Sylow's theorem for Moufang loops
Alexander N. Grishkov, Andrei V. Zavarnitsine
对于有限Moufang循环，我们证明了模拟的第一个Sylow定理给出了一个标准的存在的p-Sylow子循环。我们还找到了不具有p-Sylow子环的Moufang环中p-子环的极大序模。
For finite Moufang loops, we prove an analog of the first Sylow theorem giving a criterion of the existence of a p-Sylow subloop. We also find the maximal order of p-subloops in the Moufang loops that do not possess p-Sylow subloops.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Moufang Theorem for a variety of local non-Moufang loops
寻找满足Moufang定理的非Moufang回路的簇是回路论中的一个公开问题。本文给出了一类具有这种性质的局部光滑双结合环。
Universal $α$-elasticity of generalized Moufang loops
本文引入广义Moufang环的$α$ -弹性性质。给出了广义Moufang环的$α$ -弹性是泛环的充要条件。利用广义Moufang环的泛条件，在某些情形下，利用新引入的广义Moufang环的右、左$α$ -择一律，研究了广义Moufang环的一些性质.给出了广义Moufang环是阿贝尔群的条件。
On identities in centrally nilpotent Moufang loops and centrally nilpotent A-loops
本文证明了由中心幂零Moufang环（或中心幂零A-环）生成的簇是基于环的簇。
Multiplication formulas in Moufang loops
利用具有试探性的群，得到了Moufang环上的一般乘法公式，构造了阿贝尔群的Moufang扩张，刻画了阿贝尔群上有限单Moufang环的极小扩张的结构.
Half-isomorphisms of finite automorphic Moufang loops
我们证明了有限自守Moufang圈的每个半自同构都是平凡的。在一般情况下，这是不正确的有限左自守Moufang循环和有限自守循环。
Moufang loops with commuting inner mappings
研究了Moufang环的结构与其内映射群的关系。具有交换内映射的奇阶牟方环的幂零类至多为2。具有交换内映射的$6$ -可分Moufang环的幂零类至多为2。存在一个幂零类为3的$2^{14}$阶可交换内映射的Moufang环.
Steiner Loops Satisfying the Statement of Moufang's Theorem
安德鲁·拉贾在捷克共和国特雷斯特举行的循环11大会上提出了以下猜想：满足穆方定理的每一个循环都包含在穆方循环的各种各样中吗？本文正是基于这一问题而展开的。我们给出了这个问题的部分答案，并提出了两种类型的Steiner循环，一个满足Moufang定理，另一个不满足，也不是Moufang循环。
The smallest Moufang loop revisited
我们得到介绍Moufang循环类型$M(G,2)$，定义的Chein，与$G$有限的，两个产生的。然后，我们使用$G=S_3$来可视化最小的非关联Moufang循环。
Abelian congruences and solvability in Moufang loops
在群中，交换正规子群诱导交换同余。构造了一类中心幂零Moufang环，其中包含一个不诱导阿贝尔同余的阿贝尔正规子环。另一方面，我们证明了在$6$ -可分Moufang回路中，每个交换正规子回路诱导一个交换同余。在回路中，从同余模簇的泛代数交换子理论得到的同余可解性严格强于从群论得到的经典可解性。这两个可解性概念在Moufang回路中是否一致是一个公开的问题。我们证明了它们在$6$ -可分Moufang环和奇数阶Moufang环中重合。事实上，我们证明了每一个奇数阶的Moufang回路都是同余可解的，从而加强了关于Moufang回路的Glauberman奇数阶定理。
The Moufang loops of order 64 and 81
