Primal-Dual Interior-Point Methods for Domain-Driven Formulations
本文研究了求解凸优化问题的不可行起始原-对偶内点方法，该方法具有典型的自然形式，我们称之为区域驱动形式。我们的算法扩展了许多优势的原始-对偶内点技术可用于圆锥公式，如目前最好的复杂性界限，和更强大的证书近似最优性，无界性和不可行性，域驱动的配方。即使在线性规划的情况下，对于所使用的不可行启动设置来说，复杂性结果也是新的。除了复杂性的结果，我们的算法的目的是扩大应用程序，和软件的内点方法，以更广泛的类的问题超越对称锥优化。
2019-03-13 math.OC
Algebraic Multigrid with Filtering: An Efficient Preconditioner for Interior Point Methods in Large-Scale Contact Mechanics Optimization
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出一种带过滤的代数多重网格预置器，用于解决大规模接触力学优化中的非线性问题，通过理论分析和数值实验证明其在网格无关收敛性和抗病态能力方面的有效性。
2026-04-17 cs.NA math.NA math.OC
Role of New Kernel Function in Complexity Analysis of an Interior Point Algorithm for Semi definite Linear Complementarity Problem
本文引入了一种新的核函数，它不同于以往的核函数，并在半定线性互补性问题的原始-对偶内点算法的设计中发挥了重要作用.它的性质，使我们可以很大程度上简化对邻域点方法的分析，因此大更新原始-对偶内点的复杂性是迄今为止最好的。数值试验表明，该函数的使用在迭代时间和迭代次数方面都有很大的改善。与文献中已有的一些结果相比，该方法具有很好的应用前景。
2021-08-16 cs.NA math.NA math.OC
Robust and efficient primal-dual Newton-Krylov solvers for viscous-plastic sea-ice models
我们提出了一个粘性-塑性海冰模型的牛顿-克雷洛夫求解器。这种本构关系通常用于气候模式中，以描述海冰的材料特性。由于动量方程中物质定律引入的强非线性，开发快速、鲁棒和可扩展的求解器仍然是一个巨大的挑战。在本文中，我们提出了一种新的原始-对偶牛顿线性化的隐式时间离散动量方程。与现有的方法相比，它收敛速度更快，更强大的网格细化，从而使数值收敛海冰模拟在高分辨率。结合代数多重网格预处理Krylov方法的线性化系统，其中包含强烈的变化系数，所得的求解器规模以及可以并行使用。我们提出了两个具有挑战性的测试问题的实验，并研究求解器性能的问题，高达840万空间未知数。
2022-09-15 cs.NA math.NA math.OC
A distributed primal-dual interior-point method for loosely coupled problems using ADMM
本文提出了一种求解松耦合凸优化问题的高效分布式算法。该算法是基于原始-对偶内点方法，在该方法中，我们使用乘子的交替方向法（ADMM）计算原始-对偶方向在该方法的每次迭代。这使我们能够加入卓越的原始-对偶内点方法与ADMM的并行性的收敛性能。相对于直接应用于我们问题的ADMM，所得算法具有更优越的计算性能。每个计算代理需要进行的计算量少得多，特别是所有变量的更新都可以用封闭形式表示，而与最优化问题的类型无关。该算法的最昂贵的计算负担发生在原始变量的更新，并可以预先计算在内点方法的每次迭代。我们验证和比较我们的方法ADMM在数值实验。
2015-02-09 math.OC
A Newton multigrid framework for optimal control of fluid-structure interactions
本文研究非线性时变流固耦合系统的最优控制。为了确定依赖于时间的控制变量，使用BFGS算法，其中通过对偶问题计算梯度信息。为了解决由此产生的病态线性问题发生在每个时间步的状态和对偶方程，我们开发了一个高效的单片求解器，是基于近似牛顿计划的原始方程和预处理理查森迭代的对偶问题。所提出的算法的性能进行了测试的一个二维和三维的例子数值。
2020-03-31 math.OC
Interior-point algorithms for convex optimization based on primal-dual metrics
