Geometries enumeratives complexe, reelle et tropicale
本文介绍了代数枚举几何和应用热带几何经典几何，基于在X-UPS数学天，2008年5月14日和15日给出的课程。这篇文章的目的是要理解一年级的硕士生。
2019-06-21 math.AG math.CO
Floor diagrams and enumerative invariants of line bundles over an elliptic curve
我们使用热带几何的方法来计算绝对和相对Gromov-Witten不变量的复杂曲面，这是一个椭圆曲线上的$\CC P^1$ -丛。我们还表明，热带的多重性用于计数曲线可以细化的标准块Göttsche细化多重性，给热带细化不变量。然后，我们给出了一个具体的算法，使用地板图来计算这些不变量以及相关的解释作为运营商的一些福克空间。地板图算法允许一个证明的分段多项式的相对不变式，和准模块性的生成系列。
2022-12-13 math.AG
Real enumerative invariants relative to the anti-canonical divisor and their refinement
我们引入新的不变量的射影平面（和，更一般地说，某些复曲面）所产生的适当枚举真正的椭圆曲线。这些不变量允许一种改进（根据量子指数），类似于格里戈里·米哈尔金在理性情况下引入的改进。我们还构造热带同行的审议中的精制椭圆不变量，并建立一个热带算法，允许一个计算，{ \it通过}一个合适的版本的对应定理，上述不变量。
2023-03-10 math.AG
Complex and tropical counts via positive characteristic
我们调和了某些计数问题的复计数和热带计数之间的差异，使之归结为正特征。我们考虑的每一个问题都暗示着一个具有特殊行为的素数。模这个素数，解决方案合并在统一的集群：在这个特殊的素数，几何和热带行为匹配。作为例子，我们集中在平面曲线的拐点和标准曲线的θ-超平面。
2020-04-02 math.AG
Tropical and algebraic curves with multiple points
拼接定理是热带曲线与代数曲线对应的基本要素，是热带计数几何的核心。我们提出了一个新版本的拼接定理，涉及平面热带曲线与复杂的和真正的代数曲线具有规定的重点。它可以用来计算非复曲面Del Pezzo曲面的Welschinger不变量。
2009-11-01 math.AG
Enumerative tropical algebraic geometry in R2
本文建立了复曲面中任意亏格曲线的计数公式。事实证明，这些曲线可以通过牛顿多边形中的某些格路径来计数。该公式早些时候在http://arxiv.org/abs/math.AG/0209253上公布。结果是建立在所谓的热带代数几何的帮助下。这种几何学允许人们用欧几里得n-空间和全纯曲线代替复环面的变种，用某些分段线性图代替。
2004-12-05 math-ph math.AG math.CO
Refined count for rational tropical curves in arbitrary dimension
本文对任意维有理热带曲线引入了一个加细重数，它推广了F. Block和L. Göttsche in arXiv：1407.2901 .然后，我们证明了一个不变性声明的理性热带曲线的计数在几个枚举的问题，使用这个新的精炼多重。这导致了在任何维度上的布洛克-戈特舍多项式的定义。
2021-03-23 math.AG
On Block-Goettsche multiplicities for planar tropical curves
我们证明了不变性的平面热带曲线的多项式的多重性最近提出的弗洛里安块和Lothar Goettsche增强的数量。这种不变性在热带枚举几何中有许多含义。
2012-01-02 math.AG math.CO
Genus one correspondence between tropical and algebraic curves
研究热带曲线与代数曲线的亏格一对应，通过对数形变理论及固定热带化的对数映射枚举，证明代数椭圆曲线计数与热带曲线计数一致，推广了亏格0的对应定理。
2026-07-22 math.AG
Counting Algebraic Curves with Tropical Geometry
热带几何是代数几何的分段线性“影子”。它允许计算代数簇的几个上同调不变量。特别是，它的应用枚举代数几何导致重大进展。在这篇综述中，我们介绍了代数曲线计数问题的热带几何技术。我们还调查了一些最近的事态发展，特别强调的程度计算的塞维品种的复杂的射影平面和其他复曲面以及Hurwitz数和应用程序，真正的枚举几何。本文基于作者在2011年7月格拉斯哥热带几何和可积系统研讨会上的演讲。
2012-06-09 math.AG math.CO
On refined count of rational tropical curves
我们解决了存在精炼的问题（即，依赖于一个正式的参数）热带枚举不变量，我们提出了两个新的例子，一个合理的标记热带曲线的精细计数。一个新的不变量计数平面有理热带曲线与任意价的一个未标记的顶点。它是由Y. Ganor和作者，这自然导致考虑平面热带曲线与一个未标记的四价顶点。另一种精化不变量是在任意维数的欧几里得空间中对给定次数的有理热带曲线进行计数，从而使空间精化不变量与已知的平面不变量类似。
2019-09-16 math.AG
Refined enumerative invariants and mixed Welschinger invariants
