Some aspects of the Liouville equation in mathematical physics and statistical mechanics
Ali Reza Khatoon Abadi, Ali morovvatpoor, Mohammad Mehrpooya, H. R. Rezazadeh, F. Golgoii
本文介绍了经典刘维尔定理的一些数学方面，并注意到关于它的初值问题的一些数学定理。进一步，我们对随机刘维尔方程的形式框架进行了研究。
This paper presents some mathematical aspects of Classical Liouville theorem and we have noted some mathematical theorems about its initial value problem. Furthermore, we have implied on the formal frame work of Stochastic Liouville equation (SLE).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Steady state of the KPZ equation on an interval and Liouville quantum mechanics
在一般Neumann型边界条件和任意区间大小下，得到了区间$[0,L]$上Kardar-Parisi-Zhang方程发展的高度场的平稳测度的简单公式.这是利用Corwin和Knizel（arXiv：2103.12253）的最新结果以及Liouville量子力学实现的。我们的公式可以很容易地确定在各种限制的平稳措施：KPZ不动点的间隔，半线KPZ方程，KPZ不动点的半线，以及爱德华-威尔金森方程的间隔。
Quantum Mechanics on Sharply Bent Wires via Two-Interval Sturm-Liouville Theory
本文提出用双区间Sturm-Liouville理论导出的三个边界条件参数近似弯曲区域物理，以处理高度弯曲导线上强且不可积几何势下的量子力学问题，该方法在未知导线精确形状时是必要方案。
Fundamentals of Quantum Mechanics in Liouville Space
本文的目的是阐明一个连贯的和易于理解的方式做量子力学在任何有限维刘维尔空间的基础上，使用克罗内克产品和我们所称的“bra-flipper”运营商。这里阐述的形式主义的一个更大的优点是它与狄拉克的bra-ket符号有惊人的相似之处。为了说明如何有效地使用该方法，我们用它求解了一个二能级量子系统的量子光学主方程，并求出了它的Kraus算符和表示.本文是写给学生和研究人员与线性代数的一些基础知识谁想要获得更深入的了解刘维尔空间形式主义。这些概念的传达是为了使形式主义在量子物理学中更复杂的问题中的应用变得简单和不受阻碍。
Liouville's Theorem and the canonical measure for nonconservative systems from contact geometry
保守系统的标准统计力学依赖于相空间的辛几何。这是利用推导汉密尔顿方程，刘维尔定理，并找到典型的不变测度。在这项工作中，我们分析的统计力学的一类非保守系统源于接触几何。特别地，我们得到了广义Hamilton方程、Liouville定理以及微正则和正则测度在接触流下的不变性。值得注意的是，后一种测量相对于标准接触体积形式具有幂律密度分布。最后，我们讨论了我们的结果的几个可能的应用。
Discrete Liouville equation and Teichmüller theory
综述了离散Liouville方程与Teichmüller理论之间的关系（包括经典和量子力学）。
The Liouville equation for singular ergodic magnetic Schrödinger operators
研究了具有奇异磁势和电势的各态历经磁薛定谔算符所描述的量子力学系统中密度矩阵的时间演化，其中电场是严格引入的.我们构造了一个酉传播子，弱解相应的含时薛定谔方程，并在适当的Hilbert空间中求解了Liouville方程。
Liouville and Bogoliubov Equations with Fractional Derivatives
导出了具有非整数阶导数的Liouville方程、第一Bogoliubov族和Vlasov方程。利用分数阶体积元中的概率守恒，得到了含分数阶导数的刘维尔方程。该方程被用来获得Bogoliubov族和分数阶导数的分数动力学方程。讨论了Hamilton系统分数阶推广的统计力学。考虑了带电粒子系统的分数阶动力学方程。