本文提出并分析了锥型凸优化问题的原-对偶内点算法。我们分析的算法的家庭是所谓的短步长算法，他们匹配当前最好的迭代复杂度界的原始对偶对称内点算法的Nesterov和托德，对称锥规划问题与给定的自缩放障碍。我们的结果适用于任何凸锥的自协调势垒。我们还证明了我们的算法的某些专业双曲锥规划问题（严格之间的对称锥规划和一般的凸优化问题的一般性）可以利用双曲障碍的有利的特殊结构。我们作出新的连接黎曼几何，积分算子空间，高斯求积，并加强我们的算法的连接，拟牛顿更新，因此一般的一阶方法。
2014-11-08 math.OC
A primal-dual interior-point relaxation method with global and rapidly local convergence for nonlinear programs
在求解经典的非线性障碍子问题的等价参数等式约束minimax问题的基础上，提出了求解具有一般等式和非负约束的非线性规划的一种新的原-对偶内点松弛法.在每次迭代中，我们的方法近似地解决了参数等式约束极小极大子问题的KKT系统，这避免了任何原始或对偶点是一个内点的要求。该方法在放松内点要求方面与热启动内点方法有一些相似之处，并且易于推广用于求解一般不等式约束问题。特别是，当障碍参数较小时，它有可能避免许多非线性规划的内点方法出现的干扰困难，并改善现有原始-对偶内点方法的病态性.引入了一种新的光滑化方法来发展我们的松弛法，并提高了方法的收敛性。在适当的条件下，证明了该方法的全局收敛性和局部二次收敛性。对一个许多内点方法都找不到极小值的适定问题和一组CUTEr集合中的测试问题的初步数值结果表明，我们的方法是有效的.
2022-09-02 math.OC
New complexity bounds for primal--dual interior-point algorithms in conic optimization
Cardinal Operations, Ltd.（卡迪纳尔操作有限公司）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
针对锥优化中的对称原始-对偶内点算法，通过原始和对偶点对的关键复杂度度量新一致界，得到改进的复杂度结果，包括自协调障碍函数情形下的紧界和迭代复杂度。
2026-06-16 math.OC
An Inexact Tensor-Train Primal-Dual Interior-Point Method for Semidefinite Programs
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
针对半定规划中解非低秩但可低张量列车秩近似的问题，介绍一种利用张量分解和原始对偶不可行内点框架的方法，实验表明该方法能处理大规模问题，有精度保证且张量列车秩适中，为相关问题求解提供新途径。
2026-07-15 math.OC
Primal-dual interior-point Methods for Semidefinite Programming from an algebraic point of view, or: Using Noncommutativity for Optimization
三十多年来，内点方法被证明对优化非常有用，从半定线性规划到圆锥规划（部分超越非凸）;尽管事实上已经在半定情况下（即使强对偶成立）“困难”问题是已知的。我们阴影的光在非交换世界（半定规划），即“交换”路径，而令人惊讶的限制，并提出了一个新的家庭的求解器，能够使用充分丰富的“非交换”搜索方向：（原始）可行的内点方法。除了详细的基本讨论，我们说明了一些变种的“非交换”路径，并提供了一个简单的实现进一步（具体问题）的调查。
2020-02-24 math.OC
Distributed Primal-dual Interior-point Methods for Solving Loosely Coupled Problems Using Message Passing
在本文中，我们提出了一个分布式算法求解弦稀疏的松耦合问题，它依赖于原始-对偶内点方法。我们通过使用消息传递在每次迭代中分配计算来实现这一点。与现有的分布式算法相比，该算法需要更少的迭代次数来收敛到具有高精度的解。此外，它是可能的，以计算所需的迭代次数的上限，不像现有的方法，只取决于耦合结构的问题。我们使用一组数值例子来说明我们提出的方法的性能。
2015-06-29 math.OC
On the Differentiability of the Primal-Dual Interior-Point Method
针对原对偶内点法在主动不等式约束下导数不连续的问题，提出对数屏障松弛技术结合始终可行的ℓ₁惩罚凸二次规划求解算法，实现可并行的光滑可微求解器，已在机器人任务验证并开源JAX实现。
2024-06-18 math.OC
Interior-proximal primal-dual methods
研究了一类鞍点问题的预条件逼近点方法，其中预条件子将整体逼近点方法转化为原始-对偶交替逼近点方法。这类似于Chambolle-Pock方法或ADMM。在我们的工作中，我们用对称锥上的障碍函数代替对偶步骤中的平方距离，同时使用标准（欧几里德）邻近步骤作为原始变量。我们证明了在非退化和简单的线性约束下，这种混合原始对偶法可以实现线性收敛原来的强凸问题，涉及二阶锥在其鞍点形式。在一般的对称锥上，我们只能给出一个$O(1/N)$速率。这些结果是基于估计的障碍函数的强凸性，延长与惩罚的对称锥的边界。