School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学数学科学学院）
本文提出了一种新的相对精细热带不变量，用于研究实曲线计数的不变性，并探讨了混合Welschinger不变量在不同极限情况下的表现。
2026-03-11 math.AG
Tropical curves in abelian surfaces I: enumeration of curves passing through points
本文作为系列首篇，通过热带方法研究阿贝尔曲面计数不变量，计算西嶋哲对应定理给出的重数并按Block-Göttsche风格细化得到热带细化不变量，解决固定次数g类曲线过g点的计数问题。
2022-02-20 math.AG
Refined broccoli invariants
我们引入了一个热带枚举不变量依赖于一个变量y，推广了热带精炼塞维里度。我们表明，这种精致的西兰花不变量确实是独立的点配置，它专门为热带后裔Gromov-Witten不变量y=1和相应的西兰花不变量y=-1。此外，我们定义了热带精炼后裔Gromov-Witten不变量，它等于相应的精炼西兰花不变量，从而对西兰花不变量的性质有了新的认识。我们讨论了各种可能的推广，例如桥曲线和Welschinger曲线的细化。
2016-06-30 math.AG
Two lectures on the enumeration of curves by means of floor diagrams
通过地板图方法计数平面曲线，结合代数几何与热力学几何，探讨曲线计数定理及与K3表面的联系。
2025-11-26 math.AG
Tropical Methods for Counting Plane Curves -- Complex, Real and Quadratically Enriched
Università di Catania（卡塔尼亚大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）；TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文综述了利用热带方法在实数和复数域上计数平面曲线，并介绍二次丰富计数的新发展。
2026-01-20 math.AG math.CO
A Wall Crossing Formula for Motivic Enumerative Invariants
本文将Welschinger不变量的穿墙公式推广到动机计数情形，建立实曲线计数差与爆破对应不变量之间的关系，并用于计算射影平面4次动机枚举不变量。
2025-02-04 math.AG
Enumerating Cuspidal Curves on Toric Surfaces
枚举代数几何处理的问题计数几何对象定义代数，一类重要的枚举问题是计数曲线：给定一类由固定一些代数或几何不变量定义的射影簇中的曲线（例如奇点的度、亏格和类型），该问题通常采取“在一般位置上有多少该类别的曲线通过n个点的配置”的形式。热带几何处理某些分段线性复形，这些复形是由复代数簇族的退化而产生的，也可以用“最大加”代数（热带半域）来描述。本文所解决的问题是复曲面上具有一个尖点和一定节点数的有理曲线的计数问题，这些曲线在一般位置上通过一个充分点的构形。我们表明，这个数字等于某些热带曲线计数的多重性，我们描述这些曲线和他们的多重性。主要的工具是热带化和拼凑。在热带化中，我们从一个等奇异曲线族过渡到一个特殊的极限纤维，它可以用热带数据和分析数据来描述。然后，我们对这些可能的极限进行分类，并使用拼接定理来重建与之对应的族。
2019-03-04 math.AG
Enumeration of plane unicuspidal curves of any genus via tropical geometry
School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学数学科学学院）
该研究利用热带枚举几何，枚举了环面上满足多点约束的特定复曲线，并将该技术推广，证明了实平面$r$尖点曲线数量与对应复曲线总数的渐近可比关系。
2026-10-30 math.AG
Refined descendant invariants of toric surfaces
当量子参数趋于$1$时，我们构造了复曲面的精细热带枚举亏格零不变量，该不变量专门针对Markwig和Rau引入的热带后裔亏格零不变量.在三价热带曲线的情况下，我们的不变量变成了Goettsche-Schroeter精炼的花椰菜不变量。我们表明，这是唯一可能的细化Markwig-Rau后裔不变量，概括了Goettsche-Schroeter细化西兰花不变量。我们还讨论了计算方面（格路径算法），并展示了一些例子。
2019-05-08 math.AG
Genus 0 characteristic numbers of the tropical projective plane
求复射影平面${\mathbb C}P^2$的示性数是Zeuthen在一个多世纪前提出的计数几何的经典问题。对于一个给定的$d$和$g$，人们必须找到次数的$d$属$g$曲线，通过一定的通用配置的点，并在同一时间相切于一定的通用配置的线。这两种配置中的点和线的总数是$3d-1+g$，因此答案是一个有限整数。本文将这一经典问题转化为相应的热带几何计数问题，当$g=0$。也就是说，我们证明了热带问题是适定的，并建立了一个特殊情况下的对应定理，确保相应的热带和经典号码相吻合。然后，我们使用地板图演算，以减少问题的纯组合。因此，我们用开Hurwitz数来表示$\CC P^2$的亏格0示性数.
