AI 中文总结
本文证明在模无穷大素数整数环中，Montgomery 归约因子 $R'$ 的像在有理数域上具有超越性，其中 $R'$ 定义为满足特定不等式的 $2$ 的幂的模逆。
AI 中文摘要
我们证明了 Montgomery 归约因子 $R'$ 在模无穷大素数整数环 $\mathscr{A}$ 中的像在 $\mathbb{Q}$ 上具有超越性。此处，对于奇素数 $p$，$R'$ 定义为 $2$ 的幂 $R$ 模 $p$ 的模逆，满足 $2^{-k} R \leq p < R$，其中 $k \in \mathbb{N}_{>0}$ 为固定常数，通常取整数类型的标准位宽 $32$，并且 $R'$ 是 $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ 中的元素，表示被视为 $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$-线性同态的 Montgomery 归约。
英文摘要
We prove the transcendence over $\mathbb{Q}$ of the image of Montgomery reduction factor $R'$ in the ring $\mathscr{A}$ of integers modulo infinitely large primes. Here, for an odd prime number $p$, $R'$ is defined as the modular inverse of a power $R$ of $2$ modulo $p$ satisfying $2^{-k} R \leq p < R$ for a fixed constant $k \in \mathbb{N}_{> 0}$ typically given as the standard bit size $32$ of an integer type, and is the element of $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ representing Montgomery reduction regarded as a $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$-linear homomorphism.
