Groups Elementarily Equivalent to a Free 2-nilpotent Group of Finite Rank
Alexei G. Myasnikov, Mahmood Sohrabi
本文给出了初等等价于自由幂零群$G$的任意有限秩群的一个刻划.
In this paper we find a characterization for groups elementarily equivalent to a free nilpotent group $G$ of class 2 and arbitrary finite rank.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Groups elementarily equivalent to a free nilpotent group of finite rank
本文给出了初等等价于有限秩自由幂零群的群的完全代数描述。
Finite rank and pseudofinite groups
证明了一个无限有限生成群不能初等等价于给定Prüfer秩的有限群的超积.进一步证明了有限Prüfer秩的无限有限生成群不是伪有限群.
$ω$-stability and Morley rank of bilinear maps, rings and nilpotent groups
本文研究了$ω$稳定双线性映射、任意环和幂零群的代数结构。在有限Morley秩情形下，我们也将给出上述结构的相当完整的结构定理。
The small index property for free nilpotent groups
设F是无限秩的相对自由代数。我们说F具有小指数性质，如果Gamma=Aut（F）中指数至多为rank（F）的任何子群包含F中基数小于rank（F）的子集U的点态稳定子Gamma_（U）.证明了任意无限生成的自由幂零/阿贝尔群具有小指数性质，并讨论了它的一些应用.
Bisoluble and Binilpotent Skew Braces of Finite Morley Rank
研究有限Morley秩的连通斜括号，证明其加法与乘法群的幂零性或可解性可推出括号本身的左幂零性或弱可解性。
Endomorphisms of nilpotent groups of finite rank
通过考虑无挠阿贝尔化和中心上的诱导映射，得到了有限秩无挠幂零群的自同态是自同构的充分判据。虽然这些结果是已知的，在生成的情况下，删除这个假设引入了几个困难。
On the logical strength of the automorphism groups of free nilpotent groups
考虑Saharon Shelah提出的一个问题的特殊情况，我们证明了一个无限生成的自由幂零群N的自同构群是一阶的，它解释了空语言中集合秩（N）的完全二阶理论.
The rank of variants of nilpotent pseudovarieties
研究了由Mal'cev意义下半群的幂零性条件的几个变体所定义的伪簇的秩。对于其中的几个，我们提供了伪恒等式的有限基。我们还证明了Neumann-Taylor变式不具有有限秩。
Regular bi-interpretability and finite axiomatizability of Chevalley groups
本文证明在环含1/2（G_2型还含1/3）的条件下，秩大于1的Chevalley群的中心商与对应环正则双可解释，且该类群可初等定义并有限公理化，同时给出无限中心情形的反例。
Powerfully nilpotent groups of rank 2 or small order
本文继续研究强幂零群幂群。这些都是强大的$p$ -拥有一个特殊类型的中心列的群。对于每一个这样的群，人们可以附加一个强大的幂零类，这自然会导致一个强大的coclass和祖先树分类的概念。本文给出了秩为$2$的幂幂零群的一个完全分类.然后，分类将被用来达到一个精确的公式的数量的幂幂零群的秩$2$和秩序$p^{n}$。我们还将详细分析这些群体的祖先树。第二部分的文件，然后致力于一个完整的分类幂幂零群的顺序高达$p^{6}$。
Full rank presentations and nilpotent groups: structure, Diophantine problem, and genericity
研究了由满秩有限表示$\langle A \mid R\rangle$在至多为$c$类的幂零群的簇$\mathcal{N}_c$中给出的二次生成的幂零群$G$，其中$c \geq 2$ .证明了如果亏格$|A| - |R| $至少是$2$，则群$G$是虚自由幂零的，它是拟可公理化的（特别是一阶刚性的），并且它几乎（直到有限因子）是直接不可分解的.本文的主要结果之一是：满秩有限表示$\langle A \mid R\rangle$给出的幂零群中的丢番图问题，若为$|A| - |R| \geq 2$则不可判定，否则可判定.我们证明了这类群是相当大的，因为有限表示渐近几乎必然有满秩，所以在少数关系模型中的随机幂零群渐近几乎必然有满秩表示。满秩表示为研究随机幂零群的性质提供了一个有用的工具。注意，上面的结果显著地提高了我们对群生成的幂零群中的丢番图问题的理解：从一些特殊的具有不可判定丢番图问题的群的例子中，我们知道所有“典型的”幂零群中的丢番图问题也是不可判定的。
