Concentration of measure via approximated Brunn--Minkowski inequalities
Masayoshi Watanabe
证明了带体积畸变系数的Brunn-Minkowski不等式的一个近似形式蕴含着高斯测度集中现象。我们的主要定理适用于离散空间。
We prove that an approximated version of the Brunn--Minkowski inequality with volume distortion coefficient implies a Gaussian concentration-of-measure phenomenon. Our main theorem is applicable to discrete spaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The log-Brunn-Minkowski inequality in $\mathbb{R}^3$
Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang最近证明了平面上两个原点对称的凸体的log-Brunn-Minkowski不等式，它比经典的Brunn-Minkowski不等式更强.建立了$\mathbb{R}^3$中两凸体的log-Brunn-Minkowski不等式、log-Minkowski不等式、$L_p$不等式和$L_p$ -Minkowski不等式.
The isoperimetrix in the dual Brunn-Minkowski theory
引入对偶等周律，解决了对偶Brunn-Minkowski理论中的等周问题.然后，我们展示了如何从Brunn-Minkowski理论的对偶等周线。
A Steiner formula in the $L_p$ Brunn Minkowski theory
我们证明了一个类似的经典施泰纳公式的$L_p$仿射表面积的闵可夫斯基外平行体的任何实际参数$p$。我们证明了经典的Steiner公式和Lutwak的对偶Brunn Minkowski理论的Steiner公式是这个新的Steiner公式的特例。这个新的施泰纳公式和它的本地化版本导致新的曲率措施，以前没有出现在文献中。它们具有经典Brunn-Minkowski理论的内蕴体积和对偶Brunn-Minkowski理论的对偶quermassintegrals以及特殊情况。这些新量的性质进行了调查，其中信息论的连接。对于任意实参数$p$和~ $s$，给出了Minkowski外平行体的$s$次混合$L_p$仿射表面积的Steiner公式.
SubRiemanniann structures do not satisify Riemannian Brunn--Minkowski inequalities
证明了严格次黎曼结构不能满足曲率维数和最优运输的黎曼理论中的Brunn-Minkowski不等式。我们的证明依赖于与海森堡群相同的方法，以及Agrachev、Barillari和Rizzi对亚黎曼结构的充分的正规测地线及其测地维数的新研究。
Complex Brunn-Minkowski theory and positivity of vector bundles
本文是对向量丛的正性结果的一个综述，其灵感来自Brunn-Minkowski定理和Prékopa定理。应用复分析，凯勒几何和代数几何进行了讨论。
A note on the quantitative local version of the log-Brunn-Minkowski inequality
证明了当$K\subset\mathbb{R}^n$是球，$L$是对称凸体时，在$K$的适当$C^2$邻域中，log-Brunn-Minkowski不等式\begin{equation*} |λK+_0 (1-λ)L|\geq |K|^λ|L|^{1-λ} \end{equation*}（其中$|\cdot|$是勒贝格测度，$+_0$是所谓的对数加法）成立.
