离散量子相空间中的波包

Stark波包的复活结构

Revival Structure of Stark Wave Packets

研究了Stark波包的回复结构。这些波包的能量取决于两个量子数，其特征在于两套经典周期和复兴时间。附加的时间尺度导致了不同于自由Rydberg波包的回复结构。我们证明了Stark波包可以呈现分数回复。我们还表明，这些波包表现出独特的斯塔克效应的特殊功能。例如，波函数可以被分离成主量子数的偶数和奇数上的不同和。这些奇偶叠加以不同的方式干涉，这导致斯塔克波包的干涉图中出现意想不到的周期性。

波包隧道

Wave packet tunneling

通过数值求解一维薛定谔方程研究了高斯波包的隧穿。波包与方形障碍物相互作用的形状已被监测的各种值的障碍物的宽度，高度和初始宽度的波包。与自由传播的情况相比，隧穿波包的最大值出现了位移，这可以解释为隧穿过程中速度的增强。

一维广义势V（x，t）中的非扩展波包

Nonspreading wave packets in a general potential V(x,t) in one dimension

讨论了一维薛定谔方程中的非扩展波包。我们从一般势$\textmd{V}(x,t)$导出了构造非扩展波包的一般规则。导出了非扩展波包的基本成分，形状函数$f(x)$，运动$d(t)$，相位函数$ϕ(x,t)$。由于非扩展波包的形状不随时间变化，因此形状方程应该是与时间无关的。我们证明了形函数$f(x)$是具有有效势$V_{\textmd{eff}}$和能量$E_{\textmd{eff}}$的与时间无关的薛定谔方程的本征函数.我们推导出薛定谔、塞尼茨基、贝里和巴拉兹发现的非扩展波包作为例子。我们证明了大多数定常势只能支持定常非扩展波包。我们展示了如何从含时电位中构造运动的非扩展波包，它驱动非扩展波包进行任意运动。

一般非扩展波包的分析与构造

Analyzing and constructing general nonspreading wave packets

我们给出了构造非扩展波包的方法，其形状和运动可以是一般的。我们通过将哈密顿量分解为两部分来分析非扩展波包的时间演化。在这两者中，一个改变瞬时状态，另一个不改变。通过这种分解，时间演化算子被证明是有效的空间移位算子。这解释了为什么非扩展波包可以是非扩展的。我们证明了改变瞬时状态的那部分哈密顿量决定了非扩展波包的运动。

初始波包和长时间散射波包的各种幂律衰减

Initial wave packets and the various power-law decreases of scattered wave packets at long times

假设$ψ(x,t)$初始位于有限程势场之外，研究了从有限程势场散射的波包$ψ(x,t)$的长时间行为。然后，它表明，$ψ(x,t)$可以渐近减少在各种幂律在长时间内，根据其在小动量的初始特性。作为应用，我们考虑了方势垒系统，证明了$ψ(x,t)$具有$t^{-3/2}$的渐近行为，而另一个$ψ(x,t)$也可以具有类似$t^{-5/2}$的渐近行为.

拓扑不连通性引起的可能波包坍缩及实验建议

On the possible wave-packet collapse induced by topological disconnectivity and experimental suggestions

本文在讨论波粒对偶性的基础上，探讨了拓扑不连通性导致波包坍缩的可能性。提出了几种基于量子干涉的实验方案来验证这种波包坍缩。

超越偶极近似的Laser驱动粒子波包动力学的解析方法

Analytical Approach to Wave Packet Dynamics of Laser-Driven Particles beyond the Dipole Approximation

提出了一种研究激光驱动粒子的量子机械波包动力学的解析方法。本文求解了电子在任意形状的线偏振平面波中的含时薛定谔方程。该计算超越了偶极子近似，从而包括磁场效应，如波包剪切。建立了随时间变化的波包宽度及其方向的解析表达式。这些允许一个简单的理解的波包动力学。

不同刚度谐振子的波包

Wave packets of a harmonic oscillator with various degrees of rigidity

研究了谐振子势中波包的时间演化。对于最一般的情形，得到了一些新的结果.引入一个自然数，称为“刚性度”，定性地描述了波包的形状随时间变化的程度。本文提出了两类具有任意给定刚度的波包。

入射波包反射的时间？

Wath Time an Incident Wave Packet is Reflected?