我们分类Moufang循环的顺序64和81同构，使用线性代数的方法，中央循环扩展。除了64阶的267个群之外，还有4262个64阶的非结合Moufang循环。除了$81$阶的$15$群之外，还有$81$阶的$5$非结合Moufang环，其中的$2$是可交换的。
Half-isomorphisms of Moufang loops
证明了如果Moufang环$Q$在其核上的因子环中的平方映射是满射，则$Q$到Moufang环上的每一个半同构都是同构或反同构.这推广了这方面的所有早期结果。
Toward the classification of Moufang loops of order 64
我们展示了如何以统一的方式获得所有小于64阶的非结合Moufang循环和4262个64阶的非结合Moufang循环。我们猜想，没有其他的非结合Moufang循环的顺序64。计算机搜索的主要思想是以某种方式修改乘法表的四分之一，以前适用于小的2-群。
Octonions, simple Moufang loops and triality
非结合有限单Moufang环正是Paige从Zorn向量矩阵代数中构造的环。我们证明了这一结果重新，使用几何回路理论。为了使这篇论文能被更广泛的读者所理解，我们仔细地讨论了复合代数、单Moufang圈、单Moufang 3-网、$S$ -单群和具有trial的群之间的联系。给出了乘法群、自同构群和Paige环生成元的相关结果。
Generators for finite simple Moufang loops
Moufang循环是群的最著名的推广之一。只有一个可数族的非结合有限单Moufang回路，产生于分裂八元数代数。我们证明了这个家庭的每个成员是由三个元素生成的，使用的经典结果的生成元的幺模群。
A Moufang loop with exceptional properties of associators
我们构造了一个阶为$3^{19}$的Moufang循环$M$和它的一对元素$a,b$，使得与$a$和$b$相关联的$M$的所有元素的集合不形成子循环。这也是一个非关联Moufang循环的例子，其生成集的每三个元素都关联。
A Generalization of Moufang and Steiner Loops
我们研究了各种各样的循环，RIF，这是自然产生的考虑内部映射组，和一个更大的品种，ARIF。所有Steiner和Moufang回路都是RIF，所有柔性C回路都是ARIF。我们证明了所有的ARIF循环都是双结合的，从而推广了Moufang定理。
Class 2 Moufang loops, small Frattini Moufang loops, and code loops
设$L$是一类中心幂零的Moufang环.我们首先证明了$L$的核导出子环（正常结合子环）$L^*$具有指数除6。因此，$L_p$（$p$ -幂阶元素的$L$的子循环）对于$p>3$是关联的。其次，如果$L$有一个$p$阶的中心子群$Z$，使得$C\isom L/Z$是初等阿贝尔$p$ -群，则称一个环$L$为{ \it small Frattini Moufang loop}或SFML。因此，$C$被赋予我们称为{ \it编码向量空间}或CVS的结构。(In在结合/群的情况下，CVS要么是正交空间（对于$p=2$），要么是带有附加线性形式的辛空间（对于$p>2$）。我们的主要结果是，每个CVS都可以通过这种方式从SFML中获得，并且两个SFML以保持中心子群$Z$的方式同构，当且仅当它们的CVS同构到标量倍。因此，我们得到的事实，即每个SFM 2-循环是一个代码循环，在Griess的意义下，我们也得到了一个比较明确的表征SFM 3-循环的合痕。(This合痕的特征很容易扩展到2类和指数3的Moufang环。最后，我们给出了一个构造2类中心幂零的有限Moufang环的方法。
Loops of Bol-Moufang type with a subgroup of index two
我们描述了所有的结构类似于Chein建设$M(G,*,g_0)$ Moufang循环的Bol-Moufang类型的循环。
The varieties of loops of Bol-Moufang type
一个循环恒等式是Bol-Moufang型的，如果它的三个变量中的两个在每一边出现一次，第三个变量在每一边出现两次，并且变量在两边出现的顺序相同，即$((xy)x)z=x(y(xz))$。由Bol-Moufang类型的一个恒等式定义的环变种包括群、Bol环、Moufang环和C-环。我们表明，正好有14个这样的品种，并确定它们之间的所有包含，提供所有必要的反例，太。这扩展并完成了Fenyves的计划。