Liouville invariance in quantum and classical mechanics
量子力学的密度矩阵和海森堡公式--对于幺正演化--直接从薛定谔方程导出。然而，相应的演化算子，Liouvillian L=i[.，H]，不需要限于哈密顿量H的那些。这是由于L只涉及本征能_差_，即使能量本身不是简并的，本征能_差_也可以简并。值得注意的是，这种可能性在文献中很少被提及，也从未被更普遍地追求。我们考虑一个涉及介观约瑟夫森器件的例子，但分析只假设熟悉基本的量子力学。随后，这种L对称性被证明更广泛地出现，特别是在经典力学中。简要讨论了对称性与耗散系统和量子信息处理的关系。
The Generalized Liouville's Theorems via Euler-Lagrange Cohomology Groups on Symplectic Manifold
基于辛流形$({\cal M}^{2n}, ω)$上的Euler-Lagrange上同调群$H_{EL}^{(2k-1)}({\cal M}^{2n}) (1 \leqslant k\leqslant n)$及其性质和流形上向量场的一种分类，将经典力学中的刘维尔定理推广为类辛刘维尔定理和类哈密顿刘维尔定理.这也推广了Noether定理，因为辛（类）刘维尔定理的序列直接联系到上同调。
Derivation of the Boltzmann equation and entropy production in functional mechanics
本文提出了在有限体积中利用Grad极限方法从Liouville方程导出Boltzmann方程的方法。我们引入了两个尺度的时空：宏观和微观尺度，并使用BBGKY层次和经典力学的功能制定。根据力学的泛函方法，粒子质点系的状态由有理数的测量值形成。因此，人们可以谈论刘维尔方程中初始概率密度函数的准确性。我们假设微观密度函数的初始数据是由宏观密度函数分配的（因此，可以说是微观尺度对宏观尺度的一种层次和从属关系），并推导出玻尔兹曼方程，这导致了熵的产生。
The inverse scattering problem at fixed energy based on the Marchenko equation for an auxiliary Sturm-Liouville operator
提出了一种求解定能量子力学逆散射问题的新方法。该方法涉及到固定的能量相移所产生的辅助Sturm-Liouville问题通过插值理论的Weyl-Titchmarsh m-函数。然后求解Marchenko方程得到势函数。
Liouville integrable binomial Hamiltonian system
本文提出一个 Liouville 可积的二项式 Hamilton 系统，其守恒流可表示为二项式多项式且对应运动积分，运动方程可写成 1+1 维可积二阶非线性偏微分方程。
Bethe Ansatz Equations of XXZ Model and q-Sturm-Liouville Problems
本文发现了有限尺寸自旋$s$ XXZ模型的Bethe Ancillary方程与$q$ -Sturm-Liouville问题之间的密切关系。我们证明了Bethe Answer方程的解可导出二阶$q$ -差分方程关于Askey-Wilson算子的多项式解.讨论了Bethe Answer方程的更一般形式和XXZ模型物理中有关的数学问题。此外，还发现XXX模型的Bethe Ankaly方程与Sturm-Liouville型差分方程在Wilson算子意义下具有相似的对应关系。
Duality and KPZ in Liouville Quantum Gravity
给出了欧氏平面域D中标度指数与刘维量子引力中标度指数之间KPZ关系的一个（数学上严格的）概率和几何证明.它使用适当正则化的量子面积测度dμ_γ=ε^{γ^2/2} e^{γh_ε（z）}dz，其中dz是D上的勒贝格测度，γ是实参数，0 \leq γ<2，h_ε（z）表示D上高斯自由场实例h在以z为中心的半径为ε的圆上的平均值。证明扩展到边界几何。奇异情形γ>2与量子测度dμ_{λ '}，γ' < 2，通过基本对偶γ λ '= 4相联系。
Liouville-type equations for the n-particle distribution functions of an open system
