On the Bidirected Cut Relaxation for Steiner Forest
针对Steiner Forest问题近似因子难以突破2的开放问题，研究了推广自斯坦纳树双向割松弛的线性规划松弛，证明其半整数解可舍入为代价增幅不超16/9的解，并提出递归最密子图收缩算法用于证明。
2024-12-09 cs.DM cs.DS
A Partition-and-Merge Algorithm for Solving the Steiner Tree Problem in Large Graphs
针对大图Steiner树问题，提出一种划分与合并算法，通过分解网络为小子图并自底向上合并及局部优化，在大规模实例上优于已知最佳算法且在中小规模上表现良好。
2024-08-22 cs.DS
An Efficient Approximation Algorithm for the Steiner Tree Problem
Steiner树问题是一个经典的和最基本的$\mathcal{NP}$ -难问题：给定一个任意的加权图，寻找一个最小成本的树，覆盖给定的顶点（终端）的子集。Byrka \emph{et al}。提出了一种$1.3863+ε$ -近似算法，该算法在每次迭代中收缩一个分量后求解线性规划。Goemans \emph{et al}。结果表明，它是可以实现相同的近似保证，而只解决一次超图LP松弛。然而，优化超图LP松弛精确是强NP-难的。本文提出了一种有效的两阶段启发式贪婪策略，实现了$1.4295$的近似比。
2018-11-01 cs.DS
An Improved Integrality Gap for Steiner Tree
本文提出了一种基于对偶-原算法的组合算法，将Steiner树问题的双向割松弛的积分间隙从2改进到1/2。
2026-07-21 cs.DS
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
Resolving the Steiner Point Removal Problem in Planar Graphs via Shortcut Partitions
本文应用平面图的捷径划分概念解决了Steiner点移除（SPR）问题，通过构造保留终端间最短路径距离至常数因子的minor，肯定地解决了一个长期存在的开放问题。
2023-09-13 cs.CG cs.DS
A Logarithmic Integrality Gap Bound for Directed Steiner Tree in Quasi-bipartite Graphs
我们证明了在具有$k$终端的准二部图中，基于自然割的LP松弛的有向Steiner树问题的完整性间隙是$O(\log k)$。这样的例子可以被看作是广义的集合覆盖，所以完整性缺口分析是紧到一个常数因子。我们的方法的一个新的方面是，我们使用的原始-对偶方法，很少使用的技术，在有向图的网络设计问题的近似算法的设计。
2016-04-27 cs.DS
A Constant-Factor Approximation for Quasi-bipartite Directed Steiner Tree on Minor-Free Graphs
给出了不含固定子式的图上有向Steiner树的拟二部实例的第一个常数因子近似算法。特别是，对于$K_r$ -小自由图，我们的近似保证是$O(r\cdot\sqrt{\log r})$，并且进一步地，对于平面图，我们的近似保证是20。我们的算法使用原始对偶方案。我们采用了一个更复杂的方法来确定何时购买边，同时提高对偶变量，因为，正如我们所示，自然的原始对偶方案未能提高足够的对偶值来支付购买的解决方案。因此，我们也证明了完整性差距上界的标准切割为基础的线性规划放松有向斯坦纳树的情况下，我们认为。
2022-11-05 cs.DS
One Tree to Rule Them All: Poly-Logarithmic Universal Steiner Tree
本文通过多项式时间算法计算 $O(\log^7 n)$-近似通用 Steiner 树和多对数强稀疏划分层次结构，解决了相关开放问题，并在常数倍增维度等特殊图上取得紧的 $O(\log n)$ 近似改进。
2023-08-02 cs.DS
Matroids and Integrality Gaps for Hypergraphic Steiner Tree Relaxations
直到最近，LP松弛在Steiner树问题的近似算法的设计中发挥了有限的作用。在2010年，Byrka等人提出了一个基于超图LP松弛的ln（4）+ ε近似，但令人惊讶的是，他们的分析没有提供完整性间隙的匹配边界。我们重新审视超图LP松弛的施泰纳树问题-一个严重利用的方法和结果，从理论的拟阵和次模函数-这导致更强的完整性差距，更快的算法，和各种结构的见解独立的利益。更准确地说，我们提出了一个确定性的ln（4）+numb近似，与LP值进行比较，因此证明了完整性差距的匹配ln（4）上界。与Byrka等人类似，我们迭代地固定一个分量并更新LP解。然而，虽然他们解决了LP在每一次迭代后，合同的一个组成部分，我们展示了如何可行性可以保持一个贪婪的程序上精心挑选的拟阵。除了避免在每次迭代时求解超图LP的昂贵步骤之外，我们的算法可以使用简单的势函数进行分析。这给出了一个简单的方法来确定更强的近似保证和完整性差距时，考虑限制图拓扑。特别是，这很容易导致一个73/60的准二部图的完整性差距的界限。对于拟二部图的情况下，我们提出了一个简单的算法转换的最佳解决方案的双向切割松弛的超图松弛的最佳解决方案，导致一个快速的73/60近似的拟二部图。此外，我们展示了如何通过计算最大流来解决超图松弛的分离问题，为我们的拟阵提供了一个快速的独立预言。
