On injectivity of quasiregular mappings
Tadeusz Iwaniec, Leonid V. Kovalev, Jani Onninen
利用微分矩阵的值域给出了平面拟正则映射是单射的充分条件。
We give sufficient conditions for a planar quasiregular mapping to be injective in terms of the range of the differential matrix.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mapping problems for quasiregular mappings
研究了单位球在某些特殊类拟正则映射下的象。对于同胚，即，这种类型的拟共形映射问题在文献中已经得到了广泛的研究。本文还考虑了非同胚拟正则映射。特别地，我们研究了（拓扑）闭拟正则映射，这些映射起源于J.Väisälä和M. 1970年代的Vuorinen这样的映射不需要是一对一的，但它们仍然具有拟共形映射的许多性质。闭拟正则映射的整体行为类似于限制在所谓正规域上的拟正则映射的局部行为。
On distortion of quasiregular mappings of the upper half plane
本文证明了上半平面K-拟正则映射下双曲型度量畸变的精确结果，证明结合了新型伯努利不等式与拟正则映射的施瓦茨引理。
On normal families of quasiregular mappings
讨论了${\mathbb R}^n$中具有给定行为的拟亚纯映射在本质奇点邻域内的值分布。
The theory of quasiregular mappings in metric spaces: progress and challenges
本文综述了度量空间中拟正则映射理论的最新发展。特别地，我们研究了一般度量测度空间中拟正则映射的分支集的几何空度，从而引入了一般度量测度空间中拟正则映射的各种自然定义，并给出了它们在数量上等价的条件。
On angular limits of quasiregular mappings
本文研究有界拟正则映射在欧几里得空间中的边界行为，给出了边界点处非切向极限存在的充分条件。
Landau-Bloch type theorem for elliptic and $K$-quasiregular harmonic mappings
本文改进了准正则和椭圆调和映射的系数界，并建立了平面中(K,K')-椭圆和K-准正则调和映射的Landau-Bloch型定理，还证明了单位盘上K-准共形自映射的系数估计。
Bounded Continuous weak quasiregular mappings that fail to be quasiregular
本文研究了n≥3维空间中连续有界映射是否恢复Iwaniec和Martin的Sobolev正则性猜想，构造了不满足准正条件的映射，并探讨了Hausdorff维数与Sobolev正则性的关系。
Growth type theorems of harmonic $(K,K_{0})$-quasiregular mappings
本文针对调和$(K,K')$-拟正则映射，建立精确径向增长与系数增长定理，并证实Das和Kaliraj关于单叶该类映射的猜想。
On the Lipschitz continuity of certain quasiregular mappings between smooth Jordan domains
本文首先研究了两个光滑边界Jordan域之间的$(K, K')$ -拟正则$C^2$映射的Lipschitz连续性，该映射满足某些关于Laplacian的偏微分不等式.然后给出了所得结果的两个应用：作为直接结果，我们得到了$ρ$ -调和$(K, K')$ -拟正则映射的Lipschitz连续性;作为另一个应用，我们研究了单位圆盘上的$(K,K')$ -拟共形自映射的Lipschitz连续性，它是泊松方程$Δw=g$的解.这些结果推广和发展了Kalaj，Mateljević和Pavlović最近得到的一些结果.
Conjugate type properties of harmonic $(K,K')$-quasiregular mappings
本文研究调和 $(K,K')$-拟正则映射的共轭型性质，建立了推广性的 Riesz 型共轭函数定理，并给出特定 $K$-拟正则映射的渐近精确常数及 Kolmogorov 型和 Zygmund 型定理。
Examples of Uniformly Quasiregular Mappings with Fatou Set Having Infinitely Many Components
构造了球面上Fatou集由无穷多分支组成的均匀拟正则映射，特别给出了多项式z→z²-1的高维类比。
The escaping set of a quasiregular mapping
证明了如果拟正则映射f的最大模增长足够快，则存在一个非空的逃逸集I（f），它由在迭代下前向轨道趋于无穷大的点组成.这个集合I（f）有一个无界分量，但与复平面上的整函数的情况相反，I（f）的闭包可能有一个有界分量。
Hilbert metric and Hölder continuity of quasiregular mappings
本文研究了单位圆盘到有界凸域的准共形映射的Hölder连续性，基于Hilbert度量，并提出了若干开放问题。
Norm estimates of the partial derivatives for harmonic mappings and harmonic quasiregular mappings
设$p\geq1$，$w=P[F]$是单位圆盘$\mathbb{D}$的调和映射，满足$F$绝对连续和$\dot{F}\in L^p(0, 2π)$，其中$\dot{F}(e^{it})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(e^{it})$ .本文得到了$w$的偏导数的Bergman模估计，即，$\|w_z\|_{L^p}$和$\|\overline{w_{\bar{z}}}\|_{L^p}$，其中$1\leq p<2$ .进一步，如果$w$是$\mathbb{D}$的调和拟正则映射，则证明了$w_z$和$\overline{w_{\bar{z}}}$在Hardy空间$H^p$中，其中$1\leq p\leq\infty$ .得到了相应的Hardy模估计$\|w_z\|_{p}$和$\|\overline{w_{\bar{z}}}\|_{p}$.