在这项工作中，我们推导出一个数学模型的开放系统，交换粒子和动量与水库从他们的联合哈密顿动力学。这个多粒子问题的复杂性是通过引入一组可数的n粒子相空间分布函数只为开放的子系统，而占水库的统计预期。从刘维尔方程的完整系统，我们推导出一组耦合刘维尔型方程的n粒子分布的边缘化相对于水库状态。由此产生的方程层次描述了外部动量强迫的开放系统的水库跨越其边界，它涵盖了粒子交换的影响，诱导概率转移之间的n-和（n+1）-粒子分布。与开放系统的Bergmann-Lebowitz模型的异同（P.G.Bergmann，J.L. Lebowitz，Phys.Rev.，99：578- 587（1955））在分子模拟的计算方案中实施这些指导原则的背景下进行了讨论。
A Mathematical Aspect of Bloch's Theorem
本文通过研究具有周期系数的1-D Sturm-Liouville问题，对多维周期Schrödinger方程的解进行了展示与分类，揭示了并非所有解均为Bloch解，并阐明了有界解与Bloch解之间的关系及准动量性质。
Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Order
本文是作者最近发表的论文（Journal of数学物理55（2014）083519）的延续，其中导出了与作为时间导数的Caputo导数和作为空间导数的Riesz-Feller导数相关联的分布阶统一反应扩散方程的计算解。研究了以分数阶广义Riemann-Liouville导数为时间导数，Riesz-Feller导数为空间导数的分布阶分数阶反应扩散方程的可计算解.本文给出了分数阶反应扩散方程的解。推导解所遵循的方法是联合拉普拉斯变换和傅里叶变换。所得到的解是一个封闭的和可计算的形式在熟悉的广义Mittag-Leffler函数。它们提供了优雅的文献中给出的结果的扩展。
Vortex solutions of Liouville equation and quasi spherical surfaces
我们确定的二维表面对应的某些解决方案的刘维尔方程的数学物理的重要性，非拓扑的陈-西蒙斯（或Jackiw-Pi）涡的解决方案，其特征在于一个整数$N \ge 1$。这种曲面，我们称之为$S^2 (N)$，具有正的常高斯曲率$K$，但只有当$N=1$。它们有边，对于任何固定的$K$，都有最大半径$c$，我们在这里发现是$c = N / \sqrt{K} $。如果在实验室中使用石墨烯（或任何其他狄拉克材料）构建这样的表面，我们的研究结果可能会对在非平凡背景下实现桌面狄拉克无质量激发感兴趣。我们还简要地讨论了作为乘积$S^2 (N) \times \mathbb{R}$得到的三维时空的类型。
Generalized Extended Uncertainty Principles, Liouville theorem and density of states: Snyder-de Sitter and Yang models
本文研究GEUP对非相对论经典极限下Liouville定理和态密度的影响，在Snyder-de Sitter与Yang模型中构造时间演化不变的加权相空间体积元，并提出高阶GEUP/EUP。
Dynamics of systems with varying number of particles: from Liouville equations to general master equations for open systems
本文回顾粒子数可变系统的物理数学方法，提出统一主方程，涵盖从分子到社会主体等复杂系统动力学。
FZZT branes and non-singlets of Matrix Quantum Mechanics
我们探索与$c=1$ Liouville理论对偶的矩阵量子力学的非单态部分。在规范矩阵量子力学模型中加入$N_{f}\times N$双基本场和一维Chern-Simons项得到非单态。本模型与自旋Calogero模型在存在外磁场。在手征变量下，低能激发电流满足一个${SU(2N_{f})}_{\tilde{k}}$ K-Moody代数，在大的$N$ .我们分析了正则配分函数以及两点和四点关联函数，讨论了大$N, N_f$上的Gross-Witten-Wadia相变，并研究了不同的参数限制，使我们能够恢复描述二维黑洞的Kazakov-Kostov-Kutasov矩阵模型.巨正则配分函数是服从离散孤子方程的$τ$ -函数。最后，我们猜想一个可能的动力学图像的形成黑洞的凝聚的长弦在强耦合区域的刘维尔方向。
Introduction to Mathematical Physics. Calculus of Variations and Boundary-value Problems