The $R_\infty$ property for free groups, free nilpotent groups and free solvable groups
设$F$是给定类的有限秩自由幂零群幂零群，或有限秩自由可解群.我们精确地显示了哪些具有$R_{\infty}$属性。最后，我们还证明了无限秩自由群不具有$R_{\infty}$性质。
Geometrical equivalence of nilpotent torsion free groups
幂零群的簇是Noether簇。这就是为什么两个幂零类群是几何等价的当且仅当它们有相同的拟恒等式（[Pl3]）。因此，我们可以描述幂零群群的几何等价类，而不是描述单个幂零群生成的拟簇。几何等价问题可以用群的逼近技巧来研究（[Pl2]）。本文只考虑幂零的无挠无挠的群。第一部分给出了幂零无挠的群与其Mal'tsev完备化几何等价从而属于同一拟簇的两个充分条件（定理1和定理2）。本文的第二部分利用群的逼近的简便方法，得到了中心秩较小的幂零2类无挠的群的几何等价类的刻划。
On the geometry of free nilpotent groups
本文研究了幂零群幂零群的几何性质。我们找到了一个几何判据，用于判定n-生成的自由幂零群的字问题。所谓几何判别法，是指通过分析两个字在秩为$r$和类为$k-1$的自由幂零群的Cayley图上的行为，来判定两个字是否表示秩为$r$和类为$k$的自由幂零群中的同一个元素.
Finite decomposition rank for virtually nilpotent groups
证明了虚幂零群的归纳极限具有强拟对角C* 代数，推广了第一作者关于可解虚幂零群的结果.利用这一结果证明了一个$G$生成的虚幂零群的群C* 代数的分解秩是由$2\cdot h(G)!-1$有界的，其中$h(G)$是$G$的Hirsch长度.这推广和加强了第一和第三作者关于$G$生成的幂零群幂群的结果.由此得出，如果由虚幂零群的不可约表示生成的C* 代数满足泛系数定理，则它可由其Elliott不变量分类.
Twisted conjugacy classes in nilpotent groups
设$N$是一个群生成的幂零群.构造了一个算法，使得对每个自同构$ϕ\in Aut(N)$定义Reidemeister数$R(ϕ).$。证明了秩$r = 2$或$r = 3$和类$c \geq 4r,$或秩$r \geq 4$和类$c \geq 2r,$的任意自由幂零群都属于类$R_{\infty}.$
Simple groups of Morley rank 5 are bad
利用有限Morley秩的$N_\circ^\circ$ -群中对合的几何性质，证明了任意Morley秩的单群$5$都是坏群，其所有真可定义的连通子群的秩至多为$2$ .主要结果然后被用来编目Morley秩$5$的不可解连通群。
Alternatives for pseudofinite groups
著名的Tits' alternative指出，一个线性群要么包含一个非交换的自由群，要么是可解的（局部有限）。本文研究伪有限群中的相似择一问题。例如，我们证明了一个$\aleph_{0}$ -饱和伪有限群要么包含一个秩为$2$的子半群，要么是幂零的（一致局部有限）。我们称一类有限群$G$弱有界秩，如果根$rad(G)$有界Prüfer秩且$G/rad(G)$的sockel的指数有界.证明了一个$\aleph_{0}$ -饱和伪（有界秩的弱有限）群要么包含一个非交换自由群，要么是幂零的交换群.我们还得到了这类选择与顺从性之间的一些关系。
On the Reidemeister spectrum and the $R_{\infty}$ property for some free nilpotent groups
本文描述了在以下情形下的秩为$r$的自由幂零群$G = N_{rc},$和类为$c,$的自由幂零群$Spec_RG$：$r \in {\mathbb N}$和$c = 1;$ $r = 2, 3$和$c = 2;$ $ r = 2$和$c = 3,$，证明了$c \geq 4$的任意群$N_{2c}$满足$R_{\infty}$性质.由此我们得到了每个秩为2的自由可解群$S_{2t}$和类$t \geq 2$（特别是秩为2的自由亚阿贝尔群$M_2 = S_{22}$）满足$R_{\infty}$性质.证明了任意秩$r \geq 2$和类$t$足够大的自由可解群$S_{rt}$也满足$R_{\infty}$性质。
On nilpotent Chernikov 2-groups with elementary tops
给出了具有初等顶和秩为2的基的幂零Chernikov 2-群的一个显式刻画。
Irreducible representations of certain nilpotent groups of finite rank
本文研究了有限阿贝尔全秩幂零群的不可约表示，证明了幂零类为2的无挠极小群在特定条件下的忠实不可约表示可由其子群的不可约本原表示诱导得出。
