散射与稀疏划分及其应用
Scattering and Sparse Partitions, and their Applications
AI总结：
本文针对加权图引入散射与稀疏划分概念，并利用它们为通用斯坦纳树和斯坦纳点移除问题构造了具有特定伸缩因子的解，同时为多种图族提供了新结果。
摘要：
一个加权图$G$的划分$\mathcal{P}$被称为$(σ,τ,Δ)$-稀疏的，如果每个簇的直径至多为$Δ$，并且半径为$Δ/σ$的每个球至多与$τ$个簇相交。类似地，$\mathcal{P}$被称为$(σ,τ,Δ)$-散射的，如果对于球，我们改为要求长度为$Δ/σ$的每条最短路径至多与$τ$个簇相交。给定一个图$G$，它对于所有$Δ>0$都允许$(σ,τ,Δ)$-稀疏划分，Jia等人[STOC05]构造了通用斯坦纳树问题（以及通用旅行商问题）的一个解，其伸缩因子为$O(τσ^2\log_τn)$。给定一个图$G$，它对于所有$Δ>0$都允许$(σ,τ,Δ)$-散射划分，我们构造了斯坦纳点移除问题的一个解，其伸缩因子为$O(τ^3σ^3)$。然后我们为各种不同的图族构造了稀疏和散射划分，为通用斯坦纳树和斯坦纳点移除问题获得了许多新结果。
英文摘要：
A partition $\mathcal{P}$ of a weighted graph $G$ is $(σ,τ,Δ)$-sparse if every cluster has diameter at most $Δ$, and every ball of radius $Δ/σ$ intersects at most $τ$ clusters. Similarly, $\mathcal{P}$ is $(σ,τ,Δ)$-scattering if instead for balls we require that every shortest path of length at most $Δ/σ$ intersects at most $τ$ clusters. Given a graph $G$ that admits a $(σ,τ,Δ)$-sparse partition for all $Δ>0$, Jia et al. [STOC05] constructed a solution for the Universal Steiner Tree problem (and also Universal TSP) with stretch $O(τσ^2\log_τn)$. Given a graph $G$ that admits a $(σ,τ,Δ)$-scattering partition for all $Δ>0$, we construct a solution for the Steiner Point Removal problem with stretch $O(τ^3σ^3)$. We then construct sparse and scattering partitions for various different graph families, receiving many new results for the Universal Steiner Tree and Steiner Point Removal problems.
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