On Meromorphic Functions which are Brody Curves
Joerg Winkelmann
本文讨论了复平面上的亚纯函数，它们是被视为P_1的全纯映射的Brody曲线，即，有界球面导数
We discuss meromorphic functions on the complex plane which are Brody curves regarded as holomorphic maps to P_1, i.e., which have bounded spherical derivative.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Deux exemples sur la dimension moyenne d'un espace de courbes de Brody
本文研究了位于两个复曲面中的1-Brody曲线空间的平均维数：首先是Hopf曲面，然后是射影平面减去一条直线。我们表明，在第一种情况下，平均维数是零，通过一个约束的增长亚纯曲线涉及的对数导数引理。在第二种情况下，我们证明了它的积极性，从线提升到其补充空间的正平均维数包含变形的椭圆曲线的Brody曲线。
Brody curves omitting hyperplanes
布罗迪曲线，也就是。正态曲线是从复直线到n维复射影空间的全纯映射，使得它的平移族是正规的。证明了在一般位置上省略n个超平面的Brody曲线的增长阶至多为一，即正规型。这推广了Clunie和Hayman在n=1时证明的结果。
An Example related to Brody's theorem
我们讨论一个例子有关的方法的布罗迪。这个例子是一个开子集的紧凑复杂的环面覆盖的整个曲线，但不是由布罗迪曲线。
On the non-existence of limit E-Brody curves
通过构造一个合适的全纯插值函数，给出了一类流形（包括作者在\cite{Do DT et al}中研究的$\mathbb{C}^n$和$(\mathbb{C}^{\ast})^2$）在Do Duc Thai，Mai Anh Duc和Ninh Van Thu意义下极限E-Brody曲线不存在的一个简单证明.
On limit Brody curves in $\mathbb C^n$ and $(\mathbb C^*)^2$
在极限全纯曲线的导数有界的情况下，证明了在\cite{Do}中提出的关于$\mathbb C^n \ (n\geq 2)$和$(\mathbb C^*)^2$的Zalcman性猜想.此外，还给出了全纯映射族正规性的几个判别准则。
Sur les courbes de Brody dans P^n(C)
本文从Nevanlinna理论的角度研究了射影空间中的Brody曲线。
Brody curves and mean dimension
研究了Brody曲线空间的平均维数。特别给出了黎曼球面上Brody曲线空间的平均维数公式。
A projective manifold where Brody and entire curves behave very differently
我们给出了一个例子，射影流形的稠密整曲线，使每个布罗迪曲线是退化的。
Remark on energy density of Brody curves
本文介绍了几种Brody曲线能量密度的定义，并指出在适当的情况下，它们给出了相同的值。
Deformation of Brody curves and mean dimension
本文的主要目的是说明变形理论的思想可以应用于“无穷维几何”。发展了Brody曲线的形变理论。Brody曲线是从复平面到射影空间的一类全纯映射。由于复平面不是紧的，变形的参数空间可以是无限维的。作为应用，我们证明了Brody曲线空间的平均维数的一个下界。
Brody curves in complicated sets
本文证明了在$\mathbb{P}^2$中，在某些Hénon映射的非逃逸点集的边界的叶中存在Brody单射叶.