2018-08-22 math.OC
A primal-dual interior-point relaxation method for nonlinear programs
我们证明了经典的对数障碍问题等价于一个特殊的对数障碍正松弛问题的障碍和标度参数。在此基础上，提出了一种求解非线性规划问题的线搜索原对偶内点松弛法。该方法不要求原迭代或对偶迭代都是邻域点，这与文献中已有的内点方法有显著的不同。为了保证算法的整体收敛，采用了一种新的既依赖于原始变量又依赖于对偶变量的对数障碍罚函数，其中罚参数自适应地更新。在不假设任何正则性条件的情况下，证明了只要障碍参数趋于零，我们的方法将终止于原问题的一个近似KKT点。本文给出了一些初步的数值结果，包括一个适定问题的结果，对于这个适定问题，许多线搜索内点方法都不能证明是全局收敛的;一个可行问题的结果，对于这个可行问题，LICQ和MFCQ不能保持在解上;以及CUTE集合的一些标准测试问题。这些结果表明，我们的算法不仅是有效的适定的可行问题，但也适用于一些不适定的可行问题，甚至一些不可行的问题。
2018-07-09 math.OC
A Primal-Dual Interior Point Method for a Novel Type-2 Second Order Cone Optimization Problem
本文定义了一种新的特殊二阶锥作为$k$型二阶锥。我们集中在$k=2$的情况下，它可以被视为SOCO与一个额外的{ \em复杂变量}。对于这个新的问题，我们制定了必要的先决条件，传统的SOCO以前的工作的基础上。然后，我们开发了一个原始-对偶内点算法求解2型二阶锥优化（SOCO）问题，基于一个家庭的核函数适合这种2型SOCO。最后，我们推导出我们的框架的以下迭代范围：\[\frac{L^γ}{θκγ} \left[2N ψ\left( \frac{\varrho \left(τ/4N\right)}{\sqrt{1-θ}}\right)\right]^γ\log \frac{3N}ε.\]
2019-12-18 math.OC
Primal-Dual Entropy Based Interior-Point Algorithms for Linear Optimization
在求解线性最优化的内点方法中，我们提出了一类基于原始对偶熵的搜索方向。我们表明，通过使用熵为基础的搜索方向的预测步骤的预测-校正算法与齐次自对偶嵌入，我们可以实现当前最佳的迭代复杂度界的线性最优化。然后，我们专注于一些宽邻域算法，并表明，在我们的家庭的熵为基础的搜索方向，我们可以找到最佳的搜索方向和步长的组合，通过执行一个平面搜索在每次迭代。为此，我们提出了一个启发式的平面搜索算法，以及一个确切的。最后，我们进行计算实验，研究基于熵的搜索方向的性能在广泛的邻域的中心路径，利用和不利用平面搜索算法。
2014-10-30 math.OC
On the behavior of Lagrange multipliers in convex and non-convex infeasible interior point methods
我们分析了由内点方法（IPM）在凸和非凸设置产生的序列。我们证明了移动的原始可行性在相同的速度作为障碍参数$μ$确保拉格朗日乘子序列保持有界，提供原始序列的极限点有一个拉格朗日乘子。此结果不需要约束规格。我们还保证IPM找到一个解决方案，满足严格互补性，如果存在。另一方面，如果原始可行性降低得太慢，则算法收敛到最小互补点;如果原始可行性降低得太快，并且拉格朗日乘子的集合是无界的，则拉格朗日乘子的范数趋于无穷大。我们的理论具有重要的意义，IPM的设计。具体来说，我们表明，IPOPT，一个算法，不仔细控制原始可行性有实际问题的双重乘数值增长到不必要的大值。相反，\citet*{hinder2018one}的单阶段IPM（一种控制原始可行性的算法，正如我们的理论所建议的那样）没有这样的问题。
2019-06-11 math.OC
Polynomial worst-case iteration complexity of quasi-Newton primal-dual interior point algorithms for linear programming
拟牛顿法是用于大规模数值优化的公知技术。他们在最优化问题中使用Hessian近似，在非线性方程组中使用Jacobian近似。在内点上下文中，拟牛顿算法计算与牛顿系统相关联的矩阵的低秩更新，而不是在每次迭代时从头开始计算。本文证明了线性规划的简化拟牛顿原对偶内点算法具有多项式最坏情况迭代复杂度。考虑了算法的可行和不可行情况，分析了中心路径的最常见邻域。据我们所知，这是第一次尝试为这些方法提供多项式最坏情况下的迭代复杂度界限。不出所料，当使用拟牛顿方向时获得的最坏情况的复杂度结果比采用牛顿方向时的结果更差。然而，拟牛顿更新是非常有吸引力的大规模最优化问题，其中分解矩阵的成本是远远高于解决线性系的成本。