On the commutative center of Moufang loops
本文构造了两个交换中心（即与回路中所有元素交换的元素的集合）不是正规子回路的指数为$3$的Moufang回路的无穷级数.特别是，我们得到这样的循环的订单$3^8$和$3^{11}$其中之一可以被定义为Moufang三倍的自由伯恩赛德组$B(3,3)$的例子。
Generators of nonassociative simple Moufang loops over finite prime fields
给出了有限素域上的非结合单Moufang环由三个元素生成的初等证明。在最后一节中，我们得到了单位范数的整Cayley数是由三个元素相乘生成的。
Power graphs of Moufang loops
群和半群的幂图已经得到了广泛的研究。虽然拟群的幂图可以类似于群的幂图来定义，但迄今为止对拟群和圈的幂图的研究很少。在本文中，我们开始转移结果的权力图的群体的背景下，循环通过解决一个问题所提出的彼得卡梅伦：如果两个Moufang循环同构无向功率图，他们必须同构有向功率图？已知两个具有同构无向幂图的群必具有同构有向幂图。我们能够通过证明具有同构无向幂图的Moufang回路具有同构有向幂图来将该结果扩展到Moufang回路。一路上，我们调查一类Moufang循环，我们称之为广义八元数循环和行为类似的广义四元数群。
Every diassociative A-loop is Moufang
A-循环是一个循环，其中每个内部映射都是自同构。我们解决了一个自1956年以来一直开放的问题，表明每一个双结合A-循环是Moufang。
Congruence solvability in finite Moufang loops of order coprime to three
证明了Moufang环$Q$的正规子环$X$诱导$Q$的阿贝尔同余当且仅当$Q$的每个内映射对所有$x,y\in X$和$u\in Q$都限制于$X$和$u(xy) = (uy)x$的自同构.当$X$是$3$ -可整除的时，前一个条件可以省略。这个特征然后被用来表明，经典可解的有限$3$ -可分Moufang回路是同余可解的。
Moufang semidirect products of loops with groups and inverse property extensions
本文研究了可表示为圈与群的半直积的Moufang圈。我们还研究了一类特定的循环扩展，这些扩展是由于有限循环群充当逆属性循环上的半自同构群而产生的。加戈拉三所提出的问题，这些扩展的部分答案，我们给出了几个例子，说明，在一般情况下，这些扩展是不好的行为。
Random generators of given orders and the smallest simple Moufang loop
根据与$Aut(C)$在$C$的子环格上的作用有关的某些常数来计算$m$随机选择有限幂相联环$C$的元素具有规定阶并生成$C$的概率。作为一个例子，所有有意义的概率的随机生成的元素的订单被发现的最小的非结合简单Moufang循环。
Abelian-by-cyclic Moufang loops
我们使用具有triality的群来构造一系列非结合Moufang循环。这个系列的某些成员包含一个阿贝尔正常的子循环与相应的商是一个循环群。特别是，我们给出了一系列新的有限阿贝尔循环Moufang循环的例子。已知的[A] Rajah，J. Alg.，235（2001），66-93]这种类型的奇数阶3q^3循环，其中素数q全等于1 mod 3，是我们级数的特殊情况。一些例子被证明是可嵌入到凯莱代数。
Automorphism groups of simple Moufang loops over perfect fields
设$F$是一个完满域，$M^*(F)$是由（唯一）分裂八元数代数$O(F)$模中心的单元组成的非结合单Moufang环.则$Aut(M^*(F))$等于$G_2(F) \rtimes Aut(F)$。特别地，$M^*(F)$的每个自同构都是由$O(F)$的半线性自同构导出的。证明结合的结果和方法，从几何循环理论，群体的李型和复合代数;其要点是一个确定的自同构群的Moufang循环与一个子群的自同构群的相关组triality。
The abstract groups (3, 3 | 3, p), their subgroup structure, and their significance for the non-associative finite simple Moufang loops
