The Unimodality Conjecture for cubical polytopes
虽然单峰猜想对某些特定类别的立方多面体成立（例如立方体，capped cubical polytopes，neighborly cubical polytopes），但它对一般的立方多面体不成立。通过对相邻顶点数为2的131次方的三次多面体进行帽运算，构造了一个面向量为非单峰的12维三次多面体。对于立方多面体，证明了维数小于11的单峰猜想。三次多面体的面向量的前三分之一在任何维度上都是递增的，而后三分之一在任何维度上都是递减的。
2015-01-05 math.CO
Unimodality of f-vectors of cyclic polytopes
循环多胞形通常被认为是上界定理的一部分，但它们还有另一个不太为人所知的极值性质。也就是说，它们的f-向量的特殊形状使它们适用于某些构造，以表示非单峰的凸多胞体。然而，循环多面体的f-向量本身是单峰的。
2011-07-25 math.CO
Unimodality questions for integrally closed lattice polytopes
是否每个整闭自反多面体都有单峰Ehrhart δ-向量是一个著名的公开问题。我们将这个问题推广到任意的整闭格多面体，我们证明单峰的三角形向量的格平行六面体。这是第一个非平凡类的整闭多面体。此外，我们提出了一个新的方法来解决问题的自反多面体通过三角剖分。
2011-10-17 math.CO
Unimodality and convexity of f-vectors of polytopes
我们考虑单峰性和相关性质的f-向量的多面体在不同的维度。根据Kalai（1988）的一个结果，5-多面体的f-向量是单峰的。在更高的维度少得多可以说，我们给出了一个概述目前的结果，并提出了一个潜在的有趣的建设，以及由此产生的猜想。
2005-12-06 math.CO
Ehrhart series, unimodality, and integrally closed reflexive polytopes
Ehrhart理论中一个有趣的公开问题是对具有单峰$h^*$ -向量的格多面体进行分类。虽然已经找到了各种充分条件，但必要条件仍然是一个挑战。在本文中，我们考虑整闭自反单纯形和讨论的操作，保持自反性，整闭包，单峰的$h^*$ -向量，提供一个解释为什么单峰发生在这种情况下。我们还讨论了失败的证明单峰在这种情况下使用弱Lefschetz元素。
2014-08-27 math.CO
Unimodality on $δ$-vectors of lattice polytopes and two related properties
本文研究了格多面体的$δ$ -向量单峰性的两个性质：对数单调性和交替递增性。对于维数为$d$的格多面体$\mathcal{P}$，我们证明了当$n > \max\{s,d+1-s\}$，$s$是$\mathcal{P}$的$δ$ -多项式的次数时，扩张格多面体$n\mathcal{P}$具有严格对数凹和严格交替递增的$δ$ -向量.对$n$的约束$\max\{s,d+1-s\}$是合理的。我们还提供了几种单峰（或非单峰）$δ$ -向量。具体地，我们分别给出了$δ$ -向量非单峰、单峰但既不是对数凹也不是交替增加、交替增加但不是对数凹、对数凹但不是交替增加的格多面体的例子。
2015-04-16 math.CO
A very ample lattice polytope with a non-unimodal $h^*$-vector
University of Nottingham（诺丁汉大学）；Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）
本文构造了一个非单峰h*-向量的极丰格多面体，借助ChatGPT 5.6 Sol找到，其为Lasoń等构造的极丰格多面体的笛卡尔平方，回答了相关问题，IDP格多面体是否具单峰h*-向量仍未解决。
2026-08-25 math.CO
On the Relationship Between Ehrhart Unimodality and Ehrhart Positivity
对于一个给定的格多面体，Ehrhart理论领域中的两个基本问题是：（1）确定它的（Ehrhart）$h^\ast$ -多项式是否是单峰的;（2）确定它的Ehrhart多项式是否只有正系数。格多面体的前一个性质被称为Ehrhart单峰性，后一个性质被称为Ehrhart正性。这两个属性往往同时被证明是有趣的家庭格多面体，但他们通常是并行研究。为了回答在2017年MSRI几何和拓扑组合学学期介绍研讨会上提出的一个问题，本说明的目的是表明，在任何大于大于2的维度上，这两个属性之间没有一般意义。要做到这一点，我们调查这两个属性的家庭研究良好的晶格多面体，评估一个属性，以前只考虑其他。因此，每个现象的新的例子开发，其中一些提供了一个答案，在文献中的一个开放的问题。研究得很好的家庭格多面体考虑包括zonotopes，拟阵多面体，单纯的加权射影空间，空格单纯，光滑多面体，和$s$ -演讲厅单纯。