这本书认为摆姿势和方法解决简单的线性边界值问题的经典数学物理。所涉问题包括：变分法的基本原理;振荡和热传导理论中的一维边值问题，详细分析了Sturm-Liouville边值问题并证实了傅立叶方法;二维和三维相应问题的示例解决方案，以及特殊函数理论的基本要素。本书是为物理、工程和数学专业的学生设计的。
Implicit Lyapunov Control for the Quantum Liouville Equation
针对退化情况下的多控制哈密顿量封闭量子系统，通过引入隐函数扰动和基于虚机械量平均值的隐式Lyapunov函数设计控制律，实现了从任意初态到任意与初态酉等价的目标态的收敛。
Advanced Mechanics. Mathematical Introduction
经典非相对论性力学在一般的含时变换和参考系变化的情况下，用时间轴R上的纤维丛来表述。纤维丛上的联络是力学公式的主要组成部分，因此在参考系变换下是协变的。给出了非相对论性参考系、相对速度、自由运动方程、相对加速度、外力等基本概念。定义了牛顿力学系统、拉格朗日力学系统、哈密顿力学系统以及它们之间的关系。拉格朗日和哈密顿守恒律被认为是。
Conformal bootstrap in Liouville Theory
共形自举假设是理论物理学中的一个强有力的思想，它在临界现象的背景下导致了壮观的预测。它假定共形域论的相关函数的一个显式表达式，它的三点相关函数。本文在Liouville理论的背景下给出了共形bootstrap假设的第一个数学证明。Liouville理论是一个自80年代以来在理论物理中研究的二维共形域论，最近由F.大卫和最后三位作者使用了概率论。的证明是基于概率的Virasoro代数最高权模块通过谱分析相关的自伴算子类似于调和分析非紧李群，但在无限维设置。
The Schwarzian Approach in Sturm-Liouville Problems
提出一种利用 Schwarzian 导数分解一阶非线性方程通解的 Sturm–Liouville 特征值求解方法，并展示其在量子力学和流体稳定性等物理问题中的应用。
Crum's Theorem for `Discrete' Quantum Mechanics
在一维量子力学或斯特姆-刘维尔理论中，克拉姆定理描述了原始和关联的哈密顿系统之间的关系，除了最低能量状态外，它们是等谱的。它在“离散”量子力学中的对应物被代数地表述，阐明了离散量子力学的基本结构，其薛定谔方程是一个差分方程。
On particular integrability in classical mechanics
该研究在辛几何框架下重新审视经典力学中的特殊可积性概念，指出特定函数在不变子空间上成为刘维尔首次积分，可构造低维哈密顿系统，并用三个物理系统阐明其关键方面。
On the role of mass in the mathematical structure of Newtonian and special relativistic mechanics
我们考虑五维实线性空间与（否则众所周知的）线性作用的伽利略和庞加莱集团对他们，描述这两个空间的几何，并显示，这些几何包括时空，质量，动量，力和物理尺寸的概念在一个自然的方式。这样，我们将质量的量几何化，并以自然的方式将它与时空一起整合成两个几何，因此这些几何完全适合作为点状物体的牛顿力学和狭义相对论力学的基础。
Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course
本文收集并扩展了我在2015年8月31日至9月4日在萨拉戈萨（西班牙）举行的“第二十四届国际秋季几何与物理研讨会”上的演讲。在这些讲座中，我回顾了量子力学的制定，一般的量子理论，从数学先进的观点，基本上是基于基本命题的正交模格，讨论一些基本思想，数学工具和定理也涉及到物理对称性的表示。最后一步包括一个基本的介绍，即所谓的量子理论的（C*-）代数公式。
Semi-classical limit of an inverse problem for the Schrödinger equation
由包含量子信息的薛定谔方程导出的Wigner方程，在重新标度的普朗克常量$ε\to0$时收敛于Liouville方程，这是一个经典的推导.由于后者代表了牛顿第二定律，这个过程通常被称为（半）经典极限。本文研究了一类薛定谔方程反问题的经典极限。更具体地说，我们表明，使用的初始条件和最终状态的薛定谔方程重建的潜在的条款，在经典的制度与$ε\to0$，成为使用的初始和最终状态重建的刘维方程的潜在的条款。这在形式上将量子力学中的反问题与经典力学中的反问题联系起来。
Mathematical surprises and Dirac's formalism in quantum mechanics