利用$E < V_0$研究了一维含时势阶跃薛定谔方程。得到了波不是瞬时反射的，而是在一定的时间内波包穿透到经典不可达区域后反射的。因此，我们可以把反射波包和入射波包的叠加形式写成类似的波包。

非线性Gross-Pitaevskii方程的量子波包

The Quantum Wave Packet of the Non-Linear Gross-Pitaevskii Equation

本文研究非线性Gross-Pitaevskii方程的量子波包。

Rydberg波包的超回复

Superrevivals of Rydberg Wave Packets

在远大于回复时间$t_{\rm rev}$的时间尺度上研究了里德堡波包的回复结构和演化。我们发现了一个新的水平的复苏结构和周期运动不同于已知的分数复苏。新的复兴序列以波包的形成而达到高潮，该波包比在时间$t_{\rm rev}$的完全复兴更接近于初始包。我们把这样的复兴称为超级复兴。我们还表明，初始径向波包可以被描述为一种类型的压缩状态称为径向压缩状态。我们的结果不仅适用于类氢波包，而且也适用于碱金属原子中的波包。

连续量子测量中薛定谔方程的量子波包

The Quantum Wave Packet of the Schrodinger Equation for Continuous Quantum Measurements

本文研究连续量子测量中薛定谔方程的量子波包。

量子信息的原子波包基

Atomic wave packet basis for quantum information

我们提出了一种波包基，用于在单个多级原子中存储和处理多个量子比特的量子信息。利用里德伯原子中径向局域的波包态，通过量子傅里叶变换构造了一个与通常的能级基相关的正交基。与系统的经典开普勒周期相比较短的变换限制激光脉冲主要与位于原子核附近的波包状态相互作用，从而允许在此基础上进行选择性控制。我们认为，在这种制度下的波包控制是有用的多级量子信息处理。

原子波包自发发射的空间顺序开启

Spatially sequential turn-on of spontaneous emission from an atomic wave packet

我们讨论了一个简单的例子，证明了“时空叠加”原子质心波包的自发发射是非平凡的和时间相关的修改相对于标准的“空间叠加”波包偶极模式的典型。我们的方法提供了一个近似的描述电磁场与波包的不同部分的非同时相互作用。

物质波包串的传播、呼吸和跃迁

Propagation, breathing and transition of matter-wave packet trains

我们找到了一组新的量子谐振子的精确解，它描述了一些波包序列，其平均能量与谐振子的量子能级和经典能量都成正比。波包列的中心可以像频率为$ω$的经典谐振子一样振荡。列的宽度和宽度可以随着频率$2 ω$同时改变，作为呼吸器的阵列。在一定的微扰下，波包串可以在不同量子数的态之间跃迁。我们用解析和数值方法证明了波包序列可以严格地拟合Strecher等人在Nature 417，150（2002）中观测到的物质波孤子序列。当波包以更大的振幅呼吸时，它们表现出物质波的周期性崩溃和复苏。

含时谐振子的波包列

Wave-packet trains of a time-dependent harmonic oscillator

利用检验函数方法，构造了具有含时“弹性常数“的量子谐振子的$n$精确解。任何$n$解决方案描述了由$n+1$分组组成的波包训练。它的中心像经典的谐振子一样振荡，频率可变，每个包的宽度和振幅同时变化。当变形较小时，它表现为孤立子训练，而大变形则表现为波包训练的崩溃和恢复。

Charges carried by wave packets that are superimposed on plane waves

We consider the superposition of plane waves and localized wave packets. This kind of wave function can result from a local excitation of a particle described by a plane wave. For charged particles, the wave packet means a current, the time integral of which results in an extra charge, additionally to the one carried by the plane wave. When the duration of the wave packet is too short for its details to be resolved experimentally, it is the extra charge that can be determined and analyzed for information regarding the nature of the interaction that created the wave packet. Assuming that the wa…

使用量子超到达与波包通信

Communicating with a wave packet using quantum superarrival

对入射到瞬态势垒上的传播波包的分析处理揭示了一种违反直觉的量子力学效应，其中，对于特定的时间间隔，时变传输概率{ \it超过}（“超到达”）波包自由传播的时变传输概率。发现势垒扰动信息在波包中的传播速度可以超过波包的群速度。一个有趣的含义，这种效果的信息传递进行了分析，通过显示一对一的对应关系的强度的障碍和“superarrival”的大小。

Computer Model of the Two-Pinhole Interference Experiment Using Two-Dimensional Gaussian Wave-Packets

The two-slit interference experiment has been modelled a number of times using Gaussian wave-packets and the Bohm-de Broglie causal interpretation. Here we consider the experiment with pinholes instead of slits and model the experiment in terms of two-dimensional Gaussian wave-packets and the Bohm-de Broglie causal interpretation.

