Virtually free pro-p groups whose torsion elements have finite centralizer
W. Herfort, P. A. Zalesski
一个扭元具有有限个中心化子的拟自由pro-p群是有限个p-群与一个自由pro-p因子的自由pro-p积.
A finitely generated virtually free pro-p group with finite centralizers of its torsion elements is the free pro-p product of finite p-groups and a free pro-p factor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Profinite groups in which centralizers are virtually procyclic
本文研究中心化子是实原循环的投射有限群.设G是一个投射有限群，使得每个非平凡元的中心化子是虚挠自由的，而每个无限阶无限阶元的中心化子是虚原循环的.我们证明了，G要么是几乎亲p的一些素数p或几乎无挠原循环。同样的结论也适用于投射有限群，其中每个非平凡元的中心化子是几乎原循环的;而且，如果G不是pro-p，则G有有限秩。
Second Countable Virtually Free Pro-p Groups whose Torsion Elements have Finite Centralizer
第二个可数虚自由pro-p群是有限p-群与自由pro-p因子的自由pro-p积，它的所有扭元都有有限中心化子.
Addendum: Virtually Free pro-$p$ groups whose Torsion Elements have finite Centralizer
我们在Bull.London.Math.Soc 40（2008）中的引理13的证明中填充了细节（即arXiv：0712.4244v1中的引理3.2）。
On profinite groups in which centralizers have bounded rank
对正整数r，证明了：如果G是一个投射有限群，且其中每个非平凡元的中心化子的秩至多为r，则G是一个pro-p群或一个有限秩群.此外，如果G不是虚拟亲p群，则G的秩至多为r+1。
Profinite groups with pronilpotent centralizers
本文研究中心化子是幂零的投射有限群（CN-群）。它表明，这些群体几乎是专能的。更精确地说，设G是一个profinite CN-群，F是G的极大正规幂零子群。证明了F是开的，并详细描述了有限商G/F的结构.
Profinite groups in which centralizers are abelian
本文研究中心化子为交换群的投射有限群（CA-群），即具有有限交换性的传递群。它表明，这些群体几乎是专能的。更确切地说，设G是一个profinite CA-群。证明了G有一个正规的开子群N，它是阿贝尔的或pro-p的，并进一步得到了关于有限商G/N的较详细的信息.
Profinite groups with restricted centralizers of $π$-elements
如果对于$G$中的每个$g$，中心化器$C_G(g)$或者是有限的或者在$G$中具有有限指数，则称群$G$具有受限中心化器。Shalev证明了一个具有限制中心化子的profinite群实际上是阿贝尔群。给定一组素数$π$，我们研究了具有$π$ -元的限制中心化子的投射有限群.证明了这样一个profinite群有一个开子群的形式为$P\times Q$，其中$P$是交换$π$子群，$Q$是$π'$子群.这大大加强了我们先前论文的结果。
Loxodromic elements in the cyclic splitting complex and their centralizers
我们证明了外自同构作用于循环分裂复形的斜驶性当且仅当它有一个填充层且没有层的类属叶由循环分裂的顶点群携带。这是类似于Handel-Mosher定理的自由分裂复形的斜向旋转。我们还表明，这样的外自同构几乎循环中心。
Commutators, centralizers, and strong conciseness in profinite groups
如果对于每个$g \in G$，中心化器$C_G(g)$是有限的或者在$G$中具有有限的索引，则称群$G$具有受限中心化器。Shalev证明了具有限制中心化子的profinite群实际上是阿贝尔群。我们感兴趣的投射有限群的限制中心化子的一致的扩张，即，元素的形式$[x_1,\dots,x_k]$，其中$π(x_1)=π(x_2)=\dots=π(x_k)$。这里$π(x)$表示$x\in G$阶的素因子集合。证明了这样的群必然有一个开幂零子群。我们利用这个结果推导出$γ_k(G)$是有限的当且仅当$G$中的一致$k$ -步算子集的基数小于$2^{\aleph_0}$
Profinite groups with restricted centralizers of powers
研究具有有限指数或有限中心化的 profinite 群，证明其存在开正规子群使得商群具有有限指数。
Automorphisms of graphs of groups with cyclic edge groups
本文刻画了边群为循环群、顶点群无挠且中心化子循环的单端群图基本群的外自同构群，证明其本质上由顶点群外自同构、广义鲍姆斯拉格-索利塔尔群外自同构及广义扭转共同构成。
Cohomological Finiteness Conditions in Bredon Cohomology
证明了任何Bredon- $\FP_{\infty}$型可解群$G$关于所有虚循环子群族使得无穷阶元的中心化子是$\FP_{\infty}$型必是虚循环的.为了证明这一点，我们首先减少了问题的情况下，多环群，然后我们证明了一个多环的有限群的共轭类的极大虚循环子群是虚循环的。最后我们讨论了这个结果的改进：我们只对某些$n \leq 3$赋予Bredon- $\FP_n$性质，并将其限制为阿贝尔-幂零群、阿贝尔-多环群或（第二类幂零）-阿贝尔群.