Sur le lemme de Brody
Brody引理是研究复双曲性的基本工具。我们提出了一个版本，它使更精确的本地化的整个曲线来自一个发散序列的全纯光盘。作为一个副产品，我们的特点双曲的等周不等式。
Moduli space of Brody curves, energy and mean dimension
研究了Brody曲线的模空间的平均维数。我们引入的概念“平均能量”，并表明，这可以用来估计的平均尺寸。
Mean dimension of the dynamical system of Brody curves
平均维数度量无限维动力系统的大小。Brody曲线是射影空间中的单Lipschitz整全纯曲线，它们构成一个拓扑动力系统. Gromov在1999年的论文中提出了估计其平均维数的问题。我们解决这个问题。即证明了Brody曲线动力系统的精确平均维数公式。我们的公式用Brody曲线的能量密度来表示平均维数。该证明是基于Lindenstrauss和Weiss的度量平均维数论的新应用。
Rate distortion dimension of random Brody curves
本文提出遍历理论方法研究Brody曲线，证明其不变测度的率失真维数受势函数积分上界约束，并给出取等号的丰富测度，类比Ruelle不等式。
Generalized Hénon mappings and foliation by injective Brody curves
本文考虑广义Hénon映射$\mathfrak{f}:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2$及其格林函数$\mathfrak{g}^+:\mathbb{C}^2\to\mathbb{R}_{\ge 0}$的有限复合（见第2节）。众所周知，$c>0$的每个水平集$\{\mathfrak{g}^+=c\}$由$\mathbb{C}$的双全纯像划分，并且每个叶子是稠密的。本文证明了$\mathbb{P}^2$中的每个叶实际上是一条内射Brody曲线（见第4节）。也就是说，对于任何叶的任何内射全纯参数化，其导数关于$\mathbb{P}^2$的Fubini-Study度量在$\mathbb{C}$上有界。我们还研究了$\mathfrak{g}^+$水平集在无穷远处的行为。
Normal holomorphic curves from parabolic regions to projective spaces
从复直线到复射影空间的全纯映射称为正规（a. K. a. Brody曲线），如果它是一致连续的从欧几里德度量的Fubini-Study度量。本文综述了有关这类映射的一些已知结果，并给出了一些新的定理。
Logarithmic Surfaces and Hyperbolicity
在1981年J.野口证明了在对数代数流形中，对数不规则性严格大于其维数，任何整条曲线都是代数退化的。在本文中，我们感兴趣的情况下，流形的对数不规则性等于其维数。我们限制我们的注意力布罗迪曲线，我们完全解决问题的2维：定理：在对数曲面与对数不规则2和对数Kodaira维数2，任何布罗迪曲线是代数退化。我们还处理的情况下，任意对数Kodaira维数。作为推论，我们得到了不含非双曲代数曲线和具有双曲分层边界因子的对数曲面的双曲性。特别地，我们得到了关于复平面上Brody曲线的代数退化的“最佳可能”结果，从而改进了Dethloff-Schumacher-Wong在1995年的结果.
Normality and boundary behavior of arbitrary and meromorphic functions along simple curves and applications
建立了定义在复平面单位圆上的任意函数沿简单曲线的等价类有边值的充要条件定理。我们的结果推广了著名的关于亚纯函数的渐近和角边界表现的定理（Lindolf，Lehto-Virtanen和Seidel-Walsh型定理）.这些结果被应用于$P-$序列对亚纯函数沿曲线的边界表现的研究，以及类似于Saginjan的唯一性定理的证明.构造函数的例子表明，结果不能得到改善。
A rescaling principle for quasiregular curves with applications to hyperbolicity
研究拟正则曲线到校准流形的重标度原理，通过引入适应设定的布罗迪双曲性等方法，证明了相关等价性，量化了局部连续性模，回答了问题并构造新例子给出布罗迪双曲性障碍。
Algebraic curves and meromorphic functions Sharing pairs of values
针对共享五对值（一对计重数）的非 Moebius 变换亚纯函数 4IM+1CM 问题，证明其解对应仅含五参数的零亏格低次代数曲线，为计算机代数求解奠定基础。