A Complete Realization of the orbits of generalized derivatives of Quasiregular Mappings
拟正则映射是几乎处处可微的映射，它类似于平面上的全纯映射。Gutlyanskii等人提出的无穷小空间是拟正则映射导数概念的推广。在无穷小空间中的所有元素在一个特定点上的求值称为轨道空间。我们证明了$\R^n\setminus\{0\}$的任何紧连通子集都可以实现为拟共形映射的轨道空间。为此，我们构建类似的对数螺旋映射和径向拉伸映射之间的插值在更高的维度。为了构造这样的映射，我们需要实现一种称为Zorich变换的新工具，它是对数变换的直接模拟。Zorich变换在拟正则动力学中有进一步的应用。
A Lewy theorem for harmonic quasiregular mappings in three-space
研究三维保向调和拟正则映射，用齐次爆破论证证明其分支集为空，给出Lewy定理的三维有界畸变形式，还证明相关拓扑障碍及仿射刘维尔定理，构造反例说明齐次障碍的严格性并对高维等变调和三次模型分类。
Riesz and Kolmogorov inequality for harmonic quasiregular mappings
本文研究了调和拟正则映射的Riesz不等式，在特定条件下得出了当$K\to 1$时的渐近精确常数，改进了Liu和Zhu的近期结果，并将该结论及Kolmogorov定理推广至高维球内和平面情形。
Rescaling principle for isolated essential singularities of quasiregular mappings
建立了拟正则映射孤立本质奇点的重标度定理。因此，我们证明了从原点具有本质奇点的穿孔单位球接收到拟正则映射的一类闭流形正是闭拟正则椭圆流形，即从欧几里得空间接收到非常数拟正则映射的闭流形.
Wiman and Arima theorems for quasiregular mappings
对空间拟正则映射证明了Wiman和Arima关于整函数的定理的推广。
Note on real and imaginary parts of harmonic quasiregular mappings
本文证明在单位圆盘上的K-拟正则调和映射的实部和虚部的积分均值具有相同的增长阶，并进一步表明它们在边界上具有相同的光滑度。
Characterizations of harmonic quasiregular mappings in function spaces
本文研究了调和拟正则映射在不同函数空间中的特征化问题，得出了关于调和映射在Q、F和M尺度中的成员资格标准及稳定性结果。
Bohr's phenomenon for the classes of Quasi-subordination and $K$-quasiregular harmonic mappings
本文研究了单位圆盘$\mathbb{D}$上的$K$ -拟正则保义和映射$f=h+\overline{g}$的Bohr半径，使得平移解析部分$h(z)-h(0)$拟从属于某个解析函数.本文的主要目的是推广和建立Liu和Ponnusamy \cite{LP2019}最近的四个定理的精确形式，特别是肯定地解决了他们提出的两个定理.此外，我们建立了两个改进的玻尔不等式，并确定了与拟从属相关的解析函数的导数的玻尔半径。
Normal families and quasiregular mappings
Beardon和Minda利用局部一致的利普希茨条件给出了全纯函数和亚纯函数的正规族的一个特征.在这里，我们将这种观点推广到家庭的映射在更高的维度是局部一致连续的一个给定的连续模。我们的主要应用是拟正则映射族通过局部一致赫尔德条件的正规性。这提供了一个统一的框架，考虑家庭的拟正则映射，既恢复已知的结果Miniowitz，Vuorinen和其他人，并产生新的结果。特别地，正规拟亚纯映射、Yosida拟正则映射和Bloch拟正则映射可以被视为一类拟正则映射，它们是通过考虑域和值域的各种度量空间而产生的。我们给出了这些类的几个特征，并得到了每个类的增长率的上界。
Quasiregular curves: Removability of singularities
本文证明了欧氏空间有界拟正则曲线的Painlevé定理，通过推广体积形式基本不等式至校准并证明Caccioppoli不等式，建立了定性锐利的奇点可去性结果，并将Bonk-Heinonen定理推广至该设定。
A Unified Approach to Quasiregular Linearization in the Plane
本文提出统一框架，将复动力学中的 König 与 Böttcher 定理推广到平面拟正则映射，借助对数变换处理局部单射与非单射情形，并以简单无穷小空间和 BIP 映射保证线性化候选存在。
