The Levi problem on Stein spaces with singularities. A survey
Mihnea Coltoiu
我们讨论了著名的开放问题：局部Steiness问题和工会问题。
We discuss the well-known open problems: the local Steiness problem and the union problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Diederich-Fornæss exponent and non-existence of Stein domains with Levi-flat boundaries
研究了Diederich-Fornæss指数，并将其与复流形中Levi平坦边界Stein域的不存在性联系起来.特别地，我们证明了：如果$n$维复流形中光滑有界Stein域的Diederich-Fornæss指数为$>k/n$，则它存在一个边界点，在该点上Levi-形式具有秩$\ge k$ .
Stein compacts in Levi-flat hypersurfaces
我们探讨了Levi平坦超曲面M的Levi叶状结构的几何性质与M中紧集的全纯凸性之间的联系，或部分有界于M。应用包括Cauchy-黎曼函数的可拓性、dibar_b-方程的可解性、全纯函数和CR函数的可逼近性以及dibar-Neumann算子的全局正则性。
On the Levi problem with singularities
在第一节中，我们证明了如果$X$是n维Stein正规复空间，$D\subset \subset X$是开子集，它是$X$中全纯域的增序列$D_{1}\subset D_{2}\subset ...\subset D_{n}\subset >...$的并.则$D$是全纯全纯域。在第二节中，我们证明了在二维正规Stein空间$X$中相对紧的全纯$D$域本身是Stein。在第3节中，我们证明了如果$X$是n维Stein空间，并且$D\subset X$是开子空间，该开子空间是$X$的开Stein子集的递增序列$D_{1}\subset D_{2}\subset ...\subset D_{n}\subset ...$的并。则$D$本身是Stein，如果$X$具有孤立奇点。
On dicritical singularities of Levi-flat sets
证明了实解析Levi-平坦集的双临界奇点与Segre退化点集重合。
Existence of dicritical singularities of Levi-flat hypersurfaces and holomorphic foliations
研究复二维紧致复流形中切于奇异实解析Levi平坦超曲面的全纯叶理。我们给出了一些假设，以保证这些对象的双临界奇点的存在。作为结果，我们给出了$\mathbb{P}^2$中切于实解析Levi-平坦超曲面的全纯叶理的一些应用。
A generalization of the Levi problem with singularities
本文证明了：若$X$是Stein空间，且$Ω\subset X$是$q$ -完备开子集的增序列，则$Ω$是$q$ -完备的.
A d-bar-theoretical proof of Hartogs' Extension Theorem on Stein spaces with isolated singularities
设X是连通的正规Stein空间，其纯维数d>=2，且仅有孤立奇点.通过求解X的一个去奇异化上的一个具有紧支集的加权d-杆方程，利用Escherapeis的d-杆思想，得到了X上的Hartogs扩张定理.
Levi Problem in Complex Manifolds
设U是复流形M中的伪凸开集。什么时候U是Stein流形？有经典的反例，由于Grauert，即使当U有实解析边界或有严格的伪凸点。我们给出了新的标准的斯坦尼的U和我们分析的障碍。主要的工具是列维流的概念。它们是二维（1，1）质量为1的正$\ddbar$ -闭流T，其方向是$U$中所有连续psh函数的Levi形式为零的方向。极值函数在所有连续psh函数为常数的集合上得到支持。在几何条件下，我们构造了严格有界的PSH耗尽函数，从而得到了Donnelly-February man权.对于任何无穷小齐次流形，我们将叶理联系起来。叶理的动力学决定了列维问题的解。其中一些结果可以推广到Pfoff系统的伪凸性。
The local Steiness problem with singularities
本文证明了在特定条件下，局部Steiness问题的正解，即当$X$为Stein空间且$Ω$为$X$的局部Stein开子集时，$Ω$也是Stein空间。
Bounding smooth Levi-flat hypersurfaces in a Stein manifold
