Polymake and Lattice Polytopes
Michael Joswig, Benjamin Müller, Andreas Paffenholz
polymake软件系统处理几何组合学中的凸多胞体和相关对象。这篇文章报告了一个新的实现了一个子类的格多面体。显示的功能是通过polymake核心的最新更改启用的，这将简要讨论。
The polymake software system deals with convex polytopes and related objects from geometric combinatorics. This note reports on a new implementation of a subclass for lattice polytopes. The features displayed are enabled by recent changes to the polymake core, which will be discussed briefly.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Defect Polytopes and Counter-Examples With polymake
它演示了如何软件系统polymake可用于计算复曲面几何形状。更确切地说，反例，以相关的A-行列式和缺陷多面体的构造。
Drawing polytopal graphs with polymake
本文试图解释如何获得（可能是高维的）凸多胞体、三角形流形和其他几何组合学领域的对象（如有限度量空间的紧跨度和热带多胞体）的有意义的图像。在我们所有的例子中，我们都得到了具体的、有几何动机的图形绘制问题。所显示的方法在软件系统polymake中实现。
Geometric Reasoning with polymake
数学软件系统polymake为凸多胞体、单纯复形和其他对象提供了广泛的功能。本文的很大一部分是专门的教程，它说明了用法。后面的部分包括迄今为止在polymake的帮助下获得的研究成果的调查和技术背景的简短描述。
Computing convex hulls and counting integer points with polymake
本文的主要目的是报告的艺术状态计算整数壳和他们的小平面，以及计数格点在凸多胞体。使用polymake系统，我们探索各种算法和实现。我们在这方面的经验总结为十条“经验法则”。
polyDB: A Database for Polytopes and Related Objects
polyDB是离散几何对象的数据库。该数据库可通过网络和软件包polymake的界面访问。它包含各种数据集从该地区的格多面体，组合多面体，拟阵和热带几何。在这个简短的说明中，我们介绍了数据库的结构，并解释了它的使用与计算的自由和某些斜bipyramids类之间的光滑Fano多面体的尺寸高达8。
Tropical Convex Hull Computations
这是一个调查的热带多面体从组合的角度来看，重点是算法。热带凸性是有趣的，因为它涉及到许多组合概念，包括普通凸性，单项式理想，单形乘积的细分，拟阵理论，有限度量空间，和热带格拉斯曼。这些主题之间的关系是通过一个运行的例子解释整个文件。最后一节解释了如何使用软件系统polymake的新版本2.9.4来计算热带多面体。
3-Dimensional Lattice Polytopes Without Interior Lattice Points
Howe的一个定理指出，每个三维格多面体$P$，其唯一的格点是它的顶点，是一个凯莱多面体，即$P$是两个距离为1的格多边形的凸包。我们想通过对没有内部格点的三维格多面体进行分类来推广这个结果。主要的结果将是，他们是有限的许多例外要么凯莱多面体或有一个投影，它映射到双幺模2-单纯形的多面体。对于每一个这样的多面体，我们将一个亏格为0的光滑射影曲面与之联系起来。
Multiples of lattice polytopes without interior lattice points
设$Δ$是$n$维格多面体.使$k Δ$不含$1 \leq k \leq n - i$内部格点的最小非负整数$i$称为$Δ$的度.我们考虑固定次数$d$和任意维数$n$的格多面体。我们的主要结果是对$d=1$度的$n$维格多面体的完全分类.这是Arkinstall，Khovanskii，Koelman和Schicho对无内格点的格多边形$(n=2)$分类的推广。我们的分类表明，一次格多面体的次多面体总是一个简单的多面体。
LatticePolytopes: A package for computations with lattice polytopes in Macaulay2