The Julia set and the fast escaping set of a quasiregular mapping
证明了正低阶拟正则映射的朱利亚集与快速逃逸集的边界重合。
Landau-type theorems for $K$-quasiregular harmonic mappings
本文旨在为单位圆盘内的K-拟正则调和映射建立改进的Landau型定理，通过对解析部分的有界性假设得到单叶半径等，还在新假设下建立定理并举例说明，数值表展示结果有效性。
Quasiregular mappings between equiregular SubRiemannian manifolds
本文通过推广 Pansu 可微性理论并运用基于上梯度的 Sobolev 空间方法，证明齐次维数 Q≥2 的等正则次黎曼流形间度量拟正则映射的分支集可忽略。
Hardy spaces for quasiregular mappings and composition operators
我们定义了Hardy空间$\mathcal{H}^p$的拟正则映射在平面上，并表明，对于一个特定的类，这些映射的许多经典性质，在经典设置的解析映射仍然持有。当符号是拟共形的时，这类特殊的拟正则映射可以用复合算子来刻画。Carleson测度与Hardy空间之间的关系在讨论中起着重要的作用。该程序由Astala和Kobala于2011年在他们的论文$\mathcal{H}^p$ -theory for Quasiconformal Mappings中针对拟共形映射的Hardy空间发起和开发。
Zygmund theorem for harmonic quasiregular mappings
本文将 Zygmund 定理推广到单位圆盘内的 $K$-拟正则调和映射，并在高维单位球中建立了 $K\to1$ 时渐近精确的积分不等式。
Julia sets of uniformly quasiregular mappings are uniformly perfect
众所周知，有理映射的朱利亚集J（f）是一致完美的，即分离J（f）的每个环域都有有界模，且该界仅依赖于f。在这篇文章中，我们证明了一个类似的结果是正确的，在更高的维度，即，朱利亚集J（f）的一致拟正则映射f在R ^n是一致完美的。特别地，这意味着一致拟正则映射的Julia集具有正的豪斯多夫维数。
Superattracting fixed points of quasiregular mappings
研究了n维拟正则映射迭代在高局部指数不动点的吸引区域内的收敛速率.一个关键的工具是一个细化的结果，给出了一个小球壳的图像失真的界限。这个结果也适用于多项式型拟正则映射的增长率，以及这类映射的迭代能逃逸到无穷大的速率。
On reduced Beltrami equations and linear families of quasiregular mappings
本文研究了平面拟正则映射的线性类。对K的一个猜想给出了肯定的回答。Astala，T. Iwaniec和G. Martin（2009）关于简化的Beltrami方程。此外，我们还利用它证明了一般线性Beltrami系统的一个Wronsky型定理。这是证明线性拟正则族的相应Beltrami方程唯一性的关键。
Strongly automorphic mappings and Julia sets of uniformly quasiregular mappings
Ritt的一个定理指出，全纯函数在排斥不动点的线性化子是周期的，仅当全纯映射与$z$的幂、切比雪夫多项式或Lattès映射共轭。除个别例外，反之亦然。本文证明了在$\mathbb{R}^n$中强自守拟正则映射和一致拟正则映射的情形下的类似命题。一路上，我们的特点可能的自同构群，可以通过晶体orbifolds和使用的庞加莱猜测。当Julia集是拟球面、拟圆盘或$\mathbb{R}^n$的全体，且朱利亚集与锥点集重合时，我们进一步给出了一致拟正则映射在其Julia集上的行为的分类.最后，我们证明了一个类似的一致拟正则映射的Denjoy-Wolff定理在$\mathbb{B}^3$，第一个这样的推广的Denjoy-Wolff定理，其中没有关于度量的非扩张性的保证。
Quasiregular families bounded in $L^p$ and elliptic estimates
证明了区域$Ω$上的拟正则映射族如果对某些$p>0$在$L^p$中一致有界，则形成一个正规族.由此，我们展示了如何椭圆估计的功能差异意味着所有的方向导数，从而复梯度拟正则。因此，该函数比先验假设具有更高的规律性。
On Hilbert, Riemann, Neumann and Poincare problems for plane quasiregular mappings
