Linear quadrilateral lattice equations and multidimensional consistency
James Atkinson
证明了每个标量线性四边形格点方程都包含在一个相似的方程族中，这些方程族的成员在高维格点上是相容的。有两个这样的家庭，一个自然的parametrisation是每个。
It is shown that every scalar linear quadrilateral lattice equation lies within a family of similar equations, members of which are compatible between one another on a higher dimensional lattice. There turn out to be two such families, a natural parametrisation is given for each.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Addition formulae, Bäcklund transformations, periodic solutions and quadrilateral equations
三角函数和椭圆函数的加法公式被用来生成贝克隆变换以及它们的连接四边形方程。结果，我们获得了一些多维相容的仿射线性和多二次四边形方程的周期解。
Multidimensional Quadrilateral Lattices are Integrable
引入了多维四边形格的概念。它表明，这样的格的特点是一个系统的可积离散非线性方程。给出了该系统的不同有用的配方。文中还讨论了格的几何构造，特别是阐明了唯一定义格的初始边界数据的数目。
Quadratic reductions of quadrilateral lattices
结果表明，二次约束是相容的几何可积方案的多维四边形格点方程。在矢量框架下，给出了四边形格基本变换的Ribaucour约化，并给出了Ribaucour变换的叠加。最后，以多维圆格为例说明了二次约简方法。
A constructive approach to the soliton solutions of integrable quadrilateral lattice equations
研究了标量多维相容四边形格子方程。我们探讨了由Backlund变换相关的解决方案的叠加原理之间的汇合，并利用两个kn自己的特殊解决方案解决Riccati映射的方法。这将导致在这个类内的一般方程的N-孤子型解决方案的表达。作为一个特殊的例子，我们给出了一个显式的N孤子解的主要模型，这是阿德勒的晶格方程（或Q4）。
The C-(symmetric) quadrilateral lattice, its transformations and the algebro-geometric construction
C-四边形格（CQL），也称为对称格，提供了四边形格（QL）理论中离散CKP方程的几何解释。我们讨论仿射几何性质的格强调Gallucci定理的多维一致性的CQL的作用。然后给出了格的代数几何构造。我们还提出了减少向量的基本变换的QL的CQL的情况下。在附录中，我们展示了QL和所谓的达布映射之间的关系。
Discrete Levy Transformations and Casorati Determinant Solutions of Quadrilateral Lattices
研究了多维四边形格上的离散Levy变换序列和伴随Levy变换序列。经过适当的迭代次数，我们展示了如何变换的四边形晶格的所有相关的几何特征可以表示在多Casorati决定因素。作为一个例子，我们打扮笛卡尔晶格。
Transformations of Quadrilateral Lattices
受共轭网变换的经典研究的启发，我们发展了其离散类似物的变换的一般几何理论：多维四边形格，即格x：Z^N -> R^M，其基本四边形是平面的。我们的调查是基于离散模拟的直线同余理论，我们也详细介绍。我们的研究，特别是离散类似物的拉普拉斯，Combescure，利维，径向和基本的变换及其相互关系。这些变换的组成和它们的置换性也从几何的角度进行了研究。对于四边形格，我们也研究了“变换”和“离散”之间的深层联系。最后，我们解释这些结果内的D-酒吧形式主义。