Profinite groups in which many elements have prime power order
有限和局部有限群的结构是众所周知的，其中每个元素都有素数幂阶（CP-群）。在本文中，我们注意到，结合我们以前的结果与有限CP-群的结构上的可用信息，产生一个详细的描述，投射有限群的属性。然后，我们处理profinite CP-群的两个推广。定理1.2.一个投射有限群G对某个素数p是虚pro-p的当且仅当对G中的每个非平凡x都有一个素数p（依赖于x）使得x的中心化子是虚pro-p的.定理1.3.设G是一个投射有限群，其中每个元素都有有限阶或素幂（可能无限）阶.则G是挠的或对某个素数p是虚pro-p的。
Roots of outer automorphisms of free groups and centralizers of abelian subgroups of $\mathrm{Out}(F_N)$
令$N \geq 2$和$\mathrm{Out}(F_N)$是秩为$N$的非交换自由群的外自同构群。设$\mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$是$\mathrm{Out}(F_N)$的有限指数子群，它是$\mathrm{Out}(F_N)$对$H_1(F_N,\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$的自然作用的核.我们证明了$\mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$是一个$R$ -群，即对每个$ϕ,ψ\in \mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$，如果存在$k \in \mathbb{N}^*$使得$ϕ^k=ψ^k$，则$ϕ=ψ$ .这回答了亨德尔和莫舍的一个问题。然后利用$\mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$是$R$ -群的事实证明了$\mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$的每个交换子群的$\mathrm{IA}_N(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$中的正规化子等于它的中心化子.最后给出了Feigh和Handel的一个结果的另一种证明，即$\mathrm{Out}(F_N)$的极大循环子群的共轭类的周期轨道只有1000个的元素的中心化子是可交换的.
Centralizer fusion systems of central involutions in a finite group with soluble centralizer of involutions
用对合的可解中心化子刻画所有有限群是Starostin提出的一个长期存在的公开问题。我们可以观察到，如果一个对合的中心化子融合系统是幂零的，那么这个对合的中心化子是可解的。本文对所有对合都有可解中心化子的有限群中的中心对合的中心化子融合系统是幂零融合系统的情形进行了分类。事实上，我们分析的情况下，可解的根有奇数阶和相应的因子群是简单的。
Double centralizers in Artin-Tits groups
我们证明了一个类似的中心定理的上下文中的Artin-Tits群。
Profinite groups with restricted centralizers of commutators
群G有限制中心化子，如果对G中的每个g，中心化子CG（g）在G中是有限的或有有限的指数. Shalev的一个定理指出，具有限制中心化子的投射有限群是有限阿贝尔群。本文讨论了具有字值限制中心化子的投射有限群。证明了如果w是多线性换位子字，G是具有w-值的限制中心化子的投射有限群，则动词子群w（G）是abelian-by-finite的.
Counting the Number of Centralizers of 2-Element Subsets in a Finite Group
设$G$是一个有限群. $G$的$2-$元素子集的所有中心化器的集合由$2-Cent(G)$表示。如果$|2-Cent(G)| = n$，则群$G$称为$(2,n)-$中心化器，如果$|2-Cent(G)| = |2-Cent(\frac{G}{Z(G)})| = n$，则称为原始$(2,n)-$中心化器，其中$Z(G)$表示$G$的中心。给出了$(2,n)-$中心化子群的主要性质，其中给出了$(2,n)-$中心化子群的一个刻划和本原$(2,n)-$中心化子群$n \leq 9$.