The problem of the classification of the nilpotent class 2 torsion free groups up to the geometrically equivalence
本文研究了2类幂零生成的无挠无挠的群在几何等价下的分类问题。用一种很简单的方法证明了这个问题等价于完全（在Maltsev意义下）幂零无无挠的有限秩群的分类问题直到同构.这个结果，使我们能够再一次理解幂零类2群的拟簇的分类问题的复杂性。众所周知，幂零类s（对于每一个s）群的簇是诺特群。因此，即使由单个幂零类2生成的无挠无挠的群生成的拟簇的分类问题，等价于直到同构的完全（在Maltsev意义下）无挠无挠的有限秩群的分类问题。
Infinitely generated free nilpotent groups: completeness of the automorphism groups
Baumslag在20世纪70年代提出了一个无约束生成的自由幂零群的自同构塔必须很短。设F_{n,c}表示有限秩n至少为2且幂零类c至少为2的自由幂零群.在1976年，Dyer和Formanek证明了F_{n,2}的自同构群甚至是完全的（因此F_{n,2}的自同构塔的高度是2），只要n不是3;在n=3的情况下，F_{n,2}的自同构塔的高度是3。作者在2001年证明了第二类无限生成自由幂零元的自同构群是完备的。在他的博士学位。论文（2003）Kassabov找到了F_{n,c}的自同构塔的高度关于n和c的上界u（n，c）（自然数），从而最终证明了Baumslag猜想。通过分析函数u（n，c），可以得出结论，如果c比n小，则F_{n,c}的自同构塔的高度至多为3。本文的主要结果是：幂零类至少为2的任意无限生成自由幂零群的自同构群是完备的。因此，任何自由幂零群群的自同构塔在经过许多步骤后终止。
Equations in nilpotent groups
证明了在有限时间内存在一个判定海森堡群中任意一个方程的算法。该方法适用于所有具有秩一交换子的两步幂零群，包括高阶海森堡群。我们还证明了方程组的判定问题在所有非交换自由幂零群中是不可解的。
Nilpotency and strong nilpotency for finite semigroups
Mal'cev意义下的幂零半群由半群恒等式定义。有限幂零半群构成一个伪簇$\mathsf{MN}$，它具有有限秩。定义幂零半群的半群恒等式引导我们定义强Mal'cev幂零半群。有限强Mal'cev幂零半群构成一个非有限秩伪簇$\mathsf{SMN}$ .伪簇$\mathsf{SMN}$严格包含在伪簇$\mathsf{MN}$中，但所有有限幂零群都在$\mathsf{SMN}$中。证明了伪簇$\mathsf{MN}$是伪簇$\mathsf{BG_{nil}}$与由$κ$ -恒等式定义的伪簇的交集.我们进一步比较了假变种$\mathsf{MN}$和$\mathsf{SMN}$与假变种$\mathsf{J}$和$\mathsf{G_{nil}}$的Mal'cev产物。
Nilpotent residual of fixed points
设$q$是素数，$A$是有限$q$ -群，其指数$q$通过自同构作用在有限$q'$ -群$G$上.假设$A$的阶数至少为$q^3$。我们证明了如果$γ_{\infty} (C_{G}(a))$对任何$a \in A^{\#}$的阶至多为$m$，则$γ_{\infty} (G)$的阶仅由$m$和$q$有界.如果对于任何$a \in A^{\#}$，$γ_{\infty} (C_{G}(a))$的秩最多为$r$，则$γ_{\infty} (G)$的秩仅根据$r$和$q$有界。
A note on automorphisms of free nilpotent groups
本文给出了秩为二的三类自由幂零群F的正规子群，它们在F的任何自同构下具有同构的有限直子但不共轭。
The Bender method in groups of finite Morley rank
Jaligot引理指出不同博雷尔子群的Fitting子群在有限Morley的极小单群中不相交。如此强大的结果，如果没有驯服，似乎毫无希望。在这里，我们使用0-uniform理论，建立一个工具箱，用于分析的非交换相交的博雷尔子群。作为证明，我们证明了在非驯服极小单群中，任何博雷尔子群的交的连通幂零子群实际上必定是交换的。
Free two-step nilpotent groups whose automorphism group is complete
Dyer和Formanek（1976）证明了：如果N是一类自由的幂零群，其秩不等于1，也不等于3，则N的自同构群Aut（N）是完备的。本文的主要结果是：第二类无限生成自由幂零群的自同构群也是完备的。
Finite groups with Engel sinks of bounded rank
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的转发器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。一个~有限群是幂零群当且仅当每个元素都有一个平凡的Engel汇。证明了：若有限群$G$中每个元素都有Engel sink生成秩为~ $r$的子群，则$G$有秩按$r$有界的正规子群$N$，使得$G/N$是幂零的.
