了一种用于结构拓扑优化的内点方法，采用几何多网格预处理的共轭梯度法求解线性系统，并与优化条件方法进行比较，证明了对于大规模问题，不精确迭代线性求解器的内点方法更优。
2016-06-20 cs.NA math.NA math.OC
Automatic coarsening in Algebraic Multigrid utilizing quality measures for matching-based aggregations
针对对称正定矩阵，本文基于通用AMG收敛理论和聚合质量度量，分析相容加权匹配粗化，并提出可后验评估的全自动聚合方法。
2022-07-31 cs.NA math.NA
LFA-tuned matrix-free multigrid method for the elastic Helmholtz equation
本文针对弹性亥姆霍兹方程，提出一种基于粗网格重离散化模板的无矩阵几何多重网格方法，并通过双网格局部傅里叶分析调优模板权重，获得可扩展且适用于大规模三维场景的最优收敛预条件器。
2023-12-03 cs.NA math.NA
Efficiency of local Vanka smoother geometric multigrid preconditioning for space-time finite element methods to the Navier-Stokes equations
对不可压缩粘性流动的数值模拟，特别是三维空间的数值模拟，仍然是一项具有挑战性的任务。时空有限元法的特点是自然构造高阶离散格式。它们提供了在计算上可行的网格上实现精确结果的潜力。通过牛顿法线性化所得到的代数问题产生具有由$(k+1)\times (k+1)$鞍点系统构建的块矩阵的线性系，其中$k$表示变分时间离散化的多项式阶。我们证明了数值效率的预处理GMRES迭代求解这些线性系的$V$循环几何多重网格方法的基础上，当地的Vanka平滑。研究工作是针对二维和三维圆柱绕流的基准问题进行的。在这里，鲁棒性的求解器相对于分段多项式阶$k$在时间上进行了分析和数值证明。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Learning optimal multigrid smoothers via neural networks
Emory University（埃默里大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
多重网格方法是求解由机器学习应用中的偏微分方程（PDE）和图拉普拉斯算子产生的线性系的最有效的技术之一。多重网格的关键组成部分之一是平滑，其目的是减少每个网格级别上的高频误差。然而，找到最佳的平滑算法是问题相关的，可以对许多问题带来挑战。在本文中，我们提出了一个有效的自适应框架，用于以卷积神经网络（CNN）的形式从算子扩展中学习优化的平滑器。CNN是基于来自多重网格收敛理论的监督损失函数，在给定类型的PDE的小规模问题上进行训练的，并且可以应用于同类PDE的大规模问题。各向异性旋转拉普拉斯问题的数值结果表明，改进的收敛速度和解决方案的时间相比，经典的手工制作的松弛法。
2021-07-06 cs.LG cs.NA math.NA
Comparison Between Algebraic and Matrix-free Geometric Multigrid for a Stokes Problem on Adaptive Meshes with Variable Viscosity
在地球地幔对流中出现的问题涉及到找到大粘度对比的斯托克斯系统的解决方案。这些系统包含局部化特征，即使使用自适应网格细化，也会导致线性系的数量级为10^9或更多未知数。对这些系统的速度块进行预处理的一种常见方法是应用代数多重网格（AMG）v循环（例如，如在ASPECT软件中所做的那样），然而，对于AMG，关于问题大小和并行过程的数量的鲁棒性可能是困难的。此外，当使用AMG时，我们看到自适应细化的迭代次数增加。相比之下，几何多重网格（GMG）方法，通过使用有关问题的几何信息，应该提供一个更强大的选项。在这里，我们提出了一个无矩阵的GMG v-循环，它适用于自适应细化，分布式网格，我们将比较它与目前的AMG预处理器（Trilinos ML）中使用的ASPECT软件。我们将证明GMG的鲁棒性方面的问题的大小，并显示扩展到114688核心和$217$十亿未知数。所有计算都使用开源的有限元库deal. ii运行。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Efficient solution of 3D elasticity problems with smoothed aggregation algebraic multigrid and block arithmetics
三维弹性力学问题的有效求解是许多工业和科学应用的重要组成部分。光滑聚合代数多重网格使用刚体模式的暂定延长运营商建设是一个有效的和强大的选择所产生的弹性方程离散化的线性系统的解决方案。多重网格体系中每一层上的系统矩阵都具有块结构，因此采用块表示和块算法可以显著提高求解效率。然而，试探性的延拓算子构造只能使用标量表示来完成。本文提出了一对夫妇的实用方法，使使用块算法与平滑聚合代数多重网格的基础上开放源代码AMGCL库。对两个实际世界模型问题的计算表明，所提改进可使求解速度提高50%，预条件子所需内存减少30%。实现是简单的，只需要最少的代码。