Effective coherence of groups discriminated by a locally quasi-convex hyperbolic group
我们证明了每一个由局部拟凸无挠双曲群$Γ$判别的生成群$G$都是有效相干的：也就是说，生成子群的表示可以由子群生成元计算出来.我们通过将$G$嵌入到$Γ$的迭代中心扩张中来研究它，并证明了这种嵌入是可计算的.我们还给出了算法来枚举所有由$Γ$判别有限生成群，以及判定一个给定的具有可判定字问题的群是否被$Γ$判别。如果$Γ$可能有挠，我们证明了在基本子群上，由$Γ$通过与虚阿贝尔群迭代合并积得到的群是有效凝聚的。
On the Structure of Finite Groups Associated to Regular Non-Centralizer Graph
有限群$G$的非中心化子图是简单图$Υ_G$，它的顶点是$G$的元素，如果它们的中心化子不同，则两个顶点$x$和$y$相邻.与顶点集$G\setminus Z(G)$相关联的$Υ_G$的导出子群称为$G$的导出非中心化子图。Tolue在\cite{to15}中引入了非中心化子图和诱导非中心化子图的概念。一个有限群称为正则群（regular group）。导出正则），如果它的非中心化图（分别导出非中心化子图）是正则的。本文研究了正则群和诱导正则群的结构。在已有的许多结果中，我们证明了：如果群$G$是正则的（分别为.诱导规则），然后$G/Z(G)$作为基本$2-$组（分别为$p-$组）。
Locally finite groups containing a $2$-element with Chernikov centralizer
设局部有限群$G$有一个$2$ -元$g$具有Chernikov中心化子.证明了如果$\langle g\rangle$中的对合有幂零中心化子，则$G$有有限指数的可解子群.
The centralizer of a Coxeter element
证明了不可约Coxeter群中Coxeter元的中心化子是由该Coxeter元生成的循环群。
Finite groups contain large centralizers
每个$n$阶的有限非阿贝尔群都有一个非中心元，其中心化子的阶超过$n^{1/3}$。证明不依赖于有限单群的分类，但它使用了费特-汤普森定理。
Counting Centralizers of a Finite Group with an Application in Constructing the Commuting Conjugacy Class Graph
有限群$G$中元素的所有中心化子的集合记为$Cent(G)$，如果$|Cent(G)| = n$，则称$G$为$n-$中心化子.本文给出了非交换有限群$G$的中心化子的结构，并证明了其性质为$\frac{G}{Z(G)} \cong Z_{p^2} \rtimes Z_{p^2}$.从而证明了这样的群恰有$[(p+1)^2+1]$元素中心化子，并完全确定了$G$的交换共轭类图的结构.
On $n$-centralizer $CA$-groups
设$G$是有限非交换群，且$m=|G|/|Z(G)|$ .本文研究了具有循环中心的$m$ -中心化子群$G$，证明了：如果$G$是一个有限的非交换$m$ -中心化子$CA$ -群，则存在一个整数$r>1$，使得$m=2^r.$;如果$G$是一个非交换的$m$ -中心化子有限群，且不是$CA$ -群，且它的导子群$G'$阶为2，然后存在整数$s>1$使得$m=2^{2s}.$
Breaking points in centralizer lattices
本文证明了群$G$的中心化子格${\mathfrak C}(G)$不能写成两个真区间的并.特别地，由此得出${\mathfrak C}(G)$没有断裂点。作为一个应用，我们证明了广义四元数$2$ -群是不可能的。
On types of matrices and centralizers of matrices and permutations
已知有限域上矩阵的中心化子在共轭性之前仅取决于矩阵的类型，在J.A.共享的在本文中，一个类似的类型不变的定义，在一般情况下捕获更多的信息，使用这个不变的结果中心化扩展到任意领域。证明了逆矩阵的存在性：两个矩阵具有共轭中心化子当且仅当它们具有相同的广义型。本文最后给出了对称群和交错群的类似结果。
Groups in which every non-cyclic subgroup contains its centralizer
我们研究具有如下性质的群：每个非循环子群都包含其中心化子。刻画了这类群中幂零群和超可解群的结构。我们还利用上述性质对有限$p$ -群和有限单群进行了分类。
Locally finite groups with bounded centralizer chains
群G的c-维数是G中中心化子套链的最大长度。证明了有限c维k的局部有限群的非交换合成因子小于5 k。
Characterizations of some groups in terms of centralizers
