The Gauss maps of Demoulin surfaces with conformal coordinates
Jun-ichi Inoguchi, Shimpei Kobayashi
研究实射影$3$ -空间中的Demoulin曲面.我们的结果使我们能够建立一个广义Weierstrass型表示的确定Demoulin曲面凭借本原映射到一定的半黎曼$6$ -对称空间。
Demoulin surfaces in real projective $3$-space are investigated. Our result enable us to establish a generalized Weierstrass type representation for definite Demoulin surfaces by virtue of primitive maps into a certain semi-Riemannian $6$-symmetric space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A loop group method for Demoulin surfaces in the 3-dimensional real projective space
对于三维实射影空间中的曲面，我们定义了一个高斯映射，它是$\mathbb R^{4}$中的二次曲面，称为一阶高斯映射。证明了曲面是Demoulin曲面当且仅当一阶Gauss映射是共形的，曲面是射影极小重合曲面或Demoulin曲面当且仅当一阶Gauss映射是调和的.对于Demoulin曲面，证明了一阶Gauss映射可以通过Lorentz本原映入6-对称空间的自然投影得到。我们还通过一个家庭的平坦的连接上的平凡丛$\D \times \SL$在一个简单的连通域$\mathbb{D}$在欧几里德2-平面的Demoulin表面的特点。
Surface theory in discrete projective differential geometry. I. A canonical frame and an integrable discrete Demoulin system
我们提出的第一个步骤的离散表面理论在经典的射影微分几何的方式，基本的可积结构被保存。我们提出了一个规范框架，在该框架中，相关的投影Gauss-Weingarten和Gauss-Mainardi-Codazzi方程采用紧凑的形式。基于线性Gauss-Weingarten方程引入参数的标度对称性，我们建立了离散射影极小曲面的代数分类方案，该分类方案允许用离散Lie二次曲面及其包络的概念表示的几何对应物.在离散的Demoulin表面的情况下，我们推导出一个Backlund变换的底层离散的Demoulin系统，并显示如何后者可能被制定为一个两个组件的推广的可积离散Tzitzeica方程，最初已在不同的上下文中派生。在几何层面上，这种连接导致检索仿射微分几何中的仿射球面的标准离散化。
Conformal Gauss Map Geometry and Application to Willmore Surfaces in Model Spaces
本文对共形高斯映射作了详细而完备的研究。然后，从R. Bryant和共形高斯映射的概念，我们恢复了Willmore曲面的许多基本性质。我们还得到了一些新的结果，如最小和常数平均曲率（CMC）曲面的共形高斯映射行为的一些特征。
On conformal Gauss maps
我们把曲面共形浸入的共形高斯映射到$S^n$中的$2$ -球面空间中。特别是，我们给出了一个不变的配方和有效的证明的特征，由于Dorfmeister-王\cites{DorWan13,DorWan}，调和映射是共形高斯映射的Willmore表面。
Extrinsic curvature and conformal Gauss-Bonnet for four-manifolds with corner
本文在四维带角点的黎曼流形的角点上定义了两个新的非本征曲率量。其中之一是逐点共形不变量，另一个的共形变换是由一个新的线性二阶逐点共形不变量的部分微分算子。高斯-博内定理就是用这些量来表述的。
The hypersurfaces with conformal normal Gauss map in H^n+1 and S_{1}^{n+1}
本文引入了$H^{n+1}$中超曲面和$S_{1}^{n+1}$中类空超曲面的第四基本形式，并讨论了$H^{n+1}$和$S_{1}^{n+1}$中超曲面的法高斯映射的共形性.特别地，我们讨论了$H^{3}$和$S_{1}^{3}$中具有共形法高斯映射的曲面，证明了它们的对偶性质。给出了$S_{1}^{3}$中类空曲面的共形法高斯映射的Weierstrass表示公式。对于类时曲面，我们也给出了类似的结果，在$S_{1}^{3}.$中也得到了类似的结果
A variational proof for the existence of a conformal metric with preassigned negative Gaussian curvature for compact Riemann surfaces of genus $>1$
给定一个光滑函数$K <0$，我们证明了Berger，Kazhdan等人的一个结果：对于亏格为$g>1$的紧致Riemann曲面，在每一个共形类中都存在一个度量，使该函数达到其高斯曲率.我们这样做，通过最小化一个适当的功能使用初等分析。特别是当$K$为负常数时，这为亏格为$g >1$的紧致Riemann曲面的一致化定理提供了一个初等证明.