Integrable systems on hexagonal lattices and consistency on polytopes with quadrilateral and hexagonal faces
引入了六角方程组的新概念，它是定义在六个顶点上的六个五点面心四元方程的超定方程组。对于相容的六边形方程组，六边形相邻顶点上的两个变量可以根据其他四个变量唯一地求解。一个一致的系统的六角方程有一个明确的独特的发展，在六角晶格适当的初始值问题，定义在一个单一的连接点的楼梯。本文提出了六角方程组的多维相容性，并给出了六棱柱、拉长十二面体、截顶八面体和6-6-duoprism的具体例子。此类多面体上的十六进制方程的一致性系统可以由满足面心立方体周围一致性的面心四元方程与满足面心立方体周围一致性的常规四元方程组合来构造。
The symmetric, D-invariant and Egorov reductions of the quadrilateral lattice
我们提出了一个详细的研究的几何和代数性质的多维四边形格（格的基本四边形是平面的离散模拟的共轭网）和它的基本减少。为了进行这项研究，我们引入了向前和向后数据的概念，这使我们能够给一个几何意义的τ函数的晶格，定义为潜在的连接这些数据。连同已知的圆形格（格的基本四边形可以内接在圆;离散模拟的正交共轭网），我们介绍和研究其他两个基本的减少四边形格：对称格，其中向前和向后的数据相吻合，和D-不变格，其特征在于不变性的某一自然框架沿主对角线。最后讨论了对称、循环和D-不变的Egorov格。所有这些格的可积性属性建立使用几何，代数和分析手段，特别是我们提出了一个D-酒吧形式主义，以构建大型类这样的格。我们还讨论了四边形超平面格和四边形点和超平面格之间的相互作用，在所有上述约化。
Lagrangian multiforms and multidimensional consistency
我们证明了一类二维可积格方程的精心选择的拉格朗日函数在嵌入到高维格中时服从封闭关系。在此基础上，我们制定了拉格朗日描述这样的系统的拉格朗日多形。我们讨论了这种形式主义与多维一致性的概念的连接，以及从相关的变分原理的角度来看，格的作用。
Backlund transformations for integrable lattice equations
我们给新的Backlund变换（BT）的一些已知的可积（在多维一致的意义上）的四边形格点方程。与每一个这样的等式中固有的自然自动BT相反，这些BT属于另外两种类型。具体来说，它被发现，一些方程承认额外的自动BT（与Backlund参数），而一些对明显不同的方程承认BT连接它们。
Symbolic Computation of Lax Pairs of Partial Difference Equations Using Consistency Around the Cube
回顾了Nijhoff和Bobenko & Suris提出的导出标量偏差分方程（PΔEs）的拉克斯对的三步法.该方法假定PΔ E定义在四边形上，且在立方体周围是一致的.其次，该方法被扩展到系统的PΔ E，其中必须仔细考虑的四边形的边缘上定义的方程。对Adler、Bobenko和Suris分类的标量可积PΔEs和PΔEs系统（包括可积2分量势的Korteweg-de Vries格点系统，以及非线性Schroedinger和Boussinesq型格点系统）给出了拉克斯对.以前未知的拉克斯对提出了最近由Hietarinta推导的PΔEs（J. Phys. A：Math. Theor.，44，2011，Art. No. 165204）。该方法是算法的，并正在Mathematica中实现。
Integrable Discrete Geometry: the Quadrilateral Lattice, its Transformations and Reductions
本文综述了可积离散几何的最新研究成果。事实证明，大多数已知的（连续和/或离散）可积系统是四边形格的特殊对称性，一个多维格的特点是其基本四边形的平面性。因此，平面性的线性性质似乎是可积性的一个基本几何性质。我们提出的几何意义的τ函数，作为潜在的连接其向前和向后的数据。我们提出了理论的四边形晶格，这是基于离散模拟的直线同余理论的变换。特别是，我们讨论了离散的类似物的拉普拉斯，Combescure，利维，径向和基本的变换及其相互关系。我们还展示了如何描述的离散户田系统的四边形表面的拉普拉斯变换序列。最后，我们表明，这些经典的转换是严格相关的基本运营商与量子场论制定的多组分Kadomtsev Petviashvilii层次。我们回顾的性质，四边形超平面晶格，这在减少理论中发挥了有趣的作用，当引入额外的几何结构允许建立点和超平面晶格之间的连接。我们提出并充分表征一些几何区别减少的四边形格，像对称，圆形和叶戈罗夫格，我们还审查基本几何结果的理论四边形格在二次曲面，和相应的模拟Ribaucour减少的基本变换。