2011-12-13 cs.DM cs.DS
Algorithms for 2-connected network design and flexible Steiner trees with a constant number of terminals
$k$-Steiner-2NCS问题如下：给定一个常数$k$和一个无向连通图$G = (V,E)$，$E$上的非负代价$c$，以及$V$的一个划分$(T, V-T)$为一组终端、$T$和一组非终端（或Steiner节点），其中$|T|=k$，找到一个包含终端的最小代价两节点连通子图。我们提出了一个随机多项式时间算法的未加权的问题，和一个随机PTAS的加权问题。对于$k$ -Steiner-2 ECS问题，我们得到了类似的结果，其中输入是相同的，算法的目标是找到一个最小成本的两个边缘连接的子图，包含终端。我们的方法建立在Björklund，Husfeldt和Taslaman的结果基础上（ACM-SIAM SODA 2012）给出了用于未加权的$k$ -Steiner-循环问题的随机多项式时间算法;该问题具有与未加权的$k$ -Steiner-2NCS问题相同的输入，并且算法目标是找到包含终端的最小大小的简单循环$C$（$C$可以包含任何数量的Steiner节点）。
2022-08-01 cs.DS
Simplex based Steiner tree instances yield large integrality gaps for the bidirected cut relaxation
双向割松弛是双向松弛（$\mathrm{\mathcal{BCR}}$）的特征代表，双向松弛是NP-难Steiner树问题（STP）的一类著名的等价LP-松弛.虽然没有基于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的通用近似算法，其近似比STP的$2$更好，但在整数规划中，它作为STP的实现是最优选的，因为存在紧凑大小的公式，其在实践中证明是非常有效的。已知$\mathrm{\mathcal{BCR}}$的完整性间隙至多为$2$，并且长期存在的未决问题是完整性间隙是否小于$2$。迄今为止，最佳下限是Byrka等人证明的$\frac{36}{31} \approx 1.161$ [BGRS 13]。基于Chakrabarty等人的工作。[CDV 11]通过考虑适当的对偶公式将STP实例嵌入到单纯形中，我们通过构造一类新的实例并证明其完整性间隙至少倾向于$\frac{6}{5} = 1.2$来改进这一结果。更确切地说，我们认为类的等价LP-松弛$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，可以通过加强$\mathrm{\mathcal{BCR}}$已知的直接施泰纳顶点度约束，并表明，最坏情况下的比例关于$\mathrm{\mathcal{BCR}}$和$\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$之间的最佳值至少是$\frac{6}{5}$。由于$\math…
2020-02-18 cs.DM cs.DS math.CO
Greedy Algorithms for Steiner Forest
在斯坦纳森林问题中，我们被赋予终端对$\{s_i, t_i\}$，并且需要找到将每个终端对连接在一起的最便宜的子图。1991年，Agrawal、Klein和Ravi，以及Goemans和Williamson给出了这个问题的原始-对偶常数因子近似算法;到目前为止，我们所知道的唯一常数因子近似是通过线性规划松弛。我们考虑以下贪心算法：给定度量空间中的终端对，如果终端到其伙伴的距离不为零，则称终端为“活动”。选择两个最近的活动终端（例如$s_i, t_j$），将它们之间的距离设置为零，并购买连接它们的路径。重新计算度量，然后重复。我们的主要结果是，该算法是一个常数因子近似。我们还使用该算法给出了新的，更简单的构造成本分摊计划的施泰纳森林。特别是，这个问题的第一个“组严格”的成本份额意味着一个非常简单的组合抽样为基础的随机Steiner森林算法。
2014-12-24 cs.DS
Scattering and Sparse Partitions, and their Applications
本文针对加权图引入散射与稀疏划分概念，并利用它们为通用斯坦纳树和斯坦纳点移除问题构造了具有特定伸缩因子的解，同时为多种图族提供了新结果。
2024-03-14 cs.CG cs.DS
Lower Bounds on $0$-Extension with Steiner Nodes
本文研究允许 Steiner 节点的 $0$-Extension 变体，证明同一半度量 LP 松弛即便使用超线性数量 Steiner 节点，整性隙仍有 $\Omega(\log\log |T|)$ 下界。