Willmore surfaces in spheres: the DPW approach via the conformal Gauss map
利用共形高斯映射建立了Willmore曲面的DPW方法。作为应用，我们给出了$\mathbb R^{n+2}$中极小曲面、$S^4$中各向同性曲面和齐次Willmore环面的环群描述.本文还给出了一个在$S^6$中Willmore双球面不具有对偶曲面的新例子。
A formal Riemannian structure on conformal classes and the inverse Gauss curvature flow
我们定义了一个正式的黎曼度量上的一个给定的共形类度量的封闭黎曼曲面。我们发现这个度量的有趣的形式性质，特别是曲率是非正的和刘维尔能量是测地线凸的。该度量的测地线方程对应于一个退化的椭圆型完全非线性偏微分方程，并且我们证明了任意两点都由一条$C^{1,1}$测地线连接。利用这个我们可以在给定的共形类上定义一个长度空间结构。我们提出了一种不同的方法，通过研究负梯度流的归一化刘维能量，一个新的几何流的主要条款是高斯曲率的倒数的一致化定理。我们证明了在任意初值下解的长时间存在性和对常数数量曲率度量的弱收敛性。这是一个特殊的情况下，更一般的建设，甚至维流形有关的$σ_{\frac{n}{2}}$-Yamabe问题，这将出现在即将到来的文章。
Global Conformal Invariants of Submanifolds
研究子流形整体共形不变量的代数结构。这些被定义为共形不变积分的几何标量的切线和正常的丛。曲面的Willmore能量是全局共形不变量的一个著名例子。在余维一，我们这样的不变量进行分类，表明在一个结构假设下（更确切地说，我们假设的被积函数分别取决于内在和外在曲率，而不是他们的衍生物）的被积函数只能由一个内在的标量共形不变量，一个外在的标量共形不变量和陈-高斯-博内被积函数。特别是，余维一个表面，我们表明，Willmore能源是唯一的全球共形不变量，增加了一个拓扑项（高斯曲率，给出欧拉示性数的高斯Bonnet定理）。一个类似的陈述也适用于余维两个表面，一旦考虑到一个额外的拓扑项由Chern-Gauss-Bonnet被积函数的法丛。我们还讨论了自然高维（和余维）的Willmore能量的推广的存在性和性质。
Some global properties of umbilic points of Willmore immersions in the $3$-sphere
该文从共形高斯映射视角研究3-球面中余维1的Willmore曲面脐点，刻画了脐曲线经共形变换为测地线的等价条件，证明含脐曲线长度的共形高斯映射Gauss–Bonnet公式，并将其作为各空间形式中共形极小曲面Willmore能量表达式的统一版本。
The Yamabe problem for Gauss-Bonnet curvatures: a local result around space forms
在M. L. Labbi等人证明了在n维闭流形1<2k<n上具有常数2k-Gauss-Bonnet曲率的度量是Hilbert型泛函关于保体积共形变分的临界点.这就引出了相应的Yamabe问题：在一个闭流形上的任何度量是否共形于一个具有常数2k-Gauss-Bonnet曲率的度量？对于某些空间型的小扰动，我们用微扰方法肯定地回答了这个问题。更精确地说，如果（X，g）是一个非平坦的闭空间型，与一个圆球不等距，我们证明了g在度量空间中存在一个邻域U，使得U中的任何g'共形于一个其2k-Gauss-Bonnet曲率为常数的度量.