On the $L_p$-Brunn-Minkowski and dimensional Brunn-Minkowski conjectures for log-concave measures
本文在统一的框架下研究了Brunn-Minkowski型不等式中对称性的作用，如Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想，Gardner和Zvavitch的维数Brunn-Minkowski猜想.我们得到了一些新的结果。证明了当$K\subset L,$时，$L_p$ -Minkowski猜想的乘法形式对$p\geq 1-Cn^{-0.75}$的勒贝格测度成立，这改进了Kolesnikov和Milman在一个物体包含在另一个物体中的部分情况下的估计.我们还表明，乘法版本的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想的标准高斯测度的情况下，集包含足够大的球（其半径取决于$p$）。特别地，当$K$和$L$包含$\sqrt{0.5 (n+1)}B_2^n.$时，Gaussian Log-Brunn-Minkowski猜想成立.我们对对数凹测度提出了一个先验更强的猜想，推广了$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想和维数猜想，并在集合是扩张的且测度是Gaussian的情况下验证了该猜想.我们还表明，对数-布伦-闵可夫斯基猜想，如果验证，将产生这个更一般的家庭的不平等。我们的结果建立在Kolesnikov和Milman以及Colesanti，Livshyts，Marsiglietti开发的方法上。我们进一步验证，这些结…
The local logarithmic Brunn-Minkowski inequality for zonoids
本文的目的是证明对数型Brunn-Minkowski猜想的局部形式对z成立。该证明使用了Bochner方法的一个变种，由于Shenfeld和作者。
Fuchsian convex bodies: basics of Brunn--Minkowski theory
双曲空间$ \H^d$可以定义为$(d+1)$ Minkowski时空中的伪球面。富克斯群$Γ$是Minkowski空间的线性等距群，使得$\H^d/Γ$是紧致流形.引入Fuchsian凸体，它是Minkowski空间中的闭凸集，对富克斯群的作用全局不变。一个体积可以与每一个Fuchsian凸体相关联，并且，如果群是固定的，Minkowski加法表现良好。Fuchsian凸体可以用经典Brunn-Minkowski理论中欧几里得空间的凸体一样的方法来研究。例如，支撑函数可以定义为紧双曲流形上的函数，而不是球面上的函数。主要结果是相关体积的凸性（在经典设置中是对数凹的）。这意味着类似的Alexandrov-Fenchel和Brunn-Minkowski不等式。在这里，不平等被逆转了。
Magnetic Brunn-Minkowski inequalities
研究黎曼流形上由磁性测地线定义的闵可夫斯基平均，建立Brunn-Minkowski不等式与磁性里奇曲率下界的等价性，并在海森堡群上证明尖锐的接触磁性Brunn-Minkowski不等式。
$L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in (1-\frac{c}{n^{\frac{3}{2}}}, 1)$
Kolesnikov-Milman [9]建立了$p\in(1-c/n^{\frac{3}{2}},1).$的一个局部$L_p$-Brunn-Minkowski不等式本文基于他们对$L_p$ -Minkowski问题的局部唯一性结果，证明了（整体）$L_p$ -Brunn-Minkowski不等式.第一个结果是当$p\in (1-c/n^{\frac{3}{2}}, 1)$为一般测度且$C^α$为偶正密度时的$L_p$-Minkowski问题的唯一性;第二个结果是当测度密度为均匀密度的小$C^α$偶扰动时的对数Minkowski问题的唯一性.
Equivalence of the local and global versions of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality
通过研究强同构多面体的$L^p$ -组合，证明了Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang证明的$L^p$ -Brunn-Minkowski不等式等价于Colesanti，Livshyts，Marsiglietti和Kolesnikov，Milman的局部不等式，解决了后者的一个猜想.此外，我们还证明了$2$维上的局部不等式，从而给出了平面上的$L^p$ -Brunn-Minkowski不等式的一个新的证明.
A Hilbert Bundles Description of Complex Brunn-Minkowski Theory
该博士论文提出用Hilbert丛描述复Brunn-Minkowski理论，旨在满足挪威科技大学的博士学位要求。
The local logarithmic Brunn-Minkowski inequality for bodies of revolution
本文证明了旋转体的局部对数Brunn-Minkowski不等式，并推广至非对称旋转体，限制了等号成立的可能情况，采用算子理论和球函数的分解方法。
Logarithmic Brunn--Minkowski Inequality under $n-2$ Reflection Symmetries
该研究证明了具有n-2个正交超平面对称性的原点对称凸体的对数Brunn-Minkowski不等式，讨论其等号情况与对数Minkowski问题的唯一性，并将不等式推广到特定对数凹测度。
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: Orlicz $φ$-radial addition, Orlicz $L_ϕ$-dual mixed volume and related inequalities
本文发展了星体对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论的基本背景。提出了两个或多个星体的Orlicz $φ$ -径向加法，建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星体的线性Orlicz $φ$ -径向加和，我们导出了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的公式.证明了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz $L_ϕ$ -对偶表面积的对偶Orlicz等周不等式和Orlicz $L_ϕ$ -调和平均半径的对偶Orlicz-Urysohn不等式.