回想一下，Beltrami方程的Hilbert（Riemann-Hilbert）边值问题最近在非切向极限和主渐近值的一般设置下得到了解决。在这里，它是开发一种新的方法，使可能获得新的结果切极限在多连通域。结果表明，所找到的解决方案的空间具有无穷维的规定家庭的约旦弧终止于几乎每一个边界点。本文还将Beltrami方程的结果应用于平面上A-调和函数的Dirichlet、Riemann、Neumann和Poincare的边值问题。
Zygmund's theorem for harmonic quasiregular mappings
本文证明 Zygmund 定理对单位圆盘中的调和 K-拟正则映射成立，推进了调和拟正则映射的 Riesz 型和 Kolmogorov 型定理，并通过部分逆命题说明增长条件最优，还建立了 Hardy-Littlewood 结果的调和版本。
Bubbling of quasiregular maps
在闭流形之间的拟正则映射的情形下，我们给出了拟全纯曲线的Gromov无边界定理的一个版本。更精确地说，我们证明了，给定$K\ge 1$和$D\ge 1$，任何序列$(f_n \colon M \to N)$的$K$ -拟正则映射度$D$之间的封闭的黎曼$d$ -流形有一个子序列，收敛到一个$K$ -拟正则映射$f\colon X\to N$度$D$的节$d$ -流形$X$。
Quasiregular mappings of polynomial type in R^2
复动力学研究的是全纯函数的迭代。众所周知，第一个被研究的给出非平凡动力学的函数是二次多项式，它产生了漂亮的计算机生成的朱利亚集和曼德尔布罗特集的图像。本着同样的精神，本文旨在研究最简单的非平凡拟正则映射的动力学。这些是R^2中的映射，它们是一个二次多项式和一个仿射拉伸的复合。
Interpolating quasiregular power mappings
本文通过在 R³ 圆环内对不同次数的幂映射进行新型拟正则插值，构造出具有游荡、有界中空 quasi-Fatou 分支及球形 Julia 集分支的拟正则映射，并可任意控制其增长快慢。
Constructing a quasiregular analogue of $z \exp(z)$ in dimension 3
我们构造了一个拟正则模拟的功能$z\exp(z)$在3维，这给出了第一个明确的例子，拟正则映射的超越型，正好有一个零。然后，我们修改的建设，创造一个家庭这样的拟正则映射和研究他们的动力学。由此，我们还构造了第一类在无穷远点具有本质奇点的拟亚纯映射，其中无穷远点的后向轨道是非空且有限的。
An egg-yolk principle and exponential integrability for quasiregular mappings
拟正则映射$f:Ω\subset\R^{n}\to \R^{n}$是复分析中的解析函数的自然推广，它提供了一个充满新现象的理论。本文推广了A.~ Chang和D.~ Marshall关于圆盘上解析函数的指数可积性，推广到$\R^n$的单位球上定义的拟正则映射的情形。为此，我们首先建立了一个“蛋黄”的原则，这样的地图，它扩展了第一作者最近的结果。我们的工作留下了一个关于$n$ -调和函数的有趣问题。
Accumulation of periodic points for local uniformly quasiregular mappings
我们考虑局部一致拟正则动力学中周期点的积累。给定闭黎曼流形上的局部一致拟正则映射$f$，它具有可数闭的孤立本质奇点闭集及其聚点，证明了朱利亚集的点是由周期点聚成的.此外，如果法图集是非空且连通的，则累加是通过朱利亚集本身中的周期点。我们还给出了排斥周期点稠密的充分条件。
Carathéodory boundary extensions for generalized quasiregular mappings
研究了具有有界和有限扭曲的映射的边界行为，证明了在特定条件下，这些映射具有连续边界扩展，且结果适用于具有适当模条件的-homeomorphism和开放离散闭映射。
Boundary limits for bounded quasiregular mappings
本文建立了加权Sobolev空间$W_w^{1,q}(\Bbb B^n)$中的加权$\Cal A$ -调和函数的非切极限的存在性结果，其中$\Bbb B^n$是$\Bbb R^n$中的单位球.这些结果推广了[KMV]第3节中的结果，其中权系数同等于1。加权$\Cal A$ -调和函数是偏微分方程$$\text{div}(\Cal A(x,\nabla u))=0,$$的弱解，其中$αw(x) |ξ|^{q} \le < \Cal A(x,ξ),ξ>\le βw(x) |ξ|^{q}$对于某个固定的$q\in (1,\infty)$，其中$0<α\leq β<\infty$，和$w(x)$是$q$ -容许权，如[HKM]第1章中所述.随后，我们应用这些结果改进了Kovina，Manfredi和Villamor [KMV]以及Martio和Srebro [MS]关于$\Bbb R^n$中单位球上有界拟正则映射的径向极限的存在性的结果.
