Residues formulae for volumes and Ehrhart polynomials of convex polytopes
在这些注释中，我们解释了凸多胞体的体积的留数公式，以及基于全留数概念的Ehrahrt多项式。我们将此方法应用于计算Chan-Robbins多面体的体积。最后的计算是基于系统$A_n$的总留数公式，类似于Morris恒等式。对于流动多胞体，总剩余量中变量的变量变换公式导出了混合体积函数的Ehrhart多项式的“好公式”。我们将其应用于Pitman-Stanley多面体。
2001-03-15 math.CO
Flow polytopes with Catalan volumes
Chan-Robbins-Yuen多面体可以被认为是具有净流向量$(1, 0, \ldots, 0, -1)$的完全图的流多面体。Chan-Robbins-Yuen多面体的归一化体积等于连续Catalan数的乘积，但没有组合证明这一事实。我们考虑这个多面体的一个自然推广，即，流多面体的完全图的净流向量$(1,1, 0, \ldots, 0, -2)$。我们证明了这个多面体的体积是$2$的某个幂乘以连续Catalan数的乘积。我们的证明使用了常数项恒等式，并进一步加深了为什么这些数字出现的组合之谜。此外，我们引入了两个家庭的流动多面体的体积由产品公式。
2016-12-01 math.CO
A Product Formula for the Normalized Volume of Free Sums of Lattice Polytopes
自由和是凸多胞体之间的一种基本几何运算。本文重点讨论自由和的归一化体积与被加数的归一化体积之间的关系。特别是，我们证明了全维多面体的自由和的归一化体积正好是求和的归一化体积的乘积。
2019-03-13 math.CO
On Volumes of Permutation Polytopes
本文主要研究与循环群、二面体群、树图的自同构群和弗罗贝尼乌斯群有关的置换多面体的体积。我们这样做是通过使用三角剖分和Ehrhart多项式的计算。我们还提出了各种置换多面体的θ体层次结构的结果。
2011-02-28 math.CO
Classification of lattice polytopes with small volumes
在分类的一般平方系统的多项式方程可解的自由基的框架内，Esterov和Gusev成功地分类所有生成格多面体的归一化体积最多$4$。在本文中，我们完成了分类所有格多面体的归一化体积至多为$4$的基础上，其$δ$ -多项式的已知分类。
2019-05-16 math.CO
Volume, facets and dual polytopes of twinned chain polytopes
设$(P,\leq_P)$和$(Q,\leq_Q)$是具有$|P|=|Q|=d$的有限偏序集，$\mathcal{C}(P) \subset \mathbb{R}^d$和$\mathcal{C}(Q) \subset \mathbb{R}^d$是它们的链多面体. $P$和$Q$的孪生链多面体是格多面体$Γ(\mathcal{C}(P),\mathcal{C}(Q)) \subset \mathbb{R}^d$，它是$\mathcal{C}(P) \cup (-\mathcal{C}(Q))$的凸包。已知孪生链多面体是具有整数分解性质的Gorenstein Fano多面体。本文研究了孪生链多面体的组合性质。首先，我们将给出孪生链多面体的体积公式的基础偏序集。其次，我们将确定的方面，支撑超平面的孪生链多面体的基础偏序集。最后，我们将提供孪生链多面体的对偶多面体的顶点表示。
2018-02-05 math.CO
Maximum Inscribed and Minimum Enclosing Tropical Balls of Tropical Polytopes and Applications to Volume Estimation and Uniform Sampling
利用极大代数的热带度规，研究了热带射影环面上任意给定的热带多面体的最小封闭和最大内接热带球。我们表明，我们可以得到这样的热带球通过线性规划。然后，我们应用任何给定的热带多面体的最小封闭和最大内接热带球估计的体积和样本均匀的热带多面体。