2022-09-09 math.OC
Implicit Primal-Dual Interior-Point Methods for Quadratic Programming
Department of Aeronautics and Astronautics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院航空航天系）
本文提出了一种隐式对偶内点法求解二次规划的新方法，通过引入辅助变量和重构映射，使互补性条件隐式满足，从而解决内点法中因ill-conditioning导致的精度问题。
2026-04-01 cs.RO math.OC
Interior point methods in optimal control problems of affine systems: Convergence results and solving algorithms
本文针对控制仿射的最优控制问题提出内点方法，通过求解微分代数方程边值问题实现收敛，并给出原始及原始-对偶算法及数值验证。
2023-08-31 math.OC
On the asymptotic behavior of a higher-order extrapolation primal-dual interior-point method for nonlinear programming
本文研究非线性规划原始-对偶内点法中利用高阶导数信息进行轨迹外推的渐近收敛行为，证明足够高阶时仅靠外推即可达到障碍参数减小速率，并给出二次规划数值验证。
2025-07-02 math.OC
A Limiting Analysis on Regularization of Singular SDP and its Implication to Infeasible Interior-point Algorithms
我们考虑半定规划的原始对偶对，并假设它们是不适定的，即，原始和对偶都是弱可行或弱不可行的。在这种情况下，强对偶可能会崩溃，原始对偶和对偶可能会有一个非零的对偶间隙。然而，有任意的小扰动的问题数据，使扰动的原始对偶对强可行，从而零的对偶差距。在本文中，我们进行了渐近分析的最优值的扰动驱动到零。具体地说，我们固定两个正定矩阵（典型的是单位矩阵），并将原、对偶的相关仿射空间向这两个正定矩阵的方向以不同的比例稍微移动，使得扰动问题具有内部可行解，并分析了当扰动降为零时，扰动问题的最优值的行为.我们的分析的一个关键特征是，没有进一步的假设，如紧凑性或约束规格。结果表明，扰动问题的最优值收敛于原问题的原始和对偶最优值之间的值。最后，分析导致我们的相对令人惊讶的后果，不可行的内点算法SDP生成一个序列收敛到一个数之间的原始和双最优值，即使在存在一个非零的对偶间隙。我们期望，这个属性可能是特别有用的解决混合整数SDP与不可行的内点方法。
2022-10-24 math.OC
Interior Point Methods in Optimal Control
本文针对含纯状态与混合约束的最优控制问题，证明内点法对原始及对偶变量的收敛性且无需强凸性假设，并给出原始与原始-对偶两种求解算法。
2024-06-18 math.OC
On barrier and modified barrier multigrid methods for 3d topology optimization
University of Birmingham（伯明翰大学）；Institute of Information Theory and Automation, Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院信息论与自动化研究所）
本文提出了一种基于Penalty-Barrier Multiplier方法的3D拓扑优化算法，通过多重网格预处理MINRES方法解决线性系统，从而在计算效率上优于优化准则和内点方法。
2019-04-13 cs.NA math.NA math.OC
Local convergence of primal-dual interior point methods for nonlinear semidefinite optimization using the Monteiro-Tsuchiya family of search directions
本文针对非线性半定优化提出采用 Monteiro–Tsuchiya 方向族的原始-对偶内点法，并在缩放矩阵的一般假设下证明其向 KKT 点的局部超线性收敛性。
2024-01-25 math.OC
An efficient semismooth Newton-AMG-based inexact primal-dual algorithm for generalized transport problems