波包--一个普遍的量子对象

The wave packet - a universal quantum object

总结了波包在分子能级上的理论描述。我们回顾了可以研究的各种量子力学效应以及可以在该系统上验证的模型。这证明了我们的主张，即波包构成了一个普遍的量子对象。

单光子波包的量子隐形传态

Quantum teleportation of a single-photon wave packet

提出了一种基于EPR对纠缠态的量子隐形传态方案。研究了单光子波包多模态的隐形传态。

量子波包的复兴

Revivals of Quantum Wave Packets

我们提出了一个通用的治疗波包复苏的量子力学系统。这种治疗允许某些理想的复兴类型的分类。例如，一维盒子中粒子的波包显示出完美的复兴。我们还研究了能量依赖于两个量子数的量子系统的波包的复活结构。这些系统中的波包在初始运动中表现出量子拍频以及新型的长期复苏。作为一个例子，我们考虑一个粒子在一个二维盒子的复苏结构。

两个单光子波包共振四波混频的全量子解

Full quantum solutions to the resonant four-wave mixing of two single-photon wave packets

我们分析了两个同向传播的单光子波包的共振四波混频。我们提出了双光子波函数的解析表达式，并表明存在孤子型量子解决方案，显示保形振荡模式之间的激发交换。潜在的应用，包括量子信息处理进行了讨论。

如何在量子力学中建立非扩展波包

How to build a non-spreading wave packet in quantum mechanics

量子力学断言，波包必然会随着时间的推移而扩散，因为量子波的色散关系被假定为动量k的二次函数。然而，这种假设没有考虑伽利略相对论的标准频率多普勒频移公式。本文通过适当考虑实验室参考系与粒子静止惯性参考系之间的变换规律，构造了一个无色散的波包。

关于波包理论

On the Theory of Wave Packets

本文讨论了波包理论的某些方面。我们考虑一个流行的非协变高斯模型在各种应用中使用，并表明它预测相对论粒子的纵向色散速率太慢。我们通过考虑高斯波包的协变模型来修正这种方法，并通过检查任意形式的波包来检验我们的结果。给出了任意形式波包色散随时间变化的一般公式，最后对波函数随时间的消失给出了一个透明的解释。我们从简单的例子开始，进行推广，最后考虑连续性方程，发现在波包的静止标架中，通量密度和概率密度随时间的积分与因子1/L^2渐近成比例，就像经典粒子系综的情况一样。

相对论性波包运动学的可视化

Visualizing the kinematics of relativistic wave packets

本文研究了含时自由狄拉克方程的一些解。这些解决方案的可视化立即揭示了由正能量波和负能量波的干扰引起的奇怪现象。这里讨论的效应包括Zitterbewegung，负能量波包中动量和速度的相反方向，以及波包局部极大值的超光速传播。

低能波包散射引起的纯度损失

Loss of purity by wave packet scattering at low energies

研究了三维空间中两个高斯波包迎头碰撞产生的量子纠缠。通过推导由s波散射振幅修正的两粒子波函数，得到了单个粒子纯度的近似解析表达式。纯度的损失提供了缠结程度的指标。当波包在动量空间中很窄时，我们证明了纯度的损失仅由散射截面与波包横截面积之比控制。

量子相干性的破坏与波包动力学

Destruction of quantum coherence and wave packet dynamic

本文的主要目的是讨论控制物质波包的量子相干性破坏的特征物理现象。

能量非简并量子系统的波包恢复

Wave-Packet Revivals for Quantum Systems with Nondegenerate Energies

研究了能量依赖于两个非简并量子数的量子系统的波包复兴结构。对于这样的系统，波包的演化是由两个经典周期和三个复苏时间。这些波包在初始运动中表现出量子拍频以及新型的长期复兴。分数复兴是否可以形成的问题得到解决。我们提出了一个分析证明表明，在某些时候等于合理的分数的复苏时间的波包可以改革作为一个子波的总和，传统的和新类型的分数复苏可以发生。