Equivalence of quasiregular mappings on subRiemannian manifolds via the Popp extension
我们证明了齐次维数为$Q\geq 2$的两个等正则次黎曼流形之间的拟正则映射$f\colon M\to N$的所有一般定义都与拟正则常数的精确依赖性是定量等价的.作为直接结果，我们得到，如果$f$是$1$ -拟正则根据一个定义，那么它也是$1$ -拟正则根据任何其他定义。特别地，这恢复了Capogna等人关于$1$ -拟共形映射的等价性的最近定理。我们的主要结果肯定地回答了一些开放的问题，从最近的研究。在我们的证明中的主要新成分是特定的水平度量的局部扩展的失真估计。这些扩展被命名为“Popp扩展”，并基于这些扩展，我们引入了一个新的自然和不变的定义拟正则性的等正则sub-Riemann设置。对Popp扩展和隐含失真的分析也是独立的兴趣。
Normality Criteria for Quasimeromorphic Mappings: Avoidance and Sharing
本文研究准共形映射的正常性，基于Lappan的正常映射理论，推导出在欧几里得空间中准共形映射的正常家族准则。
Linear distortion and rescaling for quasiregular values
本文通过重标度方法建立拟正则值理论与经典拟正则映射理论的直接联系，证明具有拟正则值的映射可重标度为拟正则映射，并给出线性畸变界和小K定理的拟正则值版本。
Slow escaping points of quasiregular mappings
本文讨论了$\mathbb{R}^d$上拟正则映射的迭代和$\mathbb{C}$上整函数的迭代.证明了拟正则映射的迭代总是存在以一定速率趋于无穷大的点。此外，还证明了一个甚至对超越整函数也是新的渐近逃逸率结果。设$f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$是超越型拟正则的.使用新的方法的证明，我们概括的结果Rippon和Stallard在复杂的动力学表明，Julia集的$f$包含点的迭代$f^n$趋于无穷大任意缓慢。我们还证明了，对于任何大的$R$，有一个点$x$的模近似$R$，使增长的$|f^n(x)|$是渐近的迭代最大模$M^n(R,f)$。
Chaotic dynamics of a quasiregular sine mapping
本文研究拟正则映射S：\R^d \to \R^d的迭代行为，它是一个正弦函数的模拟.证明了S的周期点构成\R^d的稠密子集.我们还证明了这个映射的朱利亚集是\R^d，在这个意义下，任何非空开集在S下的前向轨道是整个空间\R^d . Bergweiler和Eremenko证明了逃逸集I（S）在\R^d中也是稠密的。
Distortion of Hausdorff measures and improved Painlevé removability for quasiregular mappings
经典的Painlevé定理告诉我们零长度的集合对于有界解析函数是可去的，而（某些）正长度的集合则不是。对于平面区域上的一般$K$ -拟正则映射，相应的临界维数是$\frac{2}{K+1}$ .我们表明，当$K>1$，出乎意料地提高了可去除性。更精确地说，我们证明了对于有界$K$ -拟正则映射，$σ$ -有限Hausdorff $\frac{2}{K+1}$ -测度的集合$E$是可去的.另一方面，$\dim(E) = \frac{2}{K+1}$不足以保证这种性能。我们还研究了在$K$ -拟共形映射下Hausdorff测度的拉回的绝对连续性，特别是在相关的维数1和$\frac{2}{K+1}$上.对于一般的Hausdorff测度${\cal H}^t$，$0 < t < 2$，我们将其绝对连续性归结为一个关于共形映射的公开问题.