本文研究了求解一类最优质量输运问题的有效最优化方法。从动力系统的时间离散化出发，提出了一种非精确原始对偶法，并利用李雅普诺夫函数工具，对函数残差和可行性破坏建立了全局（超）线性收敛速率.该算法包含一个内部问题，具有较强的半光滑性，并激励使用半光滑牛顿迭代。通过探索问题本身的隐藏结构，将Newton迭代产生的线性系等价转化为图Laplacian系统，提出了一种鲁棒代数多重网格方法，并利用著名的Xu-Zikatanov恒等式进行了分析.最后，数值实验验证了我们的方法的有效性。
2022-07-28 math.OC
A primal-dual interior-point method capable of rapidly detecting infeasibility for nonlinear programs
借助于对数障碍增广拉格朗日函数，我们可以得到非线性规划的障碍问题的松弛变量的封闭解。由此，提出了一个两参数原始-对偶非线性系统，当其中一个参数为零时，该系统分别对应于非线性规划的Karush-Kuhn-Tucker点和不可行稳定点.基于这个独特的系统，我们提出了一个原始-对偶内点方法能够快速检测非线性规划的不可行性。该方法生成内点迭代而不截断步长。证明了当障碍参数趋于零时，该方法收敛于原问题的Karush-Kuhn-Tucker点。否则，尺度参数趋于零，并且该方法收敛到原问题的不可行稳定点或奇异稳定点。此外，我们的方法具有快速检测问题的不可行性的能力。在适当的条件下，当原问题可行时，该方法可以超线性或二次收敛到Karush-Kuhn-Tucker点;当原问题不可行时，该方法也可以超线性或二次收敛到不可行驻点.初步的数值结果表明，该方法在求解一些简单但困难的问题和CUTE集合中的标准测试问题时是有效的，其中在求解文献中提出的两个不可行问题和一个适定的可行反例时，证明了该方法的超线性收敛.
2018-07-08 math.OC
An Improved Primal-Dual Interior Point Solver for Model Predictive Control
提出了一种求解带有线性不等式约束的二次规划问题的原-对偶邻点（PDIP）方法。我们表明，求解器收敛（局部）二次MPC问题的次优解。PDIP求解器依赖于两个阶段：阻尼阶段和纯牛顿阶段。与最先进的PDIP方法相比，我们的求解器用基于Nesterov快速梯度法（DFG）的对偶求解器代替了初始阻尼牛顿相位（通常用于计算中等精度解），该对偶求解器以O（1/k^2）阶的次线性收敛速度收敛到中等精度解。与现有技术相比，在对偶空间中计算到纯牛顿相位的切换策略，以利用由DFG在第一相位中提供的对偶信息。去除阻尼牛顿相位具有额外的优点，即我们的求解器节省了回溯线搜索所需的计算工作量。所提出的求解器的有效性证明了2维离散时间不稳定系统和航空航天应用。
2017-09-19 math.OC
A Multiscale Primal-Dual Interior-Point Relaxation Method for Large-Scale Optimal Transport Problems
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院和LPMC）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, and the University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院和中国科学院大学）
针对大规模最优传输问题，提出多尺度原始-对偶内点松弛方法，通过多尺度框架与稀疏子问题求解降低内存需求，实验表明其效率与扩展性优于现有求解器。
2026-08-13 math.OC
A primal--dual interior-point method for nonsymmetric conic optimization with conjugate-free scaling
Nankai University（南开大学）；Suzhou University of Science and Technology（苏州科技大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
该研究提出基于无共轭缩放的原始-对偶内点法，将其嵌入齐次自对偶预测-校正框架，改进了迭代复杂度界，在特定锥优化问题上性能与专用求解器QICS相当。
2026-08-11 math.OC
Riemannian Interior Point Methods for Constrained Optimization on Manifolds
本文提出黎曼内点法，将原始-对偶内点法推广到流形约束优化，证明其局部超线性、二次及结合线搜索后的全局收敛性，并通过实验验证稳定性与效率。
2024-02-07 math.OC
Asymmetric Long-Step Primal-Dual Interior-Point Methods with Dual Centering