波包与势垒的相互作用时间

Interaction time of a wave packet interact with a potential barrier

本文研究了波包撞击一维势垒的演化过程。在文献中讨论的稳态的传输和反射时间不对应于出现传输或反射数据包所需的时间。我们提出了新的定义的相互作用（停留）时间和传输和反射时间，这是适合于数据包，更好地适应实际的时间演化的数据包。

光子的自发发射：波包结构和原子-光子纠缠

Spontaneous emission of a photon: wave packet structures and atom-photon entanglement

本文在三维空间中对原子的光子自发发射进行了理论描述，初始波函数取有限大小的波包。反冲和波包扩展被考虑在内。总的原子-光子波函数被发现在动量和坐标表示作为初值问题的解决方案。结果表明，在这种过程中产生的原子-光子纠缠与原子和光子波包的结构密切相关，可以用符合和单粒子测量方案测量。两个预测的效果，在高纠缠的条件下，出现的符合波包的异常变窄，并在不同的条件下，单粒子波包的异常加宽。建立了光子和原子单粒子宽度与符合波包宽度之间的基本对称关系。讨论了它与著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（Einstein-Podolsky-Rosen）方案的关系。

波包在量子引力中的传播

Wave Packets Propagation in Quantum Gravity

通常量子力学中的波包展宽是波在其中传播的介质的色散行为的结果，本文在量子引力的广义不确定原理（GUP）框架下考虑波包展宽问题。在GUP的背景下导出了新的色散关系，并表明存在引力诱导色散，这导致波包的更宽。作为这些色散关系的结果，得到了一个广义Klein-Gordon方程，并给出了解释。

自由粒子波包的镜像法解

Image method solutions for free-particle wave packets

利用静电学和光学中常见的镜像方法的类似方法，我们给出了如何构造二维自由粒子薛定谔方程的封闭形式的波包解，该方程的几何条件是由两个以θ = π/N分开的无限壁障所限制.作为一个例子，我们评估的概率密度和期望值的零动量波包的解决方案最初定位在一个π/3 = 60度的楔形。我们在附录中回顾了放置在单个无限壁障附近的零动量波包的时间发展。

连续测量下的波包的玻姆力学

Wave Packet under Continuous Measurement via Bohmian Mechanics

利用玻姆力学，给出了连续测量下波包动力学的一种新的量子力学描述。该方程的解是通过波包方法找到的，该方法在经典变量与描述质心动力学的量子变量和波包宽度之间建立了直接相关性。本文所提出的方法给出了一个比较清晰的图片比方法使用限制路径积分和主方程的方法。这项工作显示了如何经典混沌的极不规则特征可以与原子尺度上现象的平滑和波动性质相协调。证明了连续量子测量下的波包同时具有混沌和非混沌的特征。计算了经典粒子和量子波包质心运动轨迹的李雅普诺夫特征指数，证明了它们的混沌性是相同的。尽管如此，波包的宽度表现出非混沌行为，并允许通过瞬态收缩态击败标准量子极限的可能性。

波包分数阶恢复的时频分析

A time frequency analysis of wave packet fractional revivals

我们表明，自相关函数的时频分析，在许多方面，一个更合适的工具来解决分数复苏的波包比通常的时域分析。当波包的相干结构是短暂的并且在其完全恢复之前衰减时，该优点在重建其初始状态中是至关重要的。我们的计算是基于模型的例子分数复苏的Rydberg波包的圆形状态。最后，我们提供了一个分析调查，完全同意我们的数值观测效用的时频分析研究的波包分数复苏。

关于波包的相干长度

On coherence lengths of wave packets

研究了用量子波函数描述的单粒子态的相干长度。我们表明，在各种情况下，一个粒子的状态不是简单的平面波，但所描述的波包是平面波的叠加。波包是自由哈密顿量的近似本征态，具有有限的空间尺寸，我们称之为相干长度。本文研究了坐标空间和动量空间中的相干长度。我们研究了形成波包的几种机制，波包的稳定性，以及波包的变换。

波包通过隧道势垒的传输时间

Transmission time of wave packets through tunneling barriers

用量子分子动力学方法详细研究了波包通过隧道势垒的传输。计算了隧穿包到达势垒前后的时间分布函数和动量分布函数。研究了包的平均坐标、平均动量及其方差的行为。结果表明，在高斯势垒下，部分数据包被反射，高斯势垒增加了传输数据包的平均动量及其在动量空间中的方差。

量子机械波包的传播是必然的吗？

Is the Spreading of Quantum Mechanical Wave Packets Indeed Inevitable?