The Dual Orlicz-Brunn-Minkowski Theory
本文介绍了星集的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论。提出了两个或多个星集的径向Orlicz加法，并建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星集的径向Orlicz线性组合，导出了对偶Orlicz混合体积公式，并证明了相应的对偶Orlicz-Minkowski不等式.这些不等式作为特殊情况证明了Böröczky、Lutwak、Yang和Zhang的严格对数Brunn-Minkowski不等式和对数Minkowski不等式的精确解。一个新的除了星集称为径向$M$ -此外还介绍和示出有关的径向Orlicz此外。
Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space
经典的Brunn-Minkowski理论利用Minkowski和研究欧氏空间中凸体的几何。它起源于H。Brunn在1887年的论文和H.闵可夫斯基1903年的论文。由于双曲空间中两个集合之和没有公认的定义，因此自1903年以来，双曲空间中就没有Brunn-Minkowski理论。本文在双曲空间中，对任意的$p>0$，引入了两个集合的和，称之为双曲$p$ -和.然后利用我们的双曲$p$ -和在双曲空间中建立了一个Brunn-Minkowski理论，我们称之为时球$p$ -Brunn-Minkowski理论.设$K$是双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中的光滑均匀凸有界域.通过利用我们的双曲$p$ -和计算$K$的$k$ -次修正质量积分的变化，我们引入了单位球$\mathbb{S}^n$上与$K$相关的准球面$k$ -次$p$ -表面积测度.对于$k=0$，我们引入了准球面$p$ -Minkowski问题，这是一个规定的准球面$p$ -表面积测量问题.通过设计和研究一个新的保体积流，解决了当给定测度为偶数时，对所有$p \in (-\infty,+\infty)$，半球$p$ -Minkowski问题解的存在性.对于$1 \leq k \leq n-1$，我们引入了准球面$p$ -Christoffel-Minkowski问题，它是准球面$k$ -次$p$ -表面积测量问题…
The Brunn--Minkowski inequality implies the CD condition in weighted Riemannian manifolds
曲率维数条件CD（K，N）是由Sturm和Lott-Villani提出的一个综合概念，它是在非光滑情形下，曲率有界，维数有界.这个条件是Brunn-Minkowski不等式的一个适当的推广，记作BM（K，N）.本文讨论了加权黎曼流形的逆蕴涵，证明了BM（K，N）实际上等价于CD（K，N）.我们的结果允许的曲率维数条件下，既不使用最佳的运输，也不使用流形的微分结构的特点。
Brunn-Minkowski inequalities for sprays on surfaces
该研究推广了黎曼流形子集的Minkowski平均，刻画了曲面上满足Brunn-Minkowski不等式的曲线族，证明常速曲线族满足该不等式的充要条件。
The equivalence between timelike Ricci curvature and the timelike Brunn Minkowski inequality on synthetic Lorentzian spaces
本文研究了合成洛伦兹空间中时序里奇曲率与时序Brunn-Minkowski不等式的关系，证明了在时序q-非分支设定下，q-时序曲率维度条件与时序Brunn-Minkowski条件等价，扩展了在非光滑设定下的研究成果。
Equivalence of Strong Brunn-Minkowski Inequalities and CD Conditions in Heisenberg Groups
本文研究了次黎曼海森堡群 Hn 中曲率-维数条件与强 Brunn-Minkowski 不等式等价性的次黎曼版本，采用 Ambrosio 和 Rigot 的最优传输与逼近方法，结合 Magnabosco 等人的工作证实了该等价性。
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: dual Orlicz $L_ϕ$ affine and geominimal surface areas
本文旨在发展对偶Orlicz $L_ϕ$仿射和天体几何表面积的基本理论，它属于最近的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski天体理论。这些新的仿射不变量的基本属性将提供。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式、循环不等式、Santaló型不等式和Alexander-Fenchel型不等式.