对于大多数（可能是所有）非结合有限单Moufang循环，可以选择三个3阶生成元，使得它们中的每两个生成同构于$(3, 3 | 3, p)$的群。$(3, 3 | 3, p)$的子群结构依赖于某个二次同余方程的可解性，这里用生成元来描述。
Torsors and ternary Moufang loops arising in projective geometry
我们给出了一个解释的建设torsors从以前的工作（伯特伦，Kinyon：联想几何。I，J. Lie Theory 20）in terms of classical projective geometry.对于Deskiesian的情况，这导致了lot.cit.的某些结果的重新表述，而牟方案的结果是新的。但是，即使在德塞里奥斯的情况下，它也揭示了射影空间的格结构和代数结构之间的关系。
Approximate Subloops in Moufang Loops
本文研究Moufang环中的近子环结构，建立内在乘积集恒等式和覆盖结果，提出有限核降维原理，并在交换Moufang环中推导出Freiman型定理及多项式覆盖定理。
Primary decompositions in varieties of commutative diassociative loops
扭交换群的分解定理同样适用于扭交换双结合环。考虑到这个定理，我们调查交换双结合回路满足额外的条件（平凡满足阿贝尔群的情况下），所有的$n$次幂是中心的，对于一个固定的$n$。对于$n=2$，我们得到精确交换的$C$循环。对于$n=3$，一个突出的变种是交换Moufang循环。在文献中已经注意到交换C和Moufang循环之间的许多类比，通常通过互换素数2和3的角色来获得。我们表明，这两类循环的正确包含品种是各种交换RIF循环。特别地，当$Q$是可交换RIF循环时：$Q$中的所有正方形是Moufang元素，所有立方体是$C$元素，$Q$的Moufang元素形成正常子循环$M_0(Q)$，使得$Q/M_0(Q)$是指数为2的C循环（Steiner循环），$L$的C元素形成正常子循环$C_0(Q)$，使得$Q/C_0(Q)$是指数为3的Moufang循环。由于广场（resp. cubes）是交换C（resp. Moufang）循环，则得出$Q$模其中心是指数6。回到分解定理，我们发现每个挠，交换RIF循环是一个C 2-循环，Moufang 3-循环和阿贝尔群的直积，每个元素的阶数为6。我们还讨论了Moufang元素，一类拟群与交换RIF循环。
Simple Moufang loops and alternative algebras
设一个Moufang回路Q包含一个非酉子回路，它是一个简单回路。则Q不嵌入到任何交错代数的可逆元的环中。
On abelian-by-cyclic Moufang loops
我们研究交换循环Moufang回路。我们从阿贝尔群群$(X,+)$上的Moufang置换中构造了所有分裂的$3$ -可分交换循环Moufang环，这些置换通过交替双加映射（满足某些性质）偏离$(X,+)$的自同构。更一般地说，我们获得额外的阿贝尔循环Moufang循环从所谓的建设对。另外，我们证明了在由$(X,+)$上的构造对得到的Moufang环$Q$中，阿贝尔正规子群$(X,+)$诱导$Q$的阿贝尔同余当且仅当$Q$是一个群.
A variety of Steiner loops satisfying Moufang's theorem: A solution to Rajah's Problem
循环$X$被称为满足Moufang定理，如果对于每个$x,y,z\in X$使得$x(yz)=(xy)z$，由$x$，$y$，$z$生成的子循环是一个群。证明了满足恒等式$(xz)(((xy)z)(yz)) = ((xz)((xy)z))(yz)$的Steiner环簇$V$不包含在Moufang环簇中，但$V$中的每个环都满足Moufang定理.这解决了Andrew Rajah提出的一个问题。
Cyclic extensions of Moufang loops induced by semi-automorphisms
众所周知，如果群G分解为G = NH，其中H \leq G和N在G中正规，则G的群结构由子群H和N、N与H的交集以及H如何以同态f：H -> Aut（N）作用于N来确定。在这里，我们通过使用N的半自同构群创建扩展来推广这个想法。证明了若G=NH是Moufang环，N是正规子环，H=<u>是阶与3互质的有限循环群，则G的二元运算仅取决于N的二元运算，N与H的交，以及u如何置换N的元素作为N的半自同构.