本文研究Stein流形中带椭圆CR奇点的实余维2子流形的Levi平坦超曲面构造问题，证明满足CR非极小条件等要求的紧子流形可界定光滑到边界的Levi平坦超曲面，解决了Bishop相关问题的推广版本，展现了多复变与其他几何领域的关联。
Dicritical singularities and laminar currents on Levi-flat hypersurfaces
建立了实解析Levi-平坦超曲面双临界奇点的一个有效判据。该标准是根据塞格雷品种来说明的。作为应用，我们得到了一类非临界电流的结构定理。
Singular Levi-flat hypersurfaces and codimension one foliations
研究了具有奇点的Levi平坦实解析超曲面。我们证明了超曲面正则部分上的Levi叶状结构在适当的意义下可以全纯扩张到奇点的邻域。
Increasing unions of Stein spaces with singularities
本文证明Stein空间的开子集若能被递增开Stein子集穷竭则仍为Stein，推广了Behnke-Stein定理，并讨论了二维情形及反例。
On the Levi-flat Plateau problem
我们在以下情况下解决列维平坦高原问题。设$M \subset {\mathbb C}^{n+1}$，$n \geq 2$是连通的紧致实解析余维2子流形，其中只有非退化CR奇点.设$M$是${\mathbb C}^n \times {\mathbb R}$中的一个实解析超曲面的实解析CR映射的一个纯象，其中只有非退化CR奇点。则存在唯一的紧致实解析Levi平坦超曲面，除了可能的自相交之外，它是非奇异的，边界为$M$。我们还研究了${\mathbb C}^n \times {\mathbb R}$中域的CR自同构的边界正则性。
On regular Stein neighborhoods of a union of two totally real planes in $\mathbb{C}^2$
在本文中，我们找到了正则Stein邻域的并集的全实平面$M=(A+iI)\mathbb{R}^2$和$N=\mathbb{R}^2$在$\mathbb{C}^2$提供的实$2 \times 2$矩阵$A$的项目是足够小的。在我们的证明中的一个关键步骤是一个合适的函数$ρ$附近的原点的本地建设。$ρ$的子水平集是强Levi伪凸的，并且允许强形变收缩到$M\cup N$ .
Hartogs' extension theorems on Stein spaces
讨论了经典Hartogs扩张定理在具有任意奇点的Stein空间上的各种推广，并给出了基于d-杆方法的解析证明。
Levi's problem for complex homogeneous manifolds
设$G$是连通复李群，$H$是闭复子群.则存在包含$H$的$G$的闭复子群$J$，使得纤维化$π:G/H \to G/J$是$G/H$的全纯约化，即，$G/J$是全纯可分的，并且是${\mathcal O}(G/H) \cong π^*{\mathcal O}(G/J)$。在本文中，我们证明了，如果$G/H$是伪凸，即，如果$G/H$允许一个连续的多重次调和耗尽函数，则$G/J$是Stein，且$J/H$不存在非常数全纯函数.
Cartan-Thullen theorem and Levi problem in context of generalised convexity
本文在广义凸性框架下证明Cartan-Thullen定理与Levi问题可归为经典泛函分析定理的推论，并给出Stein空间的新刻画及Bremermann-Lelong引理与Levi问题的等价性。
Levi problem and semistable quotients
复空间$X$属于类${\mathcal Q}_G$，如果它是Stein流形的解析子集的补的半稳定商，通过约化复李群$G$的全纯作用。证明了$X$上的每个伪凸非分歧整环也在${\mathcal Q}_G$中.
A Scalar Associated with the Inverse of Some Abelian Integrals and a Ramified Riemann Domain
本文通过闭阿贝尔微分引入了复流形$X$的整环$Ω$的正标函数$ρ(a, Ω)$，它精确地度量了从$a \in Ω$到边界$\delΩ$的距离.本文证明了紧子集的全纯凸包的Cartan-Thullen型{\em估计与$ρ(a, Ω)$ }.在一维情形下，我们应用所得到的$ρ(a, Ω)$的估计，给出了开Riemann曲面的Steiness的Behnke-Stein定理的一个新的证明.然后我们用同样的思想来处理$\C^n$上分歧Riemann域的Levi问题。我们得到了$ρ(a, X)$表示的一些几何条件，这些几何条件暗示了$\C^n$上单片Riemann整环的Levi问题的有效性.