它表明，-相反的共同信念-它是可能的，以构建解决方案的非相对论性薛定谔方程的自由粒子，不表现出色散。然而，似乎不能通过使用它们来建立可归一化的波包，因此波包的传播确实是不可避免的。

随机电场影响下的电子波包演化

Electron wave packet evolution under the influence of random electric field

本文研究了外加高斯白噪声的确定性电场中电子波包的演化。给出了高斯初始波函数下平均概率通量的显式表达式。我们发现，噪声的加入增加了波包的扩展率，这对通量的幅度有显着的影响，并可能发挥破坏性和建设性的作用。这取决于外部确定性场的形式和幅度。

波包动力学的哈密顿方法：超越高斯波函数

Hamiltonian approach for the wave packet dynamics: Beyond Gaussian wave functions

众所周知，高斯波包动力学可以用扩展相空间中的Hamilton方程来表示，扩展相空间是相应经典系统的两倍大。我们构建了几个概括这种方法，包括非高斯波包。这些推广导致相空间的进一步扩展，同时保持运动方程的Hamilton结构。我们比较高斯动力学与这些非高斯扩展的粒子与四次潜力。

波包的时间发展与时间延迟

Time development of a wave packet and the time delay

从含时薛定谔方程出发，解析求解了$δ$型势的一维散射问题，并导出了波包的时间发展。散射波包的精确和显式表达式为我们提供了关于渐近区域中由势散射引起的“时间延迟”的有趣信息。证明了自旋翻转势散射的波包与不考虑自旋自由度时的延迟时间有很大的不同。

线性化Kostin方程沿经典轨道的量子波包和Feynman de Broglie Bohm传播子

The quantum wave packet and the feynman de broglie bohm propagator of the linearized kostin equation along a classical trajetory

本文研究线性化Kostin方程沿经典轨道的量子波包和Feynman_de Broglie_Bohm传播子。

玻色-爱因斯坦凝聚体物质波场的波包动力学

Wave packet dynamics of the matter wave field of a Bose-Einstein condensate

我们表明，在一个易于处理的模型，复兴和分数复兴的波包提供明确的签名的程度偏离相干性和泊松统计的物质波场在玻色-爱因斯坦凝聚体，或适当选择的初始状态的辐射场在克尔介质中传播。

时变波包中势垒扰动引起的超至波和非定域性

Barrier Perturbation Induced Superarrivals and Nonlocality in a Time-Evolving Wave Packet

本文计算了高斯波包在矩形势垒上反射的时间演化概率。发现一个时间间隔，在此期间，这种反射的概率增强（superarrivals）相比，未受干扰的情况下。这种随时间演化的反射几率意味着扰动的影响在波包中的传播速度比它的群速度快--这是一种奇怪的非定域性形式。

新Rényi测不准关系在波包恢复中的应用

Application of new Rényi uncertainty relations to wave packet revivals

波包复苏和分数复苏的研究，通过新推导的不确定性关系，涉及雷尼熵和位置和动量色散。

类氢系统径向波包时间演化中的自旋轨道纠缠

Spin-orbit entanglement in time evolution of radial wave packets in hydrogenic systems

研究了类氢系统Dirac方程本征态径向波包随时间的演化。径向波包由不同$n$量子数和相同的最低角动量的态构成。一般来说，他们表现出一种呼吸运动与分散和（部分）复苏。计算表明，对于某些特殊的波包的准备，可以观察到有趣的自旋运动的影响，来自固有的纠缠的自旋和轨道的自由度。这些效应通过自旋算符平均值的某些振荡和波函数的上下分量所携带的空间概率密度的变化而显现出来。它还表明，预测效果的特征时间尺度（称为$T_{\mathrm{ls}}$）是径向波包比在其他情况下小得多，达到的值相当（甚至小于）的时间尺度的波包复兴。

