Configurations of Rank-40r Extremal Even Unimodular Lattices (r=1,2,3)
Scott D. Kominers, Zachary Abel
证明了：若L是秩为40 r的极值偶幺模格，且r= 1，2，3，则L由其模向量4r和4r+2生成.我们的结果是Ozeki的结果的一个推广的情况下r=1。
We show that if L is an extremal even unimodular lattice of rank 40r with r=1,2,3 then L is generated by its vectors of norms 4r and 4r+2. Our result is an extension of Ozeki's result for the case r=1.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A fourth extremal even unimodular lattice of dimension 48
我们证明了存在唯一的48维极值偶幺模格，它具有5-（8，16）-8型的5阶自同构.由于三个已知的极值格不允许这样的自同构，这提供了一个48维极值偶幺模格的新例子。
Automorphisms of extremal unimodular lattices in dimension 72
本文缩小了72维极值偶幺模格的可能自同构。在{ \sc Magma}中使用Steve Donnelly编写的用于计算代数数域的类群的非常复杂的算法进行了广泛的计算，结果表明，来自\cite{dim72}的极值偶幺模格$Γ_{72}$是唯一的72维极值偶幺模格，其允许大的自同构，其中$d\times d$矩阵被称为大的，如果它的极小多项式有一个$> d/2$次不可约因子。
Configurations of Extremal Even Unimodular Lattices
我们推广了Ozeki关于极值偶幺模格构型的结果。具体地说，我们证明了，如果L是这样一个格的秩56，72，或96，那么L是由其最小范数向量。
On automorphisms of extremal even unimodular lattices of dimension 48
利用有限单群的分类，计算了已知的三个48维和72维的极值偶幺模格的自同构群。得到了48维极格可能自同构的限制条件。我们分类的48维的极端格有一个自同构的顺序$m$与$φ(m) > 24$。特别是格$P_{48n}$是唯一的极值48维格，出现作为一个理想格上的分圆数域。
Two Extremal Even Unimodular Lattices of Rank $88$
本文构造了秩88的正定极值偶幺模格，并证明其极端性，从而其格球堆积密度局部最大。
On the Existence of Frames of Some Extremal Odd Unimodular Lattices and Self-Dual Zk-Codes
对于维数为n= 12，16，20，32，36，40和44的一些极值（最优）奇幺模格L，我们确定所有正整数k使得L包含k-框架.这一结果给出了长度为12，16，20，32，36，40和44的极值I型Zk-码的存在性，以及对于正整数k，除少数例外，长度为28的近极值I型Zk-码的存在性.
Construction of $s$-extremal optimal unimodular lattices in dimension 52
首次构造了一个$52$维的$s$ -极值最优幺模格.这个格是由某个自对偶$\mathbb{F}_5$码通过构造A构造的。另外，作为格的邻居，构造了另外两个$s$ -极值最优幺模格.
Some Extremal Self-Dual Codes and Unimodular Lattices in Dimension 40
本文研究了40维二元极值单偶自对偶码和40维极值奇幺模格。本文给出了长度为40的极值单偶自对偶码的分类。我们还给出了一个分类的极值奇幺模格在40维的阴影有80个向量的范数2，通过它们的关系，长度为40的极值双偶自对偶码。
Even Unimodular Lattices from Quaternion Algebras
我们回顾了数域上四元数代数的一个格构造，并用它来获得一些已知的8维和16维的极值格和dennial格。在数域上使用四元数代数的好处是作图题的维数减少了3/4。我们显式地构造了$E_8$格（分别为. $E_8^2$和$Λ_{16}$）分别从实二次代数上的无穷多个四元数代数（分别为四次）数域，并进一步给出了这类数域上的一个密度结果。通过放宽极值条件，我们也为构造任意维数的$8$的倍数的偶幺模格提供了一个来源。
An Optimal Odd Unimodular Lattice in Dimension 72
证明了如果在72维上存在极值偶幺模格，则在该维上存在最优奇幺模格。因此，第一个例子中的最佳奇幺模格在72维构造的极值偶幺模格最近已发现的G。Nebe