本文提出一种基于对偶中心化的非对称长步原始-对偶内点法，用于求解对偶形式更简单的锥优化问题，在保证最佳多项式时间复杂度的同时显著降低半定优化的计算成本。
2025-03-13 math.OC
Well-conditioned Primal-Dual Interior-point Method for Accurate Low-rank Semidefinite Programming
本文针对低秩 SDP 内点法中 Newton 子问题病态且预条件失效的问题，提出良态重构及配套预条件子，实现高精度下 O(n^3) 时间与 O(n^2) 内存复杂度。
2024-12-03 math.OC
A primal-dual interior point trust region method for second-order stationary points of Riemannian inequality-constrained optimization problems
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学系研究科）；Center for Advanced Intelligence Project, RIKEN（理化学研究所先进智能项目中心）；Faculty of Science and Technology, Seikei University（立教大学理学部）
本文提出了一种用于黎曼不等式约束优化问题的对偶内点信赖域方法，证明其全局收敛性，并在非线性不等约束下具有二次收敛性。
2026-05-10 math.OC
Complexity analysis of interior-point methods for second-order stationary points of nonlinear semidefinite optimization problems
针对现有非线性半定优化算法仅保证一阶平稳且无迭代复杂度的问题，提出带负曲率方向的原对偶内点法，可收敛到二阶平稳点并具备最坏情况迭代复杂度，实验验证了方法有效性。
2023-06-16 math.OC
An Inexact Interior-Point Lagrangian Decomposition Algorithm with Inexact Oracles
本文提出了一种新的非精确内点拉格朗日分解方法来求解一类广泛的约束组合凸优化问题。我们的方法依赖于四种技术：拉格朗日对偶分解，自协调障碍平滑，路径跟踪，和近似牛顿技术。它还允许近似计算原始子问题（称为从属问题）的解，这导致不精确的预言（即，不精确梯度和Hessians）的光滑对偶问题（称为主问题）。光滑对偶问题是非光滑的，我们提出用不精确近似牛顿法来求解，通过适当地控制从问题和主问题两个层次上的不精确计算，我们仍然估计了算法的多项式时间迭代复杂度，就像标准的短步内点方法一样.我们还提供了一个策略，以恢复原始解决方案，并建立复杂性，以实现近似原始解决方案。我们说明了我们的方法，通过两个数值例子知名的模型与合成和真实的数据，并比较它与一些现有的国家的最先进的方法。
2019-04-18 math.OC
WARP: A Benchmark for Primal-Dual Warm-Starting of Interior-Point Solvers
Pravah
本文提出 WARP 基准测试，用于评估内点法的 primal-dual 预热方法。通过对比传统预热方法，发现仅使用 primal 预热无法有效减少迭代次数，而采用 full primal-dual-barrier 状态可显著降低迭代次数。
2026-05-07 cs.AI cs.LG cs.SY
On "A Homogeneous Interior-Point Algorithm for Non-Symmetric Convex Conic Optimization"
在最近的一篇论文中，Skajaa和Ye提出了一种求解非对称锥优化的齐次原始-对偶内点方法。作者证明了他们的算法在$O(\sqrtν\log \varepsilon^{-1})$迭代中收敛到$\varepsilon$ -精度，其中$ν$是与原始锥的障碍函数相关的复杂性参数，从而实现了这类问题的最佳迭代复杂性。然而，早期的结果从文献中被错误地用于证明两个中间引理在该文件中。在本说明中，我们提出了这些结果的新的证明，允许建立相同的复杂性界。
2018-06-14 math.OC
DC-based Security Constraints Formulation: A Perspective of Primal-Dual Interior Point Method