我们介绍Macaulay2的LatticePolytopes包。该软件包提供了与凯莱结构、局部正性和网格多面体的光滑性相关的计算方法。
Classification of smooth lattice polytopes with few lattice points
在简单介绍了光滑格多面体之后，给出了少格点光滑格多面体有限性的一个证明。然后，该论点变成了一个算法的分类光滑格多面体在固定的维度上的上界上的格点的数量。此外，我已经实现了二维和三维的这个算法，并使用它，连同Tadao Oda的光滑最小风扇的分类，创建最多12个格点的所有光滑2-多面体和3-多面体的列表。
Universal Counting of Lattice Points in Polytopes
给定一个格多面体$P$（具有底层格$\lo$），在所有包含$\lo$的格$\lo'$上定义通用计数函数$\uu_P(\lo')=|P\cap \lo'|$。受格多面体和Ehrhart多项式问题的启发，我们研究了方程$\uu_P=\uu_Q$。
Lattices generated by skeletons of reflexive polytopes
由自反多面体骨架上的格点生成的格是确定Calabi-Yau超曲面的基本群和积分上同调的基本条件。本文证明了自反多面体中所有格点所生成的格是由余维两面上的格点所生成的。这回答了J.摩根的一个问题。
Lattice Polytopes and Root Systems
考虑实有限维向量空间中的格。在这里，我们感兴趣的是格多面体，即格的有限子集的凸包。考虑将格映射到自身上的仿射实变换的群$G$。用群$G$代替欧几里得运动群，可以定义正则格多面体的概念。更确切地说，一个格多面体被称为正则的，如果保持多面体的$G$的子群传递地作用在它的完全标志的集合上。最近，Karpenkov得到了正则格多面体的一个分类。在这里，我们通过一种更概念化的方法来获得这种分类。另一个区别是，Karpenkov使用的基本方式分类的欧几里德经常多面体，但我们没有。
Classifying smooth lattice polytopes via toric fibrations
我们定义了Q-正规格多面体。这种多面体的自然例子是严格组合等价的格多面体的凯莱和，它对应于特别好的复曲面纤维化，即复曲面投射丛。在最近的一篇论文中，Batyrev和Nill提出应该有一个界N（d），使得每个度为d且维数至少为N（d）的格多面体分解为凯莱和。对于光滑的Q-正规多面体，我们给出了一个尖锐的答案。证明了当n大于或等于2d+1时，任意n维d次光滑Q-正规格多面体P是严格组合等价多面体的Cayley和.该证明依赖于与相应的复曲面嵌入相关联的nef值态射的研究。
The reflexive dimension of a lattice polytope
格多面体P的自反维数是最小d，使得P是某个d维自反多面体的面。我们证明了对于每个P，Rdim（P）是有限的，并给出了Rdim（kP）关于Rdim（P）和k的界.
A Shapley-Folkman lemma for lattice polytopes
在Shapley-Folkman引理的特殊情况下，$n$的某些出现可以被$n-1$代替。
Cayley decompositions of lattice polytopes and upper bounds for h^*-polynomials
利用格多面体的次数和首项系数给出了格多面体的h^*-多项式的一个有效上界，证实了Batyrev的一个猜想.我们推导出这一界限的后果，一个强大的凯莱分解定理说，粗略地说，任何格多面体与一个大的倍数，没有内部格点有一个非平凡的分解为凯莱和多面体的较小的尺寸。在附录中，我们解释这个结果的附加理论复曲面品种。
Lattice 3-polytopes of lattice width 2 and corresponding toric hypersurfaces
本文分类了至多含40个内部格点且格宽为2的格3-多胞体的二维Fine内部，从而构造出大量亏格不超过40的一般型曲面。
A classification of smooth convex 3-polytopes with at most 16 lattice points
我们给出了至多16个格点的光滑凸格3-多面体的一个分类，直至同构。共有103个不同的多面体满足这些标准。其中，99个是严格的凯莱多面体，其余4个是作为逆恒星细分的多面体。我们推导出一个分类，同构，所有光滑嵌入复曲面三倍在$\mathbb{P}^N$，其中$N\le 15$。我们总共有103个这样的嵌入。其中，99个是嵌入在$\mathbb{P}^N$中的投射丛，其余4个是这种复曲面三重的爆破。
A relation between number of integral points, volumes of faces and degree of the discriminant of smooth lattice polytopes