Golden lattices
设$\vartheta := \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$为黄金比例。一个黄金格是一个偶幺模$\Z[\vartheta ]$ -格，它的希尔伯特θ级数是一个极值希尔伯特模形式。利用极值偶幺模格构造了金格，得到了稠密模格族。
Self-dual codes over $\mathbb{F}_5$ and $s$-extremal unimodular lattices
利用构造A从$\mathbb{F}_5$上的自对偶码构造了维数为$38$、$40$、$42$和$44$的新的$s$ -极值极值幺模格.在构造这些码的过程中，我们得到了$\mathbb{F}_5$上的自对偶$[44,22,14]$码。此外，该代码暗示了$\mathbb{F}_5$上的$[43,22,13]$代码。这些码分别具有比先前已知的$[44,22]$码和$[43,22]$码更大的最小权重。
On the degree-$2$ Siegel theta series of extremal even unimodular lattices of ranks $48$, $72$, $96$, and $120$
利用Igusa结构定理和深度过滤，研究极值偶幺模格子的2次Siegel theta级数，证明在秩48、72和96时由极值性唯一确定，在秩120时相差$\chi_{10}^6$的整数倍。
Unimodular Hunting II
本文基于第二作者近期研究思路，确定了秩28幺模格的等距类，以及不含范数≤2非零向量的秩29幺模格的等距类。
Unimodular lattices of rank 29 and related even genera of small determinant
本文通过一种高效方法分类了秩为29的单模格，并研究了相关偶体的同构类及行列式特性。
The unreasonable effectiveness of the tensor product
利用Nebe在2010年发现的72维极值偶幺模格的Hermitian张量积描述，利用Acta Arith中Coulanguo文章中的方法证明了它的极值性. 2000.
Automorphic forms for some even unimodular lattices
我们期待在一般的甚至unimodular格秩$12$的整数环的$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$和秩$8$的整数环的$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$，使用Kneser邻居对角化空间的标量值代数模形式。我们猜想大部分的全球阿瑟参数，并证明其中几个使用θ系列，在池田和Yamana的方式。我们发现非平行权希尔伯特模形式的同余的实例。转向厄米特格秩$12$的爱森斯坦整数，甚至和么模的$\mathbb{Z}$，我们证明了一个猜想的Hentschel，Krieg和Nebe，确定一定的线性组合的θ系列作为厄米特池田电梯，我们证明了另一个是厄米特Miyawaki电梯。
A Classification of Unimodular Lattice Wiretap Codes in Small Dimensions
格编码高斯窃听信道，窃听者监听发射机和合法接收机之间的传输，被认为是。一个新的格不变量称为保密增益被用作窃听格码的代码设计标准，因为它被证明可以表征所选择的格在窃听者处可能引起的混淆：格的保密增益越高，越混乱。本文导出了幺模格的保密增益公式。计算极值奇幺模格以及维度n中的幺模格的秘密增益，16 \leq n \leq 23，覆盖4个极值奇幺模格和所有111个非极值幺模格（奇数和偶数），从而提供来自维度n中的幺模格的最佳窃听格码的分类，8 < n \leq 23。最后，为了允许通过构造A进行格编码，确定相应的纠错码。
On the classification of lattices over $\Q(\sqrt{-3})$, which are even unimodular $\Z$-lattices
给出了\Q（\sqrt{-3}）上秩r=4，r=8和r=12的格的分类，这些格是偶幺模\Z -格.使用这种分类，我们构建了相关的θ系列，这是埃尔米特模形式，并计算过滤的尖点形式。
Linear independence of theta series of positive-definite even unimodular lattices
研究正定单模偶格中theta级数的线性独立性，确定其最小度数范围。
Theta Series with Half-integral Characteristics
本文研究奇数正定幺模格上的半整特征Theta级数，在偶数秩（尤其四的倍数）构造非零奇特征Theta级数，并揭示其与整幺模邻格的联系。
An even extremal lattice of rank 64
利用广义二次剩余码构造了一个秩为64的偶极值格.