一个群$G$称为$n$ -中心化子，如果它的元素中心化子的数目为$\mid \Cent(G)\mid=n$;一个F-群，如果每个非中心元素中心化子不包含其他元素中心化子;对于任何非交换的$n$ -中心化群$G$，我们证明了$\mid \frac{G}{Z(G)}\mid \leq (n-2)^2$，如果$n \leq 12$和$\mid \frac{G}{Z(G)}\mid \leq 2(n-4)^{{log}_2^{(n-4)}}$，否则，这改善了早期的结果。证明了若$G$是任意非交换的$n$ -中心化子F-群，则gcd $(n-2, \mid \frac{G}{Z(G)}\mid) \neq 1$ .对于有限F-群$G$，证明了$\mid \Cent(G)\mid \geq \frac{\mid G \mid}{2}$当且仅当$G \cong A_4 $是一个具有交换核的超特殊$2$ -群或一个具有交换核的Frobenius群，且其补为$2$ .其中，对具有非平凡中心的有限群$G$，证明了$\mid \Cent(G)\mid = \frac{\mid G \mid }{2}$当且仅当$G$是一个超特殊的$2$ -群.给出了一类非CA-群的F-群，推广了一个较早的结果。
Subgroups and Homology of Extensions of Centralizers of Pro-p Groups
研究自由pro-$p$群的中心化子的pro-$p$扩张的生成子群中有限指标子群的同调群维数的渐近性态.我们还证明了这样的亲$p$集团的独立利益的群论结构特性。
On finite groups with exactly two non-abelian centralizers
本文刻画了具有唯一真非交换元中心化子的有限群$G$.这改进了\cite [定理1.1]{nab}。其中，我们证明了：对于某些$a \in G$，若$C(a)$是$G$的真非交换元中心化子，则$\frac{C(a)}{Z(G)}$是$\frac{G}{Z(G)}$的Fitting子群，$C(a)$是$G$和$G' \in C(a)$的Fitting子群，其中$G'$是$G$的换位子群.
Conjugacy and Centralizers in Groups of Piecewise Projective Homeomorphisms
莫诺在[14]中引入了一个类汤姆逊群的家族，它为冯·诺依曼-戴猜想提供了自然的反例。我们构造了一个共轭和不变量的特征，并使用它们来计算这个家庭的一个组中的中心化。
Centralizers of Finite Subgroups of the Mapping Class Group
本文研究曲面的映射类群的有限子群在曲线复形上的作用。证明了如果有限子群H的几乎不动点集的直径足够大，则H的中心化子是无穷大的。
On solubility of groups with finitely many centralizers
对任意群G，设C（G）表示G的中心化子集.我们说群G有n个中心化子（G是Cn-群），如果|C（G）|= n.在本文中，我们证明了每个有限Cn-群，其中n？21是可溶的，这个估计是尖锐的。证明了每个|G| <30 n +15 19的有限Cn-群都是非幂零可解群.这个结果部分地回答了A. 2000年的Ashrafi。
Centralizers of sofic approximations of Kazhdan groups
该研究证明了满足特定软嵌入条件的Kazhdan群局部可嵌入有限群，有限呈现的此类群为剩余有限，并得出其软嵌入的中心化子是置换群度量超积的结论。
Profinite extensions of centralizers and the profinite completion of limit groups
引入并研究了一类通过中心化子的扩张定义的投射有限群，这类群类似于广泛研究的完全剩余生成的自由群，即极限群（在Z. Sela）。从极限群的profinite完备化属于这类这一事实出发，得到了极限群的群论结构和同调性质的结果。
Finite subgroups of the profinite completion of good groups
本文证明剩余有限好群的有限 $p$-子群共轭类可自然双射对应到其有限完备化，并刻画中心化子与正规化子的闭包性质，且推广至有限可解子群并给出几何群论应用。
Conjugacy classes of centralizers in the group of upper triangular matrices
设G是一个群。称G中的两个元素x和y在同一z类中，如果它们在G中的中心化子在G内共轭.本文证明了在域为无穷大且矩阵的大小至少为6的条件下，上三角形矩阵群的z-类个数为无穷多，否则为有限.
A structure theorem for centralizers of dilations in $QI(\mathbb{R}_{+})$
通过引入无穷远处粗稠密序列定义的渐近不变量，证明与膨胀粗交换的拟等距的刚性定理，并识别中心化子中具有非空渐近不变量的子群同构于正实数乘法群。
The centralizers in the root group of a special Moufang set are abelian
本文证明了：如果$\mathbb{M}(U,τ)$是一个特殊的Moufang集，且$a\in U^*$是，则C_U（a）是交换的.