我们提出了一个公式的程度判别的一个光滑的射影复曲面簇与一个格多面体P，在内部的整数点的数量扩张的面的尺寸大于或等于$\lceil \frac {\dim P} 2 \rceil$。
Algebro-geometric characterization of Cayley polytopes
本文给出了Cayley多面体的代数几何刻划。作为一种特殊情况，我们还利用Seshadri常数刻画了格宽为1的格多面体。
Thin polytopes: Lattice polytopes with vanishing local $h^*$-polynomial
本文研究局部 $h^*$-多项式消失的格多胞体（薄多胞体），给出了维数至多 3 的完整分类及 Gorenstein 多胞体的薄性刻画，并综述了相关理论。
Preserving Hodge Vectors of Lattice Polytopes
通过Cayley多面体的Hodge向量公式，发现无限多具有相同Hodge向量的高维格点多面体，并应用于构造薄多面体。
Projecting lattice polytopes according to the Minimal Model Program
本文证明了在每个维度下，除可投影情况外，仅存在有限个F-空格多胞体，并揭示了其与极小模型程序中Q-Fano超曲面的联系。
Smooth centrally symmetric polytopes in dimension 3 are IDP
1997年，Oda证明了每个光滑格多面体都具有整数分解性质。证明了中心对称$3$维多面体的织田猜想，证明了它们被格平行六面体和幺模单形所覆盖。
Castelnuovo polytopes
本文研究了Castelnuovo多面体，基于极化变种的截面亏格上界，扩展了Castelnuovo对曲线亏格的界，并给出了Castelnuovo多面体的特征化及IDP多面体的充分条件。
Classification of triples of lattice polytopes with a given mixed volume
我们提出了一个算法的分类与一个给定的混合体积$m$在三维格多面体的三元组。已知的是，分类可以被简化为所谓的不可约三元组的枚举，对于固定的$m$，其数量是有限的。根据这个算法，我们列举了所有不可约的三元组的归一化混合体积最多4是包含最大的。这产生了一个分类的通用三元稀疏多项式系统与多达4个解决方案，在复杂的环面，直到单项变化的变量。最近的结果Esterov，这导致了所有通用的三元稀疏多项式系统的描述，可解的自由基。
On the discrete Heine-Shephard problem for four lattice polygons
本文研究了四个格子多边形的离散Heine-Shephard问题，揭示了格子多面体混合面积上的额外算术约束导致平方自由多项式刻画失效的现象。
Integer decomposition property of polytopes
本文研究与至多含$n+3$条射线的$n$维光滑完全扇相关联的格多面体的整数分解性质，利用Kleinschmidt和Batyrev的分类及低维归约方法，证明了该设定下格多面体具备整数分解性质。
An Upper Bound Theorem concerning lattice polytopes
R.斯坦利在1975年证明了上界猜想。我们模仿他对Ehrhart环的证明。给出了整闭格多面体体积的上界。我们得到了关于整闭格多面体的δ向量的一些不等式。最后，我们应用我们的结果自反整闭和顺序多面体。
Spanning Lattice Polytopes and the Uniform Position Principle
一个格多面体$P$称为IDP，如果在它的$k$次扩张中的任何格点是$P$中的$k$格点之和。在1991年斯坦利证明了一个强不等式在Ehrhart理论的IDP格多面体。我们证明了他的结论在更温和的假设下成立，即如果格多面体$P$是生成的，即，周围晶格的任何晶格点是$P$中的晶格点的整数仿射组合。作为应用，我们得到了Hibi的下界定理的一个推广.我们的证明依赖于将Bertini定理推广到半标准情形和将Harris一致位置原理推广到加权射影空间中的某些曲线。
Polyptych lattices and marked chain-order polytopes
本文研究标记链序多面体的转移映射构成的多面体格，获得项目ive变元到标记链序多面体的扭棱退化，并计算了该项目ive变元的Cox环。
A note on lattice-face polytopes and their Ehrhart polynomials