On automorphisms of certain free nilpotent-by-abelian Lie algebras
对于正整数$n$，有$n \geq 4$，设$R_{n}$是秩为$n$的自由（第二类幂零）-by-阿贝尔和阿贝尔-by-（第二类幂零）李代数.我们证明了Aut $(R_{n})$的子群是稠密的Aut $(R_{n})$关于正式的幂级数拓扑的Tame自同构和一个可数无限集的显式给定的$R_{n}$的自同构。
Nilpotent covers and non-nilpotent subsets of finite groups of Lie type
设$G$是有限群，$c$是$\mathbb{Z}\cup \{\infty\}$的元素. $G$的子群$H$被称为{ \it $c$ -幂零}，如果它是幂零的，并且具有至多$c$的幂零类。如果$G$的子集$X$不包含两个元素$x$和$y$，使得子群$< x,y>$是$c$-幂零的，则称之为{ \it non-$c$-幂零}.本文研究了数量$ω_c(G)$，定义为$L$的最大非$c$ -幂零子集的大小.在$L$是Lie型有限群的情况下，我们用$c$ -幂零子群来确定$L$的覆盖，并利用这些覆盖来构造$L$中的非$c$ -幂零大集.证明了对于秩为固定的$r$的群$L$，存在常数$D_r$和$E_r$使得$D_r N \leq ω_\infty(L) \leq E_r N$，其中$N$是$L$中极大环面的个数.在扭曲秩为1的群$L$的情况下，我们对所有$c\in\mathbb{Z}\cup \{\infty\}$给出了$ω_c(L)$的精确公式。如果我们为与$L$相关联的Frobenius自同态的水平写$q$，并假设$q>5$，则$ω_\infty(G)$可以表示为在$q$中的多项式，其系数在$\{0,1\}$中。
A Classification of Free and Free-Like Nilpotent Groups
本文对一类包含自由幂零群的有限生成无挠幂零群进行了分类，证明其上下中心列重合且为亚阿贝尔群，并揭示其可表示为由整权重构造的自同构作用下的自由阿贝尔群半直积。
Low-complexity computations for nilpotent subgroup problems
我们利用TC 0回路，或在对数空间和拟线性时间中，在具有有界幂零类和秩的幂零群类中一致地解决了以下算法问题：子群共轭，计算子群的正规化子和隔离子，陪集交，以及计算扭子群.此外，如果任何输入单词以压缩形式作为直线程序或以Mal'cev坐标提供，则算法以四次时间运行。
On palindromic width of certain extensions and quotients of free nilpotent groups
在arXiv：1303.1129中，作者给出了秩为$n$的自由交换幂零群$AN_n$和秩为$n$和阶为$r$的自由幂零群${\rm N}_{n,r}$的回文宽度的界。本文研究了群$\widetilde{AN}_n$和$\widetilde{\rm N}_{n,r}$的回文宽度。我们用$\widetilde{G}_n = G_n / \langle \langle x_1^2, \ldots, x_n^2 \rangle \rangle$表示群$G_n = \langle x_1, \ldots, x_n \rangle$的商，该群在某种程度上可以自由地被$x_1^2, \ldots, x_n^2$生成的正规子群所支配。我们证明了商$\widetilde{AN}_n$的回文宽度是有限的，并且由$3n$有界。我们还证明了商$\widetilde{\rm N}_{n, 2}$的回文宽度正好是$2(n-1)$。我们改进了${\rm N}_{n, r}$的回文宽度的下界。证明了${\rm N}_{n, r}$，$r\geq 2$的回文宽度至少为$2(n-1)$ .我们还改进了自由亚阿贝尔群的回文宽度的界。证明了秩为$n$的自由亚交换群的回文宽度至多为$4n-1$。
