Every diassociative A-loop is Moufang
Michael K. Kinyon, Kenneth Kunen, J. D. Phillips
A-循环是一个循环，其中每个内部映射都是自同构。我们解决了一个自1956年以来一直开放的问题，表明每一个双结合A-循环是Moufang。
An A-loop is a loop in which every inner mapping is an automorphism. We settle a problem which had been open since 1956 by showing that every diassociative A-loop is Moufang.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Primary decompositions in varieties of commutative diassociative loops
扭交换群的分解定理同样适用于扭交换双结合环。考虑到这个定理，我们调查交换双结合回路满足额外的条件（平凡满足阿贝尔群的情况下），所有的$n$次幂是中心的，对于一个固定的$n$。对于$n=2$，我们得到精确交换的$C$循环。对于$n=3$，一个突出的变种是交换Moufang循环。在文献中已经注意到交换C和Moufang循环之间的许多类比，通常通过互换素数2和3的角色来获得。我们表明，这两类循环的正确包含品种是各种交换RIF循环。特别地，当$Q$是可交换RIF循环时：$Q$中的所有正方形是Moufang元素，所有立方体是$C$元素，$Q$的Moufang元素形成正常子循环$M_0(Q)$，使得$Q/M_0(Q)$是指数为2的C循环（Steiner循环），$L$的C元素形成正常子循环$C_0(Q)$，使得$Q/C_0(Q)$是指数为3的Moufang循环。由于广场（resp. cubes）是交换C（resp. Moufang）循环，则得出$Q$模其中心是指数6。回到分解定理，我们发现每个挠，交换RIF循环是一个C 2-循环，Moufang 3-循环和阿贝尔群的直积，每个元素的阶数为6。我们还讨论了Moufang元素，一类拟群与交换RIF循环。
Moufang Theorem for a variety of local non-Moufang loops
寻找满足Moufang定理的非Moufang回路的簇是回路论中的一个公开问题。本文给出了一类具有这种性质的局部光滑双结合环。
A Generalization of Moufang and Steiner Loops
我们研究了各种各样的循环，RIF，这是自然产生的考虑内部映射组，和一个更大的品种，ARIF。所有Steiner和Moufang回路都是RIF，所有柔性C回路都是ARIF。我们证明了所有的ARIF循环都是双结合的，从而推广了Moufang定理。
C-loops: An introduction
C环是满足$x(y(yz))=((xy)y)z$的环。它们的行为类似于Moufang环，并且与Steiner三元系和组合学密切相关。我们开始研究C-循环证明：（i）Steiner环是C-环，（ii）C-环是交替的，在核中具有平方的逆性质环，（iii）C-环的核是正规子群，（iv）C-环模它们的核是Steiner环，（v）C-环是幂结合的，幂交替的，但不一定是双结合的，（vi）挠交换C-环是挠阿贝尔群与挠交换2-C-环的乘积;我们还给出了最小的非结合C-循环的例子，并探讨交换C-循环和交换Moufang循环之间的类比。
Abelian congruences and solvability in Moufang loops
在群中，交换正规子群诱导交换同余。构造了一类中心幂零Moufang环，其中包含一个不诱导阿贝尔同余的阿贝尔正规子环。另一方面，我们证明了在$6$ -可分Moufang回路中，每个交换正规子回路诱导一个交换同余。在回路中，从同余模簇的泛代数交换子理论得到的同余可解性严格强于从群论得到的经典可解性。这两个可解性概念在Moufang回路中是否一致是一个公开的问题。我们证明了它们在$6$ -可分Moufang环和奇数阶Moufang环中重合。事实上，我们证明了每一个奇数阶的Moufang回路都是同余可解的，从而加强了关于Moufang回路的Glauberman奇数阶定理。
Moufang sets related to polarities in exceptional Moufang quadrangles of type F_4
从F_4型特殊Moufang四边形中与极性相关的Moufang集出发，构造了一个秩为3的几何。这种新几何的主要性质是它的自同构群与底层Moufang集的自同构群相同，这为用几何方法研究Moufang集提供了一个工具。作为推论，我们得到F_4型特殊Moufang四边形的每个自同构稳定了极性的绝对点，也使极性集中。这处理了Moufang n-xu的所有极性的类似结果的最后一种情况。
Generators for finite simple Moufang loops
