Are There Infinitely Many Primes?
D. A. Goldston
本文是基于在BAMA（湾区数学冒险）活动中对有动机的高中（和更年轻的）学生的演讲。介绍了研究素数和孪生素数的一些方法。
This paper is based on a talk given to motivated high school (and younger) students at a BAMA (Bay Area Math Adventure) event. Some of the methods used to study primes and twin primes are introduced.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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There Are Infinitely Many Prime Twins
本文发现了一个严重的错误，即引理8不正确。
A note on asymptotically good extensions in which infinitely many primes split completely
设p是一个素数，K是一个数域.对于p=2，假设K是全虚的。本文证明了上同调维数为2的渐近好扩张L{K}的存在性，其中无穷多个素数完全分裂。我们的结果受到Hajir，Maire和Ramakrishna最近工作的启发[7]。
3-tuples have at most 7 prime factors infinitely often
设$L_1$、$L_2$、$L_3$是没有固定素除子的整数线性函数.我们证明了存在无穷多个$n$，且乘积$L_1(n)L_2(n)L_3(n)$至多有7个素因子，改进了Porter的一个结果.我们通过基于Diamond-Halbert-Richert多维筛子的加权筛子来实现这一点。
Squares in arithmetic progressions and infinitely many primes
我们给出了一个新的证明，有无穷多个素数，依赖于范德瓦尔登定理着色的整数，和费马大定理，不能有四个平方的等差数列。我们继续讨论这些想法在过去的其他地方聚集在一起。
Using Dynamical Systems to Construct Infinitely Many Primes
欧几里德的证明可以用算术动力学的思想以许多不同的方式重新构造出无穷多个素数。接受后，Soundararajan指出，美丽和快速收敛的公式：$$ τ= a^{1/(d-1)} x_0 \cdot \lim_{n\to \infty} \prod_{m=1}^n \left(\frac{x_m}{ax_{m-1}^d} \right)^{1/d^m} $$
A poor man's improvement on Zhang's result: there are infinitely many prime gaps less than 60 million
采取简单的选择，我证明了一个可以降低张的总理差距从7000万至6000万。一个穷人的进步！
ABC Implies There are Infinitely Many non-Fibonacci-Wieferich Primes - An Application of ABC Conjecture over Number Fields
本文定义了$X$基Fibonacci-Wieferich素数，它是一个广义的Wieferich素数，其中$X$是有限的代数数集合.我们将证明存在无穷多个非$X$基的Fibonacci-Wieferich素数，假设Masser-Oesterlé-Szpiro对数域的$abc$ -猜想。我们还提出了一个关于由$X$中所有元素生成的阿贝尔群的自由部分的秩的新猜想，并从算术和几何的角度给出了启发式的证明.
Quadratic residues and non-residues for infinitely many Piatetski-Shapiro primes
本文证明了$\mathbb{N}^+$的每一个非空有限子集都是一个具有$1\leqslant c\leqslant243/205$的$[n^c]$形式的无穷多个素数的二次剩余集这一命题的一个定量版本。相应地，在合理的假设下，对于二次非剩余的情形，我们也可以得到类似的结果。这些结果推广了S.在某些方面，莱特。
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime II
Zhang证明了有无限多个有界长度的区间包含两个素数。看来，目前的技术不能证明，有无限多个区间的有界长度包含三个素数，即使强大的假设，如埃利奥特-Halbernut猜想假设。我们证明了存在无穷多个长度至多为$10^8$的区间，其中包含两个素数和一个至多有31个素因子的数。
Infinitely many twin prime polynomials of odd degree
本文在有限域框架下，构造了一类新的无穷多奇数次孪生素数多项式组，并探讨其与Wieferich素数存在性及Bell数算术性质的关联，拓展了有限域上孪生素数问题的构造性研究。
On the proximity of large primes
通过一个球填充的参数，我们表明，有无穷多对素数是彼此接近的整数上的一些度量。特别是，对于任何计数基础$q$，我们表明，有无穷多对素数的基础$q$的扩展，其中不同的最多两位数。同样，对于任何固定整数$t,$，有无穷多对素数，其前$t$位数相同。在另一个方向上，我们表明，有一个常数$c$依赖于$q$，使无限多整数$m$有至少$c\log \log m$素数不同于$m$的最多一个基地$q$数字。