2018-04-23 math.CO
Unimodality Problems in Ehrhart Theory
Ehrhart理论是研究记录有理多面体的非负整数扩张中整数点的数量的序列。对于给定的格多面体，这个序列被编码在一个称为Ehrhart $h^*$ -向量的有限向量中。Ehrhart $h^*$ -向量与数学的许多领域都有联系，包括交换代数和枚举组合学。在这项调查中，我们讨论了什么是已知的单峰Ehrhart $h^*$ -向量和突出开放的问题和问题。
2017-11-29 math.CO
Bounds for smooth Fano polytopes
Óbuda University（奥比达大学）；John von Neumann Faculty of Informatics（约翰·冯·诺依曼信息学院）
研究光滑Fano多面体的delta向量和f向量特性，证明其delta向量单峰性并给出体积上下界。
2026-06-27 math.CO
Lattice polytopes from Schur and symmetric Grothendieck polynomials
给定一族格多面体，Ehrhart理论中的两个常见问题是确定多面体何时具有整数分解性质和确定多面体何时是自反的。虽然这些属性是独立的利益，这些属性的汇合是一个积极的调查，由于关于$h^\ast$ -多项式的单峰性的解释来源。本文研究了代数组合学中两类多项式：Schur多项式和膨胀对称Grothendieck多项式的Newton多面体。在这两种情况下，我们证明了这些多面体具有整数分解性质，利用这两个家庭的多项式有饱和牛顿多面体。此外，在这两种情况下，我们提供了一个完整的表征时，这些多面体是自反的。最后给出了Schur多项式情形下$h^\ast$ -向量的一些显式公式和单峰蕴涵。
2021-07-09 math.CO
Inequalities for $f^*$-vectors of Lattice Polytopes
本文研究了格多面体 $f^*$-向量的系数不等式，揭示了其与单纯多面体 $f$-向量不等式的相似性，并证明了特定多面体族的单峰性及 $h^*$-向量相同条件下的单峰 $f^*$-向量存在性。
2022-10-21 math.CO
Ehrhart Series of Polytopes Related to Symmetric Doubly-Stochastic Matrices
在Ehrhart理论中，有理多胞形的$h^*$ -向量经常提供对多胞形的性质的洞察，否则可能被掩盖。作为一个例子，Birkhoff多面体，也被称为实双随机阵的多面体，有一个单峰$h^*$ -向量，但即使是小的修改多面体，同样的性质可以是非常困难的证明.本文研究了一类含有实双随机对称矩阵的多面体的$h^*$ -向量。
2015-04-27 math.CO
Unimodality for IDP Lattice Simplices of Prime Normalized Volume
Center for Combinatorics, LPMC,Nankai University（南开大学组合数学中心）；School of Mathematics and Statistics,Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文证明了具有整数分解性质且正规体积为素数的格单纯形的$h^*$-多项式是单峰的，并给出了若干充分条件，回应了Ferroni的反例。研究问题源于Ehrhart理论中的猜想，核心方法是构造性证明与条件分析，主要贡献是解决了该猜想在素数体积情形下的成立性。
2026-10-19 math.CO
Ehrhart series of fractional stable set polytopes of finite graphs
具有$d$顶点的单图$G$的分数独立集稳定多面体${\rm FRAC}(G)$是有理多面体，它是对$G$的每条边$(i,j)$满足$x_i+x_j\le 1$的非负向量$(x_1,\ldots,x_d)$的集合。本文证明了：（i）格多面体$2 {\rm FRAC}(G)$的$δ$ -向量是交替递增的;（ii）${\rm FRAC}(G)$的Ehrhart环是Gorenstein的;（iii）${\rm FRAC}(G)$的Ehrhart级数的系数是对称的、单峰的，并且是由$2 {\rm FRAC}(G)$的$δ$ -向量计算的.
