超度量空间几何导论

有限超度量空间的刚性有多大？

How rigid the finite ultrametric spaces can be?

度量空间$X$是刚性的，如果$X$的等距群是平凡的.具有$|X| \geq 2$的有限超度量空间$X$不是刚性的，因为对于每个这样的$X$，存在具有精确$|X|-2$不动点的自等距。利用表示树刻画了有限超度量空间$X$，其中每个自等距至少有$|X|-2$不动点.还得到了这类空间的其他一些极值性质和相关的图论刻画。

2015-11-25math.MG

超度量与完全多部图

Ultrametrics and complete multipartite graphs

我们描述了一类图，对于这类图，所有具有直径图的度量空间都是超度量的。证明了度量空间$(X, d)$是超度量的当且仅当对于每个$\varepsilon > 0$，度量空间$d_{\varepsilon}(x, y) = \max\{d(x, y), \varepsilon\}$的直径图为空或完全多部。对完全有界空间得到了上一个结果的一个改进。此外，利用完全多部图刻画了紧超度量化拓扑空间。有界超度量空间与无界超度量空间弱相似，并利用完全多部图刻画了有界超度量空间。

2021-03-17math.MG

树的同构与超度量空间的isometry

Isomorphism of trees and isometry of ultrametric spaces

本文研究了有限树的边权生成度量的空间的等距等价于这些树的同构的条件。对树的顶点上的标号生成的超度量空间研究了类似的问题。所得结果概括了一些事实以前已知的系统发育树和Gurvich-Vyalyi单调树。

2020-02-17math.MG

树与超度量Möbius结构

Trees and ultrametric Möbius structures

我们定义了超度量莫比乌斯空间的概念，并用它来刻画非初等测地线完备树。

2015-08-13math.MG

单纯形与超度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离

The Gromov-Hausdorff Distances between Simplexes and Ultrametric Spaces

本文研究了有界度量空间$X$与所谓的单纯形之间的Gromov-Hausdorff距离，所有非零距离都相同的度量空间。在单形的基数不超过$X$的基数的情况下，得到了一个新的距离公式。后者允许导出一个精确的公式之间的距离单纯形和超度量空间。

2019-07-08math.MG

有限超度量球

Finite Ultrametric Balls

给出了有限集$X$的子集族$\mathcal{F}$与$X$上的超度量$d$所生成的所有球族$\mathbf{B}_X$重合的充要条件.证明了在超度量空间$(X, d)$的表示树$T_X$中，通过在每个内部空间上增加一个叶子，可以得到超度量空间$(\mathbf{B}_{X}, d_H)$的Hausdorff距离$d_H$表示树$T_X$的顶点。

2019-03-23math.MG

关于近似超度量扩张的一个注记

A note on extensions of approximate ultrametrics

定义在度量空间X的子集S上的超度量可以扩展到X，同时粗略地保持Sx X中对之间的距离。

2012-11-13math.MG

关于超度量保持函数

On ultrametric-preserving functions

给出了伪度量保持函数和半度量保持函数的特征，给出了伪度量可表示为超度量和超伪度量保持函数的复合的结构性质，给出了超度量保持函数的Pongsriiam-Termwuttipong特征的对偶形式.我们还引入了$k$ -分离函数族的概念，并用它来刻画超度量空间。

2019-07-09math.MG

超度量空间中点的直径与直径对

Diameter and diametrical pairs of points in ultrametric spaces

设F（X）是集合X的有限非空子集的集合。本文给出了对给定函数f：F（X）->R，X上存在超度量使得f（A）= diamA，对任意A \in F（X）的充要条件.对有限非退化超度量空间（X，d），证明了X与X的对径点对子集构成一个完全k-部图，k ≥ 2，反之，也可得到所有k ≥ 2的有限完全k-部图.我们利用这个结果刻画了有限超度量空间（X，d）对给定的卡X具有极小卡{（x，y）：d（x，y）=diam X，x，y \in X}.