On small gaps between primes and almost prime powers
在最近与D.A. Goldston和C.Y. Yildirim我们刚刚错过了一个证明素数之间有界间隙无限频繁出现的证据。在目前的工作表明，添加到素数一个更薄的一套，所谓的几乎素数权力，工会的一套素数和几乎素数权力已经包含无限多有界的差距。更确切地说，它表明，如果我们添加到一组素数要么几乎素平方正好有两个，几乎相等的素因子，或者如果我们添加到一组素数几乎素立方体正好有三个，几乎相等的素因子，那么所产生的集合已经包含无限多个有界间隙。
Modular curves of prime-power level with infinitely many quadratic points
该研究确定了1085个素数幂水平的模曲线子群，这些子群对应的模曲线具有无限多个二次点。
On Mullin's second sequence of primes
我们认为第二次穆林的序列有关的素数欧几里德的证明，有无穷多个素数。我们特别表明，它省略了无穷多个素数，确认猜想考克斯和范德Poorten。
Small Gaps Between Three Almost Primes and Almost Prime Powers
一个正整数称为$E_j$ -数，如果它是$j$不同素数的乘积。我们证明了在$32$的间隙大小内有无穷多个$E_2$ -数的三元组，在$15$的间隙大小内有无穷多个$E_3$ -数的三元组。假设素数和$E_2$ -数的Elliot-Halbernut猜想成立，我们可以将这些缺口分别改进为$12$和$5$。我们可以得到更小的差距几乎素数，几乎素数幂，或整数具有相同的指数模式，在他们的素分解。特别地，如果$d(x)$表示$x$的约数，我们证明了有整数$a,b$与$1\leq a < b \leq 9$，使得$d(x)=d(x+a)=d(x+b) = 192$对于无穷多个$x$。假设Elliot-Halbertek，我们证明了存在整数$a,b$和$1\leq a < b \leq 4$使得对于无穷多个$x$有$d(x)=d(x+a)=d(x+b) = 24$.
Lack of Divisibility of ${2N \choose N}$ by three fixed odd primes infinitely often, through the Extension of a Result by P. Erdős, et al
本文给出了一种方法来修正和推广P.Erdensys，R. Graham等人提出的一个猜想，并回答了R.格雷厄姆，它承担的缺乏整除的中心二项式系数由三个不同的，固定的奇素数。事实上，结果将表明，通过使用一种方法类似于他们自己的情况下，他们证明了两个固定的奇素数，即中央二项式系数是不整除无限往往由三个不同的和固定的奇素数。因此，推广到比三个更固定但数量有限的奇素数是可能的，至少如果人们能够找到一些充分条件的话。作者希望在随后的论文中回答后一个问题。
Transcendence of Montgomery Reduction Factor in the Ring of Integers Modulo Infinitely Large Primes
本文证明在模无穷大素数整数环中，Montgomery 归约因子 $R'$ 的像在有理数域上具有超越性，其中 $R'$ 定义为满足特定不等式的 $2$ 的幂的模逆。
Infinitely many supersingular primes for some Mumford's abelian fourfolds
本文将 Elkies 关于实数域上椭圆曲线超奇异素数无穷性的结果推广到 Mumford 族中的某些阿贝尔四维簇及更一般的 Kuga-Satake 阿贝尔簇族，通过研究 Hodge 型 Shimura 簇的局部形变空间和 Shimura 曲线的实点完成证明。
Infinitely Many Primes Using Generating Functions
在这篇短文中，我们给出了素数无穷大的一个初等证明。我们的证明在精神上类似于欧拉的证明，即素数的倒数发散，并且只使用了初等数论和微积分的工具。此外，我们的证明突出了一个有趣的使用生成函数。
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime
Goldston、Pintz和Yıldırım证明了，如果素数对于某个$θ>1/2$有“分布水平”$θ$，那么存在一个常数$C(θ)$，使得有无穷多个整数$n$，其中$[n,n+C(θ)]$区间包含两个素数。在同样的假设下，我们证明了对于任意整数$k\ge 1$，存在常数$D(θ,k)$和$r(θ,k)$，使得有无穷多个整数$n$，其中区间$[n,n+D(θ,k)]$包含两个素数和$k$几乎素数，且所有几乎素数至多有$r(θ,k)$素因子.如果$θ$可以取为与$1-ε$一样大，并且假设具有2个、3个或4个素因子的数也具有分布水平$1-ε$，则我们证明存在无限多个整数$n$，使得区间$[n,n+90]$包含2个素数和一个最多具有4个素因子的数。
An approximation to the twin prime conjecture and the parity phenomenon
1966年陈景润证明了对于无穷多个素数$p$，$p+2$至多有两个素因子。然而，由于奇偶性问题，我们不知道$p+2$是否有奇数（或偶数）个素数因子无限频繁。本文证明了$p+d$对至少一个d= 2，4，.有奇数个素因子. 16.