直流网络安全约束在电力系统最优潮流、安全约束经济调度和安全约束机组组合等问题中得到了广泛的研究。线性移位因子，即，功率传输分布因子（PTDF）被广泛应用于取代直流潮流约束。然而，PTDF矩阵是非常密集的，使得它难以解决安全约束最优化问题。本文从稀疏结构的角度分析研究了基于PTDF的安全约束的计算效率问题。此外，提出了一种矩阵变换方法，用于在IPM迭代过程中恢复线性系的稀疏性。结果表明，该变换方法等价于求解以纯电压角表示的原始最优化问题，保留了稀疏结构，但引入了与母线总数的一到两倍成比例的附加变量和约束。常规的B- $θ$公式也是所提出的变换的变体。数值研究表明，稀疏性而不是变量和约束的大小是影响凸二次问题（QP）求解速度的关键因素，即，OPF和SCED问题。相比之下，稀疏性是不太可取的，当解决混合整数问题（MIP），如SCUC问题，其中重新优化技术是显着更重要的，对偶单纯形法，而不是IPM通常采用。
2023-03-03 cs.SY eess.SY math.OC
Failure Modes of Interior-Point SDP Solvers on Moment--SOS Hierarchies
University of Birmingham（伯明翰大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
本文研究双精度SDP求解器在高阶矩-SOS层级问题上的失效模式，引入经验有效条件数等预警指标，发现仅靠终止消息和收敛曲线无法保证这类界的可靠性。
2026-10-14 cs.NA math.NA math.OC
Learned Preconditioning for a Primal-Dual Interior-Point Method
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；University of Central Florida（中佛罗里达大学）
针对内点法计算瓶颈，提出pdLIP，将学习预条件与原始-对偶投影搜索结合，用循环神经网络预测对角预条件器，避免海森计算和牛顿求解，在多种约束问题上实现63-67%的迭代减少。
2026-09-29 cs.LG math.OC
Large-scale optimization with the primal-dual column generation method
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Universidad del Desarrollo（发展大学）
本文研究了对偶-原问题列生成方法在解决大规模凸优化问题中的表现，通过数据挖掘、不确定决策和电信网络等应用，验证了该方法在迭代次数和计算时间上的竞争力。
2015-02-16 cs.LG cs.NA math.NA
A Unified Early Termination Technique for Primal-dual Algorithms in Mixed Integer Conic Programming
我们提出了一个早期终止技术的混合整数圆锥规划中使用的分支和边界为基础的求解器。我们的方法概括了以前的提前终止结果ADMM为基础的求解器更广泛的一类原始对偶法，包括运营商分裂方法和内点方法。假设问题域有界，则检查提前终止的复杂度为每次终止检查的$O(n)$。我们表明，这个域的限制可以放松的问题，其数据满足一个简单的秩条件，在这种情况下，每个检查需要一个$O(n^2)$解决使用一个线性系，必须分解只有一次在根节点。我们进一步展示了这种方法可以用于混合模型预测控制，只要系统输入有界。数值结果表明，我们的方法可以适度减少带有基于内点的子解算器的分支定界二次曲线解算器所需的总迭代次数。
2023-03-16 math.OC
Interior-point algorithms with full Newton steps for nonsymmetric convex conic optimization
针对非对称凸锥优化问题，提出仅需原始锥对数齐次自协调障碍函数的全牛顿步原始-对偶可行内点算法，达到最优理论迭代复杂度，兼容对偶证明框架，在困难多项式优化问题上表现出高效性与数值可靠性。
2025-02-22 math.OC
A New Preconditioning Approach for an Interior Point-Proximal Method of Multipliers for Linear and Convex Quadratic Programming
在本文中，我们解决的线性和二次规划问题，往往是大规模的有效数值解。为此，我们设计了一个不可行的内点方法，融合了邻近方法的乘数，这反过来又导致原始-对偶正则化内点方法。这种方法的应用会导致一系列越来越病态的线性系，由于内存和CPU时间的限制，这些线性系并不总是能用因式分解法求解。我们提出了一种新的预处理策略，它是基于一个适当的稀疏化的正规方程矩阵的线性情况下，也构成了一个块对角预处理器的基础，以加速MINRES的线性系所产生的一般二次规划问题的解决方案。一系列测试问题的数值结果表明，所提出的预处理策略的鲁棒性，连同它的能力，以解决非常大的尺寸线性系。
2020-12-11 cs.NA math.NA math.OC