Soliton Fay identities. I. Dark soliton case
我们推导出一组双线性恒等式的矩阵，已被用来构建各种模型的暗孤子解的行列式。为了给出所获得的身份的应用程序的例子，我们提出的方程描述多维四边形晶格，达布方程和多维多组分系统的非线性薛定谔类型的孤子解。
Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach
本文给出了四边形图上的离散可积系统的一个分类，即四边形面的面胞分解。可积性的概念奠定了分类的基础是三维的一致性。这个属性产生，除其他功能外，存在的离散零曲率与谱参数。对于所得到的穷举列表中的所有可积系统，找到了所谓的三支形式，从而建立了这些系统的拉格朗日和辛结构，以及与任意图上的Toda型离散系统的联系。这些想法的推广到三维可积系统和量子上下文进行了讨论。
A higher-rank version of the Q3 equation
一个晶格系统推导出相当于一个更高的秩模拟的Q3方程，后者是一个可积的偏差分方程已出现在ABS列表中的多维一致的四边形晶格方程。通过构建这个新系统，它包含了许多年前发现的Boussinesq型的各种格点方程。导出了相应的Lax表示。
On the Lagrangian formulation of multidimensionally consistent systems
多维相容性已成为定义在“时空”格点上的偏差分方程（P $Δ$ Es）的一个关键可积性性质。它导致，在其他主要的见解，分类的标量仿射线性四边形P $Δ$ ES拥有这一属性，导致所谓的ABS列表。最近，一个新的变分原理已被提出，描述的多维一致性的离散拉格朗日多形式。这种描述是基于这些可积格点方程的拉格朗日量的一个基本的和高度非平凡的性质，即在相应的P $Δ$ E的解上，拉格朗日形式是封闭的，即它们服从{ \it封闭关系}。在这里，我们将这些结果扩展到连续的情况下：它是已知的，与可积的P $Δ$ ES存在系统的偏微分方程，实际上是微分方程的参数的晶格作为独立的变量，它同样具有属性的多维一致性。本文建立了仿射线性四元格的泛Lagrange结构和相应的连续偏微分方程的泛Lagrange多形式结构，并证明了Lagrange多形式具有封闭性.
Search for CAC-integrable homogeneous quadratic triplets of quad equations and their classification by BT and Lax
我们考虑二维晶格方程定义在一个基本正方形的笛卡尔晶格，并取决于在四边形的角落的变量。对于这样的方程，通常与可积性相关的属性是“多维一致性”（MDC）：应该可以将方程从二维扩展到更高维，以便嵌入的二维晶格方程是相容的。通常使用"Consistency-Around-a-Cube"（CAC）检查兼容性。在这种情况下，通常假设立方体的六个侧面上的方程是相同的（直到晶格参数），但是在Boll \cite{Boll2011}的分类中，这种假设被放宽了。我们在这里提出的结果的搜索和分类的均匀二次三元组的多维一致的晶格方程，允许不同的方程在三个正交的平面（因此三元组），但使用相同的方程在平行的平面上。没有关于对称性或四面体性质的假设。然后将结果按子集/极限性质分组，并通过其贝克隆变换的有效性或等效地通过其拉克斯对的质量（假或不假）进行分析。
Multidimensional Inverse Scattering of Integrable Lattice Equations
我们提出了一个离散的逆散射变换的ABS方程，除了Q4。ABS体系中的非线性偏差分方程代表了一类具有多维相容性的标量仿射线性格方程。由于这种性质，很自然地认为这些方程存在于N维晶格中，其中解取决于N个不同的自变量和相关参数。直接散射过程，这是一维的，是沿着这个多维晶格内的楼梯进行。所得到的解依赖于所有N个晶格变量和参数。我们进一步证明了由Cauchy矩阵方法得到的孤子解与由无反射势得到的解是完全相同的，并对一些已知的格点方程（如格点KdV方程）的逆散射解进行了讨论.