2022-02-18 cs.MS cs.NA math.NA
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
A Newton multigrid method for steady-state shallow water equations with topography and dry areas
Peking University（北京大学）
本文提出一种用于稳态浅水方程的牛顿多网格方法，通过牛顿法和几何多网格方法求解非线性系统，有效处理湿干过渡问题，通过数值实验验证了方法的效率和平衡性。
2016-08-24 cs.NA math.NA
Uniform convergence of V-cycle multigrid algorithms for two-dimensional fractional Feynman-Kac equation
Lanzhou University（兰州大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文推导了V-级多网格算法对对称正定Toeplitz块三对角矩阵的均匀收敛性估计，探讨了与先前结果的联系。主要贡献包括直接处理椭圆型PDE的Toeplitz系统，以及采用简单限制和细化算子处理一般Toeplitz系统，应用于分数费曼-科茨方程差分方程生成的代数方程组。
2017-06-05 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种精简代数多重网格（LAMG）方法，通过构建多层粗化拉普拉斯系统并结合分段常数插值和能量校正，实现图拉普拉斯线性系统的高效求解，具有线性时间和存储复杂度。
2011-07-31 cs.NA math.NA
Convergence in Norm of Nonsymmetric Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解大型稀疏线性系最快的数值方法之一。对于SPD矩阵，AMG的收敛性在$A$ -范数下得到了很好的证明，并且AMG已被证明是许多应用的有效求解器。近年来，已有几种AMG算法被提出，它们对非对称线性系都很有效。虽然在每种情况下提供的动机，非对称线性系的AMG的收敛性仍然没有得到很好的理解，算法主要是基于几何学或不完整的理论。对于多重网格约束和插值算子$R$和$P$，分别让$Π:= P(RAP)^{-1}RA$表示AMG中粗网格校正对应的投影。在非对称设置中，$\|Π\| > 1$在任何已知范数下都是不变的情况。这导致了一个有趣的二分法：粗网格校正是AMG实现快速收敛的基础，但在这种情况下，实际上会增加误差。在这里，我们提出了一个详细的分析非对称AMG，讨论为什么SPD理论在非对称设置，并制定了一个一般的框架NS-AMG的收敛。将经典多重网格的弱逼近和强逼近性质推广到\textit{fractional approximation property}上。然后在$R$和$P$上开发条件，以确保$\|Π\|_{\sqrt{A^*A}}$是有界的，与问题大小无关。其次是两个网格和多级W-循环收敛的$\sqrt{A^*A}$规范的条件的发展。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Multigrid preconditioning of linear systems for semismooth Newton methods applied to optimization problems constrained by smoothing operators
Department of Mathematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校数学与统计系）
针对控制变量带盒约束的平滑算子约束线性二次优化问题，提出一种多重网格预处理器，使得半光滑牛顿法迭代次数随网格细化而减少。
2013-11-07 cs.NA math.NA math.OC
Integrating Additive Multigrid with Multipreconditioned Conjugate Gradient Method
本研究将加性多重网格与多重预处理共轭梯度法结合，利用MG层级修正作为独立搜索方向，通过能量范数最小化计算最优系数，以提升并行效率并保持收敛性能。
2025-02-26 cs.NA math.NA
A Multigrid method for nonlocal problems: non-diagonally dominant Toeplitz-plus-tridiagonal systems
Lanzhou University（兰州大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）；University of Insubria（因斯布鲁克大学）
本文研究了非局部问题的多重网格方法，针对非对角占优的Toeplitz-plus-tridiagonal系统，提出了基于谱分析的简单限制和细化算子，以处理非Toeplitz且非弱对角占优的代数系统，并验证了多重网格方法的收敛性。