2016-11-29 math.CO
Ehrhart polynomials of cyclic polytopes as averages of zonotope Ehrhart polynomials
The University of Osaka（大阪大学）
本文证明循环多胞体的 Ehrhart 多项式可表示为格带形多胞体 Ehrhart 多项式的平均值，从而推出其魔幻正性、$h^\ast$-多项式实根性及 $h^\ast$-向量对数凹与单峰性。
2026-09-24 math.CO
Detecting the Integer Decomposition Property and Ehrhart Unimodality in Reflexive Simplices
组合数学中一个长期存在的公开猜想断言具有整数分解性质（IDP）的Gorenstein格多面体具有单峰（Ehrhart）$h^\ast$ -多项式。这个猜想可以被看作是加强了以前被否定的猜想，其中指出，任何Gorenstein格多面体有一个单峰$h^\ast$ -多项式。第一个关于Gorenstein格多面体单峰性的反例是Musta{n}{n}和Payne在大于5的偶数维中给出的，Payne将其推广到所有大于5的维。虽然有许多例子支持IDP自反是$h^\ast$ -单峰的猜想，但它的有效性尚未被认为是自反格单形的家族，这些家族紧密地概括了佩恩的反例。这项工作的主要目的是证明，前猜想确实举行了自然推广佩恩的例子。这项工作的第二个目的是将这项调查扩展到更广泛的一类格单纯形，我们提出了新的结果和开放的问题。
2018-06-01 math.AC math.CO math.NT
Examples of IDP lattice polytopes with non-log-concave $h^*$-vector
本文给出示例证明 IDP 格多胞形的 $h^*$-向量不必对数凹，从而回答了 Ferroni 和 Higashitani 的问题，属于进行中研究的初步报告。
2025-05-24 math.CO
Equivariant Hilbert and Ehrhart series under translative group actions
本文研究有限群在单纯复形和格多胞体上的表示，利用平移群作用与适当着色理论，证明等变 Hilbert 与 Ehrhart 级数的有理表达式，并应用于 alcoved 多胞体等实例。
2025-10-16 math.AC math.CO math.RT
Lattice polytopes of large width have real-rooted Ehrhart $h^*$-polynomials
Faculty of Mathematics, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学数学学院）
该研究证明固定维数下宽幅格多面体的Ehrhart h*-多项式为实根，还给出格单纯形局部h*-多项式的类似结论，解答了相关问题，证明借助ChatGPT 5.6 Sol完成。
2026-08-05 math.CO
Ehrhart Theory of Spanning Lattice Polytopes
如果一个格多面体的格点仿射跨越周围格，则该格多面体称为跨越。我们证明了格多面体的Ehrhart理论中的一个一般结果的一个推论，即格多面体的生成格多面体的$h^*$ -向量没有间隙，即。例如，$h^*_i =0$意味着$h^*_{i+1}=0$。这推广了Blekherman、Smith和Velasco最近的一个结果，并暗示了Eisenbud-Goto猜想的一个多面体推论。我们还讨论了这涉及到单峰问题的格多面体和以前取得的分解结果的格多面体给定的程度。
2017-12-04 math.AC math.CO
Angle sums of simplicial polytopes
多面体的内角向量（$\widehatα$ -向量）是$f$ -向量的度量类似物，其中面由它们的立体角加权。对于单纯多面体，$\widehatα$ -向量上的Dehn-Sommerville-型关系由Sommerville（1927）和Höhn（1953）引入。Camenga（2006）定义了$\widehatγ$ -向量，一个类似于$h$ -向量的线性变换，并证明它是非负的。使用几何和代数组合学的工具，我们证明了这个猜想，并表明，$\widehatγ$ -向量增加的前半部分，是完美无瑕的。与$h$ -向量不同，我们构造了一个具有非单峰$\widehatγ$ -向量的六维多面体。更一般地，当立体角被简单且非负的圆锥赋值替换时，所有结果仍然有效。
2020-07-14 math.CO math.MG
A genetic algorithm to search the space of Ehrhart $h^*$-vectors
本文提出一种遗传算法用于搜索满足给定性质的Ehrhart $h^*$-向量，并借此构造了一个52维反例，否定回答了Ferroni和Higashitani关于单峰性在笛卡尔积下是否保持的问题。
2024-10-23 math.AC math.CO math.OC
Lattice polytopes and semigroup algebras: Generic Lefschetz properties and Parseval-Rayleigh identities
本文研究与格多面体相关联的半群代数，通过推广Hochster的工作，利用Parseval-Rayleigh恒等式与微分方程描述其体积映射并建立强Lefschetz性质，进而解决了关于h*-多项式单峰性的若干猜想。
2025-09-17 math.AC math.AG math.CO
Beyond positivity in Ehrhart Theory