Quadratic polynomials at prime arguments
对于一个固定的二次不可约多项式$f$，在素变元上没有固定的素因子，我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$f(p)$至多有4个素因子，改进了Richert要求用5代替4的经典结果.用$P^+(n)$表示$n$的最大素因子，并证明了$P^+(f(p))>p^{0.847}$无穷常存在.
Exceptional characters and prime numbers in sparse sets
本文在假设有无穷多个例外特征的前提下提出素数下界筛法，以更少算术信息获得非平凡下界，并据此证明形如 $a^2+b^8$ 的素数有无穷多个。
On Eisenstein primes
本文证明了存在无穷多个$\ell^2 - \ell m + m^2$形式的素数使得$2\ell - m$也是素数.为了证明这一点，我们遵循Fouvry和Iwaniec（1997）的工作路线，他们证明了对于$\ell$素数，存在无穷多个$\ell^2 + m^2$形式的素数，但是使用$\mathbb{Z}[ω]$而不是$\mathbb{Z}[i]$来处理两者中出现的双线性型。
A note on bounded gaps between primes
作为张义堂最近工作的一个改进，我们证明了：当k至少为181000时，任意可容许的k-整数元组在每一个组成部分中无限频繁地包含至少两个素数和几乎素数.这意味着在连续素数之间存在无穷多个间隔，其大小至多为2530338，并且Andrew W.萨瑟兰呼叫2326476
There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime
狄利克雷的证明无穷多个素数在等差数列出版于1837年，介绍了L系列的第一次，它被认为是开始严格的解析数论。狄利克雷使用欧拉的早期工作的zeta函数和素数分布。在全面概括之前，他首先证明了一个更简单的案例。本文由R.斯蒂芬并给出了一个参考部分。
Some results on naive transcendence in the ring of integers modulo infinitely large primes
本文在无限大素数模整环中研究超越性问题，改进了Anzawa-Funakura和Luca-Zudilin的结果，提出新的朴素超越数例子，并在ABC猜想下证明了某些数的无理性。
Modular curves of prime-power level with infinitely many rational points
对于${\rm GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$的每个开子群$G$包含具有全行列式的$-I$，令$X_G/\mathbb{Q}$表示松散参数化椭圆曲线的模曲线，其Galois表示由其扭点上的Galois作用产生，具有包含在$G$中的图像。直到共轭，我们确定了一个完整的列表$248$这样的群$G$的素数功率水平，其中$X_G(\mathbb{Q})$是无限的。对于每个$G$，我们还构造了从每个$X_G$到$j$ -线的显式映射。该列表由属$0$的$220$模曲线和属$1$的$28$模曲线组成。对于每一个素数$\ell$，这些结果提供了一个明确的分类可能的图像的$\ell$ -进伽罗瓦表示所产生的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$是完整的，除了一个有限的例外$j$ -不变量。
Prescribed Complex Multiplication in Reductions of Elliptic Curves
该研究针对有理数域上特定非复乘椭圆曲线与虚二次域，证明存在无穷多素数使得椭圆曲线在该素数处的弗罗贝尼乌斯域等于给定虚二次域，建立了相关计数函数的下界与上界，方法涉及复乘理论等。
On the Weakly Prime-Additive Numbers with Length 4
本文在广义黎曼假设下证明了对任意正整数m，存在无穷多个能被m整除的长度为4的弱素数可加数，并给出了一个与长度为3情形类似的相关结果。
On congruent primes and class numbers of imaginary quadratic fields