2024-01-17 cs.DS
Shortcut Partitions in Minor-Free Graphs: Steiner Point Removal, Distance Oracles, Tree Covers, and More
本文突破了平面性限制，通过引入cop分解的确定性变体，首次为$K_r$-minor-free图构建了捷径划分，并据此实现了最优距离预言机和常数大小的树覆盖。
2023-07-31 cs.DS
2-Approximation for Prize-Collecting Steiner Forest
本文针对带奖赏收集的Steiner森林问题提出一种确定性多项式时间算法，将近似因子从2.54改进到2，达到与Steiner森林问题一致的最佳已知保证。
2024-05-06 cs.DS
Generalised k-Steiner Tree Problems in Normed Planes
1-Steiner树问题，即构造最多包含一个Steiner点的Steiner最小树的问题，已经由Georgakopoulos和Papadimitriou在欧几里得平面上使用称为定向Dirichlet单元划分的平面细分解决。他们的算法在$O(n^2)$时间内产生最优解。在本文中，我们推广他们的方法，以解决$k$ -施泰纳树问题，其中施泰纳最小树可能包含$k$施泰纳点为一个给定的常数$k$。我们还进一步扩展他们的方法，包括其他赋范飞机，并解决更广泛的一类问题，包括$k$瓶颈施泰纳树问题和其他广义$k$ -施泰纳树问题。我们表明，对于任何固定的$k$，这样的问题可以解决在$O(n^{2k})$时间。
2013-06-22 cs.DS math.CO
On the Integrality Gap of the Prize-Collecting Steiner Forest LP
在奖金收集斯坦纳森林（PCSF）问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，边成本$\{c_e\geq 0\}_{e\in E}$，终端对$\{(s_i,t_i)\}_{i=1}^k$，以及每个终端对的惩罚$\{π_i\}_{i=1}^k$;目标是找到一个森林$F$，以最小化$c(F)+\sum_{i: (s_i,t_i)\text{ not connected in }F}π_i$。Steiner森林问题可以看作是$π_i=\infty$对所有$i$的特殊情况.人们普遍认为，自然（和充分研究）的线性规划（LP）松弛PCSF的完整性差距是最多2。我们通过证明这个LP的完整性缺口至少是$9/4$来消除这种信念。这甚至适用于平面图。我们还表明，使用此LP，不能设计一个拉格朗日乘子保持（LMP）算法的近似保证比$4$。因此，我们的结果显示了奖励收集和非奖励收集的LP弛豫的完整性间隙之间的分离（即，标准）Steiner森林，以及通过PCSF的LMP和非LMP近似算法相对于最优LP解可实现的近似比。对于奖金收集Steiner树（PCST）的特殊情形，证明了自然LP松弛存在基本可行解，且所有边变量都为正，所有值坐标至多为$1/3$.因此，我们排除了使用直接迭代舍入方法近似PCST的可能性，保证比$3$更好。
2017-06-20 cs.DM cs.DS math.OC
A Linear Programming Based Approach to the Steiner Tree Problem with a Fixed Number of Terminals
我们提出了一组整数规划（IP）的Steiner树问题的属性，通过解决所有获得的最佳解决方案，提供了一个最佳的Steiner树。每个IP是多项式的基础图形的大小和我们的主要结果是，每个IP的线性规划（LP）放松是积分，使它可以解决作为一个线性规划。然而，IP的数量随着Steiner树中终端的数量呈指数增长。因此，我们能够解决斯坦纳树问题，解决多项式数量的LP，当终端的数量是固定的。
2018-12-05 cs.DM cs.DS math.CO
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Approximation Algorithms for $\ell_p$-Shortest Path and $\ell_p$-Group Steiner Tree
针对带有向量成本的Shortest Path、Group Steiner Tree和Group ATSP问题变体，提出基于流的Sum-of-Squares松弛算法，实现了多对数近似，并给出了多项式与准多项式时间复杂度及硬度结果。
2024-04-26 cs.DS
On Min-Power Steiner Tree