Moufang循环是群的最著名的推广之一。只有一个可数族的非结合有限单Moufang回路，产生于分裂八元数代数。我们证明了这个家庭的每个成员是由三个元素生成的，使用的经典结果的生成元的幺模群。
Loops with universal and semi-universal flexibility
本文研究泛灵活与半泛灵活幺拟群，证明泛灵活逆性质幺拟群为 Moufang 幺拟群、半泛灵活逆性质幺拟群双结合，并探讨其与中 Bol 幺拟群的关系。
Steiner Loops Satisfying the Statement of Moufang's Theorem
安德鲁·拉贾在捷克共和国特雷斯特举行的循环11大会上提出了以下猜想：满足穆方定理的每一个循环都包含在穆方循环的各种各样中吗？本文正是基于这一问题而展开的。我们给出了这个问题的部分答案，并提出了两种类型的Steiner循环，一个满足Moufang定理，另一个不满足，也不是Moufang循环。
Half-isomorphisms of Moufang loops
证明了如果Moufang环$Q$在其核上的因子环中的平方映射是满射，则$Q$到Moufang环上的每一个半同构都是同构或反同构.这推广了这方面的所有早期结果。
A Moufang loop with exceptional properties of associators
我们构造了一个阶为$3^{19}$的Moufang循环$M$和它的一对元素$a,b$，使得与$a$和$b$相关联的$M$的所有元素的集合不形成子循环。这也是一个非关联Moufang循环的例子，其生成集的每三个元素都关联。
Class 2 Moufang loops, small Frattini Moufang loops, and code loops
设$L$是一类中心幂零的Moufang环.我们首先证明了$L$的核导出子环（正常结合子环）$L^*$具有指数除6。因此，$L_p$（$p$ -幂阶元素的$L$的子循环）对于$p>3$是关联的。其次，如果$L$有一个$p$阶的中心子群$Z$，使得$C\isom L/Z$是初等阿贝尔$p$ -群，则称一个环$L$为{ \it small Frattini Moufang loop}或SFML。因此，$C$被赋予我们称为{ \it编码向量空间}或CVS的结构。(In在结合/群的情况下，CVS要么是正交空间（对于$p=2$），要么是带有附加线性形式的辛空间（对于$p>2$）。我们的主要结果是，每个CVS都可以通过这种方式从SFML中获得，并且两个SFML以保持中心子群$Z$的方式同构，当且仅当它们的CVS同构到标量倍。因此，我们得到的事实，即每个SFM 2-循环是一个代码循环，在Griess的意义下，我们也得到了一个比较明确的表征SFM 3-循环的合痕。(This合痕的特征很容易扩展到2类和指数3的Moufang环。最后，我们给出了一个构造2类中心幂零的有限Moufang环的方法。
Local Moufang sets and local Jordan pairs
本文推广了特殊局部Moufang集理论。我们构建一个本地Moufang集从每个本地约旦对，我们表明，每个本地Moufang集满足一定的（自然）条件产生一个本地约旦对。我们还探讨了这两种结构之间的联系。
Automorphism groups of simple Moufang loops over perfect fields
设$F$是一个完满域，$M^*(F)$是由（唯一）分裂八元数代数$O(F)$模中心的单元组成的非结合单Moufang环.则$Aut(M^*(F))$等于$G_2(F) \rtimes Aut(F)$。特别地，$M^*(F)$的每个自同构都是由$O(F)$的半线性自同构导出的。证明结合的结果和方法，从几何循环理论，群体的李型和复合代数;其要点是一个确定的自同构群的Moufang循环与一个子群的自同构群的相关组triality。
Moufang sets and structurable division algebras
一个Moufang集本质上是一个双传递的置换群，使得每个点稳定子包含一个正规子群，该正规子群在其余顶点上是正则的;这些正则的正规子群称为根群，并且它们被假设是共轭的，并且生成整个群。它已经知道了一段时间，每约旦划分代数产生一个Moufang集与阿贝尔根群。我们扩展这一结果表明，每一个可结构的司代数产生一个Moufang集，反之，我们表明，每一个Moufang集所产生的一个简单的线性代数群的相对秩1的特征不同的任意字段k 2和3产生的可结构的司代数。我们还得到了这些牟方集的根群、τ-映射和华氏映射的显式公式。这对于特殊线性代数群的Moufang集特别有用。
A variety of Steiner loops satisfying Moufang's theorem: A solution to Rajah's Problem
循环$X$被称为满足Moufang定理，如果对于每个$x,y,z\in X$使得$x(yz)=(xy)z$，由$x$，$y$，$z$生成的子循环是一个群。证明了满足恒等式$(xz)(((xy)z)(yz)) = ((xz)((xy)z))(yz)$的Steiner环簇$V$不包含在Moufang环簇中，但$V$中的每个环都满足Moufang定理.这解决了Andrew Rajah提出的一个问题。