2013-03-12 math.AG math.CO
Bulk-deformed enumerative mirror symmetry for toric Fano surfaces
本文证明环面Fano曲面在大量子上同调层面的亏格0镜像对称，通过热带方法建立Jacobian环与大量子上同调的同构，给出配边论证的纯代数类比。
2026-09-25 math.AG math.SG
Enumerative invariants in self-dual categories. I. Motivic invariants
本文提出自对偶范畴中计数自对偶对象的枚举不变量理论，推广普通阿贝尔范畴不变量至正交与辛结构群，采用动机方法定义不变量，证明墙交叉公式并给出箭图表示的计算算法。
2025-03-28 math.AG
Enumerative Geometry of Del Pezzo Surfaces
本文证明了 del Pezzo 曲面中特殊 Lagrangian 环面纤维上热带几何超势与 Lagrangian Floer 理论的等价性，并通过对射影平面的显式计算验证了相关民间猜想。
2024-04-02 math.AG math.SG
Enumerative geometry of elliptic curves on toric surfaces
本文建立了复曲面上的椭圆曲线的经典曲线数和热带曲线数相等的条件，其中复曲面具有固定的$j$ -不变量，改进了Mikhalkin和Nishinou-Siebert的结果.作为应用，我们确定了一个公式，这样的计数$\mathbb P^2$和所有Hirzebruch表面。该公式将椭圆曲线的计数与曲面上满足与复曲面边界的少量相切条件的有理曲线的数目联系起来。此外，Kerber和Markwig计数$\mathbb P^2$的组合热带多重性推导和代数几何解释，使用Berkovich几何和对数Gromov-Witten理论。从而得到了Pandharipande关于$j$ -不变量为固定的$\mathbb P^2$中椭圆曲线计数公式的一个新的证明.
2017-06-26 math.AG math.CO
Quantum indices and refined enumeration of real plane curves
我们将一个半整数，称为{ \em量子指数}，与满足一定条件的实平面上的代数曲线相关联。由这种曲线的对数图像包围的面积等于$π^2$乘以曲线的量子指数，因此具有值的离散谱。我们使用量子指数来完善真正的枚举几何的方式一致的块Göttsche不变量从热带枚举几何。
2017-10-04 math.AG
Enumerative invariants in self-dual categories. II. Homological invariants
本文扩展了阿贝尔范畴的枚举不变量理论，提出了自对偶范畴中同调枚举不变量的猜想图景，研究了模栈同调的代数结构并制定穿墙公式，部分证明了自对偶箭图表示情形。
2023-09-11 math.AG
Refined count of real oriented rational curves
我们介绍了一个\textit{quantum index}的有向实曲线内复曲面品种。这个量子指数与某些选定的2-形式的曲线的变形虫面积的计算有关。然后对某些计数问题给出了有向实有理曲线符号计数的精化方法。这推广了G. Mikhalkin arXiv：1505.04338到更高维度。最后，我们使用的热带方法，这些新的精炼不变量，以前已知的热带精炼不变量。
2021-07-15 math.AG
Real enumerative invariants relative to the toric boundary and their refinement
该研究针对包括射影平面在内的一类环面曲面，通过对亏格1和2的实曲线进行适当计数引入新不变量，并实现了类似Grigory Mikhalkin有理情形的细化，为环面曲面实计数领域提供新工具。
2025-04-19 math.AG
Enumerative geometry of hyperelliptic plane curves
我们递归计算的Gromov-Witten不变量的希尔伯特计划的两个点在平面上。通过对稳定映射空间的研究和虚贡献的计算，我们利用这些不变量来枚举通过3d+1个一般点的亏格为g的d次超椭圆平面曲线.