在经典的（最小代价）Steiner树问题中，我们给出了一个边加权无向图和一组终端节点。目标是计算一个最小成本树S，它跨越所有终端。在本文中，我们考虑的最小功率版本的问题，这是更适合于无线应用。这里，目标是最小化节点的总功耗，其中节点的功率v是S的任何边与v关联的最大成本。直观地说，节点是天线（其中的一部分是我们需要连接的终端），并且边成本定义了经由双向链路连接它们的端点的功率（以便支持具有ack消息的协议）。与最小代价树不同的是，即使在生成树的情况下，即当所有节点都是终端时，最小功率Steiner树也是NP-难的。由于任何树的功率在其成本的一倍和两倍内，因此计算rho \leq ln（4）+eps [Byrka et al.近似最小代价Steiner树为该问题提供了2 rho <2.78的近似。对于最小功率生成树，相同的方法提供了2近似，在[Althaus et al. '06]。本文提出了一种改进的最小权Steiner树的近似算法。我们的结果基于两个主要因素。我们证明了最小功率Steiner树的第一分解定理，在类似的结构结果的精神，最小成本Steiner树和最小功率生成树。基于这个定理，我们定义了一个适当的LP松弛，我们利用在迭代随机舍入框架[Byrka et al. '10]。仔细分析提供了3ln 4-9/4+eps<1.91的近似因子。同样的方法也给出了最小功率生成树的改进的…
2012-05-16 cs.DS
On a Partition LP Relaxation for Min-Cost 2-Node Connected Spanning Subgraphs
我们的动机是改善已知的最佳近似保证问题的最小成本2-节点连接生成子图的给定无向图的非负边成本。提出了一种基于划分约束的线性规划松弛算法。输入包含零成本生成树的特殊情况称为2NC-TAP。我们提出了一个贪心算法的2NC-TAP，我们分析它通过双重拟合我们的分区LP松弛。关键词：2-节点连通图，近似算法，连通性增强，贪心算法，网络设计，分区松弛
2021-11-15 cs.DS
Streaming Algorithms for Geometric Steiner Forest
针对动态几何点流中的 Steiner 森林问题，提出结合采样、线性素描与 Arora 动态规划的单遍算法，达到接近欧几里得 Steiner 比的近似，并给出 $Ω(k)$ 空间下界。
2024-05-11 cs.DS
Deterministic Minimum Steiner Cut in Maximum Flow Time
本文提出一种确定性最小斯坦纳割算法，将最大流调用次数降至多对数级并仅需近线性额外时间，同时引入可推广现有 s-强划分方法的确定性图分解技术。
2024-07-01 cs.DM cs.DS
On the hop-constrained Steiner tree problems
跳约束Steiner树问题（HSTP）是经典Steiner树问题的推广。它要求一个最小成本的子树，跨越一些指定的节点，一个给定的图，这样的树的每个节点和它的根之间的边的数量尊重一个给定的跳跃限制。这个NP难问题有许多变体，通常被建模为整数线性规划。两个模型是所谓的分配和部分订购的模型，产量（据我们所知）最好的两个国家的最先进的配方的变化施泰纳树问题的收入，预算和跳约束（STPRBH）。HSTP及其变体（如STPRBH和跳约束最小生成树问题（HMSTP））的解决方案是跳约束树，其深度由给定的跳数限制限定的有根树。本文提供了一些理论结果，表明多面体的优势，部分订购模型的分配模型，这类问题。对HSTP、STPRBH和HMSTP的计算结果表明，偏序模型在实际应用中也优于指派模型，它具有更好的线性规划松弛性，能解决更多的问题。
2021-11-14 cs.DM cs.DS
The clustered selected-internal Steiner tree problem
给定一个具有非负边代价的完全图$G=(V,E)$，两个子集$R \subset V$和$R^{\prime} \subset R$，$R$的一个划分$\mathcal{R}=\{R_1,R_2,\ldots,R_k\}$，$R_i \cap R_j=ϕ$，$i \neq j$和$R^{\prime}$的$\mathcal{R}^{\prime}=\{R^{\prime}_1,R^{\prime}_2,\ldots,R^{\prime}_k\}$，$R^{\prime}_i \subset R_i$，聚类Steiner树是$G$的树$T$，其跨越$R$中的所有顶点，使得$T$可以通过移除$k-1$边而被切割成$k$子树$T_i$，并且每个子树$T_i$跨越所有顶点。PDMATHBNB、$1 \leq i \leq k$中的顶点。聚类Steiner树的代价被定义为它所有边的代价之和。如果$R^{\prime}_i$中的所有顶点都是$T_i$的内部顶点，则$G$的聚类选择内部Steiner树是$R$的聚类Steiner树，$1 \leq i \leq k$。聚簇选择内部Steiner树问题是关于以最小代价确定$G$中的$R$和$R^{\prime}$的聚簇选择内部Steiner树$T$。在本文中，我们提出了第一个已知的近似算法与性能比$(ρ+4)$的集群选择内部Steiner树问题，其中…
2021-04-04 cs.DS math.CO
$O(\log^2k/\log\log{k})$-Approximation Algorithm for Directed Steiner Tree: A Tight Quasi-Polynomial-Time Algorithm