2011-10-04math.MG

度量空间的积、覆盖数、堆积数及超度量空间的刻画

Products of metric spaces, covering numbers, packing numbers and characterizations of ultrametric spaces

本文描述了度量空间的某些笛卡儿积，并找到了超度量空间的乘积是超度量的条件。

2009-03-10math.CAmath.MG

Urysohn泛超度量空间的构造

Constructions of Urysohn universal ultrametric spaces

本文给出Urysohn泛超度量空间的新构造。首先刻画了从零维无孤立点的紧致T2空间到具有近离散拓扑的非负实数空间的所有像包含零点的连续函数空间的Urysohn泛超度量子空间.因此，整个函数空间是Urysohn泛函数，可以看作是Banach-Mazur定理的非阿基米德类比。作为进一步的应用，我们证明了具有聚点的零维紧致T2空间上的所有连续伪超度量空间是Urysohn泛超度量空间.这个结果可以看作是Wan通过Gromov-Hausdorff超度量空间构造Urysohn泛超度量空间的一个变体。

2023-02-16math.GNmath.MG

Gromov-Hausdorff超度量

Gromov-Hausdorff ultrametric

我们证明了在超度量空间类中存在Gromov-Hausdorff度量的自然对应。特别地，证明了度量取值于固定可数集的超度量空间的空间与无理数空间同胚。

2005-11-17math.GNmath.MG

符号Cantor集和超度量空间上的形变

Deformations on symbolic Cantor sets and ultrametric spaces

通过在符号Cantor集和超度量空间上引入新的变形，证明了二重超度量空间允许bilipschitz嵌入Cantor集.如果另外的空间是一致完美的，我们证明了它们是拟对称的康托集等价。作为一个应用，我们提供了一个新的证明，最近的工作Heer（Anal.地质测量Spaces，2017）关于康托尔集的拟莫比乌斯均匀化。

2019-11-04math.CVmath.MG

Urysohn万有超度量空间的刻画

Characterizations of Urysohn universal ultrametric spaces

本研究通过闭球无穷等距子集刻画超度量空间的有限内射性与Urysohn万有超度量空间，证明笛卡尔积、超空间、对称积保持该空间结构，且完备有限内射超度量空间必含其等距子空间。

2024-09-17math.GNmath.MG

超度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离：结构与计算

The Gromov-Hausdorff distance between ultrametric spaces: its structure and computation

Gromov-Hausdorff距离（$d_\mathrm{GH}$）提供了一种量化两个给定度量空间之间相异性的自然方法。已知计算两个有限度量空间之间的$d_\mathrm{GH}$是NP困难的，即使在有限超度量空间的情况下也是如此，所述有限超度量空间是高度结构化的度量空间，在这个意义上它们满足所谓的\emph{strong triangle inequality}。超度量空间自然出现在许多应用中，如层次聚类，遗传学，基因组学，甚至语言学。利用超度量空间的特殊结构，（1）在有限超度量空间的集合上，特别是在$d_\mathrm{GH}^{(1)} =d_\mathrm{GH}$上，我们确定了一个单参数距离族$\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$，它的定义类似于Gromov-Hausdorff距离.当$p=\infty$（我们也记为$u_\mathrm{GH}$）是超度量空间集合上的超度量时的极端情况。而对于所有的$p\in[1,\infty)$，$d_\mathrm{GH}^{(p)}$产生NP-困难的问题，我们证明了令人惊讶的$u_\mathrm{GH}$可以计算在多项式时间。证明是基于本文建立的$u_\mathrm{GH}$的一个结构定理;（2）受$u_\mathrm{GH}$的结构定理的启发，通过仔细利用超度量空间的性质，我们还建立…

2021-10-07cs.CGmath.MG

关于齐次超度量空间的粗等价分类

Classifying homogeneous ultrametric spaces up to coarse equivalence

对于每个度量空间$X$，我们引入了描述$X$中球容量的两个基本特征$\mathrm{cov}^\flat(X)$和$\mathrm{cov}^\sharp(X)$.我们证明了这些基数特征在粗等价下是不变的，并证明了两个超度量空间$X,Y$是粗等价的，如果$\mathrm{cov}^\flat(X)=\mathrm{cov}^\sharp(X)=\mathrm{cov}^\flat(Y)=\mathrm{cov}^\sharp(Y)$。这个结果意味着超度量空间$X$粗等价于等距齐次超度量空间当且仅当$\mathrm{cov}^\flat(X)=\mathrm{cov}^\sharp(X)$。此外，两个等距齐性超度量空间$X,Y$是粗等价的当且仅当$\mathrm{cov}^\sharp(X)=\mathrm{cov}^\sharp(Y)$当且仅当这两个空间中的每一个粗嵌入到另一个空间中。这意味着等距齐次超度量空间$X$的粗结构完全由基数$\mathrm{cov}^\sharp(X)=\mathrm{cov}^\flat(X)$的值决定。

2019-09-21math.GNmath.MG

加倍空间中关于豪斯多夫维数的Dvoretzky型定理的简单证明

A simple proof of Dvoretzky-type theorem for Hausdorff dimension in doubling spaces