通过一系列简单的例子，我们说明了如何缺乏数学关注可以很容易地导致令人惊讶的数学矛盾的波动力学。基本的数学概念，允许一个精确的理论制定，然后总结，并显示它们如何导致上述问题的阐明和更深入的理解。在强调波动力学和量子力学的其他公式，即矩阵力学和狄拉克的抽象希尔伯特空间公式之间的等价性后，我们致力于后一种方法的第二部分：我们讨论的问题和缺点，这种形式主义，以及在这方面的狄拉克介绍的bra和ket符号。最后，我们指出如何解决或至少避免所有这些问题。
Methods of modern mathematical physics: Uncertainty and exclusion principles in quantum mechanics
这些是2017年春季在斯德哥尔摩KTH开设的硕士课程的讲义，主要目的是使用多体量子力学中的现代数学方法从第一原理证明物质的稳定性。介绍了量子力学不相容原理和不确定性的一般定量表述，如Hardy，Sobolev和Poincaré函数不等式以及结合这两个原理的强大的Lieb-Thirring不等式.这些注释的目的是既相当独立，同时又补充现有的文献，还包括最近的发展，以证明Lieb-Thirring不等式和稳定性，从一般的，较弱的配方排除原则。
Effectively calculable quantum mechanics
根据数学建构主义，一个数学对象只有在有一种方法可以计算（或“构造”）它时才能存在;所以，不可计算的东西是非建构的。在量子模型的例子中，其Fock态与Fibonacci数相关联，本文表明，量子力学的数学形式是非建设性的，因为它允许一个不可判定的（或有效地不可能的）希尔伯特空间的子集。另一方面，正如论文中所论证的，如果一个人相信预言的可检验性是任何物理理论的最基本属性，那么他就需要接受量子力学必须是一个有效的可计算的（因此也是数学上的构造性的）理论。有了这个，一种在保持其数学基础不变的情况下建设性地重新表述量子力学的方法，导致了超计算。相比之下，论文中提出的超选择规则，通过有效地禁止对应于潜在和实际无穷大的量子态的相干叠加来起作用，可以在量子力学理论中引入可计算的建构主义，而不需要超计算。
A mathematical model for measurements in Quantum Mechanics
设$V=\mathbb{C}^N$和$H$（一个可观测）是$V$上的厄米线性算子.令$v_1,..., v_n$是$V$的标准正交基。假设$\mathcal{M}$是准备测量被观察系统的状态并将该状态折叠为$v_j$之一的测量装置。在这里，我们提出了一个简单的模型，解释玻恩规则，是兼容的纠缠。
Kato perturbation expansion in classical mechanics and an explicit expression for a Deprit generator
这项工作探讨的庞加莱-Lindstedt扰动级数的结构，在Delaware算子形式主义，并建立其连接到加藤预解式扩展。讨论了平均和积分扰动算子及其正则恒等式的不变量定义，揭示了离散生成元的一个规律。利用Kato级数和扰动算子与Liouville算子预解式的Laurent系数的关系解释了这一模式。这种纯粹的规范方法系统化了级数，并导致了任何扰动阶的Delay生成元的显式表达式：\[G = - \hat{\mathsf S}_H H_i.\]这里，$\hat{\mathsf S}_H$是扰动Liouville算子的部分伪逆。相应的Kato级数提供了一个相当有效的计算算法。正则连接的扰动和未扰动的平均运营商允许在发电机和变换的哈密顿描述的模糊性，而古斯塔夫森积分原来是不敏感的归一化风格。非微扰的例子用于说明。
Exotic galilean symmetry and non-commutative mechanics in mathematical & in condensed matter physics
具有非对易位置坐标的“奇异”粒子模型，与平面Galilei群的两参数中心扩展相关联，可以用于导出分数量子霍尔效应的基态。讨论了与其它NC模型的关系。异常耦合。对于半经典布洛赫电子也有类似的方程，用来解释反常/自旋/光学霍尔效应。
Quantum mechanics as a complete physical theory
我们表明，“完整物理理论”的原理和标准量子力学的结论并不像人们普遍认为的那样相互矛盾。在代数方法中，我们制定公理，允许构建一个新的量子力学的数学方案。这个方案涉及量子力学的标准数学形式。同时，它包含一个数学对象，充分描述了一个单一的实验。我们给出了一个例子的应用所提出的计划。
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