A regularized Interior Point Method for sparse Optimal Transport on Graphs
本文提出一种利用原-对偶正则化的定制内点法，通过稀疏化正规牛顿方程高效求解稀疏图上的大规模最优传输问题，并证明了内层算法的多项式收敛性，数值实验显示其优于网络单纯形求解器。
2023-07-11 math.OC
Solving the continuous nonlinear resource allocation problem with an interior point method
资源分配问题通常利用其一般稀疏性和特定于问题的代数结构来解决。我们表明，稀疏结构单独产生一个封闭形式的牛顿搜索方向的通用原始-对偶内点方法。计算测试表明，内点方法始终优于最好的专门的方法时，没有额外的代数结构。
2013-09-26 math.OC
Primal-dual path-following methods and the trust-region updating strategy for linear programming with noisy data
School of Artificial Intelligence, Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学人工智能学院）
本文研究了标准线性规划问题的原始-对偶路径跟踪方法和置信域更新策略。对于小噪声数据的秩亏问题，给出了基于列主元QR分解的预处理方法。在初始点严格原始-对偶可行的条件下，证明了新方法的整体收敛。最后，对于一些秩亏的问题，或没有小的噪声数据从NETLIB收集，我们比较它与其他两个流行的相邻点的方法，即子程序pathfollow.m和MATLAB环境中内置的子程序linprog.m。数值结果表明，对于小噪声数据的秩亏问题，新方法比其他两种方法具有更好的鲁棒性。
2021-02-22 cs.LG cs.NA math.DS
Proximal stabilized Interior Point Methods for quadratic programming and low-frequency-updates preconditioning techniques
在这项工作中，在线性和二次规划的背景下，我们解释原始对偶正则化内点方法（PDR-IPMs）的框架内的邻近点方法。由此产生的近端稳定IPM（PS-IPM）的强有力的支持有关的收敛性和收敛速率的理论结果，并可以处理退化问题。此外，在这项工作的第二部分中，我们分析了正则化参数和用于求解牛顿线性系的线性代数例程的计算足迹之间的相互作用。特别是，当这些系统使用迭代Krylov方法求解时，我们提出了通用的预条件，利用正则化和新的重排的舒尔补，仍然有吸引力的一系列后续IPM迭代。因此，它们只需要在总IPM迭代的一小部分中重新计算。由此产生的正则化的二阶方法，其中低频更新的预处理器是允许的，铺平了道路的替代第三种方式之间的第一和第二阶方法。
2022-05-03 cs.NA math.NA math.OC
A geodesic interior-point method for linear optimization over symmetric cones
我们发展了一种新的内点方法（IPM）的锥优化，一个共同的推广线性，二阶锥，半定规划。与传统的IPM相比，我们用圆锥的测地线而不是线性约束的核来更新迭代。这种方法产生了一个原始-对偶对称，尺度不变，线搜索免费算法，只使用一半的标准原始-对偶IPM的变量。与初等参数，我们建立多项式时间收敛匹配的标准平方根n界。最后，我们证明了一个长步长变量的整体收敛，并提供了一个实现，支持所有对称锥。对于线性规划，我们的算法减少到中心路径跟踪的日志域。
2023-01-15 math.OC
Hybridizing PDHG and Interior-Point Methods
Gurobi Optimization, LLC（Gurobi优化有限公司）
本文研究将PDHG与内点法结合，以在保持速度优势的同时提升精度。
2026-03-03 math.OC
A Differentiable Interior-Point Method in Single Precision
MIT（麻省理工学院）；Gridmatic
本文提出了一种适用于低精度运算的可微内点法，通过替代互补性表示，确保线性系统在谱上保持有界，从而在单精度下可靠地求解和微分优化问题。
2026-05-18 math.OC
Relative Primal--Dual Gap Certificates for Operator-Composite Trust-Region Methods
George Mason University（乔治梅森大学）
针对算子复合信赖域方法，提出相对原始-对偶间隙证书，保证收敛性并给出复杂度界，通过半线性椭圆控制问题验证了方法的有效性。
2026-09-24 cs.NA math.AP math.NA