On holomorphic flows on Stein surfaces: transversality, dicriticalness and stability
研究了$(N, \,X)$对的分类，其中$N$是Stein曲面，$X$是$N$上具有孤立奇点的全纯向量场.本文描述了横截面在$X$分类中的作用，并给出了$X$使$N$双全纯为$\mathbb C^2$的充要条件.作为我们的结果的一个例子，我们证明了$N$是双全纯$\mathbb C^2$，如果$H^2(N,\mathbb Z)=0$，$X$有有限个奇点，并表现出一个非幂零奇点与三个分离线，或等价地，奇点与第一射流的形式$λ_1 \, x\frac{\partial }{\partial x} + λ_2 \, y\frac{\partial}{\partial y}$其中$λ_1 / λ_2 \in \mathbb Q_+$。我们还研究了具有多个周期轨道的流，在某种意义上我们将弄清楚，证明它们允许一个亚纯第一积分，或者它们表现出一些特殊的周期轨道，其完整映射是一个非共振非线性化的亚纯映射。最后，我们应用我们的结果与更经典的技术全纯叶理代数曲面上研究的情况下，仿射代数曲面上的流动。我们假设流是由代数向量场生成的。然后证明了在对奇点要求不高的条件下，这类流可以由闭有理线性一元形式给出，或可由有理首次积分给出。
Local algebraicity and localization of the Bergman kernel on Stein spaces with finite type boundaries
本文研究二维Stein空间中Bergman核的局部代数性，借助伪凸有限型区域上的新局部化结果建立边界类型与局部代数次数的估计，并刻画二维球商。
Levi-flat hypersurfaces with real analytic boundary
设$X$是维数至少为3的Stein流形.给定$X$的紧致余维2实解析子流形$M$，即紧致Levi平坦超曲面$H$的边界，研究了$H$的正则性.设$M$的CR奇点是一个$\mathcal{O}(X)$ -凸集.例如，假设$M$只有100个CR奇点，这是一个通用条件。则$H$实际上必须是一个实解析子流形。如果$M$是实代数的，则$H$是实代数的，并且实际上扩展到$M$之外，甚至在CR奇点附近。为了证明这些结果，我们提供了两个变化的定理Malgrange，即一个光滑子流形包含在一个真正的解析子流形的相同的维度是真正的分析本身。我们证明了一个类似的定理，子流形与边界，另一个次解析集。
C^*- Actions on Stein analytic spaces with isolated singularities
设$V$是具有正规奇点的二维不可约复解析空间，$\vr:\mathbb{C^*}\times V\to V$是群$\mathbb{C^*}$在$V$上的全纯作用.用$\fa_\vr$表示由$\vr$诱导的$V$上的叶状。这种叶理的叶子是$\vr$的一维轨道。%及其奇点是$\vr$的不动点.我们假设对于$\bc^*$ -作用存在一个\emph{dicritical}奇点$p\in V$，即对于某个邻域$p\in W\subset V$，有无穷多个$\mathcal {F}_\vr|_{W}$的叶子只在$p$处累积。这种局部叶的闭合是一个不变的局部解析曲线，称为$\mathcal{F}_\vr$到$p$的\emph{separatrix}。在\cite{Orlik} Orlik和Wagreich研究了2维仿射代数品种嵌入$\mathbb{C}^{n+1}$，与孤立的奇点在原点，这是不变的有效行动的形式$σ_Q(t,(z_{0},...,z_{n}))=(t^{q_{0}}z_{0},..., t^{q_{n}}z_{n})$其中$Q=(q_0,...,q_n) \in\mathbb N^{n+1}$，即所有$q_{i}$是正整数。这些动作被称为\emph{good}动作。特别是他们分类的代数曲面嵌入$\mathbb{C}^{3}$赋予这样的行动。很容易看出，在嵌入$\mathbb{C}…
Algebraic Levi-flat hypervarieties in complex projective space
研究了复射影空间中奇异实解析Levi平坦超曲面.我们定义了代数Levi平坦超曲面的秩，并研究了秩、度与奇点的类型和大小之间的关系。特别地，我们研究了代数Levi-平坦超曲面的退化奇点。然后给出了Levi平坦超曲面是$\mathbb{C}$中实解析曲线通过亚纯函数拉回的充要条件.在其他的例子中，我们构造了一个非代数半解析列维平坦超曲面与紧凑的叶子，是一个扰动的代数列维平坦品种。
Bergman-Einstein metrics on two-dimensional Stein spaces
该研究证明了有限无不动点群作用下的二维球商空间的Bergman度量为Kähler-Einstein度量当且仅当群平凡，进而在带孤立正规奇点的二维Stein空间中刻画单位球，证明了二维Stein空间下Cheng猜想的代数版本。
Bergman-Einstein metrics, hyperbolic metrics and Stein spaces with spherical boundaries