2023-03-05 math.CO
On volume functions of special flow polytopes
本文考虑一类特殊的流多胞形的体积。我们证明了它的体积满足一定的微分方程系统，反之，该系统的解的微分方程是唯一的常数倍。此外，我们还给出了A型根系的体积与秩的关系式。
2019-04-10 math.CO
A combinatorial model for computing volumes of flow polytopes
我们引入新的家庭的组合对象的枚举计算流量多面体。这些对象提供了一个解释，基于停车功能，巴尔多尼和Vergne的概括的体积公式最初是由于Lidskii。我们恢复已知的流量多面体体积公式，并证明新的流量多面体的体积公式，似乎是不可接近的。我们的模型的一个亮点是一个优雅的公式流多面体的图，我们称之为卡拉科尔图。作为我们的工作的副产品，我们发现了一个新的三角形的数字之间的加泰罗尼亚数字和停车功能的数量插值，我们证明了这个三角形的行的对数，以及来自体积计算的其他序列，我们引入了一个新的Ehrhart-like多项式流多面体体积和猜想产品公式，我们考虑的多面体。
2019-04-02 math.CO
Proof of a conjecture of Meszaros and Morales on the volume of a flow polytope
证明了Meszaros和Morales关于流多面体体积的一个猜想。独立于我们的工作，蔡尔伯格勾勒出了他们猜想的证明。事实上，我们的证明与Zeilberger的证明是一样的。本文的目的是对这一猜想给出更详细的证明。
2014-07-13 math.CO
Volumes of generalized Chan-Robbins-Yuen polytopes
Chan-Robbins-Yuen多面体（$CRY_n$）的归一化体积是连续Catalan数的乘积。多面体$CRY_n$已经吸引了组合观众超过十年，因为它的体积公式没有组合证明。为了更好地理解$CRY_n$，第三作者和莫拉莱斯介绍了它的两个自然推广，并证明他们的体积是$2$的某些幂乘以连续加泰罗尼亚数的乘积。Zeilberger证明了其中一个假设。在本文中，我们提出的证明这两个命题。
2017-04-10 math.CO
Refinements and Symmetries of the Morris identity for volumes of flow polytopes
流多面体是组合数学中一类重要的多面体，它的格点和格体积具有有趣的性质和关系。Chan-Robbins-Yuen（CRY）多面体是一个流多面体，其归一化体积等于连续Catalan数的乘积。Zeilberger证明了这一点，通过评估莫里斯常数项身份，但没有组合证明是已知的。这个公式有一个改进，它将最大的加泰罗尼亚数分解为纳拉亚纳数，梅萨罗斯将其解释为流多面体集合的体积。我们引入了一个新的改进的莫里斯身份与组合的解释都在格点和流量多面体的体积。我们的结果推广了Mészáros的建设和最近的流多面体的解释的莫里斯恒等式Corteel-Kim-Mészáros。我们证明了我们的改进的产品公式的策略Baldoni-Vergne证明的莫里斯身份。最后，我们研究了对称的莫里斯身份双射使用Danilov-Karzanov-Koshevoy三角流多面体和双射Mészáros-Morales-Striker。
2022-05-10 math.CO
Volumes of flow polytopes related to caracol graphs
最近，Benedetti等人引入了一个与图相关的Ehrhart-like多项式。该多项式定义为与图相关的流多面体的体积，具有首项系数为具有净流向量$(1,1,\dots,1)$的原图的流多面体的体积的性质. Benedetti等人给出了一个他们称之为Caracol图的Ehrhart-like多项式的公式。本文利用常数项恒等式、标号Dyck路和一个循环引理证明了他们的猜想。
2019-11-25 math.CO
Higher integrality conditions, volumes and Ehrhart polynomials