Monotonicity of the deficit in the local log-Brunn-Minkowski inequality
本文建立了局部 log-Brunn-Minkowski 不等式亏格在线段加法下的单调性，推证出其可从凸体 K 扩展至 K+Z 并给出 zonoids 的新证明，且在假设有效下确定了光滑凸体等式成立的条件。
On the Gardner-Zvavitch conjecture: symmetry in the inequalities of Brunn-Minkowski type
本文研究Gardner和Zvavitch从\cite{GZ}中提出的猜想，证明了标准高斯测度$γ$关于\textbf{symmetric}凸集的Minkowski加法具有$\frac{1}{n}$ -可积性.我们证明了这一事实的一个因素的2：也就是说，我们表明，对称凸$K$和$L,$ $$ γ(λK+(1-λ)L)^{\frac{1}{2n}}\geq λγ(K)^{\frac{1}{2n}}+(1-λ)γ(L)^{\frac{1}{2n}}. $$此外，我们表明，在适当的无量纲的统一界限上的潜在的海森，甚至措施的对数可以加强到$p$，与$p>0,$相对于对称凸集的添加。
A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and the Bando-Mabuchi uniqueness theorem
对于Fano流形$X$的反正则丛$-K_X$上的度量$ϕ$，我们考虑$X$的体积$$ \int_X e^{-ϕ}. $$.我们证明了在$-K_X$上的正曲度量空间中，体积的对数沿连续测地线是凹的，并且除非测地线来自$X$上的全纯向量场的流，否则它是严格的.作为结果，我们得到了Kähler - Einstein度量的Bando-Mabuchi唯一性定理的简化证明，并将该定理推广到“扭曲”Kähler-Einstein度量。
Quantitative anisotropic isoperimetric and Brunn-Minkowski inequalities for convex sets with improved defect estimates
在本文中，我们重新各向异性等周和Brunn-Minkowski不等式凸集。在这两个不等式中，最著名的常数$C(n)=Cn^{7}$取决于空间维度$n$，这是由于Segal [ \ref{bib:Seg.} ]。我们改进的常数$Cn^6$凸集和$Cn^5$中心对称凸集。我们还推测，这两个不等式中的最佳常数必须具有$Cn^2,$的形式，即，二次在$n.$的工具是Brenier的映射从理论的质量输运结合新的尖锐的几何-算术平均和一些代数不等式加上跟踪估计由Figalli，Maggi和Pratelli。
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem I
引入了星形体的广义体积概念，它包括通常体积、$q$第二对偶体积以及许多先前类型的对偶混合体积。针对Lutwak，Yang和Zhang最近提出的$(p,q)$ -对偶曲率测度，定义了一个相应的新的广义对偶Orlicz曲率测度.建立了两类Orlicz线性组合的一般体积的一般变分公式。其中之一是适用于闵可夫斯基问题的新的一般对偶Orlicz曲率措施，特别是解决闵可夫斯基问题所提出的Lutwak，杨，张为$(p,q)$ -对偶曲率措施时，$p>0$和$q<0$。得到了一般体积的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，以及星体的对偶Orlicz-Minkowski型不等式和唯一性结果.最后，一个非常普遍的Minkowski型不等式，涉及两个Orlicz功能，两个凸体，和一个星体，证明，其中包括作为特殊情况下，其他几个在文献中，特别是一个由于Lutwak，杨，张$(p,q)$ -混合体积。
On the local version of the Log-Brunn-Minkowski conjecture and some new related geometric inequalities
证明了对于$\mathbb{R}^n,$上的任意半范数$\|\cdot\|$和$\mathbb{R}^n,$ \begin{equation}\label{ineq-abs2} \int_{\partial K} \frac{\|n_x\|^2}{\langle x,n_x\rangle}\leq \frac{1}{|K|}\left(\int_{\partial K} \|n_x\| \right)^2, \end{equation}中的任意对称凸体$K$，这个新的不等式是等价的.如果Log-Brunn-Minkowski猜想被证明的话，上面的结论也可以从后者推导出来，我们相信它可能是独立的。此外，我们还得到了这个不等式在某些情况下的改进，包括$K.$的Poincare常数。改进的Log-Brunn-Minkowski不等式是Brunn-Minkowski不等式在对称凸体的部分情况下的加强，等价于下列陈述的有效性：对于$\mathbb{R}^n$中的所有对称凸光滑集$K$和所有光滑偶集$f:\partial K\rightarrow \mathbb{R},$ \begin{equation}\label{ineq-abs} \int_{\partial K} H_x f^2-\langle \mbox{II}^{-1}\nabla_{\partial K} f, \nabla_{…
Poincaré and Brunn--Minkowski inequalities on the boundary of weighted Riemannian manifolds