Centralizers of irreducible subgroups in the projective special linear group
本文利用交替模分类了$PSL(n,\mathbb{C})$中不可约子群的中心化子的共轭类。具有交替双线性型的有限阿贝尔群。当$n$是无平方的时，我们证明了这些共轭类是由它们的同构类分类的.更一般地说，我们定义了一个有限的图形相关的分类，其组合特性，预计将帮助我们描述的奇异（orbifold）轨迹的分层在一些字符品种。
Computing centralizers in [f.g. free]-by-cyclic groups
本文证明有限生成自由-循环群中元素的中心化子可计算，并由此得出共轭元集合可计算及带上下文无关约束的共轭问题可判定，最后提出若干开放问题。
Centralizers of Commuting Elements in Compact Lie Groups
两环面上平坦G-丛的模空间完全由其完整表示决定。当G是紧的、连通的和单连通的时，我们证明了模空间同胚于两个环面模外尔群作用的乘积，或等价于G中元素交换对的共轭类.由于非单连通群的分支群是由n元组的中心化子中的某个有限维子群给出的，我们利用扩展Dynkin图的图自同构证明了G中元素对的中心化子的性质，并给出了一些具体的例子.我们的结论表明，作为一个紧凑的，连接的，单连通的李群G有一个有限数量的子群，每个共轭的任何元素在G的中心化子，有一个一致的限制上的交换元素的非冗余链。
Compact $p$-adic analytic groups in which centralizers are abelian
本文利用多种代数与表示论方法构造了每个非平凡元素中心化子均为阿贝尔群的 pro-$p$ 群，回答了相关公开问题。
Effective embedding of residually hyperbolic groups into direct products of extensions of centralizers
对任意无挠双曲群$Γ$和任意完全剩余$Γ$的群$G$，我们构造了一个从$G$到由$Γ$通过中心化子扩张得到的群的同态的有限集合，其中至少有一个是内射的.当$G$是剩余的$Γ$时，这给出了将$G$有效嵌入到这样的群的直积中。我们还给出了一个算法构造的一个图编码的同态集从一个给定的群到$Γ$。
On non-commuting sets and centralizers in infinite group
群G的子集X是两两非交换元素的集合，如果对X中任意两个不同的元素a和b，ab 6= ba.如果jXj？对于G中的任何其他成对非交换元素集合Y，则X被称为是成对非交换元素的极大子集，并且这样的子集的基数表示为！（G）。在本文中，我们证明了，对于每一个正整数n，在等倾点之前，只有n个群G，且！(G)= n（正好有n个扶正器）。
Conjugacy, roots, and centralizers in Thompson's group $F$
我们完成的程序开始由布林和斯奎尔的特征共轭汤普森的组$F$使用的标准行动$F$作为一组分段线性同胚的单位区间。
Groups with bounded centralizer chains and the~Borovik--Khukhro conjecture
设$G$是局部有限群，$F(G)$是$G$的Hirsch-Plotkin根.用$S$表示$G/F(G)$的广义Fitting子群在$G$中的全逆像。假设存在一个数字$k$，使得$G$中的嵌套中心器的每个链的长度不超过$k$。Borovik-Khukhro猜想指出，特别是，在这个假设下的商$G/S$包含一个交换子群的指数有界的$k$。我们反驳了这个说法，并证明了它的一些较弱的模拟。
On groups with same number of centralizers
本文研究群的中心化子数量与同斜性质的关系，给出非阿贝尔子群与群本身同斜的充分条件，并证明当群具有4、5、7或9个元素中心化子时，其换位子群同构于相应的小阶循环群，且换位子群阶数等于中心化子数量减2。
Centralizers of Camina $p$-groups of nilpotence class $3$
设$G$是幂零类$3$的Camina $p$ -群.证明了若$G' < C_G (G')$，则$|Z(G)| \le |G':G_3|^{1/2}$ .我们还证明了如果$G/G_3$只有一个或两个$|G:G'|$阶的阿贝尔子群，则$G' < C_G (G')$。若$G/G_3$有$|G:G'|$阶的$p^a + 1$阿贝尔子群，则为$G' < C_G (G')$或$|Z(G)| \le p^{2a}$。
Exponential groups 2: Extensions of centralizers and tensor completion of CSA groups
对于CSA群$G$和一类阿贝尔群$A$，我们给出了张量$A$的一个显式构造--用合并的自由积完成$G$.我们将所得结果应用于研究$A$ -自由群的基本性质。特别地，引入了无$A$群中元素的规范形式和约化形式，并描述了交换元和共轭元.