On multidimensional consistent systems of asymmetric quad-equations
多维相容性在离散可积系统理论中越来越重要。最近，我们对所有具有四面体性质的三维相容6元组方程进行了分类，在此分类中发现了几个新的非对称系统，本文讨论了在此分类下的三维相容系统的高维相容性。此外，我们将给出某些四维相容四元方程组的分类。本文的结果允许证明的Bianchi置换等应用。
Boussinesq-like multi-component lattice equations and multi-dimensional consistency
我们考虑准线性、多变量、常系数、定义在晶格基本正方形边缘上的晶格方程，以晶格修改的Boussinesq（lmBSQ）方程为模型，例如，$\tilde y z=\tilde x-x$。这些方程被分为三个典型的形式和他们的多维一致性（一致性周围的立方体，CAC）的后果。结果之一是对$z$变量的方程形式的限制，这又意味着求解的进一步的一致性条件。结果我们得到了一些可积的多分量格方程，一些推广的lmBSQ。
Algebraic entropy for hex systems
本文为定义在二维蜂窝晶格上的Hex系统引入了代数熵的定义，并利用该定义检验了具体示例的可积性。
On consistency around a $3 \times 3\times 3$ cube and Q3 analogue of the lattice Boussinesq equation
本文提出了一种扩展三维一致性的格点 BSQ 方程，并构造了 Q3 类型的格点 BSQ-Q3 系统，作为 BSQ 类比的 Q3($δ$) 方程的推广。
Lattice Schwarzian Boussinesq equation and two-component systems
从守恒律出发，系统地构造了与格点Schwarzian Boussinesq方程相关的各种新的两组分系统。证明了它们的多维一致性，导出了它们的拉克斯对、对称性和守恒律，并构造了一个自Backlund变换.最后，从这些系统的Yang-Baxter映射的构造。
Discrete integrable equations on face-centered cubics: consistency and Lax pairs of corner equations
利用经典Yang-Baxter方程的新型相互作用--圆面解，得到了一组新的离散可积方程，称为面心四元方程。这些方程满足一个新的多维一致性公式，称为一致性周围的面心立方（CAFCC），这需要一个超定系统的十四个五点方程的面心立方晶胞的一致性。本文介绍了一种新的CAFCC公式，其中所谓的C型方程是以面心立方晶胞的面为中心，而以前他们只以角为中心。这使得C型方程被视为独立的多维一致的可积系统的高维格，并用于建立其拉克斯对。
Algebraic entropy for face-centered quad equations
在本文中，我们定义了代数熵测试的面心四方程，这是方程的顶点上定义的四边形加上一个额外的内部顶点。代数熵的概念适用于最近推出的一类满足一种新形式的多维一致性称为一致性周围的面心立方（CAFCC），从而方程组的系统是一致的面心立方晶胞这些方程。结果发现，对于某些安排的方程（或方程对）在正方形格子，所有已知的CAFCC方程通过代数熵检验拥有二次或线性增长。
Singularities of Type-Q ABS Equations
Q型方程位于Adler，Bobenko和Suris（ABS）在对KdV型可积偏微分方程的离散对应物进行分类时所引入的方程族的顶层。我们问什么奇异性是可能的，在这些方程的解决方案，并检查之间的关系的奇异性和主要的可积性功能的多维一致性。这些问题被认为是在全球范围内设置，因此扩展了以前的考虑奇异性已本地。出现的是一些简单的几何标准，确定允许的奇点，和有趣的发现，一般的奇点的存在导致故障的全球一致性，这样的系统，尽管他们的本地一致性属性。这种失败是全球一致的量化引入一个自然的概念，孤立的奇点单值。
Interaction-round-a-face and consistency-around-a-face-centered-cube
统计力学的可积格模型与满足多维相容性的离散可积方程之间存在着对应关系，后者可以在前者的准经典展开式中找到。本文将这一对应关系扩展到交互作用圆面（IRF）模型，得到了一个新的适用于正方形格子中五点方程的一致性立方（CAC）可积性条件。这些方程的多维相容性被表述为围绕面心立方的相容性（CAFCC），即涉及满足面心立方晶胞上的8个未知变量的14个五点晶格方程的超定系统。从IRF模型的准经典极限出发，得到了15组满足CAFCC的方程组，其中IRF模型是由与Adler-Bobenko-Suris（ABS）列表相关联的星三角关系的连续自旋解构造的.