研究了一个密度满足Bakry-Emery曲率维数条件（结合了广义里奇曲率的下界和广义维数的上界）的黎曼流形.我们首先在其边界上得到一个庞加莱型不等式，假设后者是局部凸的;这推广了一个纯粹的欧几里德不等式Colesanti，最初作为Brunn-Minkowski不等式的无穷小形式导出，从而排除了任何超越欧几里德设置的扩展。广义平均凸边界的对偶版本也得到了，产生的加权拉普拉斯算子的边界上的谱间隙估计。受这些不等式的启发，提出了一个新的几何发展方程，它把迄今仅限于纯线性情形的凸区域的Minkowski加法运算推广到黎曼情形.这种几何流的特征在于具有平行的法线（变化的速度）的演变超曲面沿轨迹，并密切相关的齐次蒙日-安培方程的外部的凸区域。利用演化超曲面边界上的Poincaré型不等式，在加权Riemann背景下得到了一个新的Brunn-Minkowski不等式，从而使得演化封闭域的加权体积具有一定的非线性性质.所有这些结果似乎是新的，即使在经典的非加权黎曼设置。
Volume inequalities and additive maps of convex bodies
推广了凸体旋转缠绕可加映射的Brunn-Minkowski理论中经典不等式的类似结果。类比也证明了不等式的对偶Brunn-Minkowski理论的交织加性映射的星体。这些不等式推广了投影体和相交体的结果。作为推论，得到了极投影体体积的一个新的Brunn-Minkowski不等式。
A Twisted Complex Brunn-Minkowski Theorem
在他的Annals of Mathematics paper（2009）中，Berglessson证明了一个关于全纯无限秩向量丛的中野正性的重要结果，其纤维是由关于一族权函数$\left\{e^{-φ(\cdot,t)}\right\}_{t \in U}$的全纯$L^2$ -函数组成的希尔伯特空间，权函数在伪凸域上以$t \in U \in \mathbb{C}^m$变化。使用霍曼德定理的一个变种，由于唐纳利和Febriman，我们表明，Berglessson的中野正性的结果下，不同的（事实上，更一般）曲率的假设。这是特别感兴趣的流形时，承认一个负的非常数多重次调和函数，因为这些曲率假设，然后允许一些曲率负。我们将这种设置描述为“扭曲”设置
A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kähler geometry
对于Fano流形$X$的反正则丛$-K_X$上的度量$ϕ$，我们考虑$X$的体积$$ \int_X e^{-ϕ}. $$.我们证明了在$-K_X$上的正曲度量空间中，体积的对数沿有界测地线是凹的，并且除非测地线来自$X$上的全纯向量场的流，否则体积的对数是严格的.作为结果，我们得到了Kähler - Einstein度量的Bando-Mabuchi唯一性定理的简化证明。这个定理的推广到'扭曲'凯勒-爱因斯坦度量和一些类的流形，满足较弱的假设比法诺也给出。本文还讨论了主要结果对$-K_X$以外的其它丛的推广，最后用同样的方法给出了Tian和Zhu关于Kähler-Ricci孤子唯一性定理的一个新的证明.这是早期预印本的扩展版本，“Fano流形的Brunn-Minkowski型不等式和Bando-Mabuchi唯一性定理”，arXiv：1103.0923
On the Brunn-Minkowski inequality for $q$-th dual quermassintegrals with $q>n$
本文针对q>n时q阶对偶曲率积分的Brunn-Minkowski不等式展开研究，证明其对任意凸体及原点对称凸体的失效情形，建立原点对称凸体端点情形与无条件凸体全范围的不等式，并推导对偶曲率测度的唯一性结果。
Weighted Brunn-Minkowski Theory I: On Weighted Surface Area Measures
本文将 Brunn-Minkowski 理论推广到带密度 Borel 测度，建立至多三个凸体的加权混合测度与加权表面积测度，给出新积分公式，并证明旋转不变对数凹测度的 Bézout 型不等式。
Uniqueness and continuity of the solution to $L_p$ dual Minkowski problem
Lutwak，Yang和Zhang \cite{LYZ2018}介绍了$L_p$对偶曲率测度，它统一了对偶Brunn-Minkowski理论和Brunn-Minkowski理论中的其他几种几何测度。受\cite{LYZ2018}研究的启发，我们考虑了$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性和连续性.为了将LYZ的重要工作（\ref{uniquepolytope}定理）推广到一般凸体的情形，我们建立了一些新的Minkowski型不等式，这些不等式与$L_p$对偶Minkowski问题的最优化问题密切相关.当$q< p$时，得到了一般凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性.此外，我们还得到了凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的连续性。
Horocyclic Brunn-Minkowski inequality
该研究定义双曲平面上的horocyclic Minkowski和，证明了Borel可测集下的Horocyclic Brunn-Minkowski不等式（同心圆盘等号成立），还推导了相关不等式的horocyclic版本，突破了传统测地线相关的度量测度空间范式。
A note on Bourgain-Milman's universal constant
本文是对对数Brunn-Minkowski不等式的一个研究结果。利用一个修正的对数Brunn-Minkowski不等式，得到了$\mathbb{R}^n$中关于原点不对称的凸体的体积积的较低估计.
