A note on a unicity theorem for the Gauss maps of complete minimal surfaces in Euclidean four-space
Nevanlinna的经典结果指出，复平面上的两个非常数亚纯函数对五个不同的值具有相同的象，它们必须彼此相同相等。本文给出了欧氏四维空间中完备极小曲面的高斯映射的一个类似的唯一性定理。
2016-12-14 math.CV math.DG
Spectral Determinants on Mandelstam Diagrams
我们研究了正则化行列式的拉普拉斯算子作为一个功能上的空间的曼德尔图（非紧的翻译表面粘从有限和半无限的圆柱）。曼德尔图可以被认为是一个紧致黎曼曲面，它具有一个共形平坦的奇异度量$|ω|^2$，其中$ω$是一个具有单极点的亚纯1-形式，使得它的所有周期都是纯虚的，所有留数都是实的.主要结果是一个明确的公式的拉普拉斯行列式的基本对象的基础黎曼曲面（素形式，θ-功能，典型的亚纯双微分）和除数的亚纯形式$ω$。作为一个重要的中间结果，我们证明了一个分解公式的类型的Burghelea-Friedlander-Kappeler的行列式的Laplacian的平面与圆柱形的结束和圆锥奇点。
2013-12-01 math.DG math.SP
Gauss-Bonnet formula for metrics with logarithmic singularities on compact Riemann surfaces
该研究在高斯曲率关于度量面积形式Lebesgue可积的条件下，推广了紧黎曼曲面上带对数奇异性度量的Gauss-Bonnet公式，并将其应用于关联三次微分亚纯的特殊Kähler度量。
2025-08-03 math.DG
Stress-Energy in Liouville Conformal Field Theory on Compact Riemann Surfaces
通过改变关联函数对背景度规的依赖关系，得到了紧致Riemann曲面上概率Liouville共形场论中应力-能量张量关联函数的共形沃德恒等式.共形沃德恒等式表明，应力-能量张量的关联函数可以表示为一个亚纯系数的微分算子，它作用于刘维共形场论的原场的关联函数.度量的变化有三种不同的形式：重新参数化、共形缩放和共形结构的变形。共形对称使得处理度规的不使共形结构变形的变化变得容易。变形的共形结构的变化必须单独处理，这部分的计算依赖于刘维共形场论的关联函数的正则性和可积性。
2022-07-28 math-ph math.DG math.MP
Conformal Gauss Map Geometry and Application to Willmore Surfaces in Model Spaces
本文对共形高斯映射作了详细而完备的研究。然后，从R. Bryant和共形高斯映射的概念，我们恢复了Willmore曲面的许多基本性质。我们还得到了一些新的结果，如最小和常数平均曲率（CMC）曲面的共形高斯映射行为的一些特征。
2019-04-08 math.DG
On conformal Gauss maps
我们把曲面共形浸入的共形高斯映射到$S^n$中的$2$ -球面空间中。特别是，我们给出了一个不变的配方和有效的证明的特征，由于Dorfmeister-王\cites{DorWan13,DorWan}，调和映射是共形高斯映射的Willmore表面。
2019-09-20 math.DG
Embedded minimal surfaces of finite topology
本文证明了具有有限拓扑和紧边界（可能为空）的$\mathbb{R}^3$中的完备嵌入极小曲面$M$是具有有限内点的紧Riemann曲面$\overline{M}$，并且$M$可以用其共形完备$\overline{M}$上的亚纯数据表示.特别是，我们证明了$M$是一个最小的有限型表面，并描述了如何这个属性允许分类的渐近行为的$M$。
2015-06-25 math.DG
Extrinsic curvature and conformal Gauss-Bonnet for four-manifolds with corner
本文在四维带角点的黎曼流形的角点上定义了两个新的非本征曲率量。其中之一是逐点共形不变量，另一个的共形变换是由一个新的线性二阶逐点共形不变量的部分微分算子。高斯-博内定理就是用这些量来表述的。
2020-10-15 math.DG
The hypersurfaces with conformal normal Gauss map in H^n+1 and S_{1}^{n+1}
本文引入了$H^{n+1}$中超曲面和$S_{1}^{n+1}$中类空超曲面的第四基本形式，并讨论了$H^{n+1}$和$S_{1}^{n+1}$中超曲面的法高斯映射的共形性.特别地，我们讨论了$H^{3}$和$S_{1}^{3}$中具有共形法高斯映射的曲面，证明了它们的对偶性质。给出了$S_{1}^{3}$中类空曲面的共形法高斯映射的Weierstrass表示公式。对于类时曲面，我们也给出了类似的结果，在$S_{1}^{3}.$中也得到了类似的结果
2006-11-14 math.DG
Constructing constant curvature metrics on Riemann surfaces with singularities
通过构造一类亚纯1-形式的常微分方程，给出了一类常曲率共形度量的显式构造。作为应用，我们将对Troyanov在\cite{Tr89}中首先利用射影联络证明的具有两个圆锥奇点的$S^{2}$上的常曲率1度量进行分类.