Frequently hypercyclic meromorphic curves with slow growth
研究通过Nevanlinna理论和Oka原理，构造了在射影空间中具有缓慢增长的频繁超循环整函数，并揭示了在增长约束下频繁超循环性质的二元对立。
Characterizing meromorphic pseudo-lemniscates
设$f$是具有单连通区域$G\subset\mathbb{C}$的亚纯函数，$Γ\subset\mathbb{C}$是光滑Jordan曲线.我们将$G$中的$f^{-1}(Γ)$组件称为$f$的$Γ$ - $pseudo$- $lemniscate$。本文给出了$G$中的光滑Jordan曲线$\mathcal{S}$（具有有界面$D$）是$f$的伪双纽线的判别准则，该判别准则是由给定的$w$在$D$中的$f$下的原像数（以重数计算）给出的，因为$w$的范围在黎曼球面上.我们还开发了一个测试，在相同的条件下，其中一个可以显示的图像下的约旦曲线$f$是不是约旦曲线。
Level Curve Configurations and Conformal Equivalence of Meromorphic Functions
设$f=B_1/B_2$是有限Blaschke乘积的比，在$\partial\mathbb{D}$上没有临界点。那么$f$在磁盘中具有多条临界水平曲线（包含$f$的临界点的水平曲线），并且非临界水平曲线平滑地插在临界水平曲线之间。因此，要理解$f$的所有能级曲线的几何形状，只需要理解$f$的100多条临界能级曲线。在本文中，我们表明，事实上，这样一个函数$f$是确定不仅几何，但共形的配置的临界能级曲线。也就是说，如果$f_1$和$f_2$具有相同的临界水平曲线配置，则存在共形映射$ϕ$，使得$f_1\equiv f_2\circϕ$。然后，我们表明，每一个配置的临界水平曲线，这可能来自一个解析函数是由一个多项式的实例。我们还包括一个新的证明定理Bôcher（这是一个扩展的高斯-卢卡斯定理有理函数）使用水平曲线。
A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space
我们建立了一类适用于$P^n(\mathbb C)$中整条曲线的Picard定理，其球面导数在超曲面目标的逆像上为零。那么，作为一个推论，证明了在复射影空间$P^n(\mathbb C)$中存在有限个超曲面的并$D$，使得对每一整条曲线PD $P^n(\mathbb C)$中的MATHABMO，如果$f$的球面导数$f^{\#}$在$ f^{-1}(D)$上有界，则$f^{\#}$在整个复平面上有界，因此，$f$是Brody曲线。
Notes on the Level Curves of a Meromorphic Function
本文研究了定义域为$G$的亚纯函数$f$的有界水平曲线，使得$\partial{G}$的每个分支都由$f$的一条水平曲线组成.（这种函数的一个主要例子是不同次数的有限Blaschke乘积的比率，域为$\mathbb{D}$。我们将首先证明关于$f$的单个有界水平曲线与$f$的其他水平曲线隔离的几个事实。然后，我们将研究$f$的能级曲线如何彼此相对。很自然地期望集合$\{z:|f(z)|=ε\}$随着$ε$的变化而连续变化。我们将明确这一概念，并利用这一连续性来证明关于$f$的有界水平曲线的几个结果。众所周知，如果$z_0$是$f$的零点或极点，则$f$在$z_0$的邻域中共形地等价于函数$z\mapsto{z^k}$（对于某些$k\in\mathbb{Z}$）。我们推广这一事实，找到一个自然的分解$G$到许多子区域（也有界的水平曲线的$f$），在每个$f$是共形等价于$z\mapsto{z^k}$（对于某些$k\in\mathbb{Z}$）。还包括使用水平曲线对高斯-卢卡斯定理的新证明，即多项式的临界点包含在多项式零点的凸包中。
Entire holomorphic curves on a Fermat surface of low degree
研究了Hayman和Gundersen提出的Fermat型泛函方程$f^n+g^n+h^n=1$的非平凡整解和亚纯解的存在性问题. Hayman证明了当$n \ge 9$和$n \ge 7$分别满足时，不存在非平凡亚纯解和整体解.通过考虑复射影空间$\mathbb{P}^3$上由$X^n+Y^n+Z^n=W^n$定义的Fermat曲面上的全纯曲线，并利用喷流微分方法，证明了当$n \ge 8$和$n \ge 6$分别满足时，不存在非平凡亚纯解和整体解.特别是，这完成了调查的非平凡的整体解决方案的所有$n$和分别，亚纯解的所有情况下，除了$n=7$。最后，对于广义Fermat型函数方程$f^n+g^m+h^l=1$，我们也证明了当$1/n+1/m+1/l \le 3/8$为时非平凡亚纯解的不存在性，给出了迄今为止得到的最强结果.