Semiautomorphic Inverse Property Loops
我们定义了各种各样的循环称为半自守，逆属性循环，推广Moufang和Steiner循环。我们首先显示了以前研究的各种循环之间的等价性。接下来，我们扩展了几个已知的结果Moufang和Steiner循环。也就是说，交换子是一个子循环，如果$a$在交换子中，则$a^{2}$是一个Moufang元素，$a^{3}$是一个$c$ -元素，而$a^{6}$在中心。最后，我们基于Chein和de Barros以及Juriaans的加倍构造给出了两个半自守逆性质环的构造。
Moufang loops that share associator and three quarters of their multiplication tables
两个建设由于Drápal产生一组修改正是四分之一的凯莱表的另一组。我们提出了这些建设在一个紧凑的方式，并推广到Moufang循环，使用循环扩展。这两种构造都保留了关联子、关联子循环和核。我们猜想两个具有等价结合子的有穷级$n$的Moufang 2-环可以通过一系列类似于我们的构造来连接，并提供经验证据证明$n=16$，24，32是如此;这是$n\le 32$唯一有趣的情况。我们进一步调查的方式影响代码循环和循环类型$M(G, 2)$的建设。最后，本文对牟房圈的距离、小牟房圈的分类以及这两种结构的推广等问题进行了讨论和研究。
When is a Bol loop Moufang?
有许多恒等式，如果满足一个波尔循环，意味着循环实际上是Moufang。在本文中，我们表明，在一些情况下，Moufang身份也被迫不是由一个单一的身份，但通过给元素的选择方程来满足。
Subdirect products and propagating equations with an application to Moufang theorem
我们引入了传播方程的概念，并着重讨论了结合性在各种环中传播的情形。方程$\varepsilon$在代数$X$中传播，如果每当$\varepsilon(\overrightarrow x)$成立且$\overrightarrow y$的元素包含在由$\overrightarrow x$生成的$X$的子代数中时，$\varepsilon(\overrightarrow y)$成立。如果$\varepsilon$在$X$中传播，则它在$X$的所有子代数和积中传播，但不一定在$X$的所有同态像中传播。如果$\mathcal V$是一个变种，则在$X\}$中传播的传播核$\mathcal V_{[\varepsilon]} = \{X\in\mathcal V:\varepsilon$是一个准变种，但不一定是变种。本文用初等方法证明了Goursat关于回路的引理，并描述了非交换单回路$X$的$X^k$的所有次直积和$\mathbf{HSP}(X)$中的所有次直积生成回路.如果$\mathcal V$是结合性传播的各种循环，$X$是结合性传播的有限循环，并且$X$的每个子循环都是非阿贝尔简单的或包含在$\mathcal V$中，则结合性在$\mathbf{HSP}(X)\lor\mathcal V$中传播。我们研究了Steiner环的结合性传播核$\mathcal S_{[x(yz)=(xy)…
Simple Bol loops
本文研究了Bol环及与之相连的群.我们证明了一个模拟的Doro定理Moufang循环，并找到一个简单的Bol循环的标准。得到的主要结果之一是：若连通有限Bol环$S$的右乘法群是单群，则$S$是Moufang环.
How Associative Can a Non-Associative Moufang Loop Be?
本文研究有限 Moufang 环的结合性概率，证明若随机三元素结合概率大于 43/64，则该环必为群，且该界由 16 元 Octonion 环证明是紧的。
The Structure of F-Quasigroups
我们解决了Belousov自1967年以来一直公开的一个问题：刻画F-拟群的圈同位素。我们证明了每个F-拟群都有一个Moufang圈同位素，它是它的核和Moufang中心的中心积。然后，我们使用循环来揭示相关的F-拟群的结构。
C-loops: An introduction
C环是满足$x(y(yz))=((xy)y)z$的环。它们的行为类似于Moufang环，并且与Steiner三元系和组合学密切相关。我们开始研究C-循环证明：（i）Steiner环是C-环，（ii）C-环是交替的，在核中具有平方的逆性质环，（iii）C-环的核是正规子群，（iv）C-环模它们的核是Steiner环，（v）C-环是幂结合的，幂交替的，但不一定是双结合的，（vi）挠交换C-环是挠阿贝尔群与挠交换2-C-环的乘积;我们还给出了最小的非结合C-循环的例子，并探讨交换C-循环和交换Moufang循环之间的类比。
Code loops: automorphisms and representations
本文在代码循环生成的变种中构造自由Moufang循环。我们将此构造应用于码环的研究。此外，我们定义和确定的代码循环的秩3和4的所有基本表示。
The structure of automorphic loops
自守循环是所有内部映射都是自同构的循环。这种类型的循环包括，例如，群和交换Moufang循环。我们研究独特的2-整除自守循环，特别是自守循环的奇数阶，从相关的布鲁克循环的观点（动机Glauberman的工作，独特的2-整除Moufang循环）和相关的李环（动机的赖特建设）。证明了奇阶自守环$Q$是可解的，且对每个整除$|Q|$的素数$p$，$Q$都含有一个$p$阶元，对$Q$的每个子环$S$，$|S|$整除$|Q|$.不存在有限的简单非结合交换自守回路，也不存在阶数小于2500的有限的简单非结合自守回路。证明了如果$Q$是有限简单非结合自守环，则$Q$的乘法群的基柱是不正则的.有限简单非结合自守回路的存在性仍然是开放的。设$p$是一个奇素数。序$p$或$p^2$的自守环是群，但也存在序为$p^3$的非结合自守环，有些具有平凡核（中心）和指数为$p$。我们为每个$n>2$构造了$2n$阶的非结合“二面角”自守环，并证明了$2p$阶的$p-2$非结合自守环都是二面角的.