2022-04-12 math.DG
Interpolation by complete minimal surfaces whose Gauss map misses two points
设$M$是开黎曼曲面，$Λ\subset M$是闭离散子集.本文证明了在$Λ$上存在具有预定值的完全共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$，$n\ge 3$，且其广义Gauss映射$M\to\mathbb{CP}^{n-1}$，$n\ge 3$避开了$\mathbb{CP}^{n-1}$的$n$超平面位于一般位置.在$n=3$情形下，我们得到了高斯映射$M\to\mathbb{S}^2$省略球面的两个（对映）值的完全非平坦共形极小浸入.这一结果推导出的结果的共形最小浸入$M\to\mathbb{R}^n$到欧几里德空间$\mathbb{R}^n$，$n\ge 3$，与$n-2$规定的组件的插值定理。
2020-07-29 math.CV math.DG
The Gauss maps of Demoulin surfaces with conformal coordinates
研究实射影$3$ -空间中的Demoulin曲面.我们的结果使我们能够建立一个广义Weierstrass型表示的确定Demoulin曲面凭借本原映射到一定的半黎曼$6$ -对称空间。
2020-12-16 math.DG
Conformal Geometry of Surfaces in the 4-Sphere and Quaternions
这是第一次全面介绍作者最近试图更好地理解三维空间表面旋量表示背后的全球概念。重要的新方面是四元数值函数理论，其“亚纯函数“是四元数的共形映射，它扩展了经典的复变函数理论在黎曼曲面上的应用。在柏林举行的ICM 98上提出了这方面的第一个结果。四元数全纯理论的一个重要的新不变量是Willmore能量。对于四元数射影直线上的四元数全纯曲线，即，共形4-球面，这个能量是共形曲面的经典Willmore能量。利用这些新技巧，本文讨论了四维球面中共形曲面的中曲率球面，四维球面中Willmore曲面，Willmore曲面的Baecklund变换，超共形曲面和扭量投影，三维球面中Willmore曲面与三维双曲空间中极小曲面之间的对偶性。最后给出了Montiel最近对Willmore 2-球面在4-球面中的分类的一个新的证明。
2000-02-10 math.AG math.DG
A variational proof for the existence of a conformal metric with preassigned negative Gaussian curvature for compact Riemann surfaces of genus $>1$
给定一个光滑函数$K <0$，我们证明了Berger，Kazhdan等人的一个结果：对于亏格为$g>1$的紧致Riemann曲面，在每一个共形类中都存在一个度量，使该函数达到其高斯曲率.我们这样做，通过最小化一个适当的功能使用初等分析。特别是当$K$为负常数时，这为亏格为$g >1$的紧致Riemann曲面的一致化定理提供了一个初等证明.