如果一个多面体的所有顶点都是格点，那么这个多面体就是整数。已知整多胞形的Ehrhart多项式的常数项为1。在以前的工作中，我们表明，一个格面多面体的Ehrhart多项式的系数是体积的投影的多面体。通过引入$k$ -积分多面体的概念，推广了这两个结果，其中0-积分等价于积分.证明了$k$ -整多面体$P$的Ehrhart多项式具有如下性质：小于或等于$k$的次数系数由$P$的投影决定，较高次数系数由$P$的切片决定.证明的一个关键步骤是在一定的一般性条件下，一个多面体的体积等于该多面体的切片的体积之和。
2009-11-11 math.CO
Volumes and Ehrhart polynomials of flow polytopes
$A_n$型根系的Lidskii公式用Kostant分拆函数表示了具有非负整数网流的完全图的流多面体的体积和Ehrhart多项式。对于每一个整数多面体，体积是Ehrhart多项式的首项系数。Lidskii公式的美妙之处在于，它揭示了对于这些多面体，它的Ehrhart多项式函数可以从它的体积函数推导出来！Baldoni和Vergne推广了Lidskii关于任意图$G$和非负整数网流的流多面体的结果.虽然他们的公式是组合的性质，他们的证明是基于剩余计算。在本文中，我们构造规范的多面体细分的流多面体，我们用来证明Baldoni-Vergne-Lidskii公式。与这些公式的原始计算证明相比，我们的证明揭示了它们的几何和组合学。最后，我们展示枚举性质的Lidskii公式，通过我们的典型的多面体细分。
2018-04-20 math.CO
Unitary actions and equivariant volumes of symmetric edge polytopes
该研究刻画了对称边多面体的刚性对称性，证明其酉等价等价于对应图同构，建立了对称群作用下不动子集的体积与小图对称边多面体的关系，并给出完全图情形的特例结果。
2025-09-05 math.CO
A Generating Function for all Semi-Magic Squares and the Volume of the Birkhoff Polytope
本文给出了n × n非负整数矩阵的多元母函数，即所谓的半幻方，其行列和均为正整数t.由此得到了n × n双随机阵的多面体B_n（也称为Birkhoff多面体）的Ehrhart多项式的所有系数的公式。特别地，我们导出了B_n及其任意面的体积公式.
2008-10-09 math.CO
Algebraic Volume for Polytope Arise from Ehrhart Theory
本文基于 Ehrhart 理论将多胞体提升为锥，利用代数组合学技术提出一种仅需符号单纯锥分解的体积算法，并给出全新的原始-对偶方法，解决了现有方法对简单或单纯多胞体不切实际的问题。
2024-01-08 math.CO
The asymptotic volume of the Birkhoff polytope
设m，n为正整数。将T（m，n）定义为由m × n个非负实矩阵组成的运输多面体，这些矩阵的行和为1，列和为m/n。特殊情况B（n）=T（n，n）是双随机阵的Birkhoff-von Neumann多面体。使用最近的非负整数矩阵的渐近计数（Canfield and McKay，2007），我们确定了当n趋于无穷大时T（m，n）的渐近体积，其中m=m（n）使得m/n既不减小也不增加太快。特别地，我们给出了B（n）的体积的一个渐近公式.
2007-05-16 math.CO
The minimal volume of a lattice polytope
设$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$是维数为$d$的格多面体。令$b$表示属于$\mathcal{P}$的边界的格点的数目，$c$表示属于$\mathcal{P}$的内部的格点的数目。由Ehrhart多项式的一个下界定理得出，当$c > 0$时，$\mathcal{P}$的体积大于或等于$(dc + (d-1)b - d^2 + 2)/d!$ .本文利用三角剖分方法，给出了最小体积公式的一个简明而初等的证明。
2023-01-22 math.CO
The volume of the 10th Birkhoff polytope