Desargues maps and the Hirota-Miwa equation
我们研究了Desargues映射$ϕ:\ZZ^N\to\PP^M$，它生成的格点与所有最近的（正方向）邻居共线。映射的多维相容性等价于Desargues定理及其高维推广。映射的非线性对应物是非交换的（一般）Hirota-Miwa系统。在复域的交换情形下，我们应用非局部$\bar\partial$ -dressing方法构造了Desargues映射和方程的相应解。特别是，我们确定的积分方程的Fredholm行列式反演的非局部$\bar\partial$敷料问题的$τ$ -功能。最后，我们建立等效的Desargues映射和四边形格，我们也考虑到他们的拉普拉斯变换。
Geodesic compatibility: Goldfish systems
为了刻画可积系统在几何意义上的多维一致性特征，我们给出了一个条件\emph{geodesic compatibility}，该条件暗示了测地流对合中积分的存在性.通过Poisson结构和变分原理，从一个具体的例子即可积的Calogero 'sGoldfish系统出发，构造了测地相容性条件.测地线相容性的几何观点给出了两个不同哈密顿向量场之间相容的平行输运。
On the three-dimensional consistency of Hirota's discrete Korteweg-de Vries Equation
Hirota离散Korteweg-de Vries方程（dKdV）是二维整数格上的一个可积偏差分方程，它在连续极限下逼近Korteweg-de Vries方程.我们发现新的变换到其他方程，包括二度二阶偏差分方程，这提供了一个不寻常的嵌入到三维晶格。由此产生的系统的一致性扩展了已被广泛用于研究多维格上的偏差分方程的属性。
Lax matrices for lattice equations which satisfy consistency-around-a-face-centered-cube
最近发现了格方程的多维一致性可积性条件的公式，称为一致性围绕面中心立方体（CAFCC），它适用于定义在正方形格上的顶点及其四个最近邻居上的方程。本文介绍了一种求满足CAFCC的方程组的Lax矩阵的方法。这种方法给出了新的Lax矩阵，这样的方程，其中包括以前已知的离散户田，或拉普拉斯型方程，以及较新的方程只出现在CAFCC的上下文中。
Algebro-geometric integration of the Q1 lattice equation via nonlinear integrable symplectic maps
研究了三维相容格Adler-Bobenko-Suris表中的Q1格方程。利用多维相容性，给出了Q1方程的一个新的拉克斯对，它可以非线性化，产生可积辛映射。因此，借助于Baker-Akhiezer函数，导出了离散势的Riemann θ函数表达式.这个表达式导致代数几何积分的Q1晶格方程，可积辛映射的迭代产生的离散相流的交换性的基础上。
Symmetries and integrability of discrete equations defined on a black-white lattice
我们研究的变形的H方程，最近提出的Adler，Bobenko和Suris，这是自然定义的黑白格子。对于每一个这些方程，两个不同的三腿形式的构造，导致两个不同的离散户田型方程。他们的多维一致性导致B{}cklund变换相关的不同成员的这一类，以及拉克斯对。他们的对称性分析，产生无限层次的广义对称性。
Solutions of Adler's lattice equation associated with 2-cycles of the Backlund transformation
阿德勒格方程的BT由于其多维一致性而内在于方程本身。我们将通过两个BT（具有不同的Backlund参数）的组成与其自身相关的方程的解称为BT的2-循环。在这篇文章中，我们将证明这样的解与秩为2的交换单参数族（即，2-变元），2-值映射。我们将构造这类映射的显式解，从而给出作为BT的2-圈的Adler方程的解。
Elementary introduction to discrete soliton equations
我们将简要介绍离散或格点孤子方程，并以Korteweg-de Vries方程为例。我们将简要讨论如何贝克隆变换导致方程，可以解释为离散方程的$\mathbb Z^2$格。层次结构的方程和通勤流被证明是与多维的晶格背景下，和多维的一致性是可积性的必要条件之一。多维设置还允许一个构建一个拉克斯对和贝克隆变换，这反过来又导致了一种方法，构建孤子的解决方案。从离散方程的连续极限和连续方程的Hirota离散化两个方向讨论了连续方程与离散方程的关系。