2006-05-09 math.DG
Willmore surfaces in spheres: the DPW approach via the conformal Gauss map
利用共形高斯映射建立了Willmore曲面的DPW方法。作为应用，我们给出了$\mathbb R^{n+2}$中极小曲面、$S^4$中各向同性曲面和齐次Willmore环面的环群描述.本文还给出了一个在$S^6$中Willmore双球面不具有对偶曲面的新例子。
2019-03-03 math.DG
A complete conformal metric of preassigned negative Gaussian curvature for a punctured hyperbolic Riemann surface
设$h$是亏格为$g \geq 1$的穿孔黎曼曲面（或至少有三个穿孔的球面）上的高斯曲率$h$的完备度量。给定一个光滑的负函数$K$，$K=K_0$在穿孔的邻域中，我们证明了存在一个度量共形$h$，它达到这个函数作为它的高斯曲率的穿孔黎曼曲面。我们这样做，通过最小化一个适当的功能使用初等分析。
2004-06-28 math.AP math.DG
On a Conformal Gauss-Bonnet-Chern inequality for LCF manifolds and related topics
本文证明了以下两个结果：第一，研究了偶数维黎曼流形上的一类共形不变算子$P$及其相关的共形不变曲率$Q$。当流形是局部共形平坦（LCF）且无边界紧致时，$Q$ -曲率自然地与经典Gauss-Bonnet-Chern公式中的被积函数有关，即，普夫朗曲率对于一类具有可积$Q$ %曲率的偶数维完备LCF流形，建立了Gauss-Bonnet-Chern不等式.其次，还证明了某些类具有可积Pfronian曲率的完备LCF四重图的有限性定理。这是Cohn-Vossen和Huber的经典结果在二维空间中的推广。它也可以被看作是一个完全非线性的模拟结果的Chang-Qing-Yang在第四维。
2004-03-16 math.AP math.DG
Conformal metrics of the disk with prescribed Gaussian and geodesic curvatures
本文讨论了具有给定高斯曲率和测地曲率的圆盘的共形度量的存在性。更具体地说，给定非负光滑函数$K: \overline{\mathbb{D}} \to \mathbb{R}$和$h: \partial \mathbb{D} \to \mathbb{R}$，我们考虑的问题，找到一个共形度量实现$K$和$h$作为高斯和测地曲率，分别。这是经典的尼伦伯格问题在磁盘上提出的自然模拟。正如我们将看到的，两个曲率都在解的存在性中起作用。事实上，我们能够给出存在性的条件下，涉及$K$和$H$，其中$H$表示的调和扩展$h$。证明是基于在一个紧凑的设置的勒雷-绍德尔度的计算。
2021-08-31 math.AP math.DG
Liouville type theorems for conformal Gaussian curvature equation
本文研究了共形高斯曲率方程（也称平均场方程）$$ -Δu=K(x)e^u, in R^2 $$的Liouville型定理，其中$K(x)$是$R^2$上的光滑函数.当$K(x)=K(x_1)$是实直线$R$上的变号光滑函数时，我们得到了有限全曲率解的不存在性.当$K$从原点开始沿每条射线单调非减时，我们也可以证明一个不存在性结果。我们使用移动平面法和移动球体法。
2009-08-18 math.AP math.DG
A formal Riemannian structure on conformal classes and the inverse Gauss curvature flow
我们定义了一个正式的黎曼度量上的一个给定的共形类度量的封闭黎曼曲面。我们发现这个度量的有趣的形式性质，特别是曲率是非正的和刘维尔能量是测地线凸的。该度量的测地线方程对应于一个退化的椭圆型完全非线性偏微分方程，并且我们证明了任意两点都由一条$C^{1,1}$测地线连接。利用这个我们可以在给定的共形类上定义一个长度空间结构。我们提出了一种不同的方法，通过研究负梯度流的归一化刘维能量，一个新的几何流的主要条款是高斯曲率的倒数的一致化定理。我们证明了在任意初值下解的长时间存在性和对常数数量曲率度量的弱收敛性。这是一个特殊的情况下，更一般的建设，甚至维流形有关的$σ_{\frac{n}{2}}$-Yamabe问题，这将出现在即将到来的文章。
2015-07-16 math.DG
Global Conformal Invariants of Submanifolds
研究子流形整体共形不变量的代数结构。这些被定义为共形不变积分的几何标量的切线和正常的丛。曲面的Willmore能量是全局共形不变量的一个著名例子。在余维一，我们这样的不变量进行分类，表明在一个结构假设下（更确切地说，我们假设的被积函数分别取决于内在和外在曲率，而不是他们的衍生物）的被积函数只能由一个内在的标量共形不变量，一个外在的标量共形不变量和陈-高斯-博内被积函数。特别是，余维一个表面，我们表明，Willmore能源是唯一的全球共形不变量，增加了一个拓扑项（高斯曲率，给出欧拉示性数的高斯Bonnet定理）。一个类似的陈述也适用于余维两个表面，一旦考虑到一个额外的拓扑项由Chern-Gauss-Bonnet被积函数的法丛。我们还讨论了自然高维（和余维）的Willmore能量的推广的存在性和性质。