第n个Birkhoff多面体$B_n$是所有双随机$n \times n$矩阵的集合，也就是说，那些具有非负实系数的矩阵，其中每一行和每一列和为1。一个长期存在的问题是确定$B_n$的相对体积。在[arXiv：math.CO/0202267]中，我们介绍了一种计算该体积的方法，并将其用于计算$\vol B_9$。这篇文章是对我们的进展的更新：用同样的程序（但计算时间长得多），我们现在已经推导出了$\vol B_{10}$。
2003-05-23 math.CO
Normalized Volumes of Type-PQ Adjacency Polytopes for Certain Classes of Graphs
本文推广了Type-PQ邻接多胞体正规化体积的三角递推方法，并给出了从完全图删除路径或环后的体积公式。
2022-02-20 math.CO
On the volume of the polytope of doubly stochastic matrices
研究了n个二重随机阵，即所有行列和均为1的实非负矩阵的集合，计算n的多面体B_n的体积.我们描述了两种方法。第一个是将多面体分解为单形。第二个涉及“幻方”的枚举，即，n乘n的非负整数矩阵，其行和列的总和都是同一个整数。我们已经使用第一种方法来确认先前已知的n=7的值。该方法也可用于计算B_n的面的体积。例如，我们观察到B_n的一个特定面的体积似乎是Catalan数的乘积。我们已经用第二种方法求出了n=8时的体积，我们相信这是以前所不知道的。
1998-06-13 math.CO
Counting integer points of flow polytopes
Baldoni-Vergne体积和Ehrhart多项式公式的流动多面体是显着的至少在两个方面。一方面，这些公式是根据Kostant分拆函数，将流多面体连接到表示论中基本的经典向量分拆函数。另一方面，Ehrhart多项式可以从流动多胞体的体积函数中读出。后者是值得注意的，因为整数多面体的Ehrhart多项式的首项是它的体积！Baldoni和Vergne通过留数证明了这些公式。为了揭示这些公式的几何性质，第二作者和Morales给出了体积公式的完全几何证明和Ehrhart多项式公式的部分母函数证明。本文的目的是对流多面体的Ehrhart多项式公式提供一个完全的几何证明。
2020-12-29 math.CO
Volume inequalities for flow polytopes of full directed acyclic graphs
本文研究固定度序列的有向无环图的流多胞体体积，证明存在与布尔代数同构的偏序，沿该偏序体积弱递减，并给出二分非交叉树的线性扩展解释。
2024-05-29 math.CO
The mixed degree of families of lattice polytopes
格多面体的度是埃赫哈特理论中的一个概念，在过去的几年里得到了相当深入的研究。众所周知，格多面体具有归一化体积1当且仅当它的度为零。最近，Esterov和Gusev给出了混合体积为1的$\mathbb{R}^n$中$n$格多面体族的完整分类结果.在这里，我们给他们的结果涉及一个新的概念的混合度，推广的程度类似的混合体积如何推广的体积重新制定。我们讨论和激励这个术语，并解释为什么它扩展了以前的定义Soprunov。我们还注意到如何最近的组合结果，由于比汉解决了相关的问题所提出的Soprunov。
2017-08-10 math.CO
The Ehrhart polynomial of the Birkhoff polytope
第n个Birkhoff多面体是所有双随机n × n矩阵的集合，也就是说，那些具有非负实系数的矩阵，其中每行和列之和为1。一个广泛的开放性问题涉及这些多面体的体积，这已被称为n至8。本文提出了一种新的复解析方法来计算Birkhoff多面体的Ehrhart多项式，即计算膨胀多面体中整数点的函数。对这个计数函数感兴趣的一个原因是，Ehrhart多项式的首项是--直到一个平凡的因子--多面体的体积。我们以计算机程序的形式实现了我们的方法，得到了第九Birkhoff多面体的Ehrhart多项式（以及体积）。
2005-01-02 math.CO
Lattice polytopes of degree 2