On the centralizer of a balanced nilpotent section
设$G$是定义在完全离散赋值环$\mathbb{O}$上的分裂约化代数群，其剩余域为$\mathbb{F}$，分数域为$\mathbb{K}$，其中纤维$G_{\mathbb{F}}$是几何标准的.一个平衡的幂零截面$x \in \text{Lie}(G)$可以粗略地认为是$\mathbb{K}$幂零轨道上的一个$\mathbb{O}$ -点，使得$\mathbb{K}$和$\mathbb{F}$上的相应轨道具有相同的Bala-Carter标号。在本文中，我们将建立一些关于$x$的中心化子$G^x \subseteq G$结构的结果。这包括一个证明，$G^x$是一个光滑的组计划，其几何纤维的组件组是同构的。
Centralizer-like Subgroups Associated with the $n$-Engel Words Inside of Direct Product Groups
本文研究直积群中与 $n$-Engel 字相关的类中心化子子群，证明两个群的直积的右 $n$-Engel 元素集合等于各直积因子的右 $n$-Engel 元素集合的直积，并提出后续研究问题。
Centralizers of Subsystems of Fusion Systems
当$(S,\mathcal{F},\mathcal{L})$是$p$ -局部有限群且$(T,\mathcal{E},\mathcalŁ_0)$在$(S,\mathcal{F},\mathcal{L})$中弱正规时，我们证明了Aschbacher给出的$C_S(\mathcal{E})$的一个定义有一个简单的解释，从这个解释可以很容易地推导出它的存在性和强闭包.我们还利用Gross的一个结果，给出了在$C_S(\mathcal{E})$上存在唯一的融合系统$C_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$的新证明.
Centralizers and conjugacy classes in finite classical groups
设$\mathscr{C}$是定义在有限域上的典型群.我们提出了全面的理论解决方案，以下密切相关的问题：1）列出一个代表为每个共轭类的$\mathscr{C}$。2)给定$x \in \mathscr{C}$，通过给出其群结构和生成集，描述$\mathscr{C}$中$x$的中心化器$C_{\mathscr{C}}(x)$。3)给定$x,y \in \mathscr{C}$，确定$x$和$y$在$\mathscr{C}$中是否共轭，如果共轭，则找到明确的$z \in \mathscr{C}$，使得$z^{-1}xz = y$。我们还制定了实用的算法来解决这些问题，并在岩浆中实现了它们。
On a problem of B. Hartley about a small centralizer in finite and locally finite groups
本文证明有限群中具$n$阶自同构且$m$个不动点时存在可解子群，其指数与Fitting高由$m,n$界定，并肯定解答B. Hartley问题：局部有限群中中心化子有限的元素蕴含存在有限指数且具局部幂零因子有限正规列的子群。
A criterion for Tits alternative on the centralizer of a matrix
本文提出一个矩阵中心化子在GL(n,Z)中为多项式循环群的充要条件，即不包含非阿贝尔自由子群，并给出了使矩阵可交换的简单条件，从而在GL(n,Z)中建立有效的蒂茨替代准则，并应用于保持非退化有理双线性形式的算术群的共轭问题。
On centralizers of parabolic subgroups in Coxeter groups
设$W$是任意Coxeter群，可能具有无限秩。本文描述了任意抛物子群$W_I$的中心化子$Z_W(W_I)$分解为$W_I$的中心、Coxeter群和由2-胞腔复形定义的子群.在显式计算中只需要有限抛物子群的信息。此外，通过使用我们的$Z_W(W_I)$的描述，我们揭示了第三个因素对第二个因素，特别是对第二个因素的有限不可约分量的作用的进一步强大的属性。
Conjugacy classes of centralizers in unitary groups
设$G$是一个群。如果两个元素$x,y \in G$在$G$中的中心化子在$G$中共轭，则称它们在同一$z$类中.考虑$\mathbb F$是特征$\neq 2$的理想域，它具有$2$阶的非平凡伽罗瓦自同构。进一步，假设固定域$\mathbb F_0$具有这样的性质，即它在任何有限次上都只有1000个域扩张。本文证明了这类域上酉群的$z$类的个数是有限的。进一步，我们计算了有限酉群$U_n(q)$中$z$ -类的个数，并证明了当$q>n$时，这个个数与$GL_n(q)$的个数相同。
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