1998-08-18 math.AG
Counting tropical rational curves with cross-ratio constraints
我们使用热带和组合的方法来枚举复曲面中通过点并满足交比约束的有理曲线。我们的起点是arXiv：1509.07453，其中证明了一个热带代数对应定理，该定理将满足点条件和交比约束的复曲面簇中的有理曲线的计数与类似的热带计数相关联。我们分两步进行：基于热带相交理论，我们首先研究热带交比，并引入退化交比。其次，我们提供了一个格路径算法，产生所有热带曲线满足这种退化条件明确。在一个特殊的情况下，简单的组合对象，所谓的交比地板图，介绍了可以用来确定这些枚举数以及。
2018-04-30 math.AG math.CO
Generators of invariant linear system on tropical curves for finite isometry group
对于热带曲线及其等距群的有限子群，推广Haase，Musiker和Yu的工作，证明了与热带曲线上的不变有效因子相关联的完全线性系的不变部分是可生成的.
2018-05-22 math.AG
Refined elliptic tropical invariants of toric surfaces
F. Block和L. Göttsche引入了复曲面的精炼热带不变量，这些不变量与复曲面的Gromov-Witten和Welschinger不变量相互补充。L. Göttsche和第一作者介绍了精炼的花椰菜不变量，这些不变量与某些亏格零后代热带不变量和复曲面的花椰菜不变量相互交叉。在本文中，我们将改进的花椰菜不变量推广到亏格一的情形。
2016-12-31 math.AG
A blowup formula for virtual enumerative invariants on projective surfaces
我们将虚拟定位应用于寻找光滑投影曲面上虚拟层理论不变量的爆破公式的问题。这导致了一个通用的程序，可以用来表示虚拟枚举不变量的爆破在那些在原来的表面。我们使用一个增强的主空间建设的$m$ -稳定层的模空间介绍Nakajima和Yoshioka。我们的工作推广了$\mathbb{P}^2$上框架层的等变模空间的类似结果。与他们的工作相反，我们不使用GIT方法，只假设没有严格半稳定层，使用任意光滑的复射影曲面。要记住的主要例子是Mochizuki的唐纳森不变量的虚拟模拟和表面上Gieseker半稳定层的模空间的虚拟$χ_y$ -亏格。
2021-07-17 math.AG
Scrollar Invariants of Tropical Curves
本文定义了带固定除子的热带曲线的滚动不变量，研究了其在特殊化下的行为，提供了计算算法，并揭示了经典与热带理论间的异同。
2024-12-21 math.AG
Quantum index, Arnold-Rokhlin surfaces, and real enumerative geometry
研究关联用于定义复曲面实枚举不变量的两种韦尔申格型符号规则，其关系涉及量子指标与实曲线点集几何，还提出量子指标新定义用于非复曲面实代数曲线精细不变量枚举。
2026-10-20 math.AG
Enumeration of Real Conics and Maximal Configurations
本文利用热带曲线的地板分解证明了$\RP^n$中关于通过射影线性子空间的二次曲线的计数问题是极大的。也就是说，存在实线性空间的一般配置，使得所有通过这些约束的复二次曲线实际上都是实的。
2011-02-09 math.AG
From wall structures to closed mirror symmetry. The case of $K_{\mathbb{P}^2}$: Renormalized periods over the positive real locus, closed Gromov-Witten invariants from wall functions, and tropical enumeration
本文通过墙函数统一恢复 $K_{\mathbb{P}^2}$ 的闭 Gromov-Witten 不变量与重整化周期，建立 Gross-Siebert 构造到经典枚举镜像对称的直接通道，并给出多项式性定理及热带树和，预期推广至一般 Calabi-Yau 镜像对。
2026-10-06 math.AG
Tropical and algebraic elliptic plane curves with fixed j-invariant
该研究通过热带计数特定椭圆曲线，结合对应定理，给出代数计数的另一种证明，拓展了枚举几何的相关方法。