3-nets realizing a diassociative loop in a projective plane
阶为$n$的\textit{$3$-net}是由点和三个成对不相交的线类组成的有限关联结构，每个线类的大小为$n$，使得与来自不同类的两条线关联的每个点与来自三个类中的每一个的恰好一条线关联。当前对定义在特征$p$的域$K$上的射影平面$PG(2,K)$中的$3$网（嵌入）的兴趣源于代数几何。就$0<p\le n$而言，在$PG(2,K)$中找到$3$网并不困难.然而，只有少数无限族的$3$ -网在$PG(2,K)$已知存在时，$p=0$，或$p>n$ .在此条件下，已知的族被刻画为$PG(2,K)$中唯一能被群协调的$3$网。本文讨论了$PG(2,K)$中的$3$网，它可以由一个双结合环$G$协调而不能由一个群协调.证明了$G$上的两个结构定理。作为推论，如果$G$是交换的，则$G$的每个非平凡元素具有相同的阶，并且$G$具有指数$2$或$3$。我们还讨论了这种$3$ -网的存在性问题。
Subdirect products and propagating equations with an application to Moufang theorem
我们引入了传播方程的概念，并着重讨论了结合性在各种环中传播的情形。方程$\varepsilon$在代数$X$中传播，如果每当$\varepsilon(\overrightarrow x)$成立且$\overrightarrow y$的元素包含在由$\overrightarrow x$生成的$X$的子代数中时，$\varepsilon(\overrightarrow y)$成立。如果$\varepsilon$在$X$中传播，则它在$X$的所有子代数和积中传播，但不一定在$X$的所有同态像中传播。如果$\mathcal V$是一个变种，则在$X\}$中传播的传播核$\mathcal V_{[\varepsilon]} = \{X\in\mathcal V:\varepsilon$是一个准变种，但不一定是变种。本文用初等方法证明了Goursat关于回路的引理，并描述了非交换单回路$X$的$X^k$的所有次直积和$\mathbf{HSP}(X)$中的所有次直积生成回路.如果$\mathcal V$是结合性传播的各种循环，$X$是结合性传播的有限循环，并且$X$的每个子循环都是非阿贝尔简单的或包含在$\mathcal V$中，则结合性在$\mathbf{HSP}(X)\lor\mathcal V$中传播。我们研究了Steiner环的结合性传播核$\mathcal S_{[x(yz)=(xy)…
The Structure of F-Quasigroups
我们解决了Belousov自1967年以来一直公开的一个问题：刻画F-拟群的圈同位素。我们证明了每个F-拟群都有一个Moufang圈同位素，它是它的核和Moufang中心的中心积。然后，我们使用循环来揭示相关的F-拟群的结构。
The structure of automorphic loops
自守循环是所有内部映射都是自同构的循环。这种类型的循环包括，例如，群和交换Moufang循环。我们研究独特的2-整除自守循环，特别是自守循环的奇数阶，从相关的布鲁克循环的观点（动机Glauberman的工作，独特的2-整除Moufang循环）和相关的李环（动机的赖特建设）。证明了奇阶自守环$Q$是可解的，且对每个整除$|Q|$的素数$p$，$Q$都含有一个$p$阶元，对$Q$的每个子环$S$，$|S|$整除$|Q|$.不存在有限的简单非结合交换自守回路，也不存在阶数小于2500的有限的简单非结合自守回路。证明了如果$Q$是有限简单非结合自守环，则$Q$的乘法群的基柱是不正则的.有限简单非结合自守回路的存在性仍然是开放的。设$p$是一个奇素数。序$p$或$p^2$的自守环是群，但也存在序为$p^3$的非结合自守环，有些具有平凡核（中心）和指数为$p$。我们为每个$n>2$构造了$2n$阶的非结合“二面角”自守环，并证明了$2p$阶的$p-2$非结合自守环都是二面角的.
Chevalley groups of type $G_2$ as automorphism groups of loops
设$M^*(q)$是在$GF(q)$上构造的唯一非结合有限单Moufang环.通过将$M^*(2)$的乘法自同构推广到GF（2）上唯一分裂八元数代数的线性自同构，证明了$Aut(M^*(2))$是Chevalley群$G_2(2)$.我们的许多辅助结果适用于一般情况。在证明过程中，我们证明了分裂八元数代数的每个元素都可以写成两个范数为1的元素之和。
F-quasigroups and generalized modules
在数学GR/0510298中，我们证明了每个F-拟群在一种特殊的称为NK-环的Moufang环上是线性的。在这里，我们扩展了这种关系，显示之间的等价关系的（点）F-拟群的方程类和方程类对应于一定的概念，广义模（与非交换，非结合加法）的结合环。
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