A nilpotent Freiman dimension lemma
证明了任意挠自由幂零群的K-近似子群可以被有界秩幂零子群的有界陪集覆盖，其中界是显式的且仅依赖于K。这个结果可以看作是Freiman维数引理的一个幂零类比。
The Axiomatics of Free Group Rings
本文证明了关于自由群环 Z[F] 的普遍理论的一个猜想：其普遍语句恰为自由群 F 的普遍语句经群环理论适当修改所得，反之亦然，并给出了相应的公理系统。
$C^*$-algebras generated by projective representations of free nilpotent groups
计算了类$2$和秩$n$的自由幂零群的双上圈（乘子），并给出了相应扭群$C^*$ -代数的单性条件.这些群是$\mathbb{Z}^n$的表示群，可以看作是一族具有高维中心的广义海森堡群。它们的群$C^*$ -代数以自然的方式同构于以非交换$n$ -环面为纤维的$\mathbb{T}^{\frac{1}{2}n(n-1)}$上的连续域.这样，与类$2$和秩$n$的自由幂零群相关的扭群$C^*$ -代数可以被认为是“二阶”非交换$n$ -环面。
Homological growth of nilpotent-by-abelian pro-p groups
该研究针对满足$FP_{2cm}型的c类幂零-交换pro-p群，证明了其有限指数pro-p子群的低阶同调群的无挠秩存在一致有限上界，推进了pro-p群同调增长理论。
Free nilpotent groups are C*-superrigid
类$m$和秩$n$的自由幂零群$G_{m,n}$是至多为$m$类的幂零群范畴中$n$生成元上的自由对象。我们证明了$G_{m,n}$可以从它的约化群$C^*$ -代数中恢复出来，在这个意义上，如果$H$是任何群使得$C^*_r(H)$同构于$C^*_r(G_{m,n})$，那么$H$一定同构于$G_{m,n}$ .
Representation zeta functions of some nilpotent groups associated to prehomogeneous vector spaces
本文计算了数域上整数环上与幂幺群模式相关的一类非生成幂零群的表示zeta函数。这些组计划定义的李格，其演示文稿是仿照某些预齐次向量空间。我们的方法是基于评估$\mathfrak{p}$ -进积分与一定的秩品种的矩阵的线性型。
Polylogarithmic bounds in the nilpotent Freiman theorem
证明了若$A$是$s$ -步幂零群的有限$K$ -近似子群，则存在一个有限正规子群$H\subset A^{K^{O_s(1)}}$模，其中$A^{O_s(\log^{O_s(1)}K)}$包含秩至多为$O_s(\log^{O_s(1)}K)$且大小至少为$\exp(-O_s(\log^{O_s(1)}K))|A|$的幂零级数.这部分地推广了Sanders在阿贝尔情形下得到的接近最优的界，改进了该界，简化了对作者早先一个结果的阐述.结合Breuillard-Green，Breuillard-Green-Tao，Gill-Helfgott-Pyber-Szabó和作者的结果，改进了剩余幂零群和某些有界度线性群中Freeman型定理的秩界.