Desargues maps and their reductions
本文介绍了Hirota系统和非交换离散Kadomtsev-Petviashvili（KP）族的几何理论的最新进展，同时也增加了一些新的结果，使图象更加完整。我们特别注意的Desargues地图和由此产生的非线性非交换系统的多维一致性。特别是，我们展示了三维的非交换KP映射在其边缘制定的一致性。本文还讨论了Desargues映射与四边形格映射的关系。从这个角度来看，我们研究减少广田系统的离散B-KP和C-KP系统也提出了一个新的约束，导致Miwa方程。通过对离散KP族进行周期性约化，我们得到了修正格点Gelfand-Dikii方程的非等谱形式。为了从下面关闭图片，我们将额外的自相似约束应用于非等谱非自治的修改格点Korteweg-de Vries系统，以恢复已知的A_2+A_1型q-Painleve方程。
Discrete nonlinear hyperbolic equations. Classification of integrable cases
我们考虑四元图上的离散非线性双曲方程，特别是在正方形格上。场与顶点相关联，并且等式Q（x_1，x_2，x_3，x_4）=0涉及一个四边形处的四个场。方程的可积性被理解为三维一致性。后者是一种可能性，始终强加相同类型的方程的所有面的三维立方体。这允许在多维格Z^N上也设置这些方程。我们分类可积方程与复杂的领域x，和Q仿射线性的所有参数。该方法是基于奇异解的分析。
Integrable lattice equations with vertex and bond variables
提出了具有耦合顶点变量和键变量的二维正方形格点上的可积格点方程。在某些模型中，顶点动力学与键变量的演化无关，并且可以将方程写成非自治的“杨-巴克斯特映射”。我们还提出了一个模型，其中的顶点和键变量是完全耦合的。用代数熵和多维一致性检验了可积性
Continuum limits of pluri-Lagrangian systems
多拉格朗日（或拉格朗日多形式）结构是可积性的一个属性，主要是在多维一致格点方程的背景下研究的。它统一了多维的一致性与变分性质的方程。一个类似的连续结构存在于可积族的微分方程。本文提出了一个求解多拉格朗日系统的连续极限方法。在这个过程中，晶格参数被解释为Miwa变量，描述了一个特定的嵌入在连续多时间的网格上的离散系统的生活。然后，我们寻求微分方程的解决方案内插嵌入离散解决方案。用这种方法得到的连续系统是微分方程的级数。我们表明，这种连续极限也可以适用于相应的多拉格朗日结构。我们将我们的方法应用于离散Toda晶格和ABS列表中的方程H1和Q1 $_{δ= 0}$。
Classification of integrable discrete equations of octahedron type
我们使用的一致性方法来分类的离散可积三维方程的八面体型。它们在根格$Q(A_3)$上自然地被处理，并且在多维格$Q(A_N)$上是一致的。我们的列表包括这类最突出的代表，离散KP方程及其Schwarzian（多比率）版本，以及三个进一步的方程。八面体型方程的组合数学和几何解释。特别地，四维Delaunay胞的相容性起源于射影几何的经典Desargues定理。用于分类的主要技术工具是所谓的八面体型方程的三脚架形式。
Direct Linearization of extended lattice BSQ systems
直接线性化结构的“温和”，但有意义的推广格BSQ系统。这个系统中的一些方程最近在[J. Hietarinta，J. Phys { \bf A}：Math. Theor. { \bf 44}（2011）165204]通过搜索服从多维一致性性质的一类三分量系统。我们表明，所有的新方程在这一类中产生的遵循从一个相同的基本结构。导出了这些系统的拉克斯对，并从给定的结构中得到了$N$ -孤子解的显式表达式。
Non-commutative rational Yang-Baxter maps
从非对易格修正的Gel'fand-Dikii系统的多维相容性出发，给出了泛函（集合论）Yang-Baxter方程的相应解，它们是几何晶体映射的非对易形式.我们的方法工作的中心性的某些产品的非交换变量的附加条件下。然后，我们应用这样一个限制的水平上的凝胶'fand-Dikii系统允许获得非自治（但与中央非自治因素）版本的方程。特别是我们恢复已知的非交换版本的Hirota的晶格sine-Gordon方程，我们提出了一个可积的非交换和非自治的晶格修改Boussinesq方程。
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