本文去掉了“格面多面体的Ehrhart多项式”一文中的一个不必要的限制，给出了格面多面体的一个新的定义，并证明了在新的定义下，格面多面体的Ehrhart多项式仍具有每个系数是原多面体投影的归一化体积的性质.此外，我们表明，新的家庭的格面多面体包含所有可能的组合类型的合理多面体。
On the Statistics of Lattice Polytopes
我们使用自反性和自反维数的概念，以便引入格多面体的概率测度，并开始调查其统计性质。离散几何应用的例子包括研究自反多面体的自对偶性的随机性，以及在更高维度中对这种多面体的期望值的影响。我们还讨论了计数问题和相关的算法，并指出有趣的开放问题。在这种情况下，我们定义的概念IP限制多面体。我们的新结果包括IP-单纯体在3维的IP-限制。研究这些问题的主要动机来自代数几何和弦理论的应用。
Three-dimensional lattice polytopes with two interior lattice points
我们对具有两个内部格点的三维格多面体进行了分类。直到幺模等价，有22，673，449个这样的多面体。这一分类使我们能够验证，仅在这种情况下，一个代数上界的体积的格多面体与内点，并提供了强有力的证据，新的代数不等式的系数的Ehrhart多项式在三维。
Facial structures of lattice path matroid polytopes
格路拟阵是平面上一对格路对应的横截拟阵。拟阵基多胞形是其顶点是给定拟阵的基的关联向量的多胞形。本文研究了格路拟阵所对应的拟阵基多面体的面结构。
Unimodality questions for integrally closed lattice polytopes
是否每个整闭自反多面体都有单峰Ehrhart δ-向量是一个著名的公开问题。我们将这个问题推广到任意的整闭格多面体，我们证明单峰的三角形向量的格平行六面体。这是第一个非平凡类的整闭多面体。此外，我们提出了一个新的方法来解决问题的自反多面体通过三角剖分。
Lattice polytopes and semigroup algebras: Generic Lefschetz properties and Parseval-Rayleigh identities
本文研究与格多面体相关联的半群代数，通过推广Hochster的工作，利用Parseval-Rayleigh恒等式与微分方程描述其体积映射并建立强Lefschetz性质，进而解决了关于h*-多项式单峰性的若干猜想。
Non-spanning lattice 3-polytopes
本文对非生成$3$ -多面体进行了完全的分类，我们称之为格点不影响生成格点的格点$3$ -多面体。我们表明，除了六个小的多面体（都有五个和八个之间的格点），每个非生成$3$ -多面体$P$有以下简单的描述：$P\cap \mathbb{Z}^3$由（1）两个晶格段位于平行和连续的晶格平面或（2）一个晶格段连同三个或四个额外的格点放置在一个非常具体的方式。从这个描述中，我们得出结论，所有的空四面体在一个非生成$3$ -多面体$P$有相同的体积，他们形成一个三角$P$，我们计算的$h^*$ -矢量的所有非生成$3$ -多面体。我们还表明，所有的跨越$3$ -多面体包含一个幺模四面体，除了两个特定的$3$ -多面体与五个晶格点。
Lattice 3-polytopes with six lattice points
我们分类格$3$ -宽度大于1的多面体，并与确切的$6$格点。我们发现，有$74$多面体的宽度$2$，两个多面体的宽度$3$，没有更大的宽度。我们给每个类的代表明确的坐标，连同其他不变量，如他们的定向拟阵（或订单类型）和体积向量。例如，根据内部点的数量，这些$76$多面体分为具有两个内部点的$23$四面体（干净四面体），具有一个内部点的$49$多面体（先前由Kasprzyk分类的具有五个边界点的$49$规范三多面体）和仅$4$中空多面体。我们还给出了具有$6$格点的宽度为1的三多面体的完全分类。就这六个点的定向拟阵而言，它们位于八个无限类和十二个独立的多面体中。我们的动机部分来自不同的对和（或dps）多面体的概念，其中，在尺寸$3$，可以有最多的$8$格点。在上面提到的$74+2$类中，确切地说$44 + 1$是dps。
Few smooth d-polytopes with n lattice points
我们证明了，对于固定的n，Q-阶乘环面簇X到P^n中只有1000个嵌入是由一个完全线性系诱导的.证明是基于一个组合的结果，即对于固定的非负整数d和n，有n个格点的光滑d-多面体只有1000个。我们还列举了所有光滑的3-多面体至多12格点。实际上，只要约束奇点和边上格点的个数就足以证明有限性。
Is there a smooth lattice polytope which does not have the integer decomposition property?