在这个新的版本中，我们给出了一个肯定的解决方案的Cheng在1979年提出的猜想，其中断言的Bergman度量的光滑有界强伪凸域$\mathbb{C}^n, n\geq 2,$是Kähler-Einstein当且仅当该域是双全纯的球.我们建立版本的各种经典定理，用于解决斯坦因空间。除此之外，我们还在具有球面边界的Stein空间上构造了一个双曲度量。我们还证明了Q. K.具有孤立法奇点的Stein空间的Lu型单值化定理。
Singular Levi-flats and holomorphic foliations on projective spaces
本文研究射影空间上具有不变奇异Levi-平坦簇的余维1全纯叶状结构，引入两类条件刻画其可积性，证明Darboux型二择性并得到闭有理或对数1-形式的存在性。
Some properties of Grauert type surfaces
在以前的工作中，我们分类弱完整的表面，承认一个真正的分析plurisubharmonic耗尽功能，我们表明，如果他们不是正确的斯坦空间，那么他们承认一个多重调和函数，紧凑的列维平坦的水平集与密集的复杂的叶子。我们称之为Grauert型曲面。本文研究了这些曲面的一些性质。也就是说，我们证明了唯一的紧曲线，可以包含在它们是负的意义下的Grauert和多重调和函数的水平集是连接的，从而完成了类似的Remmert-Stein约化的全纯凸空间。此外，在我们的分类定理中，我们必须通过双重覆盖来产生多重调和函数;本文的最后一部分致力于构造一个有必要这样做的例子。
On the classification of normal Stein spaces and finite ball quotients with Bergman-Einstein metrics
本文研究了有限球商$\mathbb{B}^n/Γ$的Bergman度量，其中$Γ\subseteq \mathrm{Aut}(\mathbb{B}^n)$是有限的无不动点的阿贝尔群.我们证明了这个度量是Kähler-Einstein当且仅当$Γ$是平凡的，即，当球商$\mathbb{B}^n/Γ$是单位球$\mathbb{B}^n$本身时。因此，我们利用Bergman-Einstein度量的存在性，建立了具有孤立奇点和交换基本群的正规Stein空间中单位球的一个刻画.
Modulus of Continuity of Solutions to Complex Monge-Ampère Equations on Stein Spaces
本文研究复 Monge-Ampère 方程在 Stein 空间上的解的连续性，证明在奇点外解为 Hölder 连续当边界数据满足 Hölder 连续条件。
The Oka principle for sections of stratified fiber bundles
一个复流形Y满足凸逼近性质（CAP），如果从复欧几里得空间C^n中的紧凸集K的邻域到Y的全纯映射可以在K上一致地被从C^n到Y的整映射逼近。若X是约化Stein空间，Z是X上的一个分层全纯纤维丛，且所有纤维都满足CAP，则Z在X上的截面具有Oka性质，并具有（jet）插值和逼近.以前这已经证明了作者的情况下，当X是一个斯坦流形没有奇点（安数学，163（2006），689-707，math.CV/0402278; Ann. Inst. Fourier，55（2005），733-751，math.CV/0411048）。在一定的连通性假设下，给出了纤维上全纯截面的存在性结果。在本文的最后一部分，我们得到了Stein空间上具有分层喷雾的浸没截面的Oka性质。
On the Classification of Stein spaces with Bergman-Einstein metrics
研究具有特定条件的\(N\)维正规斯坦因空间，通过对有限球商\(\mathbb{B}^N / \Gamma\)的伯格曼度量研究，证明当\(N\geq2\)时，该空间上伯格曼度量是凯勒 - 爱因斯坦度量的条件，进而证明程 - 黄 - 肖猜想的代数版本。
Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem
在1960年底，Yu.S.Ilyashenko提出了一个问题：对于Stein流形上任何具有奇点的一维全纯叶理，与横切圆盘相交的叶是否可以被均匀化，使得均匀化函数全纯依赖于横切参数？在本文中，我们构造了一个二维反例。这与Yu.S.Ilyashenko（引理1）以前的结果一起暗示了由删除奇点的有理函数的水平曲线在仿射（射影）代数曲面上的叶状给出的一个反例的存在性。这也意味着Bers的拓扑平凡的全纯叶理的紧致黎曼曲面的同时一致化定理并没有推广到一般的纤维化紧致黎曼曲面的奇异性。
More counterexamples to the Arithmetic Puncturing Problem
本文通过构造具有特定性质的反例，改进了算术穿孔问题的相关研究，并探讨了弱逼近与强逼近性质。
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