Scott的一个定理给出了格点恰为$i>0$内部格点的格多边形的归一化体积的一个上界。我们将证明，即使在更高的维度，同样的界限也适用于2次格多面体的归一化体积。特别地，只有有限个具有固定首项系数的二次多项式是格多面体的$h^*$ -多项式。
2009-01-13 math.CO
Enumeration of lattice polytopes by their volume
Lagarias和Ziegler的一个著名结果表明，对于固定的常数d和K，有200多个等价类的d维格多面体的体积至多为K。我们描述了一个算法的完全枚举这样的等价类为任意常数d和K。该算法，它给出了另一个证明的有限性结果，实现了小值K，高达6维。由此产生的数据库包含并扩展了几个现有的数据库，并已用于纠正其他分类中的错误。当专门用于三维光滑多面体时，它扩展了Bogart等人以前的分类，劳伦兹和伦德曼此外，我们给出了一个结构定理，光滑多面体与少数格点，证明他们有一个二次三角剖分，我们使用，与分类，描述光滑多面体具有小体积的任意维。在三维中，我们列举了所有的单形有多达11个内部格点，我们用它们来猜想一组尖锐的不等式的系数的Ehrharth *-多项式，统一现有的几个代数。最后，我们提取和讨论最小的有趣的例子，从分类，我们研究的频率的属性，如被跨越，非常充足，IDP，并有一个么模覆盖或三角。特别是，我们找到了最小的多面体，这是非常充足的，但不是IDP，并与一个幺模覆盖，但没有一个幺模三角剖分。
2018-11-08 math.CO
Maximum volume polytopes inscribed in the unit sphere
本文研究了在$d$维欧几里得空间中求内接于单位球面的具有给定顶点数的最大体积多面体的问题。我们解决了这个问题的多面体与$d+2$顶点在每一个层面上，和多面体与$d+3$顶点在奇数维。对于顶点为$d+3$的偶数维多面体，我们给出了一个部分解。
2014-07-10 math.CO math.MG
Machine Learning the Dimension of a Polytope
我们使用机器学习直接从其Ehrhart级数预测格多面体的维数。这是非常有效的，几乎达到100%的准确性。我们还使用机器学习从其Ehrhart系列中恢复晶格多面体的体积，并从其Ehrhart系列中恢复有理多面体的维数，体积和准周期。在每种情况下，我们都达到了非常高的精度，我们提出了数学解释为什么会这样。
2022-07-15 math.CO
On the volume of a certain polytope
设n >= 2为整数，考虑n × n置换矩阵pi的集合T_n，其中对于j>=i+2，pi_{ij} =0。本文研究T_n的凸包，记为P_n。P_n是维数为{n}{2}的多面体。我们的主要目的是为下面关于它的体积的猜想提供证据。设v_n表示顶点在T_n所生成的仿射格中的单形的最小体积。则P_n的体积为v_n乘以压裂{1}{i+1}井{2 i}{i}的i从0到n-2的乘积。即P_n是v_n与前n-1个Catalan数的乘积。本文还给出了P_n的Ehrhart多项式的一个相关结果。
1998-10-29 math.CO
Volume of convex polytopes equals mixed volume of simplices
本文给出了具有$m$顶点的凸多面体的归一化体积与$m$单形的混合体积相等的一个简单证明，从而表明单形的混合体积的计算这一看似限制性的问题至少与凸多胞体的体积的计算同样困难.
2021-08-29 math.AG math.CO math.MG
The asymptotic volume of diagonal subpolytopes of symmetric stochastic matrices
对称随机阵的多面体的渐近体积可以用渐近计数法确定，就像Birkhoff多面体的情形一样。这些方法可以推广到给定对角线的对称随机阵的多面体，只要该对角线变化不大。为此，确定了具有自然元素、零对角和可变行和的对称矩阵的渐近数，并研究了其三阶校正因子。
2017-06-16 math.CO
Generalized parking functions, descent numbers, and chain polytopes of ribbon posets