Crofton measures and Minkowski valuations
建立了连续刚体运动相容的Minkowski赋值的描述。作为应用，我们提出了一个Brunn-Minkowski型不等式，这些估值的内在体积。
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem II
最近，对于内部含有原点的函数$G: (0, \infty)\times \sphere\rightarrow (0, \infty)$和$\R^n$中的凸体$K$，引入了广义对偶体积$\dveV(K)$和广义对偶Orlicz曲率测度$\deV(K, \cdot)$.我们扩展$\dveV(K)$和$\deV(K, \cdot)$更一般的功能$G: [0, \infty)\times \sphere\rightarrow [0, \infty)$和紧凑的凸集$K$包含的起源（但不一定在其内部）。给出了一般对偶体积和对偶Orlicz曲率测度的一些基本性质，如对基础集的连续依赖性。这些都需要研究闵可夫斯基型问题的对偶Orlicz曲率措施。我们主要研究了当$G$和$ψ$都增加时的情形，从而补充了我们以前的工作。Minkowski问题要求刻画$\sphere$上的Borel测度$μ$，其中$\R^n$中有一个凸体$K$，包含原点，使得$μ$等于$\deV(K, \cdot)$，直到一个常数。分析中的一个主要步骤涉及离散措施$μ$，我们证明了凸多面体的存在性，包含在其内部解决闵可夫斯基问题的起源。对于一般（不一定是离散的）测量$μ$，我们使用近似参数。这种方法也适用于$G$减少和$ψ$增加的情况，因此增加了我们以前的工作。当测度$μ$为偶数时，在较弱的条件下，给出了$G$和$ψ$上的原点对称凸体…
The Brunn--Minkowski inequality for the Gaussian measure
本文研究高斯测度下的Brunn–Minkowski不等式，通过Neumann问题解的Hessian能量逐射线局部化等方法，确定了不等式成立的最优指数$\alpha_\gamma(n)$的精确表达式。
Centro-Affine Differential Geometry and the Log-Minkowski Problem
该论文将对数-布伦-闵可夫斯基猜想转化为中心仿射微分几何的谱问题，证明相关算子与中心仿射拉普拉斯算子一致，给出布伦-闵可夫斯基不等式新证明，解决对数-闵可夫斯基问题的同构版本并获全局唯一性结果。
Rigidity of the Borell-Brascamp-Lieb Inequality on Weighted Riemannian Manifolds
本文研究了Borell-Brascamp-Lieb不等式和Brunn-Minkowski不等式的刚性问题，推广了Balogh和Kristály的曲率刚性定理到带权情形，并提出了一些开放性问题。
Weighted centro-affine Poincaré inequalities
本文通过建立球冠上的加权中心仿射Bochner公式，证明了加权Poincaré不等式，并推导出Brunn-Minkowski不等式，从而解决了L_{p,q}-Minkowski问题的唯一性。
New Orlicz Affine Isoperimetric Inequalities
Orlicz-Brunn-Minkowski理论最近受到了相当大的关注，并且$L_p$ -Brunn-Minkowski理论中的许多结果已被推广到Orlicz理论中。本文的目的是推广$L_ϕ$-Brunn-Minkowski理论中的基本概念--$L_p$（混合）仿射表面积和几何表面积。我们的扩展不同于Ludwig（在Adv.Math.224（2010））的一般仿射表面积。此外，我们的定义Orlicz $L_ϕ$仿射和几何表面积揭示，这些仿射不变量本质上是下确界/上确界的$V_ϕ(K, L^\circ)$，Orlicz $ϕ$ -混合体积的$K$和极性体的$L$，其中$L$运行在所有的明星机构和所有的凸体，分别与体积的$L$等于体积的单位欧几里德球$B_2^n$。证明了Orlicz $L_ϕ$仿射曲面和几何曲面的仿射不变性和单调性等性质。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式.