Longer nilpotent series for classical unipotent subgroups
在研究幂零群时，可以利用下中心序列和其它变式构造相应的$\mathbb{Z}^+$ -分次Lie环，这是检验群的一种有力方法。事实上，这个过程可以通过引入$\mathbb{N}^d$ -分次李环来推广。计算了秩为$d$的域$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$上经典Chevalley群的幂幺子群的下中心序列的伴随加细.我们证明了，对于所有的经典类型，这个特征过滤器是一系列的长度$Θ(d^2)$几乎所有的因素有$p$ -有界的顺序。
Nilpotent completions of groups, Grothendieck pairs, and four problems of Baumslag
如果两个群具有相同的幂零元，则称它们具有相同的幂零亏格。我们回答Baumslag关于幂零完备化的四个问题。(i)存在一对具有相同幂零亏格的双生成的剩余无挠幂零群，使得其中一个是双表示群，另一个不是. (ii)存在一对具有相同幂零亏格的双表示剩余无挠幂零群，使得其中一个群有可解共轭问题，而另一个群没有可解共轭问题。(iii)存在一对相同幂零亏格的双生成的剩余无挠幂零群，使得其中一个具有双生成的第二同调$H_2(-,\Z)$，而另一个没有。(iv)非平凡的无穷指数正规子群不能在非平凡生成的仿自由群中生成。在证明最后一个结果时，我们建立了秩为$r$的平行生成群的第一个$L^2$贝蒂数是$r-1$。由此得出，如果$r\ge 2$，则群的约化$C^*$ -代数是单的，并且Freiheitsmann的一个版本对仿自由群成立。
On Palindromic Widths of Nilpotent and Wreathe Products
证明了群集合$A_{1},\dots, A_{s}$的幂零积具有有限回文宽度当且仅当$A_{i}, i=1,\dots, s,$的回文宽度是有限的。给出了$F_n \wr K$的换位子宽度是无限的新证明，其中$F_n$是秩为$n \geq 2$的自由群，$K$是有限群.这个结果与Fink \cite{f1}的一个结果相结合，给出了关于某个生成元集具有无穷换位子宽度但回文宽度有限的群的例子.
Nilpotent Residual of a Finite Group
本文研究有限群在自同构群作用下幂零剩余的阶与秩的界，针对 Frobenius 群、Frobenius-like 群及二面体群情形给出由中心化子与作用群的阶和秩界定的结果。
Coarse median property of virtually nilpotent groups
本文证明了几乎幂零群是粗中值的当且仅当它们几乎是阿贝尔群，并通过渐近锥的子黎曼几何阻碍了有限秩局部凸Lipschitz中值的存在性，进而应用于分类非紧致对称空间中的格点及负曲率流形的基本群。
Random equations in nilpotent groups
本文研究了无限群生成的幂零群G中随机方程的可满足性。本文证明了G上所有k > 1元的方程在G中可满足的集合SAT（G，k）在G上所有k元的方程空间中有一个中间渐近密度。当G是有限秩的自由阿尔贝群时，我们精确地计算了这个密度;否则，我们给出了一些非平凡的上界和下界。对于k = 1，集合SAT（G，k）是可忽略的。通常，群中兴趣集的渐近密度不是0就是1。本文的结果提供了新的中间渐近密度的代数有效集的例子。
Q-tensor square of finitely generated nilpotent groups, q >= 0
推广到群$G$的$q-$张量平方$G \otimes^q G$，$q$为非负整数，得到了R. D. Blyth，F. Fumagalli和M. Morigi关于非阿贝尔张量平方$G \otimes G$（$q = 0$）。这些结果被应用到计算的$G \otimes^q G$的非生成的幂零群$G$，特别是有限秩的自由幂零群。它们也推广到M. Bacon关于非交换张量平方$G \otimes G$的生成元的最小个数的上界，当$G$是类2的$n-$生成元幂零群时.本文最后计算了自由$n-$生成元幂零群$n \geq 2$的$q-$张量平方，对所有$q \geq 0.$，这表明当$q > 1.$
Extensions of Johnson's and Morita's homomorphisms that map to finitely generated abelian groups
我们将有限秩自由群的自同构群到有限秩阿贝尔群的每一个高阶Johnson同态推广为一个叉同态。我们还将每个Morita同态推广为一次有界曲面的映射类群到有限秩阿贝尔群的叉同态。这改进了作者以前的结果[代数。托波尔。7（2007）：1297-1326]。为了证明第一个结果，我们将高阶Johnson同态表示为群上同调的上边界映射。我们的方法涉及到幂零齐性空间的拓扑和幂零李代数的格。特别是，我们开发了一个概念的“多项式拉直”的奇异同调链在幂零齐性空间。
Generalizing Magnus' characterization of free groups to some free products
一个剩余幂零群是\emph{$k$-parafree}，如果它的所有下中心级数的幂零元都与秩为$k$的自由群的幂零元相匹配。Magnus证明了秩为$k$的$k$ -parafree群自身是自由的。在本文中，我们模仿这一理论与有限的自由群的扩张，强调自由积的循环群$C_p$，$p$的奇素数。我们证明了对于$n \leq p$，Magnus的刻画对于$n$ -fold free乘积$C_p^{*n}$在自由群的有限扩张类中成立.具体地说，如果$n \leq p$和$G$是一个与$C_p^{*n}$具有相同的下中心级数连续性的随机生成的、几乎自由的、剩余幂零群，那么$G \cong C_p^{*n}$。我们还表明，这样的特征并不持有类中的非线性生成群。也就是说，我们构造了一个秩为2的剩余幂零群$G$，它与$\ffp$共享其所有的下中心级数，但不是$\ffp$。
A note on the finite basis and finite rank properties for pseudovarieties of semigroups
有限基的性质通常与有限秩性质有关，这是有限基所必须的。许多例子已经产生的有限秩品种，这是不基于的。本文建立了关于幂零伪簇的一个结果，该结果在半群伪簇领域中得到了许多类似的例子。
Approximate subgroups of residually nilpotent groups
证明了剩余幂零群G的K-近似子群A包含在幂零因子有界阶的有限幂零子群的有界陪集中.结合作者以前的一个结果，这意味着A包含在有界秩和有界步长的陪集诣零级数的有界多个平移中。这些界是有效的，并且只依赖于K;特别地，如果G是幂零的，它们不依赖于G的步长。作为应用，我们证明了存在某个绝对常数c，使得如果G是剩余幂零群，且存在一个整数n > 1，使得G的某个Cayley图中半径为n的球的基数以n^（c log log n）为界，则G是虚（log n）步幂零群.