Stabilization of fields of meromorphic functions on neighborhoods of a rational curve
该研究针对含正自交光滑有理曲线的光滑连通复曲面，证明存在包含该曲线的邻域U，使得U内曲线连通邻域上的亚纯函数均可延拓至整个U，完善了复曲面亚纯函数延拓理论。
Covering properties of meromorphic functions, negative curvature and spherical geometry
平面幺正空间中的每个非常数亚纯函数覆盖半径任意接近arctan（sqrt 8）~ 70^ \circ 32 '的球面盘.此外，如果函数的所有临界点都是多重的，则类似的陈述对pi/2成立。这些常数是最好的。证明是基于考虑负曲率奇异曲面与亚纯函数。
On fields of meromorphic functions on neighborhoods of rational curves
本文证明了包含正自交平滑有理曲线的复曲面上的亚纯函数域同构于 $\mathbb C$ 上的一元或二元有理函数域。
One side continuity of meromorphic mappings between real analytic hypersurfaces
证明了将$\cc^2$中的一个实解析严格伪凸超曲面的一部分映射到不含非常数复曲线芽的$\cc^N$的一个紧致子集上的亚纯映射从超曲面的凹侧连续.这意味着从具有非零Levi形式的实解析超曲面到局部球面超曲面的全纯映射的芽沿CR-路的解析连续性。
Banach Analytic Sets and a Non-Linear Version of the Levi Extension Theorem
证明了亚纯函数的Levi扩张定理的一个非线性形式。这意味着所讨论的亚纯函数被假定沿着一系列复曲线是可扩张的，这些复曲线是任意的，不一定是直线。此外，这些曲线不应该属于任何有限维解析族。我们定理的结论是，尽管如此，在问题中的功能亚纯延伸沿（无限维）解析家庭的复曲线和它的存在域是一个捏域填充这个解析家庭。
A Lehto--Virtanen-type theorem and a rescaling principle for an isolated essential singularity of a holomorphic curve in a complex space
本文建立了复空间中全纯曲线孤立本质奇点的Lehto-Virtanen型定理和重标度原理，它们对于建立全纯曲线的大Picard型定理和大Brody型定理是有用的.
On meromorphic extendibility
设D是复平面上的一个有界区域，其边界bD由n × n条两两不相交的实解析简单闭曲线组成.设f是bD上的可积函数。在本文中，我们展示了如何计算候选人的极点的亚纯扩展f通过D，从而减少问题的亚纯可拓性的问题的全纯可拓性。设A（D）是D的闭包上所有全纯的连续函数的代数。对于bD上的连续函数f，利用辐角原理得到了亚纯可扩性的一个刻划：f亚纯扩过D当且仅当存在一个非负整数N，使得对A（D）中的所有P，Q，Pf+Q沿bD的卷绕数在-N下有界，使得Pf+Q在bD上没有零点.如果是这种情况，那么f的亚纯扩张在D中至多有N个极点，计算多重性。
A Brownian-Motion Approach to the Second Main Theorem for Meromorphic Mappings and Hypersurfaces with Truncated Counting Functions
本文通过布朗运动和随机微积分方法，建立了亚纯映射进入复射影子流形V的第二主定理，并引入了截断计数函数以研究超曲面的分布常数。同时，给出了亚纯映射在复平面到V上共享任意超曲面的唯一性定理。
Isoperiodic meromorphic forms: two simple poles
本文证明了同调标记平滑曲线上具有两个单极点的亚纯微分的等周期模空间是非空连通的，除非它对应于亏格至少为2的曲线上的$\mathbb{C}/\mathbb{Z}$的双覆盖.我们推导出相应的等周期叶理的动力学后果。
A Torelli type theorem for exp-algebraic curves
一条exp-代数曲线由紧致黎曼曲面$S$和亚纯函数芽模全纯函数芽的$n$等价类组成，$\HH = \{ [h_1], \cdots, [h_n] \}$，其极点在点$p_1, \cdots, p_n$处为$d_1, \cdots, d_n \geq 1$.该数据确定在穿孔表面$S' = S - \{p_1, \cdots, p_n\}$上全纯的函数空间$\OO_{\HH}$（相应地，$1$ -形式$Ω^0_{\HH}$的空间），其在类型$[h_1], \cdots, [h_n]$的点$p_1, \cdots, p_n$处具有指数奇点，即，在$p_i$附近，任何$f \in \OO_{\HH}$对于亚纯函数$g$的某个芽都具有$f = ge^{h_i}$的形式（相应地，任何$ω\in Ω^0_{\HH}$对于亚纯$1$ -形式的某个芽都具有$ω= αe^{h_i}$的形式）。对于任何$ω\in Ω^0_{\HH}$的完成$S'$相对于平坦度量$|ω|$给出了一个空间$S^* = S' \cup \RR$通过添加一个有限集$\sum_i d_i$点$\RR$获得，它是已知的，沿曲线的积分产生一个非退化配对的相对同源$H_1(S^*, \RR ; \C)$与deRham上同调组定义的$H^1_{dR}(S, \HH) := Ω^0_{\HH}/d\OO_{\HH}$。存在一个与指数代数曲…
Gehring-Hayman Inequality for Meromorphic Univalent Mappings
本文证明了亚纯单射函数的Gehring-Hayman不等式，并扩展了经典不等式到亚纯函数，同时验证了一个猜想。
Deformations of Noncompact Complex Curves and Meromorphic Envelopes of Spheres
利用Gromov的伪全纯曲线理论研究了复Kähler曲面中辛浸入双球面邻域的亚纯包络。给出了以Banach球的有限余维解析子集为参数的复流形中非紧复曲线的全纯变形的完备族的构造.这个族的存在性被用来证明Levi连续性原理的一个推广，该原理用于描述亚纯的包络。