本文探讨是否存在不满足整数分解性质的光滑格点多面体，通过Pick定理的证明揭示了格点多边形面积与内部边界格点数的关系。
Ehrhart polynomials of lattice polytopes with normalized volumes $5$
一个完整的分类的$δ$ -向量的格多面体，其归一化体积是最多$4$是已知的。本文将对格多面体的所有$δ$ -向量进行分类，并给出其归一化体积$5$。
Lattice polytopes of degree 2
Scott的一个定理给出了格点恰为$i>0$内部格点的格多边形的归一化体积的一个上界。我们将证明，即使在更高的维度，同样的界限也适用于2次格多面体的归一化体积。特别地，只有有限个具有固定首项系数的二次多项式是格多面体的$h^*$ -多项式。
Ehrhart polynomials of lattice-face polytopes
循环多胞形的Ehrhart多项式有一个简单的公式。本文的目的是表明，同样的公式适用于更一般的一类多面体，格面多面体。我们发展了一种将任意d维单形在一般位置分解为d！符号集，每个符号集对应于对称群中的一个置换，并将一般位置的多面体中的格点计数问题归结为这些特殊符号集中的格点计数问题.将此分解应用于格面单纯形，我们得到具有特殊性质的符号集，这些性质允许我们计算它们内部的格点数量。因此，我们能够得出所需的公式为Ehrhart多项式的格面多面体。
Do alcoved lattice polytopes have unimodal h*-vector?
我们证明了R^n中的凹多面体P（李型A）的h*-向量是单峰的，如果它们包含内部格点并且它们的刻面到内部格点集的格距离为1。对于一般的凹洞多面体，这种距离的最大可能是dim（P）-1。本文的第二个目的是作为一个指导以前的工作围绕单峰的h*-向量的凹多面体和相关问题。
Lattice Points in the Newton Polytopes of Key Polynomials
我们证实了Monical，Tokcan和Yong关于关键多项式的牛顿多面体中的格点的特征的猜想。
Lattice polytopes having h^*-polynomials with given degree and linear coefficient
格多面体的h^*-多项式是埃赫哈特多项式的生成函数的分子。设P是具有h^*-多项式的d次格多面体，线性系数为h^*_1.我们证明了如果P的维数大于或等于h^* 1（2d+1）+ 4d-1，则P必是低维格多面体上的格金字塔.这个结果有一个纯粹的组合证明，并推广了Batyrev最近的一个定理。
Difference between families of weakly and strongly maximal integral lattice-free polytopes
在$\mathbb{R}^d$中的$d$维闭凸集$K$称为无格的，如果$K$的内部与$\mathbb{Z}^d$不相交.我们考虑以下两类无格多面体：$\mathbb{R}^d$中的整数无格多面体不能正确地包含在另一个整数无格多面体中的$\mathcal{L}^d$族和它的子族$\mathcal{M}^d$，它由$\mathbb{R}^d$中的整数无格多面体组成，不能正确地包含在另一个无格集合中。已知$\mathcal{M}^d = \mathcal{L}^d$适用于$d \le 3$，并且对于每个$d \ge 4$，$\mathcal{M}^d$是$\mathcal{L}^d$的适当亚家族。我们推导出一个超指数下界上的多面体的数量在$\mathcal{L}^d \setminus \mathcal{M}^d$（与标准识别的整数多面体的仿射么模变换）。
The $h^*$-polynomials of locally anti-blocking lattice polytopes and their $γ$-positivity
格多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$称为局部防阻塞多面体，如果对$\mathbb{R}^d$中的任意闭正交$\mathbb{R}^d_{\varepsilon}$，$\mathcal{P} \cap \mathbb{R}^d_{\varepsilon}$通过坐标超平面的反射单模等价于防阻塞多面体.本文给出了局部反阻塞格多面体的$h^*$ -多项式的一个公式。特别地，我们讨论了局部防阻塞自反多面体的$h^*$ -多项式的$γ$ -正性。
The boundary volume of a lattice polytope
对于d维凸格多面体P，导出了P的第一次$\floor{d/2}$扩张的边界格点数的边界体积公式.作为应用，我们给出了多面体自反的充要条件，并导出了3、4、5维光滑多面体的f向量公式.我们也给应用程序的自反顺序多面体，并Birkhoff多面体。