Weierstrass-Kenmotsu representation of Willmore surfaces in spheres
Willmore曲面$y:M\rightarrow S^{n+2}$具有自然调和定向共形高斯映射$Gr_y:M\rightarrow SO^{+}(1,n+3)/SO(1,3)\times SO(n)$，其将每个点$p\in M$映射到其在$p$处的定向中曲率2-球面。一个简单的观察表明，Willmore曲面上的共形高斯映射都满足一个限制的幂零性条件，这个条件称为“强共形调和”。本文的目的是刻画从Riemann曲面$M$到$SO^+ (1, n + 3)/{SO^+(1, 3) \times SO(n) }$的强共形调和映射，即$S^{n+2}.$中Willmore曲面的共形高斯映射。例外情况也将讨论。
Curvilinear coordinates on generic conformally flat hypersurfaces and constant curvature 2-metrics
在Guichard条件下，四维空间型中的一般共形平坦（局部）超曲面与共形平坦3-度量之间存在一一对应关系.本文研究了具有Guichard条件的共形平坦3-度量空间：对于空间内部具有Guichard条件的共形平坦3-度量，确定了具有常Gauss曲率的正交（局部）黎曼$2$ -度量$-1$的演化;对于属于具有恒定高斯曲率$-1$的某类正交解析$2$ -度量的$2$ -度量，具有Guichard条件的共形平坦3-度量的单参数族被确定为从$2$ -度量产生的演进。
The Gauss map of minimal surfaces in $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$
在这项工作中，我们认为模型的$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$等距$\mathbb{R}^3\setminus \{0\}$，赋予一个度量共形等价于欧几里德度量的$\mathbb{R}^3$，我们定义了高斯映射的表面在这个模型中同样在$3-$欧几里德空间。作为一个主要的结果，我们表明，任何两个最小的共形浸入$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$具有相同的非常数高斯地图不同的只有两种类型的环境等距：无论是$f=(\mathrm{id},T)$，其中$T$是一个翻译的$\mathbb{R}$，或$f=(\mathcal{A},T)$，其中$\mathcal{A}$表示对映地图$\mathbb{S}^2$。此外，如果高斯映射是奇异的，我们证明了它必然是常数，然后只有垂直柱上的测地线的$\mathbb{S}^2$在$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$出现在这个假设。我们还研究了一些特殊的情形，其中证明了当高斯映射是非常数反全纯映射时，$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$中不存在极小共形浸入。
Chern-Gauss-Bonnet formula for singular Yamabe metrics in dimension four
利用Loewner-Nirenberg奇异Yamabe度量的几何性质，在给定的共形类中导出了四维带边流形的欧拉示性数的Chern-Gauss-Bonnet型公式.该公式涉及重整化体积和边界积分。结果表明，如果边界是脐点，那么重整化体积和边界积分之和是一个共形不变量。类似的结果证明了渐近双曲度量的第二个基本对称函数的Schouten张量的特征值是常数。这些结果的扩展和推广进行了讨论。最后，一个一般性的结果证明识别无穷小异常的重正化体积的渐近双曲度量在其重正化体积系数，并用于概述替代证明的共形不变性的重正化体积加边界积分。
Bernstein Type Results for Lagrangian Graphs with Partially Harmonic Gauss Map
本文对具有Hamilton极小或共形Maslov形式的Lagrange图建立了Bernstein定理。推广了极小（拉格朗日）子流形的一些已知结果。
Conformal submanifold geometry I-III
在第一部分中，我们发展了Moebius结构和共形Cartan几何的概念，建立了它们之间的等价关系;我们在第二部分中使用它们来研究任意维数和余维的共形流形的子流形。我们得到了Gauss-Codazzi-Ricci方程和一个共形Bonnet定理，它刻画了共形n-球面的浸入子流形。这些方法应用在第三部分研究约束Willmore曲面，等温曲面，Guichard曲面和共形平坦子流形与平坦的法丛，和他们的谱变形，在任意余维。这些应用的最高点是一个统一的理论Moebius平坦子流形，其中包括Guichard曲面和共形平坦超曲面。
A complete conformal metric of preassigned negative Gaussian curvature for a punctured hyperbolic Riemann surface
设$h$是亏格为$g \geq 1$的穿孔黎曼曲面（或至少有三个穿孔的球面）上的高斯曲率$h$的完备度量。给定一个光滑的负函数$K$，$K=K_0$在穿孔的邻域中，我们证明了存在一个度量共形$h$，它达到这个函数作为它的高斯曲率的穿孔黎曼曲面。我们这样做，通过最小化一个适当的功能使用初等分析。