在有向Steiner树（DST）问题中，我们给出了一个$n$ -顶点有向边赋权图，一个根$r$和一个$k$终端节点的集合.我们的目标是找到一个最小成本的树形图，包含一个有向路径从$r$到每个终端。我们提出了一个$O(\log^2 k/\log\log{k})$ -近似算法的DST运行在准多项式时间。通过调整Halperin和Krauthgamer的硬度结果中的参数，给出了这类拟多项式时间算法的$Ω(\log^2{k}/\log\log{k})$的匹配下界.这是自Charikar等人的经典准多项式时间$O(\log^3 k)$近似算法以来对DST问题的第一次改进。（由于先前工作中的错误，该论文错误地声称$O(\log^2k)$近似。）我们的方法基于两个主要成分。首先，我们推导出一个近似保持约简的标签一致子树（LCST）问题。LCST实例具有准多项式大小和对数高度。我们注意到，相比之下，Zelikovsky的高度减少定理在所有以前的工作DST实现了减少到一个树的实例相关组施泰纳树（GST）的问题类似的高度，但失去了对数因子的近似比。我们的第二个成分是LP舍入算法近似解决LCST实例，这是由Rothvovich开发的框架的启发。我们考虑LCST的适当LP松弛的Sherali-Adams提升。我们的舍入算法从根到叶一级一级地进行，每次舍入和调节标签变量的适当子集。一个足够小的（即，多对数）…
2018-11-07 cs.DS
Polynomial Integrality Gap of Flow LP for Directed Steiner Tree
在有向Steiner树（DST）问题中，我们给出了一个$n$上的有向图$G=(V,E)$，其边代价为$c \in \mathbb{R}_{\geq 0}^E$，根顶点$r \in V$，以及$k$终端集$K \subseteq V \setminus \{r\}$.我们的目标是找到一个最小成本的$G$子图，其中包含从$r$到每个终端$t \in K$的路径。几十年来，DST一直是一个臭名昭著的问题，因为对于任何常数$ε> 0$，$O(k^ε)$的最佳多项式时间逼近比与$O\left(\frac{\log^2 k}{\log \log k}\right)$的最佳准多项式时间逼近比之间存在很大差距。为了理解这个缺口，我们研究了标准流LP松弛的完整性缺口的问题。我们发现LP具有$Ω(n^{0.0418})$的完整性缺口。先前，LP的完整性间隙仅已知为$Ω\left(\frac{\log^2n}{\log\log n}\right)$ [Halperin等人，SODA'03 \& SIAM J.~计算。]和$Ω(\sqrt{k})$ [Zosin-Khuller，SODA'02]在某些情况下与$\sqrt{k}=O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$。我们的结果给出了这个标准LP的完整性间隙的第一个已知下界，该标准LP是$n$中的多项式，顶点数。…
2022-11-11 cs.DM cs.DS math.OC
Exact Algorithms for Minimum Steiner Point Trees
DGIST（大邱广域市科学技术院）
针对平面$L_p$度量下带最小斯坦纳点数量与有界边长约束的斯坦纳树问题，提出一种确定性精确算法，可在$n^{O(n)}$时间内求解最优解并给出值界。
2026-08-04 cs.CG cs.DS
Approximation Algorithms for Edge Partitioned Vertex Cover Problems
我们考虑部分顶点覆盖问题的自然推广。这里，实例由图G =（V，E）、正成本函数c：V-> Z^{+}、边集$E$的分区$P_1,..., P_r$以及每个分区$P_i$的参数$k_i$组成。目标是找到覆盖来自分区$P_i$的至少$k_i$边的顶点的最小成本集合。我们称之为分区顶点覆盖问题。本文给出了该问题逼近性的匹配上下界。我们的算法是基于一个新的LP松弛这个问题。这个LP松弛通过将背包覆盖不等式添加到问题的自然LP松弛来获得。我们证明了这个线性规划的完整性间隙为$O(log r)$，其中$r$是边集划分中的集合数。我们还将我们的结果扩展到更一般的设置。
2012-10-10 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for (Budgeted) Node-weighted Steiner Problems
Moss和Rabani[12]研究约束节点加权Steiner树问题，每个节点有两个独立的权重值，即成本和奖励（或惩罚）。给出了奖金收集节点加权Steiner树问题（PCST）的O（log n）-近似算法.他们使用PCST的算法，以获得一个双准则（2，O（log n））-近似算法的简化节点加权Steiner树问题。他们的解决方案可能会花费两倍的预算，但收集了一个最佳奖励的因子Omega（1/log n）。我们至少从两个方面改进了这些结果。我们的第一个主要结果是一个原始-对偶O（log h）-近似算法的一个更一般的问题，奖金收集节点加权Steiner森林，其中我们有（h）的要求，每个要求一对顶点的连接。我们的算法可以被看作是一个贪心算法，它通过选择一个具有最小成本减少比的结构来减少需求的数量。这种自然的论证风格（也被Klein和Ravi[10]和Guha et al. [8])导致了一个比Moss和Rabani[12]的PCST算法简单得多的算法。我们的第二个主要贡献是改进的节点加权Steiner树问题，这也是对[12]和[8]的改进。在无根情况下，我们改进了[8]的O（log^2（n））-近似，并给出了一个O（logn）-近似算法，且没有任何预算冲突.对于有根的情况，其中指定的顶点必须出现在解树中，我们将[12]的双准则结果改进为对于任何正（可能是次常数）（eps）的双准则近似比（1…