Enumeration of lattice 3-polytopes by their number of lattice points
我们开发了一个完整的计算枚举的格子$3$ -宽度大于1的多面体的程序，任何给定数量的格点。我们还实现了一个算法来实现这一点，并枚举那些最多有11个格点的格点（有216，453个）。为了实现这一点，我们证明，如果$P$是一个网格3-多面体的宽度大于一个，至少有7个晶格点，然后它适合在三个类别之一，我们称之为装箱，穗和合并。盒多面体最多有11个格点;特别是它们是多格点的，我们用计算机帮助完全枚举它们。穗多面体是无限多，但承认一个相当精确的描述（和枚举）。合并的多面体被计算为两个宽度大于1且晶格点数量严格小于1的多面体的并集（合并）。
Lattice polytopes with a given $h^*$-polynomial
设$Δ\subset \R^n$是$n$维格多面体.众所周知，$h_Δ^*(t) := (1-t)^{n+1} \sum_{k \geq 0} |kΔ\cap \Z^n| t^k $是具有非负整系数的$d \leq n$次多项式。设$AGL(n, \Z)$是自然作用于$\R^n$的可逆仿射积分变换群。对于给定的多项式$h^* \in \Z[t]$，我们用$C_{h^*}(n)$表示$n$维格多面体的个数$AGL(n, \Z)$ -等价类，使得$h^* = h_Δ^*(t)$ .本文证明了$\{C_{h^*}(n) \}_{n \geq 1}$是一个单调递增的序列，最终成为常数。这句话来自一个更一般的组合结果，其证明使用交换代数的方法。
Toric $g$-polynomials of hook shape lattice Path Matroid Polytopes and product of simplices
已知一个格路拟阵多面体可以与$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$上两条端点相同的不相交格路相关联。本文给出了当两条边界路围成钩形时格路拟阵多面体的$f$ -向量、复曲面$f$ -和$g$ -多项式的显式公式。
Order and Gorenstein properties for lattice path matroid polytopes
该文刻画了snakes这类格路拟阵，证明其是两个猜想的交集对象，还刻画了Gorenstein格路拟阵多面体，并指出格路拟阵是满足特定剖分条件的正拟阵。
On lattice path matroid polytopes: integer points and Ehrhart polynomial
本文研究了格路拟阵多胞形的伸缩中的整数点数。给出了格路拟阵图中多边形路点的一个刻划。此外，我们证明了格路拟阵多面体仿射等价于一族分配多面体。作为应用，我们得到了两个新的拟阵无限族，验证了De Loera等人的一个猜想。并给出了其中一个的Ehrhart多项式的显式公式。
Classification of lattice polytopes with small volumes
在分类的一般平方系统的多项式方程可解的自由基的框架内，Esterov和Gusev成功地分类所有生成格多面体的归一化体积最多$4$。在本文中，我们完成了分类所有格多面体的归一化体积至多为$4$的基础上，其$δ$ -多项式的已知分类。
Lattice 3-polytopes with few lattice points
我们将White的空四面体分类推广到格点$3$ -具有五个格点的多面体的完全分类，证明了除了无限多个宽度为1的多面体外，它们的宽度为2的等价类正好有九个，没有一个宽度更大的多面体.我们还证明了，对于每个$n\in \mathbb{N}$，只有有限个（类）格$3$ -多面体与$n$格点和宽度大于1。这意味着将目前的分类扩展到更大的尺寸是有意义的，这是我们后续论文的主题。
A very ample lattice polytope with a non-unimodal $h^*$-vector
本文构造了一个非单峰h*-向量的极丰格多面体，借助ChatGPT 5.6 Sol找到，其为Lasoń等构造的极丰格多面体的笛卡尔平方，回答了相关问题，IDP格多面体是否具单峰h*-向量仍未解决。
Lattice polytopes with distinct pair-sums
设P是R^n中的一个格多面体，且设P \cap Z^n = {v_1，.，v_N}。如果N + \binom N2指向2v_1，.，2v_N; v_1+v_2，. v_{N-1} +v_N是不同的，我们称P是“不同的对和”或“dps”多胞形。证明了若P是R^n中的dsp多面体，则N \le 2 ^n，并且对每一个n，我们构造了R^n中包含2 ^n个格点的dps多面体.讨论了dps多面体与实多项式平方和研究的关系。
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