Log-Concavity Properties of Minkowski Valuations
对任意次刚体运动相容的Minkowski赋值，建立了新的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.这些扩展了经典的log-logs性质的内在卷和推广的开创性的结果Lutwak和其他人。两种不同的方法，完善以前采用的技术进行了探讨。结果表明，两者都会导致这些不等式所适用的同一类Minkowski估值。Semyon Alesker的附录包含了广义平移不变赋值的一个新分类的证明。
The capillary Orlicz-Minkowski problem
本文引入了 Orlicz-Minkowski 问题的 Robin 边界类似物，通过连续性方法获得了毛细管偶 Orlicz-Minkowski 问题的体积归一化光滑解，并建立了相关不等式。
Closed-Form Parametric Equation for the Minkowski Sum of $m$ Ellipsoids in $\mathbb{R}^N$ and Associated Volume Bounds
回顾了凸体的一般结果，并利用这些结果导出了$N$维欧几里得空间中$m$任意椭球的Minkowski和边界的精确封闭形式参数公式.这些Minkowski和的主曲率的表达式也来自。这些结果，然后使用它们的定义矩阵获得的Minkowski和的椭球体的体积上，下界的下界是尖锐的比Brunn-Minkowski不等式。还给出了凸体的一个逆等距不等式。
Spectral gaps and uniqueness in the isotropic $L_p$ Minkowski problem
通过分析Hilbert-Brunn-Minkowski算子的特征值，证明了$L_p$ Minkowski问题中$S_2$-各向同性解在特定参数范围内的唯一性，并推广至更广范围。
The uniqueness and non-uniqueness of solutions to the even dual Minkowski problem
该研究针对ℝⁿ中偶对偶曲率测度的Minkowski问题，利用新建立的对数Brunn-Minkowski不等式，证明了不同参数范围内解的唯一性或非唯一性结论。
A sharp centro-affine isospectral inequality of Szegö--Weinberger type and the $L^p$-Minkowski problem
建立了$\mathbb{R}^n$中强凸$C^2$ -光滑原点对称凸体$K$的Hilbert-Brunn-Minkowski算子的第一个非零偶本征值（对应于偶本征函数）的精确上界.我们的等谱不等式是中心仿射不变的，当且仅当$K$是一个（中心的）椭球体时，它才相等;这让人想起（非仿射不变的）经典的Szegö-Weinberger等谱不等式。新的上界是对原上界的补充，它等价于log-Brunn-Minkowski不等式，并与偶log-Minkowski问题中的唯一性问题密切相关.作为应用，我们得到了偶$L^p$ -Minkowski问题在亚临界区$-n < p < 0$的新的强非唯一性结果，以及临界指数$p=-n$和超临界区$p < -n$的新的刚性结果.特别是，我们表明，任何$K$如上所述，这是不是一个椭球体是一个证人，甚至$L^p$ -闵可夫斯基问题的所有$p \in (-n,p_K)$和一些$p_K \in (-n,0)$的非唯一性，$K$可以选择，使$p_K$是任意接近$0$。
Aleksandrov-Fenchel inequalities for unitary valuations of degree 2 and 3
我们将经典的Aleksandrov-Fenchel不等式推广到埃尔米特积分几何中自然产生的泛函上。作为结果，我们得到了埃尔米特实积分的Brunn-Minkowski不等式和等周不等式.
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