On a Conformal Gauss-Bonnet-Chern inequality for LCF manifolds and related topics
本文证明了以下两个结果：第一，研究了偶数维黎曼流形上的一类共形不变算子$P$及其相关的共形不变曲率$Q$。当流形是局部共形平坦（LCF）且无边界紧致时，$Q$ -曲率自然地与经典Gauss-Bonnet-Chern公式中的被积函数有关，即，普夫朗曲率对于一类具有可积$Q$ %曲率的偶数维完备LCF流形，建立了Gauss-Bonnet-Chern不等式.其次，还证明了某些类具有可积Pfronian曲率的完备LCF四重图的有限性定理。这是Cohn-Vossen和Huber的经典结果在二维空间中的推广。它也可以被看作是一个完全非线性的模拟结果的Chang-Qing-Yang在第四维。
Every meromorphic function is the Gauss map of a conformal minimal surface
设$M$为开黎曼曲面。证明了$M$上的每一个亚纯函数都是共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^3$的复高斯映射，而且还可以选择它作为全纯零曲线$M\to\mathbb{C}^3$的实部.对于任意$n>3$的共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$，证明了类似的结果.我们还证明了每个共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$都是通过共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$到平坦浸入的同位素，并且我们确定了任何$n\ge 3$的所有共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$空间的路径连通分量。
Gauss Maps in Hyperbolic Surface Theory:A Unified Perspective
该研究针对双曲三维空间中浸入曲面的多种高斯型映射，构建统一框架梳理其目标空间、解析性质与相互关系，重点探讨广义DPW方法等内容，厘清了曲面承载的各类几何信息。
The space of Gauss maps of complete minimal surfaces
开黎曼曲面$M$到$\mathbb R^3$的共形极小浸入的高斯映射是$M$上的亚纯函数.本文证明了Gauss映射对其Gauss映射取全共形极小浸入$M\to\mathbb R^3$的Gauss映射赋值是Serre纤维化。确定了$M$上完全共形极小浸入的Gauss映射的亚纯函数空间的同伦类型，并证明了它与从$M$到2-球面的所有连续映射空间的同伦类型相同.对于任意$n\geq 3$，我们得到了共形极小浸入$M\to\mathbb R^n$的广义高斯映射的类似结果.
Scalar Invariants of surfaces in conformal 3-sphere via Minkowski spacetime
对于3-球面中的曲面，通过将共形的圆形3-球面确定为Minkowski 5-时空中的投影正光锥，利用共形高斯映射和共形变换构造了Minkowski 5-时空中的相应齐次4-曲面。然后，我们从闵可夫斯基5-时空中的4-曲面导出了共形圆3-球面中曲面的局部基本定理。更重要的是，我们遵循February man和Graham的思想，构造了共形圆三维球面中曲面的局部标量不变量。我们的建筑的一个显著特点是将Blaschke的经典作品与Bryan和Febriman-Graham的作品联系起来。
Large Conformal metrics with prescribed sign-changing Gauss curvature
设$(M,g)$是亏格为$g(M)>1$的二维紧致黎曼流形.设$f$是$M$上的光滑函数，使得$$f \ge 0, \quad f\not\equiv 0, \quad \min_M f = 0. $$设$p_1,\ldots,p_n$是$f(p_i)=0$和$D^2f(p_i)$非奇异的任意点集。我们证明了，对于所有足够小的$λ>0$存在一个家庭的“冒泡”共形度量$g_λ=e^{u_λ}g$，使他们的高斯曲率给出的符号变化功能$K_{g_λ}=-f+λ^2$。此外，$u_λ$族满足$$u_λ(p_j) = -4\logλ-2\log \left (\frac 1{\sqrt{2}} \log \frac 1λ\right ) +O(1)$$和$$λ^2e^{u_λ}\rightharpoonup8π\sum_{i=1}^{n}δ_{p_i},\quad \mbox{as }λ\to 0,$$，其中$δ_{p}$表示$p$点处的狄拉克质量。
Prescribing Gaussian curvature on closed Riemann surface with conical singularity in the negative case