Pólya-Carlson dichotomy for coincidence Reidemeister zeta functions via profinite completions
考虑有限秩幂零群的驯服自同态对的重合Reidemeisterzeta函数，通过profinite完备化技术对这一问题给出了新的解释.特别地，基于交换性条件，我们给出了有限秩无挠幂零群的自同态对迭代的重合Reidemeister数的闭公式.此外，我们提出的结果，在合理性和自然边界的zeta函数的分析行为之间的Pólya-Carlson二分法的支持。
On cocharacters associated to nilpotent elements of reductive groups
设G是定义在特征为p的代数闭域上的连通约化线性代数群。本文考虑G的某些连通约化子群H，证明了H的李代数中对应于给定幂零元e的余特征标正是G的对应于e取值于H的余特征标.特别是，我们表明，这是一种情况下，提供H是一个连通的约化子群G的最大秩，这回答了一个问题所提出的J. C。詹岑。
The torsion-free rank of homology in towers of soluble pro-p groups
我们证明了对于每一个被证明的$p$幂零-交换-有限群$G$，当$M$贯穿$G$中所有有限指数的$p$子群时，$\dim_{\mathbb{Q}_p} (H_1(M, \mathbb{Z}_p) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p )$存在一个上界.
On groups in which subnormal subgroups of infinite rank are commensurable with some normal subgroup
研究了可解群G，其中每个具有无限秩的次正规子群H与一个正规子群可交换，即存在一个正规子群N使得H与N的交在H和N中都有有限指数.证明了如果G是周期的，则所有次正规子群都可与一个正规子群交换，只要G的Hirsch-Plotkin根具有无穷秩或G是幂零交换群（且具有无穷秩）.
Probabilistic Bounds on the Number of Elements to Generate Finite Nilpotent Groups and Their Applications
本文提出有限 nilpotent 群生成元素数量的概率界限，改进了传统要求，并应用于概率算法分析和量子算法优化。
Freiman's theorem in an arbitrary nilpotent group
证明了任意幂零群幂零群中的一个Freiman-Ruzsa型定理.具体地说，我们证明了s阶幂零群G的K-近似子群A包含在一个陪集幂零级数中，其中f和g多项式只依赖于G的阶数s，且其秩至多为f（K），基数至多为exp（g（K））|A|.为了激励这一点，我们给出了一个直接的证明Breuillard和Green的类似结果的挠自由幂零群，避免使用Mal'cev的嵌入定理。
Diameters of random Cayley graphs of finite nilpotent groups
证明了有限个秩和幂零类有界的幂零群的随机无向Cayley图的适当重标直径的极限分布的存在性，从而推广了Shapira和Zuck关于阿贝尔群的一个结果.极限分布被定义在幺模格空间上，如阿贝尔群的随机凯莱图的情况。我们的结果，当专门为某一家庭的unitriangular集团，建立了一个非常最近的猜想，赫尔蒙和托马斯。我们得出这是一个一般的不等式的结果，表明一个幂零群的凯莱图的直径是由它的阿贝尔化的直径。
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