Coxeter-Chein Loops
1974年，Orin Chein发现了一个新的Moufang循环家族，现在被称为Chein循环。这样的环可以通过半直积的变化从任何组$W$与$\mathbb{Z}_2$一起产生。我们研究这些循环的情况下，$W$是一个Coxeter组，并表明它有什么我们称之为一个Chein-Coxeter系统，一个小的2阶生成元集，连同一组关系密切相关的Coxeter关系和Chein关系。因此，我们能够给汞合金介绍Coxeter-Chein循环。据我们所知，这是第一次这样介绍一个Moufang循环。
Construction of groups with triality and their corresponding code loops
本文提出了一种构造具有三重关系的群$G_n$及其对应的自由码环$F_n$的方法，并证明了在有限情况下，$F_n$在由码环生成的变种中是自由环。
Introduction: Non-Associative Finite Invertible Loops
非结合有限可逆循环（NAFIL）是指每个元素都有唯一的双边逆的循环。关于NAFIL循环的类知之甚少，其中包括熟悉的IP（逆属性），Moufang和Bol循环。我们的研究表明，它们涉及到组合学，有限几何，拟群和相关系统，凯莱代数，以及在理论物理等不同的领域。本文介绍了NAFIL环类作为这些有趣的结构的理论发展的起点。
Representations of code loops by binary codes
本文研究了通过双重偶二进制码表示代码环的方法，并探讨了秩3和4的非结合代码环的最小和简化表示的确定方法。
A class of simple proper Bol loops
有限个简单非Moufang Bol环的存在性问题是环与拟群理论中的主要公开问题之一。本文给出了一类真单Bol环.这个类还包含有限和新的无限简单适当的波尔循环。
On Twisted Subgroups and Bol Loops of Odd Order
在Glauberman的基本工作的精神，B-循环和Moufang循环，我们证明柯西和强拉格朗日定理Bol循环的奇数阶。我们还建立了必要条件的存在一个简单的波尔循环的奇数阶，条件应该是有用的发展中的一个费特-汤普森定理波尔循环。波尔循环是密切相关的Aschbacher的扭曲的子群，我们调查后者的一些细节，特别是关于所谓的Aschbacher激进。
Normality, nuclear squares and Osborn identities
设$Q$为循环。如果$S\leq Q$使得对于$\mathrm{Inn}(Q)$的每个标准生成器都有$φ(S) \subseteq S$，则$S$不必是正常的子循环。在LC环中，左核和中核重合并形成正常的子环。应用核标识的思想，得到了Osborn环的恒等式，并讨论了Osborn环与Moufang环和CC环的各种联系.每个Osborn环都有一个正常的核，这个核与左、右和中间的核重合。Buchsteiner和Osborn都是圈的特征是每个正方形都在核中。
On the uniqueness of loops M(G,2)
设$G$是有限群，$C_2$是2阶循环群.考虑8个乘法运算$(x,y)\mapsto (x^iy^j)^k$，其中$i$、$j$、$k\in\{-1, 1\}$。通过将上述8个乘法之一分配给每个四分之一$(G\times\{i\})\times(G\times\{j\})$，为$i$、$j\in C_2$定义$G\times C_2$上的新乘法。当$G$是非交换的，那么正好有四个赋值产生非结合的Moufang循环;所有的（反）同构，称为循环$M(G,2)$。
The finite Bruck Loops