研究了具有圆锥奇点的黎曼曲面的高斯曲率的确定问题。设$(Σ,β)$是一个具有因子$β$和$K_λ=K+λ$的闭黎曼曲面，其中$K:Σ\rightarrow\mathbb{R}$是一个满足$\max_ΣK= 0$，$K\not\equiv 0$和$λ\in\mathbb{R}$的Hölder连续函数。若欧拉特征$χ(Σ,β)$为负，则用变分方法证明了存在一个常数$λ^\ast>0$，使得对任意$λ\leq 0$，存在唯一的共形度量，其高斯曲率为$K_λ$，对任意$λ$，$0<λ<λ^\ast$，至少存在两个共形度量，其高斯曲率为$K_λ$;对于$λ=λ^\ast$，存在至少一个具有高斯曲率$K_{λ^\ast}$的共形度量;对于任何$λ>λ^\ast$，不存在具有其高斯曲率的$K_λ$的特定共形度量。这个结果与Ding和Liu的\cite{Ding-Liu}的结果类似，部分类似于Borer、Galimberti和Struwe的\cite{B-G-Stru}的结果，并且推广了Troyanov的\cite{Troyanov}的负情况。
Interpolation by complete minimal surfaces whose Gauss map misses two points
设$M$是开黎曼曲面，$Λ\subset M$是闭离散子集.本文证明了在$Λ$上存在具有预定值的完全共形极小浸入$M\to\mathbb{R}^n$，$n\ge 3$，且其广义Gauss映射$M\to\mathbb{CP}^{n-1}$，$n\ge 3$避开了$\mathbb{CP}^{n-1}$的$n$超平面位于一般位置.在$n=3$情形下，我们得到了高斯映射$M\to\mathbb{S}^2$省略球面的两个（对映）值的完全非平坦共形极小浸入.这一结果推导出的结果的共形最小浸入$M\to\mathbb{R}^n$到欧几里德空间$\mathbb{R}^n$，$n\ge 3$，与$n-2$规定的组件的插值定理。
Conformal Deformation on Manifolds with Boundary
本文考虑了由带边界流形上的Gauss-Bonnet公式导出的自然共形不变量，并研究了与之相关的共形变形问题。我们使用的关键技术是直接从完全非线性方程的C^0估计导出边界C^2估计。主要结果已在作者的论文中发表。
Blow-up analysis of Large conformal metrics with prescribed Gaussian and geodesic curvatures
本文研究负欧拉示性数带边紧黎曼曲面上指定变号高斯曲率与测地曲率的共形度量存在性，证明小参数下至少存在两个不同共形度量，并分析大解的爆破行为及推导半空间新的 Liouville 型结果。
A Trudinger-Moser inequality on compact Riemannian surface involving Gaussian curvature
受X最近工作的启发。Chen和M. Zhu（Commun.数学统计，1（2013）369-385）中，我们建立了无边界紧致黎曼曲面上的Trudinger-Moser不等式。证明是基于爆破分析与Carleson-Chang的结果（公牛。110（1986）113-127）。这个不等式不同于经典的由L.丰塔纳（注释。数学。赫尔夫，68（1993）415-454），因为涉及高斯曲率。作为应用，我们改进了Chen-Zhu的结果：当共形黎曼度量的欧拉示性数不为零且共形曲面的体积有一致正的下界时，修正的Liouville能量有一致的下界.
The Nirenberg problem of prescribed Gauss curvature on $S^{2}$
我们介绍了一个新的角度来理解可能的高斯曲率的度量$S^{2}$共形的圆度量的经典尼伦伯格问题。一个关键的工具是采用光滑Cheeger-Gromov紧性定理，以获得一般的和本质上尖锐的先验估计高斯曲率$K$包含在自然定义的稳定区域。我们证明了在这样的稳定区域中，映射$u \rightarrow K_{g}$，$g = e^{2u}g_{+1}$是每个分支上度定义良好的真Fredholm映射.这导致了一些新的存在和不存在的结果。我们还给出了$S^{2}$上偶共形度量的高斯曲率的Moser定理的一个新的证明和推广。与以前的工作相比，这里的工作没有使用任何的Sobolev型不等式Trudinger-Moser-Aubin-Onofri。
Geometry and entropies in a fixed conformal class on surfaces
我们证明了度量熵的灵活性，并得到了在固定共形类中具有固定总面积的光滑非正曲黎曼度量的负欧拉示性数闭曲面上测测地流的拓扑熵的附加限制.此外，我们得到了一个领引理，厚-薄分解，和预紧性所考虑的一类度量。此外，我们将一些结果推广到度量的固定总面积在一个固定的共形类，没有焦点和一些积分界的积极部分的高斯曲率。
Reductions of Gauss-Codazzi equations
本文证明了曲率为$c$的欧几里得空间$\Rcubec$中的共形参数曲面允许其Gauss-Codazzi方程的对称约化，其通解用第六类Painlevé函数表示.此外，它表明，这种类型的两个已知的解决方案（Bonnet 1867，Bobenko，Eitner和Kitaev 1997）可以恢复这样的约化。
A Gauss-Bonnet formula for the renormalized area of minimal submanifolds of Poincaré-Einstein manifolds
本文证明偶维极小子流形在 Poincaré-Einstein 流形中的重整化面积可由欧拉示性数与共形不变量积分线性表示，并在二维和四维验证了外在 Q-曲率的分解猜想。
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