2026-08-14 math.AG
Relative enumerative invariants of real nodal del Pezzo surfaces
所考虑的曲面是真实的，合理的，并有一个唯一的光滑的实$(-2)$ -曲线。它们的规范类$K$在曲面中的任何其他不可约曲线上都是严格负的，并且$K^2>0$。对于满足这些假设的曲面，我们建议在每个交点处，属于给定除数类并且与$(-2)$ -曲线相切的实有理曲线的有符号计数。我们证明，这个计数提供了一个既不依赖于点的约束，也不依赖于变形的表面保持真实的结构和$(-2)$曲线。
2018-05-15 math.AG
Spinor states of real rational curves in real algebraic convex 3-manifolds and enumerative invariants
设$X$是实代数凸3-流形，其实部具有$Pin^-$结构.证明了每一条实部非空的不可约实有理曲线都有一个属于$\{\pm 1\}$的正则旋量态。主要的结果是，代数计数的数量实不可约的有理曲线在一个给定的数值等价类通过适当数量的点不依赖于选择的真正配置的点，提供这些曲线是计数关于他们的旋量状态。这些不变量提供了这样的真实有理曲线的总数的下界，而与点的真实配置的选择无关。
2003-11-26 math.AG
$G$-invariant Hilbert Schemes on Abelian Surfaces and Enumerative Geometry of the Orbifold Kummer Surface
对于有限群$G$具有辛作用的阿贝尔曲面$A$，可以定义$G$不变Hilbert格式的配分函数\[Z_{A, G}(q) = \sum_{d=0}^{\infty} e(\text{Hilb}^{d}(A)^{G})q^{d}.\].证明了对于同余子群$Γ_{0}(|G|)$，倒数$Z_{A,G}^{-1}$是权$\frac{1}{2}e(A/G)$的模形式，并给出了eta积的显式表达式.给出了$\text{Hilb}(A)^{G}$的$χ_{y}$ -亏格的精化公式.对于由标准对合$τ: A \to A$生成的群，我们的公式来自于轨道型Kummer曲面$[A/τ]$的枚举几何。我们证明，堆栈中的曲线的虚拟计数由$χ_{y}(\text{Hilb}(A)^τ)$。此外，$Z_{A, τ}$的系数是有理曲线的真实（加权）计数，与Bryan、Oberdieck、Pandharipande和Yin的超椭圆计数一致。
2021-09-10 math.AG
Descendant log Gromov-Witten invariants for toric varieties and tropical curves
使用退化技术，我们证明了对应的热带曲线计数和日志Gromov-Witten不变量与一般发病率和PSI类条件的环面品种属零曲线和所有非过剩的高属的情况。我们还将对数不变量与普通的对数不变量联系起来，特别是解释了马克·格罗斯的后代对应结果中出现的负多重性。
2019-06-28 math.AG
Tropical Igusa Invariants
设$X$是完备非阿基米德域$K$上亏格为2的光滑几何连通射影曲线.对于离散值的$K$，\cite{liu}中的第一主要定理给出了一组关于曲线的Igusa不变量的准则，该准则确定$X$的最小Berkovich骨架以及它的边长和顶点权重。在本文中，我们使用的理论的Berkovich空间给出了一个新的证明这一定理，工程的任意完整的非阿基米德领域。我们进一步解释的热带模空间和热带Igusa不变量的最终结果。这种重新表述表明，抽象的热带化地图${M}_{2}\to\mathrm{trop}(M_{2})$通过将${M}_{2}$具体嵌入到加权射影空间中的热带化来影响。
2021-10-06 math.AG
Quantum Cohomology of Hilb^2(P^1xP^1) and Enumerative Applications
我们计算了Hilb^2（P^1xP^1）的小量子上同调，并递归地确定了大部分的大量子上同调。我们证明了这样得到的不变量与P^1xP^1中超椭圆曲线的计数几何之间的关系。这推广了Graber对Hilb^2（P^2）和P^2中的超椭圆曲线的结果。
2004-07-29 math.AG
Enumerative invariants of stongly semipositive real symplectic six-manifolds
遵循Gromov和Witten的方法，我们定义了强半正实辛六流形的变形不变量。这些不变量提供了下界在真正的枚举几何，即真正的理性$J$ -全纯曲线，实现了一个给定的同调类，并通过一个给定的实际配置的点。