2013-04-28 cs.DM cs.DS
Cactus Representations in Polylogarithmic Max-flow via Maximal Isolating Mincuts
本文提出最大隔离最小割技术，通过多对数次最大流调用构造 Steiner cactus 和超图 cactus，首次实现两个问题的近线性时间算法，并加速超图最小割维护与连通性增强算法。
2023-11-17 cs.DS
Approximation algorithms for Node-weighted Steiner Problems: Digraphs with Additive Prizes and Graphs with Submodular Prizes
在\emph{budgeted rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个图$G$与$n$节点，一个预定义的节点$r$，两个权重与每个节点建模成本和奖励。目的是在$G$中找到一棵以$r$为根的树，使得其节点的总成本至多是给定的预算$B$，并且总奖金最大化。在\emph{quota rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个实值配额$Q$，而不是预算，我们的目标是最小化成本的树扎根于$r$的总奖金至少是$Q$。对于有向图的情况下，添加剂奖励功能，我们开发了一种技术，诉诸于一个标准的基于流的线性规划松弛计算树与奖金和成本之间的良好权衡，这使我们能够提供非常简单的多项式时间近似算法的预算和配额问题。对于\emph{budgeted}问题，我们的算法实现了双准则$(1+ε, O(\frac{1}{ε^2}n^{2/3}\ln{n}))$ -近似，对于任何$ε\in (0, 1]$。对于\emph{quota}问题，我们的算法保证双准则近似因子为$(2, O(n^{2/3}\ln{n}))$。接下来，通过使用基于流的LP，我们提供了一个令人惊讶的简单的多项式时间$O((1+ε)\sqrt{n} \ln {n})$近似算法的节点加权版本的有向斯坦纳树问题，任何$ε>0$。对于无向图的情况下，单调的子…
2022-11-12 cs.CC cs.DS
The matching relaxation for a class of generalized set partitioning problems
本文针对一类可由集合分割公式描述的具有填充约束的组合优化问题，提出了一种离散松弛方法。我们提出了两个组合松弛的基础上计算最大加权匹配合适的图。除了提供对偶边界外，松弛还用于变量减少技术和数学上。我们展示了如何，一般的方法可以定制的样本应用程序，也进行了成功的计算评估与基准的例子，在海上物流的问题。
2018-05-11 cs.DS math.OC
Local Distribution and the Symmetry Gap: Approximability of Multiway Partitioning Problems
我们研究了多路划分问题的可逼近性，其中的例子包括多路割，节点加权多路割和超图多路割。我们调查这些问题的角度来看，两种可能的概括：作为最小的CSP，和子模块化多路划分问题。这两个推广导致两个自然松弛，基本LP和Lovasz松弛。我们证明了Lovasz松弛给出了具有$k$终端的次模多路划分的（2-2/k）-近似，改进了最近的一个2-近似.我们证明了这个因子在两个意义上是最优的：（1）k个终端的次模多路划分的（2-2/k-ε）-近似需要指数级的多个值查询。(2)对于超图多路割和有k个终端的结点加权多路割，这两种子模多路划分的特殊情况，我们证明了（2-2/k-ε）-近似是NP-难的，假设唯一对策猜想.我们的硬度结果是更一般的：（1）我们表明，对称间隙的概念，以前用于次模最大化问题，也意味着硬度结果的次模最小化问题。(2)假设唯一的游戏猜想，我们表明，基本的LP给出了一个最佳的近似为每一个最小的CSP，包括不相等的谓词。最后，我们通过证明基本LP的完整性间隙与多线性松弛的对称间隙（对于相关实例）来连接这两种硬度技术。这表明Min-CSP和相关的子模最小化问题出现相同的硬度阈值不是巧合。
2015-03-12 cs.DS
On the Integrality Gap of Directed Steiner Tree LPs with Relatively Integral Solutions
针对有向斯坦纳树问题，提出一种基于流的线性规划松弛，在相对整数条件下证明其具有多对数整数性间隙，并给出随机多项式时间 $O(\log^3 k)$ 近似算法。
2025-10-10 cs.DM cs.DS
Lasserre Integrality Gaps for Graph Spanners and Related Problems
最近在用于近似图空间的算法上已经有了显著的进展，即，算法的近似最好的一个给定的输入图的搜索。基本上所有这些算法都使用相同的基本LP松弛，因此各种论文都研究了这种方法的局限性，并证明了这种LP在各种设置中的完整性差距。我们扩展这些结果表明，即使是最强的升降机和项目的方法不能帮助显着，证明多项式的完整性差距，即使是$n^{Ω(ε)}$级别的Lasserre层次结构，为有向和无向的问题。我们还将这些完整性差距扩展到相关问题，特别是定向施泰纳网络和浅光施泰纳网络。