我们研究半群代数所产生的格多面体，计算其体积多项式（specializing工作的Hochster），并建立强Lefschetz性质（推广工作的前三个作者）。这解决了有关单峰性的$h^\ast$ -多项式的格多面体Ehrhart理论内产生的几个progratures。
2022-10-19 math.AC math.AG math.CO
h-vectors of Gorenstein polytopes
我们表明，Ehrharth-向量的整数Gorenstein多面体与正规幺模三角满足McMullen的g-定理，特别是，它是单峰的。这一结果推广了Athanasiadis（Stanley）最近关于压缩多面体的一个定理.它是从Gorenstein仿射法线幺半群M上的一个更一般的定理导出的：人们可以用一个“长”正则序列因子K[M]（K是一个域），使得其商仍然是正规仿射幺半群代数。这个技巧把关于P的Ehrhart h-向量的所有问题简化为一个Gorenstein多面体Q的Ehrhart h-向量，该多面体Q恰好有一个内部格点，只要在一个多重cP中的每个格点，在N中的c，可以写成P中n个格点的和。如果P有一个正则幺模三角剖分，则很容易得出P的Ehrhart h-向量与一个单纯多胞形的边界复形的组合h-向量重合，并且g-定理适用。
2006-03-02 math.AC math.CO
Ehrhart Properties under Operations on Lattice Polytopes
Nankai University（南开大学）；Center for Combinatorics, LPMC（组合数学中心，LPMC）
本文研究格多胞体上八种运算（如笛卡尔积、闵可夫斯基和等）对三类Ehrhart性质（系数正性、$h^*$-多项式系数性质、几何性质）的保持性，通过建立保持定理或构造反例，并探讨非保持情形下的充分或等价条件。
2026-10-19 math.CO math.HO
Reflexive polytopes arising from bipartite graphs with $γ$-positivity associated to interior polynomials
本文引入了由根系$B_n$和有限图$G$产生的多面体${\mathcal B}_G$，并研究了它们的组合性质和代数性质.特别地，证明了${\mathcal B}_G$是自反的当且仅当$G$是二分的.此外，在这种情况下，${\mathcal B}_G$具有正则幺模三角剖分。这意味着当$G$是二分的时，${\mathcal B}_G$的$h^*$ -多项式是回文的和单峰的。此外，我们还讨论了更强的性质，即$h^*$ -多项式的$γ$ -正性和实根性。事实上，如果$G$是二部的，则${\mathcal B}_G$的$h^*$ -多项式是$γ$ -正的，并且它的$γ$ -多项式由内部多项式给出（超图的Tutte多项式的一个版本）。$h^*$ -多项式是实根的当且仅当相应的内部多项式是实根的。从Neggers-Stanley猜想的反例出发，构造了一个二部图$G$，它的$h^*$ -多项式不是实根的，而是$γ$ -正的，并且与球面旗三角剖分的$h$ -多项式重合.
2020-05-14 math.AC math.CO
Local $h$-polynomials, invariants of subdivisions, and mixed Ehrhart theory
来自枚举组合学和Ehrhart理论的多面体和格多面体有自然的多项式不变量，分别称为$h$ -和$h^*$ -多项式。本文研究了它们对多面体的剖分和格剖分的推广。通过对混合Hodge理论中的结构进行抽象，我们引入了多元多项式，它们专门用于$h$ -，$h^*$ -多项式.这些多项式，混合$h$ -多项式和（精化）极限混合$h^*$ -多项式具有丰富的对称性、非负性和单峰性，它们既精化了经典多项式的已知性质，又揭示了新的结构.例如，我们证明了一个相关的不变量称为本地$h^*$ -多项式的下界定理。我们介绍了我们的多项式发展一个非常普遍的形式主义研究细分的欧拉偏序集，扩展工作的斯坦利，Brenti和Athanasiadis本地$h$ -向量。特别地，我们证明了Nill和Schepers的一个猜想，并回答了Athanasiadis的一个问题。
2014-11-28 math.AG math.CO
Boundary $h^\ast$-vectors and unimodular triangulations
Universität Osnabrück（奥斯纳布吕克大学）
本文通过正则单模三角剖分和 toric 理想的 Gröbner 衰减研究了格点多面体边界上的 $h^\ast$-多项式，推导了边界 $h^\ast$-多项式与正则单模三角剖分 $h$-多项式的关系，并建立了德恩-索默维尔型关系。
2026-04-27 math.AC math.CO
Sylvester simplices: Triangulations and Ehrhart-theoretic aspects
本文研究 Sylvester 单纯形的三角剖分与 Ehrhart 理论性质，证明其 h* 向量单峰，确定 f* 向量部分值，并验证其在低维的 Ehrhart 魔正性。
2026-09-22 math.CO
Positivity theorems for solid-angle polynomials
对于一个格多面体P，定义A_P（t）为扩张多面体tP中所有整数点的立体角之和。Ehrhart和Macdonald证明了A_P（t）是关于正整数变量t的多项式。研究了立体角级数sum_{t >= 0} A_P（t）z^t的分子多项式。特别地，我们研究了它的系数的非负性，单调性和单峰性问题，并研究了单形顶点处的立体角和的极值行为。我们的一些结果扩展到更一般的估值。
2015-06-26 math.CO math.MG