我们考虑反转枚举数I_n（q），它计数标记树或等价地计数停车函数。该多项式是广义停车函数的自然扩张。将q = -1代入这个广义多项式，产生具有特定下降集的排列数。在经典情形下，这个结果意味着公式I_n（-1）= E_n，交替排列的个数。我们根据对合原理给出了这些公式的一个组合证明。我们还给出了这些身份的带状偏序集的广义链多面体的体积的几何解释。这种多面体的体积由广义停车函数的和给出，这类似于Pitman和Stanley的停车函数多面体的体积的表达式。
2008-06-03 math.CO
Facets and volume of Gorenstein Fano polytopes
已知每个整凸多胞体都单模等价于某个Gorenstein Fano多胞体的一个面。因此，我们有理由问，是否每一个正规多面体都是单模等价于某个正规Gorenstein Fano多面体的一个面。本文通过给出一类新的正规GorensteinFano多面体，证明了$d$维的每个序多面体和每个链多面体与$d + 1$维的正规GorensteinFano多面体的一个刻面是幺模等价的.此外，还将研究这些新多面体的组合性质，特别是Ehrhart多项式和体积。最后，一些有趣的例子Gorenstein法诺多面体将被发现。
2017-02-13 math.AC math.CO
Computing Volumes of Adjacency Polytopes via Draconian Sequences
在研究复杂网络中的非线性涌现现象时，邻接多面体自然会出现。“PQ型”的邻接多面体，表示为$\nabla^{\mathrm{PQ}}_G$，这是这项工作的重点，编码丰富的组合信息的电力流解决方案在稀疏电力网络，在电气工程中的研究。特别重要的是归一化的体积这样的邻接多面体，它提供了一个上界上的不同的功率流解决方案的数量。在这篇文章中，我们表明，问题的计算规范化的体积$\nabla^{\mathrm{PQ}}_G$可以被改写为计数$D(G)$ -严厉的序列，其中$D(G)$是一个特定的二部图与网络。证明了连通度至多为$1$的网络的递归性，并在一定的限制条件下，对$2$ -连通图，给出了剖分边并取边与新顶点的连接的递归性.总之，这些递归意味着一个简单的，非递归公式的归一化体积的$\nabla^{\mathrm{PQ}}_G$时，$G$是一个大类的outerplanar图的一部分，我们猜想，该公式适用于所有outerplanar图。其他几个（非外平面）类的显式公式。此外，我们确定了几个重要的类图$G$这是平面的，但不是outerplanar的，值得进一步研究。
2022-03-11 math.CO
Dual Mixed Volume
本文提出多面体序列的对偶混合体积有理函数，揭示其与伴随多项式、典范形式、混合细分及 Cayley 多面体的关系，并在结合多面体中再现平面 $\phi^3$ 树级标量振幅。
2024-10-29 math.CO
Approximating the Volume of Tropical Polytopes is Difficult
我们调查的复杂性计数的整数点在热带多面体的数量，和计算它们的体积的复杂性。我们研究热带类似的外部平行体，并建立其体积的界限。本文证明了在$m$维空间中，对于由$n$顶点构成的热带多面体的体积，不存在因子$α=2^{\text{poly}(m,n)}$的近似算法，除非P $=$ NP.也没有这样一个近似算法来计算顶点描述的热带多面体中的整数点的数量。因此，近似热带多面体的这些值比经典多面体更困难。我们的证明使用减少从计算热带排名的问题。对于由不等式描述的热带多面体，我们证明了其整数点数的计算和体积的计算是$\#$ P-hard的.
2017-06-20 cs.CC math.CO
Sketch of a Proof of an Intriguing Conjecture of Karola Meszaros and Alejandro Morales Regarding the Volume of the $D_n$ Analog of the Chan-Robbins-Yuen Polytope (Or: The Morris-Selberg Constant Term Identity Strikes Again!)