2018-02-06 math.DG
Some global properties of umbilic points of Willmore immersions in the $3$-sphere
该文从共形高斯映射视角研究3-球面中余维1的Willmore曲面脐点，刻画了脐曲线经共形变换为测地线的等价条件，证明含脐曲线长度的共形高斯映射Gauss–Bonnet公式，并将其作为各空间形式中共形极小曲面Willmore能量表达式的统一版本。
2025-06-12 math.DG
The Spinor Representation of Surfaces in Space
旋量表示是黎曼曲面在空间中的共形浸入。我们采用了Dennis Sullivan的方法，该方法将黎曼曲面M上的自旋结构视为复线丛S，其平方是正则线丛K=T（M）。给定M到\bbR^3的共形浸入，S^2上的唯一自旋结构通过高斯映射拉回到M上的自旋结构S，并产生S的一对光滑截面（s_1，s_2）。相反，S的任何一对截面在适当的可积性条件下生成M的（可能是周期性的）共形浸入，对于极小曲面，这只是旋量截面是亚纯的。自旋结构S还通过\bbZ_2 -二次形式q_S确定浸入的正则同伦类（并且由浸入的正则同伦类确定）。给出了q_S的Arf不变量的解析表达式，它决定了相应的浸入能否变形为嵌入. Arf不变量也被证明是一个障碍，例如，某些完全极小浸入的存在。本文的后半部分使用旋量表示来研究具有嵌入平面端点的极小曲面。一般地，我们证明了在紧黎曼曲面M上的自旋结构S在P处有穿孔，M \setminus P到\bbR^3的所有这种（可能是周期性的）极小浸入（直到同态）的空间是S的亚纯截面的复向量空间\calK中S^1 \times H ^3与2-平面的Grassmanian的乘积。一个重要的工具--由M上某个亚纯二次微分的留数定义的反对称形式Ω--让我们计算\calK如何随着M和P的变化而变化。然后我们应用它确定了平面端点极小球面和实射影平面的模空间，并构造了一类新的极小环面和一个四端点极小Klein瓶.这些…
1996-10-08 dg-ga math.DG
The Yamabe problem for Gauss-Bonnet curvatures: a local result around space forms
在M. L. Labbi等人证明了在n维闭流形1<2k<n上具有常数2k-Gauss-Bonnet曲率的度量是Hilbert型泛函关于保体积共形变分的临界点.这就引出了相应的Yamabe问题：在一个闭流形上的任何度量是否共形于一个具有常数2k-Gauss-Bonnet曲率的度量？对于某些空间型的小扰动，我们用微扰方法肯定地回答了这个问题。更精确地说，如果（X，g）是一个非平坦的闭空间型，与一个圆球不等距，我们证明了g在度量空间中存在一个邻域U，使得U中的任何g'共形于一个其2k-Gauss-Bonnet曲率为常数的度量.
2010-05-04 math.DG
Conformal metrics with constant curvature one and finite conical singularities on compact Riemann surfaces
紧致黎曼曲面$Σ$上的常曲率和有限锥奇点的共形度量$g$可以看作是2-球面上的标准度量被$Σ\backslash \{{\rm singularities}\}$上的多值局部单叶亚纯函数$f$拉回，称为度量$g$的{ \it展开映射}.当紧Riemann曲面$Σ$上的这种度量$g$的发展映射$f$具有可约单值性时，我们证明了，直到$f$上的某个M{\”o}bius变换，$f$的对数微分$d\,(\log\, f)$都是$Σ$上的第三类阿贝尔微分，它满足某些性质，称为$g$的{ \it特征标1-形式}.反之，若第三类阿贝尔微分$ω$满足上述性质，则证明了在具有常曲率和圆锥奇点的$Σ$上存在唯一的共形度量$g$，使得它的特征1-形式之一与$ω$重合.这提供了新的例子保形度量紧黎曼曲面的常曲率和奇点。此外，我们证明了发展映射是一个有理函数的共形度量$g$与常曲率和有限锥奇点的角度在$2π\,{\Bbb Z}_{>1}$上的两个球。
2013-06-17 math.CA math.DG
Weierstrass-Kenmotsu representation of Willmore surfaces in spheres
Willmore曲面$y:M\rightarrow S^{n+2}$具有自然调和定向共形高斯映射$Gr_y:M\rightarrow SO^{+}(1,n+3)/SO(1,3)\times SO(n)$，其将每个点$p\in M$映射到其在$p$处的定向中曲率2-球面。一个简单的观察表明，Willmore曲面上的共形高斯映射都满足一个限制的幂零性条件，这个条件称为“强共形调和”。本文的目的是刻画从Riemann曲面$M$到$SO^+ (1, n + 3)/{SO^+(1, 3) \times SO(n) }$的强共形调和映射，即$S^{n+2}.$中Willmore曲面的共形高斯映射。例外情况也将讨论。
2019-01-24 math.DG