超度量骨架定理[Mendel，Naor 2013]暗示了以下豪斯多夫维数的非线性Dvoretzky型定理：对于任何$0<β<α$，任何豪斯多夫维数$α$的紧致度量空间$X$包含一个子集，该子集是双Lipschitz等价于超度量，并且具有至少$β$的豪斯多夫维数。在本文中，我们提出了一个简单的证明超度量骨架定理在加倍空间使用Bartal的拉姆齐分解[Bartal 2021]。同样的一般方法也被用来回答一个问题Zindulka [Zindulka 2020]的存在“近超度量”子集的紧空间具有完整的豪斯多夫维数。

2022-02-28math.MG

超度量的嵌入、扩张和插值

An embedding, an extension, and an interpolation of ultrametrics

超度量的概念可以被认为是普通度量的零维模拟，并且它被期望证明度量空间上的定理的超度量版本。本文给出了度量空间的Arens-Eells等距嵌入定理、度量空间的Hausdorff扩张定理、紧性的Niemytzki-Tychonoff特征定理、作者的度量空间的内插定理和度量空间的稠密子集定理的超度量形式。

2021-03-11math.GNmath.MG

超度量空间上的有界偏差同胚

Bounded distortion homeomorphisms on ultrametric spaces

众所周知，R-树之间的拟等距在它们的超度量端空间之间诱导出幂拟对称同胚。本文研究了有界完备一致完美超度量空间（即，这些超度量空间产生的相似性作为结束空间的灌木树）。一个有界的失真性质，发现这种超度量空间，也是伪加倍之间的幂拟对称同胚的特点。此外，给出的例子表明，在何种程度上的同胚的幂拟对称不捕获的拟共形和双赫尔德条件这类超度量空间。

2010-02-09math.GNmath.GTmath.MG

超度量Gromov-Wasserstein距离

The ultrametric Gromov-Wasserstein distance

本文研究了紧致超度量测度空间，它构成所有度量测度空间$\mathcal{M}^w$的集合的子集$\mathcal{U}^w$.类似于超度量空间$\mathcal{U}$集合上的超度量Gromov-Hausdorff距离，我们在$\mathcal{U}^w$上定义了两个度量的超度量版本，即$p$阶的Sturm距离和$p$阶的Gromov-Wasserstein距离.我们研究了这些距离的基本拓扑和几何性质以及它们之间的关系，并为$p=\infty$导出了计算它们的多项式时间算法。此外，几个下界的距离推导和我们的一些结果推广到有限的超相异度空间的情况。

2021-07-01math.MGq-bio.PE

超度量空间与云

Ultrametric approximation and Gromov--Hausdorff clouds

本文证明了从任意度量空间构造超度量空间的映射U的1-Lipschitz性质，研究了其性质，并发现其在点连通度量空间下是保持Gromov-Hausdorff距离的映射Ψ的逆映射。

2026-11-10math.MG

非可分Urysohn泛超度量空间的唯一性与齐次性

Uniqueness and homogeneity of non-separable Urysohn universal ultrametric spaces

本文研究了非可分Urysohn泛超度量空间的等距问题，引入petaloid超度量空间概念，证明了所有petaloid空间彼此等距且对有限及紧子空间具有齐次性，并验证了四类空间满足该性质。

2023-06-26math.GNmath.MG

Wasserstein空间的几何研究：超度量

A geometric study of Wasserstein spaces: ultrametrics

我们研究紧致超度量空间X的测度空间的几何，并赋予它与最优运输的L^p Wasserstein距离。我们证明了这个距离的幂p使得这个Wasserstein空间仿射等距于l^1的凸子集。因此，它由1/p-Hölder弧连接，但任何a>1/p的a-Hölder弧必须是常数。这个结果是通过两个测度之间的距离的重新表述而得到的，这对于X是超度量的情况非常特殊;然而，由于孟德尔-诺尔超度量骨架，即使X是一般的紧致度量空间，它也有结果。更准确地说，我们用它来估计Wasserstein空间的大小，通过适用于（某些）无限维空间的豪斯多夫维数的模拟来测量。我们得到的结果大大推广了我们以前的估计，需要一个强的可求正性假设。该估计的证明涉及一个独立感兴趣的结构定理：每个超度量空间都包含\emph{regular}超度量空间（即形式为{1，.，k}^N的自然超度量。我们还导致一个例子的独立利益：一个空间的积极低闵可夫斯基维，其所有的真闭子集有消失的低闵可夫斯基维。