A note on Quebbemann's extremal lattices of rank 64
通过构造明确的例子，我们表明，方法的Quebbemann产生许多同构类的秩64的极值格。这些例子中的许多都没有非平凡的自同构。
Rank 72 high minimum norm lattices
给定偶幺模格的极化和整数$k\ge 1$，我们定义了一族幺模格$L(M,N,k)$ .特别感兴趣的是等级72的某些$L(M,N,3)$。它们的最低规范位于$\{4, 6, 8\}$中。第4和第6种情况发生。因此，6成为秩为72的偶数幺模格的已知最高最小范数。我们讨论如何规范8可能会发生这样的$L(M,N,3)$。我们注意到一些$L(M,N,k)$在尺寸96，120和128适度高的最低标准。
A Sharp Reverse Minkowski Inequality for the Gaussian Mass of Integral Unimodular Lattices Through Rank $32$
通过模函数参数化和范数1分裂、ADE根计数及影子正性，证明秩不超过32的整幺模格的高斯质量在稳定格中由整数格最大化，并得到秩40偶幺模格的严格不等式。
Unimodular Hunting
本文发展基于标准格 Z^n 的 Kneser 邻格方法，以分类整幺模 Euclid 格，并通过计算确定秩 26 与 27 幺模格的等距同构类。
Counting Unimodular Lattices in $\R^{r,s}$
Narain格是幺模格{ \it in} $\R^{r,s}$，满足一定的自然等价关系和合理性条件.问题的描述和计数这些有理等价类Narain格在$\R^{2,2}$导致了一个有趣的连接到二进制形式和他们的高斯产品，如[HLOYII]。作为续集，在本文中，我们研究了任意有理Narain格，推广了我们以前的一些结果。特别是在$\R^{2,2}$的情况下，一个新的解释高斯产品的二进制形式带来了新的光，一些相关的对象-秩4合理Narain格，过格，秩2原始子格的抽象秩4甚至么模格$U^2$，和同构的判别群秩2格。
Refined Configuration Results for Extremal Type II Lattices of Ranks 40 and 80
我们证明了，如果L是秩为40或80的极值II型格，则L由其范数为min（L）+2的向量生成。这使Ozeki、第二作者和Abel的早期结果更加尖锐，这些结果表明这样的格L由它们的范数min（L）和min（L）+2的向量生成。
Automorphisms of modular lattices
将具有给定自同构的极值模格的分类方法推广到模格的情形。一个比Michael Juergens博士论文中的类型稍微更一般的概念是det类型。$L$上的自同构的det-类型决定了$L$的所有部分对偶格之一。这个简单的观察允许排除相当多的det-类型的自同构在上面提到的论文中留下的开放。通过适当的p-极大格，12维的复合层14和15的极值l-模格以及层6和维16的极值l-模格被分类。
Lattices and codes with long shadows
在较早的一篇论文（math.NT/9906019）中，我们证明了任何秩为n的整数幺模格L与Z^n不等距，其特征向量的范数至多为n-8。[L的“特征向量”是L中的向量w，使得2|（v，w-v）;已知特征向量都具有模同余于n mod 8的范数，并且包含L中2L的陪集。在这里，我们使用模形式和秩<24的幺模格的分类来找到所有最小特征向量具有范数n-8的L。在此过程中，我们还得到了最小范数为2的幺模格的吻数的同余和一个下界。然后，我们的状态和证明类似的这些结果的自对偶码，并将它们直接通过“建设A”的晶格问题。
On a conjecture by Belfiore and Solé on some lattices
本文证明了在所有已知的极值偶幺模格上，保密函数在y = 1处达到最大值。这是Belfiore和Solé猜想的一个特例。进一步，我们将给出一个非常简单的方法来验证或反驳任何给定的幺模格上的猜想。
Irreducible rootless unimodular lattices generated by vectors of norm $3$
针对范数 $2$ 生成的唯一性（$E_8$），本文为每个正整数 $m$ 构造了秩 $24m$、最小范数 $3$ 的不可约奇幺模格，由其极小向量生成。
Extremal Property of the Square Lattice
受Faulhuber-Steinerberger 2019年结果的启发，我们证明了真正的正方形晶格$\mathbb{Z}^2$具有与六边形晶格$Λ$相同的局部极值性质，其中晶格点与自然基本区的“深孔”的距离在扰动下增加。如果$Δ$是$\mathbb{Z}^2$在幺模格空间中的小扰动，考虑$C_r$，即$A_r$中的点集移位到$Δ$。如果$Δ$是晶格$\mathbb{Z}^2$相对于欧几里德度量的扰动，则对于固定的深孔$p$，晶格点到$p$的总距离的总和严格增加，并且由晶格与其扰动之间的距离的函数限制。此外，我们证明了这种增长近似保持凸函数。