我们继续Aschbacher，Kinyon和Phillips [AKP]以及Glauberman [Glaub 1，2]的工作，通过描述有限Bruck环的结构。我们证明了有限Bruck环$X$是奇数阶Bruck环与2次幂阶可解Bruck环的直积，或者是与群$PSL_2(q)$、$q= 9$或$q \geq 5$ a Fermat素数有关的环的乘积.后一种可能性确实会发生，如[Nag1，BS]所示。作为推论，我们得到版本的西洛，拉格朗日和霍尔定理的循环。
The structure of extra loops
西洛定理适用于有限个额外循环，P.霍尔定理适用于有限个可解额外循环。每个有限非结合额外循环$Q$都有一个非平凡中心$Z(Q)$。此外，无论何时$|Q| < 512$，$Q/Z(Q)$都是一个组。循环扩展用于构造具有平凡中心的无限非关联额外循环和阶数为512的非关联额外循环$Q$，使得$Q/Z(Q)$是非关联的。对于每个奇素数$p$，正好有16个$16p$阶的非结合额外循环。
When is the commutant of a Bol loop a subloop?
左Bol循环是满足$x(y(xz)) = (x(yx))z$的循环。循环的交换子是与循环的所有元素交换的元素的集合。在奇数阶或$2k$，$k$奇数阶的有限Bol环中，交换子是一个子环.我们调查的条件下，交换的波尔循环是不是一个子循环。在一个阶为3的互素的有限Bol环中，交换子生成一个阶为整除环阶的阿贝尔群。这推广了Moufang循环的一个著名结果。在描述了循环$K$的所有扩展，使$K$是在左和中间的核所产生的循环，我们展示了如何构建类的波尔循环与非子循环交换子。特别地，我们得到了所有16阶的Bol环，其中非子环交换子。
Combinatorial polarization, code loops, and codes of high level
本文首先给出了任意映射$f:V\to F$的组合度，其中$F$是有限域，$V$是$F$上的有限维向量空间.然后，我们简化和推广了一定的建设，由于Chein和Goodaire，被用来表征代码循环有限Moufang循环，最多两个平方。该结构产生的二进制码的高可分性水平与规定的汉明重量的码字的交叉。
Three lectures on automorphic loops
这些笔记伴随着作者在Workshops Loops '15（Ohrid，Macedonia，2015）上发表的关于自守循环的三个系列讲座。自守循环是所有内部映射都是自同构的循环。关于自守循环的第一篇论文出现在1956年，自2010年以来，人们对这个话题的兴趣激增。这些笔记的目的是介绍自守循环的研究中使用的方法，以更广泛的观众研究工作在非结合数学。在第一讲中，我们建立了自守回路的基本性质（灵活性，幂结合性和反自守逆性质），并讨论了自守回路与Moufang回路的关系。在第二次演讲中，我们扩大了Glauberman的思想，并研究了相关的操作$(x^{-1}\backslash (y^2x))^{1/2}$和类似的概念，使用更现代的方法扭曲的子群。我们建立了交换和一般自守回路的许多结构结果，包括奇阶定理。在最后一课中，我们看了自守循环的枚举和构造。证明了不存在阶小于$4096$的非结合单自守环，研究了阶为$pq$和$p^3$的交换自守环，并给出了自守环的两种一般构造.材料是新组织的，有时新的，较短的证明。
On topological twin buildings and topological split Kac-Moody groups
我们证明了在一个局部域上的两球分裂Kac-Moody群在Kramer意义下自然地提供了一个拓扑孪生建筑。这个存在性结果和孪生建筑拓扑的局部到整体原理，结合缪赫尔、罗南和蒂茨介绍和研究的穆方地基理论，可以立即得到两个球形分裂穆方拓扑孪生建筑的分类，其基础的考克斯特图不包含回路和孤立顶点。
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