利用莫里斯-塞尔伯格常数项恒等式，我对卡罗拉·梅萨罗斯和亚历杭德罗·莫拉莱斯最近提出的一个猜想给出了一个证明，我相信一个足够熟练、足够感兴趣的分析师可以很容易地使这个猜想变得完全严格。这个猜想类似于克拉拉·陈（Clara Chan）、已故的大卫·罗宾斯（David P. Robbins）和大卫·袁（David Yuen）在1998年提出的猜想的根系$D_n$，我随后也用莫里斯恒等式证明了这个猜想。
2014-07-10 math.CO
Polytope volume by descent in the face lattice and applications in social choice
我们描述了多面体体积下降的计算在面对格，其实施Normaliz，并连接到反向字典三角剖分。几个不同特征的高维多面体的实验结果表明了该算法的有效性。最后，我们提出了一个应用程序，投票理论的多面体卷出现的概率，某些悖论。
2020-11-05 math.AC math.CO math.MG
Triangulations of Cayley and Tutte polytopes
凯莱多面体最近被定义为凸包凯莱组成介绍了凯莱在1857年。本文解决了Braun猜想，该猜想用连通图的个数表示Cayley多面体的体积。我们将这一结果推广到Cayley多面体的两个单变量变形（我们称之为t-Cayley和t-Gayley多面体），以及最一般的双变量变形，我们称之为Tutte多面体。后者的体积是通过评估的Tutte多项式的完全图。我们的方法是基于一个明确的三角形的凯莱和Tutte多面体。我们证明了三角剖分中的单形对应于标号树。证明的核心是基于邻域优先搜索图遍历算法的直接双射。
2011-08-09 math.CO
Lattice polytopes with the minimal volume
本文研究格多胞形体积的下界，基于Ehrhart多项式下界定理，给出使体积达到最小（即等式成立）的若干类格多胞形，并提及Pick公式在二维情形保证等式成立。
2024-09-18 math.CO
gamma-vectors of edge subdivisions of the boundary of the cross polytope
对于任意的旗单纯复形$Θ$，我们定义了一个旗单纯复形$Γ(Θ)$（依赖于剖分的顺序），它的$f$ -向量是$Θ$的$γ$ -向量.这证明了任何这样的单纯复形的$γ$ -向量满足Frankl-Füredi-Kalai不等式，部分解决了Nevo和Petersen \cite{np}的猜想。我们表明，当$Θ$是一个nestohedron的对偶单纯复形，和细分的序列对应于一个标志的顺序定义在\cite{ai}，即$Γ(Θ)$等于标志单纯复形定义有。
2012-09-09 math.CO
Column convex matrices, $G$-cyclic orders, and flow polytopes
我们研究了由$\sum_{i\in I} z_{i}\leq 1$形式的不等式定义的多面体，其中的不等式可以被重排为一个包含列凸$\{0,1\}$ -矩阵的矩阵不等式，对于$I\subseteq [d]$和非负$z_i$.这些推广了斯坦利研究的多面体，以及Ayyer，Josuat-Vergès和Ramassamy的连续坐标多面体。我们证明了这些多面体和流多面体的有向无圈图$G$的哈密尔顿路径，我们称之为脊髓图之间的积分等价。我们表明，这些流多面体的体积是一组部分循环的顺序定义的图$G$的扩展的数量。作为一个特殊的情况下，我们恢复连续坐标多面体卷的结果。我们研究的组合学的$k$ -欧拉数，这是经典的欧拉数的推广，并出现作为一个特殊的家庭的脊椎图的流量多面体的体积。我们表明，他们的改进，Ramassamy的$k$ -Entringer数，可以实现为一个Kostant分拆函数的值，满足一个家庭的广义boustrophedon递归，并沿根方向的对数凹。最后，通过我们的主要积分等价和已知的连续坐标多面体的$h^*$ -多项式公式，我们给出了非嵌套脊图的流多面体的$h^*$ -多项式的一个组合公式.对于一般的脊椎图，我们提出了一个猜想的上，下界的$h^*$ -多项式。
2021-07-15 math.CO
Flow polytopes of signed graphs and the Kostant partition function
我们建立了与符号图相关的流多面体的体积与Kostant分拆函数之间的关系。这种关系的一个特殊情况，即当图是无符号的，已经详细研究了巴尔多尼和Vergne使用技术的残留物。与他们的方法相比，我们提供了完全组合的证据，灵感来自Postnikov和斯坦利的工作流多面体。作为一类特殊的流多面体，我们研究了Chan-Robbins-Yuen多面体。受$A_n$型的体积公式$\prod_{k=1}^{n-2} Cat(k)$的启发，其中$Cat(k)$是$k$第卡塔兰数，我们引入了$C_{n+1}$型和$D_{n+1}$ Chan-Robbins-Yuen多面体以及与它们的性质有关的有趣的图解。
2012-08-01 math.CO