The Mittag-Leffler theorem for proper minimal surfaces and directed meromorphic curves
本文建立了Mittag-Leffler型定理，用于Oka锥引导的亚纯曲线和正常共形极小浸入，包含逼近与插值，并应用于证明有限总曲率极小末端的嵌入性及刻画相关开黎曼曲面。
Complex Curves in Almost-Complex Manifolds and Meromorphic Hulls
这是第一作者于1997年12月在波鸿鲁尔大学为研究生所作的课程笔记。这些讲座追求两个主要任务：第一-给一个系统的和自足的介绍格罗莫夫理论的pseudoholomorphic曲线。这在第一、二、三章中已作了说明。第二-解释我们关于复二维流形中实曲面的亚纯包络的连接结果。我们在第四章中这样做。
Length Distortion Of Curves Under Meromorphic Univalent Mappings
本文研究亚纯单叶映射下曲线长度畸变的一致上界问题，通过引入简单极点并将 Gehring–Hayman 定理从水平直径推广到竖直直径，再进一步推广到关于实轴对称的双曲测地线与相应圆弧的情形。
Complete meromorphic curves with Jordan boundaries
本文证明带边Riemann曲面去掉有限点集后存在完全亚纯浸入（或嵌入）映射，其边界像为有限多条不相交的Hausdorff维数1的Jordan曲线，并推广到一致逼近与插值。
Meromorphic functions with linearly distributed values and Julia sets of rational functions
如果一个四点集在一个亚纯函数下的原像属于实数直线，则实数直线的像包含在黎曼球面的一个圆内。我们包括应用这个结果的全纯动力学：如果朱利亚集的有理函数包含在一个平滑曲线，然后它包含在一个圆。
Real-normalized differentials: limits on stable curves
研究了黎曼曲面上的实正规亚纯微分在退化情形下的行为。本文确定了退化平滑曲线序列中RN微分的所有可能的极限，并用相应的基尔霍夫问题的解来描述极限。我们进一步证明了RN微分的零点极限是我们明确构造的扭曲亚纯RN微分的零点集。我们的主要新工具是一个明确的解决方案的黎曼曲面上的跳跃问题，在铅垂坐标，通过使用柯西核的规范化的节点曲线。由于这个内核不依赖于铅垂坐标，我们能够近似RN微分光滑铅垂曲线上的亚纯微分的集合上的不可约组件的稳定曲线，与明确的限制，这种近似的精度。这使得我们也可以在适当的尺度上研究这些近似微分，使得退化下的极限不全为零。这些方法可以更广泛地应用于研究满足各种条件的黎曼曲面上微分的退化。
On the classification of Meromorphic Affine Connections on Complex Compact Surfaces
本研究分类了代数维数为1的紧复曲面上的亚纯仿射联络，拓展了前人在全纯情形下的相关工作，旨在探索复紧曲线单值化原理在高维带奇点几何结构中的拓展可能。
Meromorphic functions with two completely invariant domains
证明了如果一个亚纯函数有两个完全不变的Fatou分支，且只有100多个临界值和渐近值，则它的朱利亚集是Jordan曲线.然而，即使两个域都是吸引盆，朱利亚集也不一定是拟圆。我们还表明，所有的临界值和渐近值包含在两个完全不变的组件。对于具有无穷多个临界值和渐近值的函数，情况就不必如此。
Degenerate abelian function fields
最初，阿贝尔函数域是紧致黎曼曲面X的Jacobi簇J（X）上的亚纯函数的域。它由X上属于亚纯函数域的基本阿贝尔函数生成。我们研究这个关系的奇异曲线。
Normality criterion for a family of holomorphic curves that partially share wandering hyperplanes with their derivatives, and holomorphic functions lifted to curves in $P^2(\mathbb{C})$
本研究推广了已有复射影空间全纯曲线族正规性结果，得到亚纯函数族分担游荡函数的正规定则，还通过将全纯函数表示为到P²(C)的映射得到新定则，可构造Bloch原理逆命题的反例。
Sigma function associated with a hyperelliptic curve with two points at infinity
本文研究了与有两个无穷远点的双曲曲线相关的Baker函数的性质，构造了一个整个函数，并用Riemannθ函数表示其。
Every meromorphic function is the Gauss map of a conformal minimal surface
设$M$为开黎曼曲面。证明了$M$上的每一个亚纯函数都是共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^3$的复高斯映射，而且还可以选择它作为全纯零曲线$M\to\mathbb{C}^3$的实部.对于任意$n>3$的共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$，证明了类似的结果.我们还证明了每个共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$都是通过共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$到平坦浸入的同位素，并且我们确定了任何$n\ge 3$的所有共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$空间的路径连通分量。
Cyclic curves over the reals
本文研究了含有$p$次正则亚纯函数$f$的实曲线的自同构群，称之为实循环$p$ -循环曲线.当$p=2$时，Bujalance等人在\cite{BCGG}中给出了实超椭圆曲线的自同构群.