我们考虑的问题，确定是否一个给定的素数p是一个全等数。我们提出了一个容易计算的标准，使我们能够得出结论，某些素数的一致性是以前未定的，其实是不一致的。因此，我们得到了额外的信息，可能的大小Tate-Shafarevich组的相关椭圆曲线。我们还提出了一个相关的准则，素数p，使得16整除类数的虚二次域Q（sqrt（-p））。这两个结果都是基于下降法。虽然我们不能单独证明有无穷多个素数满足这两个标准，也不能证明有无穷多个素数不满足这两个标准，但我们确实利用了两者之间的细微差别来得出结论，至少有一个标准是由无穷多个素数满足的。
Prime Tuples and Siegel Zeros
本文在无穷多个近实轴 Siegel 零点假设下，证明素数 m 元组间距可降至 ≪e^{1.9828m}，并改进三至六元组间距上界。
Transcendence of Tonelli--Shanks Power Modulo Infinitely Large Primes
该数学研究证明了无穷大素数模整数环中，与Tonelli–Shanks算法相关的多个数论对象的像在有理数域上具有超越性。
Notes on Algebraic Properties and Non-Standard Analysis of the Ring of Integers Modulo Infinitely Large Primes
本文探讨无限大素数模整数环的代数与模型论性质，结合非标准分析方法扩展超越数理论中的判别准则。
Cubefree Trinomial Discriminants
当$n,m$是互素时，形式为$\pm x^n \pm x^m \pm 1$的多项式的判别式具有形式$n^n \pm m^m(n-m)^{n-m}$。我们调查当这些判别式有素幂因子。我们解释了几个对称性，出现在这些值的$n,m$的分类。我们证明，有无穷多对整数$n,m$，这个判别式没有素立方因子。这个结果被推广到表明，对于无穷多个固定的$m$，有无穷多个$n$的判别式没有素立方因子。
Finite and infinite primes in models of PA
刻画了具有无穷多个无穷素数p且p + 2没有有限素除子的Peano算术模型.
On smooth gaps between primes using the Maynard-Tao sieve
本文利用 Zhang、Maynard 和 Polymath8b 在孪生素数猜想上的进展及 Maynard-Tao 筛法，将素数间光滑间隙的界限降低至 47，并证明存在无穷多个间隙均为 $y_m$-光滑的 $m$-元组素数。
Primes in Tuples I
本文介绍了一种证明存在非常接近的素数的方法。该方法依赖于等差数列中素数分布水平。假设Elliott-Halberten猜想，我们证明了存在无穷多个素数相差16或更小。即使一个弱得多的猜想也意味着存在无穷多个素数相距有界距离。无条件地，我们证明了存在连续的素数比任何任意小的倍数的平均间距，即\[ \liminf_{n\to \infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n} =0 .\]更接近。这最后一个结果将在以后的论文中得到很大的改进。
Infinitely Many Carmichael Numbers for a Modified Miller-Rabin Prime Test
我们定义了Miller-Rabin素性检验的一个变体，它在强度上介于Miller-Rabin和Fermat之间。我们证明了这个检验有无穷多个“Carmichael”数。我们表明，该测试也可以被认为是一个变种的Solovay-Strassen测试。我们探讨了增长的测试的“卡迈克尔”号码，给出了一些实证结果和讨论的一个特别强大的模式，出现在结果中。
Criteria for p-ordinarity of families of elliptic curves over infinitely many number fields
设$K_i$是所有$i \in \mathbb{Z}_{> 0}$的数域，并且设$\mathcal{E}$是一族椭圆曲线，其包含定义在所有$i$的$K_i$上的无穷多个成员。修复一个有理素数$p$。我们给出了整数$i_0$存在的充分条件，使得对于所有$i > i_0$和所有椭圆曲线$E \in \mathcal{E}$在$K_i$中的所有$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的约化，我们有$E$在所有素数$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的普通约化.