The Volume of the Trace-Nonnegative Polytope via the Irwin-Hall Distribution
在这项工作中，我们找到了一个明确的表达的体积的跟踪非负多面体通过推广的欧文霍尔分布。该体积是所有投影的、归一化的可实现光谱的体积的上界。我们提供辅助结果可实现的零迹谱，并提出几个问题，适合进一步调查。
2016-03-22 math.CO math.MG math.PR
Matroid polytopes and their volumes
我们将拟阵$M$的拟阵多胞形$P_M$表示为单形的带符号Minkowski和，并得到了$P_M$的体积公式.这给出了格拉斯曼$Gr_{k,n}$中任意环面轨道闭合度的组合表达式。然后，我们推导出类似的结果为独立集多面体和相关的标志拟阵多面体的$M$。我们的证明是基于一个自然扩张Postnikov的广义置换面体理论。
2011-10-12 math.AG math.CO
Flow polytopes of partitions
流动多面体的最新进展表明，许多有趣的家庭与产品的体积公式。这些产品公式都证明了使用分析技术。我们的工作打破了这种模式。我们为每个分区形状$λ$和净流向量${\bf a}\in \mathbb{Z}^n_{> 0}$定义了一系列密切相关的流多面体$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$。在每一个这样的家庭，我们证明了有一个多面体（在某种意义上的限制），这是一个产品的缩放单纯形，解释他们的产品体积。我们还表明，在一个固定的家庭$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$的所有多面体的组合类型是相同的。当$λ$是阶梯形，${\bf a}$是全一向量时，后一结果是第一作者与Morales和Rhoades的一个定理的特例，它表明Tesler多胞形的组合型是单形的乘积.
2017-07-11 math.CO
A relation between number of integral points, volumes of faces and degree of the discriminant of smooth lattice polytopes
我们提出了一个公式的程度判别的一个光滑的射影复曲面簇与一个格多面体P，在内部的整数点的数量扩张的面的尺寸大于或等于$\lceil \frac {\dim P} 2 \rceil$。
2012-02-02 math.AG math.CO
Polyhedral volume ratios, Izmestiev's Colin de Verdiere matrices and Spectral Gaps
本文建立原多面体与极对偶多面体相关低维单纯形体积比关系，并将其应用于 Izmestiev 的 Colin de Verdiere 矩阵构造；同时通过随机游走矩阵研究顶点传递多面体变体的谱隙极值，证明最大谱隙对应等边多面体。
2024-10-03 math.CO
A note on lattice-face polytopes and their Ehrhart polynomials
本文去掉了“格面多面体的Ehrhart多项式”一文中的一个不必要的限制，给出了格面多面体的一个新的定义，并证明了在新的定义下，格面多面体的Ehrhart多项式仍具有每个系数是原多面体投影的归一化体积的性质.此外，我们表明，新的家庭的格面多面体包含所有可能的组合类型的合理多面体。
2008-10-26 math.CO
Volumes of convex lattice polytopes and a question of V. I. Arnold
我们表明，由一个直接的建设，至少有$\exp\{cV^{(d-1)/(d+1)}\}$凸晶格多面体在$\mathbb{R}^d$的体积$V$是不同的意义上，他们都不能进行到另一个由一个晶格保持仿射变换。这是通过考虑其体积在$0$和$r^d/d!$之间的凸晶格多面体的族$\mathcal{P}^d(r)$（将在文本中定义）来实现的。也就是说，我们证明了，对于$P \in \mathcal{P}^d(r)$，$d!\mathrm{vol\;} P$采取所有可能的整数值之间的$cr^{d-1}$和$r^d$，其中$c>0$是一个常数，只依赖于$d$。
2014-03-03 math.CO math.MG
On the maximum dual volume of a canonical Fano polytope
我们给出了一个多面体P* 的体积vol（P*）的一个上界，该多面体P* 是一个d维格多面体P的对偶，在每个维d上都有一个内部格点.这个界限，用西尔维斯特序列表示，是尖锐的，并且是通过一个特定的自反单形的对偶来实现的。我们的结果暗示了d维自反多面体体积的一个尖锐的上界。转化为复曲面几何，这给出了一个尖锐的上界的反正则度$(-K_X)^d$的d维复曲面范簇X在最坏的典型奇异。
2016-11-08 math.AG math.CO math.MG