2014-01-10math.FAmath.MG

超度量空间模空间的绝对Borel复杂度

Absolute Borel Complexity of Moduli Spaces of Ultrametrics

Tokyo Metropolitan University（东京都立大学）

研究可超度量化空间上有界相容超度量模空间的绝对Borel复杂度，证明其与空间X对应层级复杂度的等价性，得出该模空间完全可度量化的充要条件。

2026-08-18math.GNmath.MG

Gromov-T2 T2空间中的分形维数

Fractal dimensions in the Gromov--Hausdorff space

本文首先证明了对于所有四个非负实数，存在一个Cantor超度量空间，它的豪斯多夫维数，packing维数，上盒维数和Assouad维数分别等于给定的四个数.其次，利用度量空间的直和构造了任意紧可度量空间到Gromov-T2 T2空间的拓扑嵌入，证明了所有具有给定拓扑维数的紧度量空间的集合和所有具有上述4个维数的紧超度量空间的集合是路径连通的且具有无穷拓扑维数.这一观察超度量提供了另一个证明邱的定理，说明阿基米德和非阿基米德格罗莫夫-豪斯多夫距离的比例是无界的。

2022-12-10math.MG

有限超度量空间的距离中心

On the center of distances of finite ultrametric spaces

Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NASU（乌克兰国家科学院应用数学与力学研究所）；University of Turku（图尔库大学）；Donbas State Engineering Academy（顿巴斯国立工程学院）

研究有限超度量空间的距离中心性质，证明其大小上限及构造特定空间的例子。

2026-03-26math.GNmath.MG

高幂度量和超度量的同时扩张

Simultaneous extensions of metrics and ultrametrics of high power

广义度量是指取值于一般线性序阿贝尔群的度量.利用Hahn域，我们首先证明了：对于每个广义度量空间，如果度量的值域群的阿基米德等价类的集合有无穷减序列，则空间的每个非空闭子集都是环境空间的一致收缩子.其次，我们构造了广义度量和超度量的同时扩张。从广义度量扩张子的存在性出发，利用广义度量的完备性刻画了广义可度量化空间的最终紧性。

2022-07-21math.GNmath.MG

具有大豪斯多夫维数的超度量子集

Ultrametric subsets with large Hausdorff dimension

证明了对每个$\e\in (0,1)$，每个紧度量空间$(X,d)$都有一个紧子集$S\subseteq X$嵌入到一个有畸变的超度量空间$O(1/\e)$中，并且有$$\dim_H(S)\ge (1-\e)\dim_H(X),$$，其中$\dim_H(\cdot)$表示豪斯多夫维数.上述$O(1/\e)$失真估计通过基于扩展图序列的构造被示出为是尖锐的。

2012-03-06math.FAmath.MG

超度量空间上Gromov-Hausdorff距离的Lipschitz（非）等价性

Lipschitz (non-)equivalence of the Gromov--Hausdorff distances, including on ultrametric spaces

Gromov-Hausdorff距离度量紧度量空间之间的形状差异。虽然即使将距离近似到任何实际因素也会造成NP困难问题，但其松弛已被证明对几何数据分析中的问题有用，包括点云，流形和图形。我们调查修改后的Gromov-Hausdorff距离，放松的标准距离，保留其许多理论性质，其中包括他们的拓扑等价上的一组丰富的家庭的度量空间。我们证明了这两个距离是Lipschitz等价的任何家庭的度量空间的一致有界的大小，但等价并不成立，一般情况下，即使距离被限制到超度量空间。我们还证明了标准和修改后的Gromov-Hausdorff距离是相等的或在一个因素2从对方时，采取一个定期的单纯形，连接放松到一些著名的问题，在离散几何。

2022-09-09cs.CGmath.MG

Ahlfors正则空间的Dvoretzky型定理

Dvoretzky-type theorem for Ahlfors regular spaces

证明了对任何$0<β<α$，任何有界Ahlfors $α$ -正则空间都包含一个$β$ -正则紧子集，该子集嵌入到一个偏差至多为$O(α/(α-β))$的超度量中.当$β\to α$。证明中使用的主要工具是超度量骨架定理的正则形式。

2022-01-25math.MG

超度量空间的粗结构及其应用

Coarse structure of ultrametric spaces with applications

我们展示了如何将所有可分的超度量空间分解成满单形的缩放版本的“乐高”组合。为了做到这一点，我们引入了大尺度度量空间的度量分解，它描述了一个空间如何被分解成大致独立的部分。我们利用这些度量分解定义了大尺度度量空间的粗不交并，它提供了一种以“粗独立方式”将大尺度度量空间相互连接起来的方法.我们使用这些概念来构造泛空间的范畴可分和适当的度量空间的渐近维数$0$，分别。在这样做时，我们推广了Dranishnikov和Zarichnyi以及Nagórko和Bell的类似结果。然而，新的应用是渐近维数$0$的适当度量空间的普遍空间，这是那些作者所没有的。最后，我们描述了一些可数群，可以作为这样的通用空间。