2018-08-29 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver (Journal Version)
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种线性时间复杂度的图拉普拉斯系统求解器LAMG，通过组合分段常数插值、基于亲和度的节点聚合和能量校正实现快速收敛与线性扩展。
2012-06-08 cs.NA math.NA
Spectral analysis and multigrid preconditioners for two-dimensional space-fractional diffusion equations
Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Max Planck Institute for Plasma Physics（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文研究二维空间分数扩散方程的离散化问题，通过谱分析设计多网格预处理子，证明其收敛性，并验证其在Krylov方法中的有效性。
2017-06-21 cs.NA math.NA
Algebraic Multigrid Preconditioners for Multiphase Flow in Porous Media
多相流是一个关键的过程，在广泛的应用，包括碳封存，污染物修复，地下水管理。典型地，该过程通过考虑每个相的质量守恒导出的偏微分方程的非线性系统来建模（例如，油、水），以及相速度与相压力的关系的本构定律。在这项研究中，我们开发和研究的有效解算法求解的代数系统方程来自一个完全耦合和时间隐式处理模型的多相流。我们探讨了几个预处理器的性能代数多重网格（AMG）的基础上解决线性化问题，包括“黑箱”AMG直接应用于系统，一个新版本的约束压力剩余多重网格（CPR-AMG）预处理，和一个新的预处理器使用近似舒尔补充所产生的雅可比矩阵的块分解。我们表明，新的方法是最强大的问题特征，由不同的影响，毛细管压力，我们表明，块分解预条件是有效的和规模优化问题的大小。
2016-11-01 cs.CE cs.NA math.NA
Matrix-Free Multigrid with Algebraically Consistent Coarsening on Adaptive Octrees
School of Interactive Computing, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院交互计算学院）
本文提出一种基于GPU的无矩阵多网格预处理器，通过代数自洽粗化求解适应性八叉树网格上的泊松方程，实现高精度、网格无关收敛性和鲁棒性。
2026-04-20 cs.GR cs.NA math.NA
Scalable DPG Multigrid Solver for Helmholtz Problems: A Study on Convergence
本文提出基于细网格算子限制的粗网格系统新定义的可扩展DPG多重网格预处理器，通过并行MPI/OpenMP实现将收敛自由度规模提至约10^9，验证了h、p鲁棒收敛性及与波频率的线性关系，完成含高对比度地震基准的hp自适应数值实验。
2023-10-05 cs.CE cs.NA math.NA
Matrix-free multigrid block-preconditioners for higher order Discontinuous Galerkin discretisations
对流-扩散型椭圆偏微分方程的有效且适当预处理的迭代求解器在科学和工程的各个领域中都有应用。为了实现最佳性能，求解器必须表现出高运算强度，并需要利用现代众核CPU中可用的每种形式的并行性。求解器的计算上最昂贵的组件是线性算子和预处理器的重复应用。对于基于高阶不连续Galerkin方法的离散化，和因式分解导致运算符应用的计算复杂性的显著降低，同时，无矩阵实现可以以理论峰值浮点性能的显著分数运行。高阶方法的多重网格方法通常依赖于块平滑器来减少一个网格单元内的高频误差分量。传统上，这需要在每个网格单元中进行组装和昂贵的稠密矩阵求解，这抵消了快速无矩阵算子应用中实现的任何改进。为了克服这个问题，我们提出了一个新的矩阵的块平滑实现。迭代地求块矩阵的逆避免了矩阵的存储和因式分解，并且使得能够利用CPU的全部功率。我们实现了一个混合多重网格算法与矩阵自由块平滑在高阶DG空间结合低阶粗网格校正使用代数多重网格，只有低阶组件明确组装。这种方法的有效性证明通过解决一组代表性的椭圆偏微分方程的复杂性不断增加，包括对流为主的问题和固定SPE 10基准。
2019-06-02 cs.NA math.NA
A comparison of Algebraic Multigrid Bidomain solvers on hybrid CPU-GPU architectures
本研究针对心脏电生理Bidomain系统，在混合CPU-GPU架构上基准测试PETSc库中两种AMG预条件子，发现GPU在求解时间上性能最佳。
2023-11-23 cs.NA math.NA