Rydberg波包在回复时间之外的回复结构

The Revival Structure of Rydberg Wave Packets Beyond the Revival Time

在里德伯波包形成后，它在一个称为复兴时间$t_{\rm rev}$的时间段内经历了一系列的坍缩和复兴，在复兴时间结束时，它类似于它的原始形状。我们研究了里德堡波包在比$t_{\rm rev}$大得多的时间尺度上的行为。我们发现，经过几个复苏周期后，波包停止改革的复苏时间的倍数。相反，一系列新的崩溃和恢复开始，在时间段$t_{\rm sr} \gg t_{\rm rev}$之后以形成波包而达到高潮，该波包比在时间$t_{\rm rev}$的完全恢复更接近于初始包。此外，在时间是合理的分数$t_{\rm sr}$，我们表明，波包的运动是周期性的周期性，可以表示为分数的复苏时间$t_{\rm rev}$。这些周期性表明一种新类型的部分复苏，发生的时间远远大于$t_{\rm rev}$。我们还研究了量子缺陷和激光失谐对碱金属原子里德堡波包回复结构的影响。

扩展电子Schrodinger-Nassar方程的量子波包和Feynman-De Broglie-Bohm传播子

The Quantum Wave packet and the Feynman-De Broglie-Bohm propagator of the Schrodinger-Nassar equations for an equation for an extended electron

本文研究了扩展电子的Schrodinger-Nassar方程的量子波包和Feynman-de Broglie-Bohm算符。

囚禁原子运动中的波包回波

Wave Packet Echoes in the Motion of Trapped Atoms

我们从实验上证明并系统地研究了运动波包振荡的受激回复（回波）。为此，我们在一个光晶格中制备波包，通过非线性地移动电势，并在可变的时间延迟后通过第二次移动来刺激它们的再现。这种技术类似于自旋回波，即使在存在强退相的情况下也能够确定波包的相干时间。我们发现，对于强束缚原子，它是可比的冷却时间，远长于光子散射率的倒数。

Unusual broadening of wave packets on lattices

The broadening of one-dimensional Gaussian wave packets is presented in all textbooks on quantum mechanics. It is used to elucidate Heisenberg's uncertainty relation. The behaviour on a lattice is drastically different if the amplitude and/or phase of the wave packet varies on the scale of the lattice constant. Important examples are very narrow wave packets ot wave packets with an average velocity comparable to the maximum velocity on the lattice. Analytical and numerical results for the time dependence of wave packets on a one-dimensional lattice are presented.

经典轨道上线性化Schuch Chung Hartmann方程的量子波包和Feynman de Broglie Bohm算符

The Quantum Wave Packet and the Feynman de Broglie Bohm Propagator of the Linearized Schuch Chung Hartmann Equation along a Classical Trajetory

本文研究线性Schuch-Chung-Hartmann方程沿经典轨道的量子波包和Feynman-de Broglie-Bohm传播子。

自由波包的演化

The evolution of free wave packets

我们讨论了无力演化的四个一般特征：（1）任何包的空间扩展以一种非常简单的方式随时间变化。(2)在足够短的时间内（其持续时间与包的动量分布有关），概率分布会移动，但形状几乎没有变化。(3)经过足够长的时间（与初始空间扩展有关），数据包稳定为简单的形式，与数据包中的动量分布有关。在这种渐近状态下，概率分布的形状不再改变，除了它的尺度，它随时间线性增加。(4)有一组无限可数的简单波包（厄米-高斯包），它们在演化时不改变形状。

幂律量子波包的反常扩展

Anomalous Spreading of Power-Law Quantum Wave Packets

我们引入幂律尾量子波包。我们表明，它们可以被看作是本征函数的哈密顿与物理潜力。我们证明了这些包的自由演化提出了一个渐近衰减的最大值的波包，这是异常的间隔的特征幂律指数。我们还证明了在自由空间中波包的演化过程中，波包的有限矩数是一个守恒量。

如何以及为什么用波包而不是平面波来考虑散射

How and why to think about scattering in terms of wave packets instead of plane waves

我们用简单的一维例子讨论量子力学散射的“平面波近似”。该文件的中心点是，（a）平面波应被认为是无限宽的波包，和（b）的计算反射和透射概率$R$和$T$在标准的教科书介绍涉及的近似，这是几乎从来没有讨论过。我们认为，它应该被明确地讨论，这样做提供了一个简单的和直观地揭示替代方法来推导和理解某些公式。使用一个未被充分认识的波包散射概率的精确表达式，我们计算，对于两个标准的例子，表达式为$R$和$T$的入射高斯波包。将这些结果与使用平面波近似计算的相应结果进行比较有助于阐明该近似的适用范围。