An infinitude of proofs of the infinitude of primes
本文推广了Perott的一种方法，给出了存在无穷多个素数的新证明。
Function Fields with Class Number Indivisible by a Prime $\ell$
已知无限多个任意次数的数域和函数域$m$具有可被给定整数$n$整除的类数。然而，很少有人知道这类字段的类号的不可分割性。虽然已知存在无穷多个二次数域，其类数与给定素数不可分，但这些域并没有明确构造，并且似乎对更高程度的扩展一无所知。在\cite{Pacelli-Rosen}中，Pacelli和Rosen明确地构造了一个无限类的函数域的任何程度$m$，$3 \nmid m$，在$\F_q(T)$与类数不可分的3，推广了一个结果的Ichimura二次扩张。在这里，我们推广的结果，建设，为任意素数$\ell$，和正整数$m > 1$，无穷多个功能领域的程度$m$的有理函数域，与类数不可分的$\ell$。
Triquadratic p-Rational Fields
在他的工作约伽罗瓦表示，格林伯格obturtured存在，任何奇素数p和任何正整数t，一个多二次p-有理数域的程度2 t。本文证明了存在无穷多个素数p使得三次域Q（p（p + 2），p（p - 2），i）是p-有理数的.为了做到这一点，我们使用了一个分析结果，在第\S 4节中单独证明，为我们提供了无穷多个素数p，使得p + 2 et p - 2有“大"平方因子。因此，相关的虚二次域Q（i $\sqrt$ p + 2），Q（i $\sqrt$ p - 2）和Q（i（p + 2）（p - 2））对于无穷多个素数p都有“小"判别式.根据Brauer-Siegel估计的精神，证明了这些虚二次域的类数与p是互素素的，从而证明了它们的p-合理性.
Bounded Gaps Between Primes in Multidimensional Hecke Equidistribution Problems
利用Hecke Gr{ssencharaktere的Duke大筛法不等式和Maynard和Tao的新筛法，证明了多维Hecke等分布下素数间隔的一个一般结果.作为应用，对任何固定的$0<ε<\frac{1}{2}$，我们证明了在$p=a^2+b^2$形式的素数之间存在无穷多个有界间隙，使得$|a|<ε\sqrt{p}$ .此外，对于某些对角曲线$\mathcal{C}:ax^α+by^β=c$，我们得到了无穷多个素数$p$之间的有界间隙，使得$|p+1-\#\mathcal{C}(\mathbb{F}_p)|<ε\sqrt{p}$。
Non-CM elliptic curves with infinitely many almost prime Frobenius traces
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且没有复数乘法。对于$E$的良好约化的素数$p$，我们将$E$模$p$的约化$E_p$的$\mathbb{F}_p$ -有理点的数目写成$\#E_p(\mathbb{F}_p) = p + 1 - a_p(E)$。在广义黎曼假设（GRH）下，研究了整数$|a_p(E)|$为素数的素数$p$。特别地，我们证明了下列结果：（i）对于某个常数$C_1(E)$，使$|a_p(E)|$为素数的素数$p < x$的个数由$C_1(E) \frac{x}{(\log x)^2}$从上有界;（ii）对于某个常数$C_2(E)$，使$|a_p(E)|$为至多4个不同素数的乘积的素数$p < x$的个数由$C_2(E) \frac{x}{(\log x)^2}$从下有界;（iii）素数$p < x$的个数，其中$|a_p(E)|$是至多5个不同素数的乘积，用重数计数，对于某个正常数$C_3(E) > 0$，由$C_3(E) \frac{x}{(\log x)^2}$从下界。在GRH下，我们还证明了$|a_p(E)|$是素数的素数$p$的倒数之和的收敛性。进一步，在GRH下，结合Artin L-函数的全纯猜想和对相关猜想，我们证明了对于某个常数$C_4(E)$，$p < x$的个数由$C_4(E) \frac{x}{(\log x)^2}$从下有界…
Residue Class Patterns of Consecutive Primes
研究连续素数的剩余类模式，通过结合狄利克雷定理与Shiu定理，修改梅纳德 - 陶筛法并结合埃尔德什 - 兰金类型构造进行证明，得出在特定条件下关于长度为\(m\)的剩余类模式无限次出现的相关结论及数量估计。
Hitting a prime by rolling a die with infinitely many faces
本文扩展了Alon和Malinovsky的掷骰子命中素数问题，证明了当面数$M$足够大时，期望停止轮数约为$\log M$。
Consecutive primes which are widely digitally delicate
我们证明了，对于每一个正整数$k$，存在$k$连续素数的性质，如果任何一个素数的任何数字，包括任何无限多个前导零数字，是改变的，那么该素数成为复合。
Prime pairs and Zeta's zeros
Hardy和Littlewood（1923）关于pi_{2r}（x）的渐近性态的素数对猜想（PPC）得到了广泛的数值支持。然而，仍然不知道是否有无限多个素数对具有给定的偶数差！利用等差数列中素数（加权）均匀分布的强假设，Goldston、Pintz和Yildirim（2007）证明了存在无穷多对素数，它们之间的差异最多为16。本文作者用Tauberian方法导出PPC等价于包含zeta复零点的某些函数的特定边界表现。在黎曼假设下，在实轴上，这些函数类似于对相关表达式。蒙哥马利的经典著作（1973）的一个推测性的扩展意味着必须有大量的素数对。
On Piatetski-Shapiro primes from almost primes
该数论研究将Piatetski-Shapiro素数相关结果中殆素数的素因子上限从8优化至7，针对0.98353到1之间的$\u03b3$，证明存在无穷多符合条件的素数。
Primes of the form $[n^c]$ with square-free $n$
设$[\, \cdot\,]$为地板函数。本文证明了当$1<c<\frac{3849}{3334}$，则存在无穷多个$[n^c]$形式的素数，其中$n$是无平方数的.