Some results on random unimodular lattices
设$n \in \mathbb{Z}_{\geq 3}.$给定$\mathbb{R}^n$的任意有限非零测度Borel子集$A$，我们证明了$\mathbb{R}^n$中随机满秩幺模格的本原点集不包含$A$的基数为$(n-2)$的任意$\mathbb{R}$ -线性无关子集的概率是上有界的，它只依赖于$n$，这推广了J.S. Athreya和G. A. Margulis（参见\cite [定理2.2]{Log}）。我们还推广了C. A. Rogers（参见\cite [定理6]{MeanRog}）和W. M. Schmidt（见\cite [定理1]{度量}）关于随机格的本原格点到秩小于$\frac{n}{2}.$的本原元组的情况除了刚才提到的作者的工作之外，本文的一个关键要素是使用了由于Brascamp \textendash Lieb \textendash Luttinger（见\cite [定理3.4]{BLL}）的重排不等式。
Embedding theory of lattices and its application for $2$-integrable lattices
对于正整数$s$，如果$\sqrt{s}\cdot L$对于某个整数$n$等距于$\mathbb{Z}^n$的子格，则称格$L$是$s$ -可积的. Conway和Sloane在1989年发现了秩为$12$和行列式为$7$的两个极小的非$2$ -可积格.我们找到了秩$12$和行列式$15$的另外两个。然后介绍了一种将给定格嵌入到幺模格中的方法，该方法在证明非$2$ -可积格的极小性和寻找非$2$ -可积格的候选格中起着关键作用.
Extremal Type II lattices of rank $72$ are generated by their second shell
证明秩 72 的极值 II 型格由范数 10 的向量生成，利用范数 10 层的球面 11-设计性质确定范数 8 与 10 层之间的内积分布。
A characterization of the Z^n lattice
利用θ级数和模形式证明了Z ^n是唯一不含范数<n的特征向量的秩为n的整幺模格，即唯一不含向量w使得（w，w）<n且2|（v，v + w）的所有格向量v.通过工作的克朗海默和其他人的塞伯格-威滕方程这产生了另一种证明定理唐纳森几何的4流形。
Root lattices over totally real fields
本文研究实数域上的根格点分类，扩展了Mimura对二次实数域的分类结果，利用Coxeter系统和代数数论技术完成一般实数域的分类。
Counting in generic lattices and higher rank actions
考虑了由线性型乘积定义的$\mathbb{R}^d$中定义域所含格点的计数问题，并证明了这些计数问题中的归一化差异满足非退化中心极限定理，条件是$d \geq 9$ .我们还研究了更完善的版本有关“螺旋近似”。我们的技术是动态的性质，并利用有效的指数混合的所有订单的行动，高秩阿贝尔群的单模格空间。
Pseudo-normalized Hecke eigenform and its application to extremal $2$-modular lattices
证明了秩为$32$和$48$的极$2$ -模格是由它们的极小范数向量生成的.在证明中，我们使用了归一化Hecke特征形的差的某些性质。我们称之为伪归一化Hecke本征形，本文介绍了这一概念。
Statistics for Kneser p-neighbors
设L和L'是同一亏格中的两个整欧几里德格.当素数p趋于无穷大时，我们给出了L的与L '等距的Kneser p-邻居个数的一个渐近公式.在L是幺模的情况下，如果我们进一步固定L的一个子群A，我们还给出了L的包含A且同构于L '的p-近邻个数的一个渐近公式。这些陈述解释了B. Allombert和作者。在附录中，O.泰比展示了如何从阿瑟的结果推导出与有理数上的确定正交群的自守表示相关的全局参数的存在性。
A Siegel cusp form of degree 12 and weight 12
已知两个秩为16的幺模偶正定格的θ级数在次数上至多为3，而在次数上线性无关。在本文中，我们考虑下一个情况下的24个尼迈耶格秩24。相关的θ级数在次数上最多为11，在次数上是线性相关的，在次数上是线性无关的。由此产生的Siegel尖点形式的程度12和重量12是一个Hecke本征形，似乎有有趣的性质。
The unique extremal threemodular lattice of rank 26, the generalized hexagon $(2,8)$, and the tight Cayley-plane $5$-design
本文通过调和 theta 恒等式和 Niemeier 构造，从秩26格重构广义六边形(2,8)，证明其唯一性，并利用射影3-设计第三矩证明紧致Cayley平面5-设计的几何唯一性，最终确定自同构群为 ^3D_4(2):3。
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