2007-09-17 math.AG math.SG
Counting tropical elliptic plane curves with fixed j-invariant
在复代数几何中，R.Pandharipande利用Gromov-Witten理论解决了给定次数的具有固定复结构的平面椭圆曲线的计数问题。在这篇文章中，我们处理这个问题的热带类似，确定热带椭圆平面曲线的d次和固定的“热带j-不变量”插值一般位置的适当数量的点的数量。我们表明，这个数字是独立的点的位置和值的j-不变量，它符合复杂的椭圆曲线的数量。这一结果可用于简化Mikhalkin的算法，以便在有理平面曲线的情况下，通过格路计算曲线。
2009-12-17 math.AG
The Caporaso-Harris formula and plane relative Gromov-Witten invariants in tropical geometry
几年前Caporaso和Harris利用Gromov-Witten不变量找到了一个计算d次亏格为g的复平面曲线通过3d+g-1个一般点的个数N（d，g）的好方法。最近，Mikhalkin发现了一种方法来重新解释数字N（d，g）在热带几何和计算他们通过计数某些格路径的整体多面体。我们将这两个结果定义一个类似的相对Gromov-Witten不变量和重新推导的Caporaso-Harris公式在热带几何和晶格路径。
2007-08-01 math.AG
Relative Gromov-Witten invariants and the enumerative meaning of mirror maps for toric Calabi-Yau orbifolds
我们提供了一个计数意义的镜像映射的环面Calabi-Yau orbifolds的环面紧化的相对Gromov-Witten不变量。因此，我们得到了相对Gromov-Witten不变量和开放Gromov-Witten不变量之间的等式。因此，可以利用相对Gromov-Witten不变量构造复曲面Calabi-Yau orbifolds的瞬子校正镜。
2020-05-10 math.AG math.SG
Genus one enumerative invariants in P^n with fixed j invariant
证明了P^n中j不变的次数为$d$的椭圆曲线的个数为$τ_d$的递归公式.我们使用分析与经典的不变量$τ_d$的亏格1扰动不变量$RT_{1,d}$最近定义的阮和田（后不变量可以归纳计算）。通过考虑一系列的扰动收敛到零，然后我们应用Taubes的障碍束方法来计算两个不变量之间的差异。
1996-08-26 alg-geom math.AG
Equivariant K-theoretic enumerative invariants and wall-crossing formulae in abelian categories
本文将Joyce的同调泛穿墙公式提升至K理论并引入等变性，为模栈的等变K理论枚举不变量建立了通用穿墙框架，并指出拓扑K-同调构成等变乘性顶点代数。
2025-06-27 math.AG math.KT
A Tropical Computation of Refined Toric Invariants
在arXiv：1505.04338（4）中，G. Mikhalkin提出了复曲面中通过复曲面边界上共轭不变点集的实有理曲线的精确计数。这样的集合由实点和复共轭点对组成。然后，他证明了结果，这一精细计数只取决于数量对复杂的共轭点对每个复曲面因子。使用热带几何方法和对应定理，他设法计算这些不变量，如果所有的点的配置是真实的。在本文中，我们解决的情况下，当配置包含一些对共轭点，都属于同一个组成部分的复曲面边界。
2020-02-01 math.AG
Invariants of real symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry
首先给出了实辛流形中实伪全纯曲线的模空间的构造。然后，我们按照Gromov和Witten的方法，构造了实有理辛4-流形在变形下的不变量。这些不变量提供了通过给定实点配置的给定同调类中的实有理$J$ -全纯曲线的数目的下界。
2003-03-12 math.AG math.SG
Enumerative geometry and knot invariants
我们回顾了弦/规范理论的对偶性，它与Chern-Simons理论和非紧Calabi-Yau流形上的拓扑弦有关，以及它对纽结不变量和枚举几何的数学意义。
2003-12-18 hep-th math.AG math.GT