Almost primes of the form $[p^{1/γ}]$
本文研究素数幂次取整后的殆素数问题，证明当$0.989<γ<1$时有无穷多个素数$p$使$[p^{1/γ}]$至多含7个素因子，将已有结果的8个因子改进为7个。
The Piatetski-Shapiro prime number theorem
本文证明了当c在(1,1.1612...)范围内时，Piatetski-Shapiro序列中存在无限多个素数，并给出了渐近公式。
Infinitely ramified Galois representations
本文给出了对p >= 5的情形，如何构造两类在无穷多个素数上分歧的满射表示ρ：G_Q=Gal（\bar{Q} /Q）-> GL_2（Z_p）.几乎所有这些素数的惯性像都是无挠的。第一种构造是无条件的。问题是，我们不能说ρ是否|_{G_p=Gal（\bar{Q_p} /Q_p）是结晶的或甚至潜在的半稳定的。第二种构造假设广义黎曼假设（GRH）。有了这个假设，我们可以进一步安排，|_{G_p}在p处是结晶的。我们注意到，以前已经用更基本的方法构造了无限分歧的 * 可约 * 表示。
Primes in Tuples II
我们证明，有无穷多对素数比素数之间的平均间距更接近-几乎在平均间距的平方根内。我们实际上证明了一个更一般的结果，关于素数之间的差异所取的值的集合。
There are infinitely many elliptic Carmichael numbers
1987年，丹·戈登定义了一个类似于卡迈克尔数的椭圆曲线，称为椭圆卡迈克尔数。本文证明了存在无穷多个椭圆Carmichael数。在这样做时，我们解决了肯定的问题，是否存在无限平方自由，复合整数$n$，使每一个素数$p$，除了$n$，$p+1|n+1$。
Binary Cubic Forms and Rational Cube Sum Problem
本文利用整二元三次型研究有理数立方和问题，无条件证明了在特定剩余类中存在无穷多个素数可表示为两个有理数的立方和。
Almost prime triples and Chen's Theorem
证明了存在无穷多个素数$p$，使得$p + 2$最多有两个素因子，而且$p + 6$也有有界个数的素除子.这改进了Chen的著名结果。
Small gaps between almost primes, the parity problem, and some conjectures of Erdős on consecutive integers II
这篇论文是由这里的四位合著者撰写的论文arXiv：0803.2636的续集。在这篇论文中，他们证明了一个更强形式的Erdens-Mirksy猜想，该猜想指出存在无穷多个正整数$x$使得$d(x)=d(x+1)$其中$d(x)$表示$x$的约数。这个猜想首先由Heath-Brown在1984年证明，但是该方法没有揭示这样的$x$的值集$d(x)$的性质。特别地，不能得出结论，存在$d(x)=d(x+1)=A$无限频繁的任何特定值$A$。在之前的论文arXiv：0803.2636中，作者证明了存在无穷多个正整数$x$，使得$x$和$x+1$都具有指数模式$\{2,1,1,1\}$，所以$d(x)=d(x+1)=24$。对于某些移位$n$，已知类似的结果，即，$x$和$x+n$具有相同的固定指数模式的频率是无限的。这是做的移位$n$是甚至或不能整除的产品的一对孪生素数。本文的目的是给出关于任意移位$n$的指数模式的结果的简单证明。
Bounded gaps between primes of the special form
对于每个$m\geq 1$，存在无穷多个素数$p_1<p_2<\ldots<p_{m+1}$，使得$p_{m+1}-p_1=O(m^4e^{8m})$和$p_j+2$对于每个$j$至多有$\frac{16m}{\log 2}+\frac{5\log m}{\log 2}+37$素除子。
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