Topological barriers for locally homeomorphic quasiregular mappings in 3-space
本文在三维球面上构造了一类新的局部同胚拟正则映射，并讨论了它们与M. A. Lavrentiev问题、在无穷远处具有本质奇点的Zorich映射、Fatou问题以及复分析中全纯域的拟正则类似问题的关系.这种映射的构造来自于我们构造的具有对称边界分量的非平凡紧四维配边系统$M$，其内部具有完备的四维实双曲结构.这种局部同胚拟正则映射在3-球面$S^3$中被定义为与单位3-球面上的一致双曲3-格的标准共形作用$Γ$及其补在$S^3$中的作用以及与其在$H^4 $的等距群中的离散表示$G=ρ(Γ)$等变的映射.这里$G$是我们的非平凡双曲4-协边$M=(H^4\cupΩ(G))/G$的基本群，同态$ρ\!:\! Γ\rightarrow G$的核是三个生成元上的自由群$F_3$。
Hardy spaces and quasiregular mappings
本文研究单位球上满足增长性与重数条件的拟正则映射的Hardy空间，利用非切向极限函数和极大函数给出刻画，并推广了拟共形映射的经典结果。
Hardy spaces and quasiregular mappings: averaged derivatives and the $\mathbb{BMO}$ case
研究拟正则映射在单位球上的Hardy空间$\mathcal{H}^p$，探讨平均导数及其Harnack估计，并在有限乘数情况下刻画$\mathcal{H}^p$，同时研究拟正则映射、平均导数、BMO空间与Carleson测度的关系。
Hyperbolic topology and bounded locally homeomorphic quasiregular mappings in 3-space
我们使用我们的新类型的有界局部同胚拟正则映射的单位3-球，以解决长期存在的问题，这样的映射。这种映射的构造来自于我们构造的具有对称边界分量的非平凡紧四维配边系统$M$，其内部具有完备的四维实双曲结构.这种有界局部同胚拟正则映射在单位3-球$B^3\subset \mathbb{R}^3$中定义为与单位3-球上的一致双曲格$Γ\subset \operatorname{Isom} H^3$的标准共形作用及其离散表示$G=ρ(Γ)\subset \operatorname{Isom} H^4 $等变的映射.这里$G$是我们的非平凡双曲4-协边$M=(H^4\cupΩ(G))/G$的基本群，同态$ρ\!:\! Γ\rightarrow G$的核是三个生成元上的自由群$F_3$。
Uniform cohomological expansion of uniformly quasiregular mappings
设$f\colon M \to M$是紧致连通定向黎曼流形$n$ -无边界流形$M$的一致拟正则自映射，$n\ge 2$ .我们证明了对于$k \in \{0,\ldots, n\}$，诱导同态$f^* \colon H^k(M;\mathbb{R}) \to H^k(M;\mathbb{R})$是复可对角化的，其中$H^k(M;\mathbb{R})$是$M$的$k$：th奇异上同调，并且$f^*$的特征值具有模$(\mathrm{deg}\ f)^{k/n}$ .作为应用，我们得到了闭流形上一致拟正则自映射的一个度限制。在主要定理的证明中，我们使用了基于共形不变微分形式的Sobolev-de Rham上同调和一个诱导的前推算子。
Sharp nonremovability examples for Hölder continuous quasiregular mappings in the plane
设$α\in(0,1)$、$K\geq 1$和$d=2\frac{1+αK}{1+K}$。给定一个紧集$E\subset\C$，对于平面上的$α$-Hölder连续$K$ -拟正则映射，如果$\H^d(E)=0$，则$E$是可去的.对于任何$t>d$，索引$d$的清晰度通过构造Hausdorff维数$\dim(E)=t$的集合$E$来示出，该维数是不可移除的。本文改进了这一结果，构造了紧不可去集$E$，使得$0<\H^d(E)<\infty$ .为了证明这一点，我们给出了一个精确的平面$K$ -拟共形映射，它的Hölder指数严格大于$\frac{1}{K}$，并且具有极值畸变性质.
Remarks on Martio's conjecture
引入了一个Jacobi行列式的倒数的可积性条件，该条件保证了具有小内膨胀的拟正则映射的局部同胚性。这个条件在平面情况下是尖锐的。我们还证明了具有小内膨胀的拟正则映射的每个分支点都是该映射的微分矩阵的Lebesgue点。
Gabriel-Type Estimates for Harmonic Quasiregular Mappings and Stoilow Classes
本文建立了调和K-拟正则映射的Gabriel不等式变体，常数从解析情形的2连续变化到调和情形的4，并推广到一般拟正则类和Stoilow分解。
Wandering domains in quasiregular dynamics
证明了平面上多项式型拟正则映射的法图集中可以存在游荡域。我们还给出了一个例子，拟正则映射的平面，在无穷远的本质奇点，其中有一个序列的游荡域包含在一个有界的一部分的平面。这与分析情况下，游荡域是不可能的多项式和超越整函数，游荡域的存在性在一个有界的一部分，该平面多年来一直是一个公开的问题。
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