2022-05-12math.GTmath.MG

超测量骨骼

Ultrametric skeletons

我们证明了对于每一个$ε\in (0,1)$，存在具有以下性质的$C_ε\in (0,\infty)$。如果$(X,d)$是紧度量空间，$μ$是$X$上的Borel概率测度，则存在嵌入到具有失真$O(1/ε)$的超度量空间中的紧子集$S\subseteq X$，以及$S$上支持的概率测度$ν$，该概率测度$ν$对所有$x\in X$和$r\in (0,\infty)$满足$ν(B_d(x,r))\le (μ(B_d(x,C_εr))^{1-ε}$。失真对$ε$的依赖性很强。我们讨论了这一声明的扩展到多个措施，以及它如何意味着Talagrand的majorizing措施定理。

2011-12-17math.FAmath.MGmath.PR

度量空间的分解

A factorization of metric spaces

RIKEN Center for Advanced Photonics（理化学研究所先进光子学中心）

该研究通过证明度量空间的嵌入定理，展示了度量和超度量的扩展存在性，保持了其关键性质如完备性、分形维数等。

2026-01-12math.GNmath.MG

有限超度量空间的渐近增强负型

The asymptotic enhanced negative type of finite ultrametric spaces

负型不等式在度量空间嵌入性质的研究中出现，但往往归结为难以处理的组合问题。在本文中，我们研究更多的定量版本，这些不等式涉及所谓的$p$ -负型差距。特别是，我们把注意力集中在类有限超度量空间，这是重要的领域，如遗传学和数据挖掘。设$(X,d)$是一个具有最小非零距离$α$的有限超度量空间。则$(X,d)$的$p$阴性型缺口$Γ_{X}(p)$对于所有$p \geq 0$均为阳性。本文计算了极限\begin{eqnarray*} Γ_{X}(\infty) & = & \lim\limits_{p \rightarrow \infty} \frac{Γ_{X}(p)}{α^{p}}. \end{eqnarray*}的值，证明了该值是正的，并可由一个简洁的组合公式显式给出。在我们的计算的基础上，我们然后能够表征时，$Γ_{X}(p)/ α^{p}$是恒定的$[0, \infty)$。$Γ_{X}(\infty)$的确定也导致新的，渐近尖锐的，家庭的增强$p$ -负型不等式$(X,d)$。事实上，假设$G \in (0, Γ_{X}(\infty))$ .然后，对于所有足够大的$p$，我们有\begin{eqnarray*} \frac{G \cdot α^{p}}{2} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |ζ_{k}| \right)^{2} + \sum\li…

2015-01-16math.COmath.FAmath.MG

超度量系统树空间

The space of ultrametric phylogenetic trees

从基因组序列数据的系统发育推断方法的可靠性由其统计一致性保证。贝叶斯推断方法从给定的序列数据的后验分布产生系统发生树的样本。因此，这些方法的统计一致性问题等同于样本汇总的一致性问题。更一般地说，用于分析样本的树空间确保了统计一致性。在本文中，我们考虑两个标准的参数化的进化模型中使用的系统发育的时间树：相互结合的时间间隔长度和绝对时间的分歧事件。对于这些参数化，我们引入了一个自然的超度量系统发育树的度量空间。我们比较了引进的空间与现有的模型树空间，并制定了一些正式的要求，度量空间的系统发育树必须具备一个令人满意的空间统计分析，并证明他们。我们发现，只有少数已知的系统发育树的空间结构满足这些要求。然而，我们的结果表明，这些基本要求是不够的，以区分两个度量空间，我们介绍和度量空间之间的选择需要考虑额外的属性。特别是，最小化从样本到树的平方距离的摘要树对于不同的参数化可能不同。这表明，进一步的基本见解是需要到系统发育推断方法的统计一致性的问题。

2016-06-09math.MGmath.STstat.TH

无限搜索：基于q度量空间的向量搜索与投影

Infinity Search: Approximate Vector Search with Projections on q-Metric Spaces

Department of Electrical and Systems Engineering, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA, USA（宾夕法尼亚大学电气与系统工程系）；Department of Electrical and Computer Engineering, Rice University, Houston, TX, USA（里士满大学电气与计算机工程系）

本文提出基于q度量空间的近似向量搜索方法，通过投影算子将任意不相似函数转换为超度量空间，并利用学习近似以提高搜索效率，实验显示q值增加可提升速度但降低召回率。

2026-10-05cs.IRcs.LGeess.SP