Neighborhoods of rational curves without functions
证明了嵌入光滑有理曲线的（非紧）复杂曲面的存在性，使得沿着曲线不存在任何形式的奇异叶理。特别地，在曲线的任意小邻域内，任何亚纯函数都是常数。这意味着Picard群不是可数生成的。
Arctic curves of periodic dimer models and generalized discriminants
本文通过构造高亏格黎曼曲面上亚纯微分的广义判别式，计算了具有双重准周期权重结构的阿兹特克钻石及部分六边形模型的北极曲线代数方程，并确定了曲线代数次数与冻结、光滑区域数量的关系。
Integrability of vector fields and meromorphic solutions
本文证明，若复射影流形上的叶状结构具有足够多由亚纯函数给出的积分曲线，则其限制在不变二维解析集上具有刘维尔型首次积分；特别地，$\mathbb{C}^3$ 上的有理向量场若解为亚纯函数，则存在二维不变解析集使其限制为刘维尔可积叶状结构。
Logarithmic models and meromorphic functions in dimension two
本文研究二维空间中对数模型的构造及其在亚纯函数和向量场中的应用，通过分离子和Camacho-Sad指数构建具有特定奇点结构的亚纯函数。
Meromorphic Projective Structures, Opers and Monodromy
本文将 Hejhal 关于复射影结构单值映射为局部微分同胚的定理推广到带极点情形，证明相应单值映射（含 Stokes 数据）为局部双全纯映射。
Good formal structures for flat meromorphic connections, III: Irregularity and turning loci
给定特征为零的域上的一个优良概型上的一个形式平坦亚纯联络，在前一篇文章中，我们建立了在适当地爆破后，好的形式结构和好的Deligne-Malgrange格的存在性.在本文中，我们重新解释和完善这些结果通过引入一些相关的结构。我们考虑转向轨迹，这是一组点，在那里，一个人不能实现一个良好的正式结构，而不炸毁。我们表明，当极因子有正规交叉，转向轨迹是纯余维1内的极除子，因此纯余维2内的整个空间，这已经建立了由安德烈在光滑的极除子的情况下。我们还构建了一个不规则层及其相关的b-因子，它测量不规则性沿因子的爆破的原始空间，这推广了另一个结果安德烈的不规则性的连续性曲线纤维化。一个具体的后果，这些改进是一个过程的决议的转折点，这是函式相对于经常态射的优秀计划，这使我们能够将结果从计划到形式概形，复杂的分析品种，和nonarchimedean分析品种。
Algebraic curves P(x)-Q(y)=0 and functional equations
本文给出了代数曲线P（x）-Q（y）=0不可约的几个条件，其中P，Q是有理函数.我们还将所得结果应用于函数方程P（f）=Q（g）和P（f）=cP（g），其中c \in C.例如，我们证明了对于一般有理函数对P，Q，当（°P-1）（°Q-1）\geq 2时，第一个方程在C上没有非常数解f，g亚纯.
Backtracking New Q-Newton's method for finding roots of meromorphic functions in 1 complex variable: Global convergence, and local stable/unstable curves
本文深入研究回溯新Q-牛顿法求解单复变量亚纯函数根的性质，证明了例外集的存在性及相关收敛结论，解释了该方法与牛顿法、庞加莱-本迪克松定理的动力学相似性，无需随机参数或通有函数假设。
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