2019-05-17 cs.CC cs.DS math.OC
Optimal Approximations for the Requirement Cut Problem on Sparse Graph Classes
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；Department of Informatics, University of Bergen（卑尔根大学信息学系）
本文针对稀疏图类上的需求切割问题，通过分析最小斯坦纳树数量和系列-并行图深度，提出单对数级别的近似算法，改进了现有图类的近似比。
2025-11-24 cs.DS
Submodular Hypergraph Partitioning: Metric Relaxations and Fast Algorithms via an Improved Cut-Matching Game
本文提出统一有向与无向超图划分的通用模型，引入多态拟阵割函数，通过负型度量松弛实现$O(\sqrt{\log n})$近似，并推广割匹配游戏得到近线性时间$O(\log n)$近似算法。
2023-07-26 cs.DM cs.DS
Determinant maximization subject to a partition matroid constraint via stable distributions
Stanford University（斯坦福大学）
针对划分拟阵约束下的行列式最大化问题，提出基于稳定分布的多项式时间近似算法，将鞍点松弛转化为多线性松弛，达到与最优值估计匹配的近似保证。
2026-09-16 cs.DS
A Constant-Factor Approximation Algorithm for the Asymmetric Traveling Salesman Problem
给出了求解非对称旅行商问题的一个常数因子近似算法。我们的近似保证相对于标准LP松弛进行了分析，因此我们的结果证实了该松弛的固定常数完整性间隙。我们的方法的主要思想是减少Subtour分区覆盖，一个更容易的问题，通过显着放松到本地连接条件的一般连接要求。我们首先表明，任何算法的Subtour分区覆盖可以变成一个算法的ATSP，而只失去了一个小的常数因子的性能保证。接下来，我们提出了一个减少从一般的ATSP实例结构化的情况下，我们然后解决Subtour分区覆盖，产生我们的常数因子的近似算法的ATSP。
2020-09-15 cs.DS
Randomized Rounding over Dynamic Programs
EPFL（洛桑联邦理工学院）；School of Computer Science, Nanjing University（南京大学计算机学院）；ETH AI Center（苏黎世联邦理工学院人工智能中心）；New Cornerstone Science Foundation（新Cornerstone科学基金会）；State Key Laboratory for Novel Software Technology（新型软件技术国家重点实验室）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
针对解具有动态规划递推关系的问题，提出通过将其转化为网络设计问题并构造强LP松弛进行随机舍入的方法，在额外装箱约束下实现了多项式或准多项式时间的近似保证。
2025-11-05 cs.DS
Efficient Algorithms for Subdeterminant Maximization under Partition Matroids
University of Michigan（密歇根大学）
针对分区拟阵约束下的行列式最大化问题，提出基于几何最大最小松弛舍入的 $e^{O(k)}$ 近似算法，改进了现有 $k^{O(k)}$ 近似。
2026-09-17 cs.DM cs.DS
Fast Algorithms for Directed Graph Partitioning Using Flows and Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究提出加入三角不等式的有向边扩展半定规划松弛，结合矩阵乘法权重更新得到近似线性时间的近似算法与改进割匹配博弈，构建了有向图划分的最优流框架，且可推广至顶点扩展与超图问题。
2023-06-15 cs.DM cs.DS cs.LG
Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition
本文研究子模多路划分问题（SubMP）的算法。SubMP的一个实例由一个有限基集$V$、一个称为终端的$k$元素的子集$S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$和一个作为值oracle提供的$V$上的非负子模集函数$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}_+$组成。目标是将$V$划分为$k$集合$A_1,...,A_k$，使得对于$1 \le i \le k$、$s_i \in A_i$和$\sum_{i=1}^k f(A_i)$最小化。SubMP推广了一些著名的问题，如图和超图中的多路割问题，以及图中的节点加权多路割问题。Zhao，Nagamochi和Ibaraki \cite{ZhaoNI05}考虑了任意次模函数（而不仅仅是对称函数）的SubMP。以前的算法是基于贪婪的分裂和分而治之的策略。在最近的工作\cite{ChekuriE11}，我们提出了一个凸规划松弛SubMP的基础上的子模函数的Lovász-扩展，并显示其适用于某些特殊情况。在本文中，我们得到了以下结果任意次模函数通过这种松弛。(i)SubMP的2-近似。这改进了来自\cite{ZhaoNI05}的$(k-1)$ -近似和（ii）当$f$是对称的时用于SubMP的$(1.5-1/k)$ -近似。这改进了来自\cite{Queyranne99,ZhaoNI05}的$2(1-1/k)$近似。
2011-05-10 cs.DM cs.DS
A relaxation of the Directed Disjoint Paths problem: a global congestion metric helps
在有向不相交路径问题中，我们给出一个有向图$D$和一组请求$\{(s_1, t_1), \ldots, (s_k, t_k)\}$，任务是找到一组成对顶点不相交路径$\{P_1, \ldots, P_k\}$，使得每个$P_i$是$D$中从$s_i$到$t_i$的路径。对于固定的$k=2$，该问题是NP完全的，对于DAG中的参数$k$，该问题是W[1]困难的.一些积极的结果是已知的限制下的输入有向图，如平面或有界有向树的宽度，或放宽的问题，如允许顶点拥塞。然而，对于一般的有向图，正的结果是罕见的。在这篇文章中，我们提出了一个新的全球拥塞度量的问题：我们只需要的路径是“足够不相交”，在这个意义上说，他们必须表现得很好，而不是在整个图，但在一个未指定的部分规定的参数的大小。也就是说，在不相交的足够有向路径问题中，给定一个$n$ -顶点有向图$D$，一组$k$请求，以及非负整数$d$和$s$，任务是找到连接请求的路径集合，使得$D$的至少$d$顶点出现在集合的至多$s$路径中.我们研究了这个问题的参数化的复杂性的一些选择的参数，包括有向树宽度的$D$。在其他的结果中，我们证明了这个问题是W[1]-困难的DAG参数$d$，并在积极的一面，我们给出了一个算法的时间$\mathcal{O}(n^{d+2} \cdot k^{d\cdot s})$和核的大小$d \cdot 2^{k-s}\cd…
2021-12-20 cs.CC cs.DS math.CO
Clustering with Semidefinite Programming and Fixed Point Iteration
Brown University（布朗大学）
我们介绍了一种新的方法，使用半定规划（SDP）松弛的最大k-切问题的聚类。该方法是基于一种新的方法，四舍五入的SDP松弛使用迭代线性最优化的解决方案。我们显示的顶点的最大k-切松弛对应的分区的数据到最多k集。我们还证明了这些顶点是迭代线性最优化的吸性不动点。这个迭代过程的每一步都解决了最近顶点问题的松弛，并导致一个新的聚类问题，其中底层聚类的定义更清楚。我们的实验表明，与随机舍入相比，使用不动点迭代舍入最大k-Cut SDP松弛会导致显著更好的结果。
2022-07-05 cs.DS cs.LG math.CO
Subdeterminant Maximization via Nonconvex Relaxations and Anti-concentration
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院（EPFL））
在最优化和计算机科学中出现的几个基本问题可以如下：给定向量$v_1,\ldots,v_m \in \mathbb{R}^d$和一个约束族${\cal B}\subseteq 2^{[m]}$，找到一个集合$S \in \cal{B}$，使$S$中的向量所覆盖的单纯形的平方体积最大化。一个激励性的例子是机器学习中的数据摘要问题，其中给出了表示文档或图像等数据的向量集合。一组向量的体积被用作其多样性的度量，并且对$[m]$施加分区或拟阵约束以确保资源或公平性约束。最近，Nikolov和Singh提出了一个凸程序，并展示了当${\cal B}$对应于一个分割拟阵时，如何使用它来估计最多样化集合的值。这个结果最近被扩展到Straszak和Vishnoi以及Anari和Oveis Gharan的作品中的正则拟阵。这些估计算法是否可以转换为更有用的近似算法-也输出一组-的问题仍然悬而未决。本文的主要贡献是给出了分块拟阵和正则拟阵的一级近似算法。我们提出了新的配方为这些拟阵的子行列式最大化问题，这减少了他们的问题，找到一个点，最大化的绝对值的非凸函数的概率单纯形的笛卡尔积。我们的结果的技术核心是一个新的反浓度不等式的相依随机变量，使我们能够将这些非凸函数的最优值，他们的值在一个随机点。不像以前的工作的约束子行列式最大化问题，我们的证明不依赖于真实的稳定性或凸性，可以在算法和复杂性的独立利益。
2018-07-23 cs.DS cs.LG math.OC