Large Conformal metrics with prescribed sign-changing Gauss curvature
设$(M,g)$是亏格为$g(M)>1$的二维紧致黎曼流形.设$f$是$M$上的光滑函数，使得$$f \ge 0, \quad f\not\equiv 0, \quad \min_M f = 0. $$设$p_1,\ldots,p_n$是$f(p_i)=0$和$D^2f(p_i)$非奇异的任意点集。我们证明了，对于所有足够小的$λ>0$存在一个家庭的“冒泡”共形度量$g_λ=e^{u_λ}g$，使他们的高斯曲率给出的符号变化功能$K_{g_λ}=-f+λ^2$。此外，$u_λ$族满足$$u_λ(p_j) = -4\logλ-2\log \left (\frac 1{\sqrt{2}} \log \frac 1λ\right ) +O(1)$$和$$λ^2e^{u_λ}\rightharpoonup8π\sum_{i=1}^{n}δ_{p_i},\quad \mbox{as }λ\to 0,$$，其中$δ_{p}$表示$p$点处的狄拉克质量。
2014-07-08 math.AP math.DG
Prescribing Gaussian curvature on closed Riemann surface with conical singularity in the negative case
研究了具有圆锥奇点的黎曼曲面的高斯曲率的确定问题。设$(Σ,β)$是一个具有因子$β$和$K_λ=K+λ$的闭黎曼曲面，其中$K:Σ\rightarrow\mathbb{R}$是一个满足$\max_ΣK= 0$，$K\not\equiv 0$和$λ\in\mathbb{R}$的Hölder连续函数。若欧拉特征$χ(Σ,β)$为负，则用变分方法证明了存在一个常数$λ^\ast>0$，使得对任意$λ\leq 0$，存在唯一的共形度量，其高斯曲率为$K_λ$，对任意$λ$，$0<λ<λ^\ast$，至少存在两个共形度量，其高斯曲率为$K_λ$;对于$λ=λ^\ast$，存在至少一个具有高斯曲率$K_{λ^\ast}$的共形度量;对于任何$λ>λ^\ast$，不存在具有其高斯曲率的$K_λ$的特定共形度量。这个结果与Ding和Liu的\cite{Ding-Liu}的结果类似，部分类似于Borer、Galimberti和Struwe的\cite{B-G-Stru}的结果，并且推广了Troyanov的\cite{Troyanov}的负情况。
2017-06-07 math.AP math.DG
The Gauss map of minimal surfaces in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$
在这项工作中，我们认为模型的$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$等距$\mathbb{R}^3\setminus \{0\}$，赋予一个度量共形等价于欧几里德度量的$\mathbb{R}^3$，我们定义了高斯映射的表面在这个模型中同样在$3-$欧几里德空间。作为一个主要的结果，我们表明，任何两个最小的共形浸入$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$具有相同的非常数高斯地图不同的只有两种类型的环境等距：无论是$f=(\mathrm{id},T)$，其中$T$是一个翻译的$\mathbb{R}$，或$f=(\mathcal{A},T)$，其中$\mathcal{A}$表示对映地图$\mathbb{S}^2$。此外，如果高斯映射是奇异的，我们证明了它必然是常数，然后只有垂直柱上的测地线的$\mathbb{S}^2$在$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$出现在这个假设。我们还研究了一些特殊的情形，其中证明了当高斯映射是非常数反全纯映射时，$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$中不存在极小共形浸入。
2020-06-17 math.DG
Applications of a completeness lemma in minimal surface theory to various classes of surfaces
我们给出了几个应用程序的引理的完整性Osserman显示亚纯的Weierstrass数据完整的极小曲面有限的全曲率。定义了几类含有奇点的曲面的完备性和弱完备性。完备性引理是研究这些曲面类完备性的一种有用的方法。特别地，我们证明了de Sitter 3-空间中一个常中曲率为1（即CMC-1）的曲面是完备的当且仅当它是弱完备的，奇异集是紧的，并且所有端点共形等价于一个穿孔圆盘.
2010-08-02 math.DG
Conformal Deformation on Manifolds with Boundary
本文考虑了由带边界流形上的Gauss-Bonnet公式导出的自然共形不变量，并研究了与之相关的共形变形问题。我们使用的关键技术是直接从完全非线性方程的C^0估计导出边界C^2估计。主要结果已在作者的论文中发表。
2008-11-15 math.AP math.DG
