Harmonic morphisms on heaven spaces
Paul Baird, Radu Pantilie
我们证明了从三维共形流形M到二维共形流形N的任何（实的或复的）解析水平共形浸没都可以局部地“扩展”到从M到N的天堂空间的唯一调和态射。
We prove that any (real or complex) analytic horizontally conformal submersion from a three-dimensional conformal manifold M to a two-dimensional conformal manifold N can be, locally, `extended' to a unique harmonic morphism from the heaven space of M to N.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Harmonic morphisms and the Jacobi operator
证明了调和态射沿调和映射保持Jacobi算子。我们应用这一结果证明无穷小和局部刚性（在Toth意义下）的调和态射到一个球。
Harmonic morphisms between Weyl spaces and twistorial maps
我们表明，外尔空间提供了一个自然的背景下调和态射。
On f-harmonic morphisms between Riemannian manifolds
f-调和映射首先由Lichnerowicz在\cite{Li}中引入并研究（另见Eells-Lemaire的报告\cite{EL}的第10.20节）。本文研究了f-调和映射的一个子类f-调和态射，它将局部调和函数拉回到局部f-调和函数.证明了黎曼流形之间的映射是f-调和态射当且仅当它是水平弱共形f-调和映射。这推广了著名的Fuglede-Ishihara对调和态射的刻画。给出了f-调和态射的一些性质和例子，以及f-调和态射的不存在性。我们还研究了共形浸入的f-调和性。
Generalized harmonic morphisms and horizontally weakly conformal biharmonic maps
调和态射是将调和函数拉回到调和函数的黎曼流形之间的映射。这些地图的特点是水平弱共形调和映射，他们有许多有趣的联系和应用的几个领域的数学（见书贝尔德和木材的细节）。本文研究了广义调和态射，广义调和态射定义为黎曼流形之间将调和函数拉回到双调和函数的映射。我们得到了欧几里得空间中广义调和态射的一些特征，并给出了两种构造方法，这些方法可以用来产生许多不是调和态射的广义调和态射的例子.给出了翘曲积空间投影间广义调和态射的完全分类，从而提供了翘曲积流形上真双调和黎曼浸入和共形浸入的无穷多个例子.
Harmonic morphisms and eigenfamilies on the exceptional Lie group G2
我们在紧单李群G2上构造了调和态射。该结构在表示论方案中使用本征族。
On the existence of harmonic morphisms from three-dimensional Lie groups
本文对允许调和态射到曲面的三维黎曼李群进行了分类。
Biconformal changes of metric and pseudo-harmonic morphisms
伪调和态射在定义域空间上产生一个分布，该分布具有与给定的黎曼度量相容的殆复结构。我们将表明，这个属性，连同调和性，保持由域度量的双共形变化。伪水平位似调和态射的特殊情况也被处理。
Harmonic morphisms from homogeneous Hadamard manifolds
本文提出了一种新的从一类黎曼李群中构造复值调和态射的方法。这产生了新的解决方案，从一个重要的家庭齐次阿达玛流形。我们还给出了在一大类产生调和态射的李群上构造左不变叶理的新方法
Explicit harmonic morphisms and $p$-harmonic functions from the complex and quaternionic Grassmannians
本文利用Laplace–Beltrami算子与共形算子的联合特征函数，在复及四元数格拉斯曼流形上构造显式复值$p$-调和函数与调和态射，并由对偶原理推广到非紧对偶空间。
Proper p-harmonic functions and harmonic morphisms on the classical non-compact semi-Riemannian Lie groups
利用特征族方法在非紧经典李群上构造了新的显式复值p-调和函数，并赋予了它们的自然半黎曼度量.然后，我们采用同样的方法来制造显式复值调和态射对这些群体。
Harmonic morphisms from four dimensional Lie groups
考虑具有左不变黎曼度量的四维李群。对于这样的群体，我们分类左不变的共形叶理与最小叶的余维2。这些叶理产生局部复值调和态射。
Harmonic morphisms between degenerate semi-Riemannian manifolds
本文将调和映射和态射推广到\emph{degenerate semi-Riemannian category}，当流形$M$和$N$是\emph{stationary}，映射$ϕ:M\to N$是\emph{radical-preserving}时.我们几何刻画了\emph{(generalized) horizontal (weak) conformality}的概念，并得到了（广义）调和态射的（广义）调和映射的一个刻画。
Harmonic morphisms from homogeneous spaces of positive curvature
本文证明了除Berger空间Sp（2）/SU（2）以外的任何正曲率黎曼齐性空间中复值调和态射的局部存在性.
Harmonic morphisms from five-dimensional Lie groups
考虑具有左不变黎曼度量的5维李群。对于这样的群体，我们给出了一个部分分类的左不变共形叶理的最小叶的余维2。这些叶理产生局部复值调和态射。
Harmonic morphisms with one-dimensional fibres on conformally-flat Riemannian manifolds
我们将一维纤维调和态射分类为（1）至少四维的实解析共形平坦黎曼流形和（2）至少三维的共形平坦黎曼流形。
Harmonic morphisms of Allof-Wallach spaces of positive curvature
本文给出了从7维正曲率齐性Allof-Wallach空间到6维旗流形上的一类具有极小圆纤维的调和态射。
Harmonic morphisms on conformally flat 3-spheres
我们证明了在一些非退化假设下，共形平坦$3-$球面上唯一的淹没调和态射是Hopf纤维化.证明涉及到一个适当的使用Chern-Simons功能。
On Ricci solitons and twistorial harmonic morphisms
本文研究四维和三维黎曼流形之间的双调和态射域上的孤子流。假设实解析性，我们证明了，对于Gibbons-Hawking结构，任何孤子流是唯一确定的限制，任何本地部分相应的调和态射。对于Beltrami场的建设，我们确定了轮廓积分的消失特征的平凡孤子流。
Differential as a harmonic morphism with respect to Cheeger--Gromoll type metrics
研究了黎曼流形间映射的微分的水平共形性，其中切丛具有Cheeger-Gromoll型度量.作为推论，我们将映射的微分刻画为调和态射。
On the existence of harmonic morphisms from certain symmetric spaces
本文给出了非紧不可约黎曼对称空间$SL_n(R)/SO(n)$、$SU^*(2n)/Sp(n)$及其紧空间$SU(n)/SO(n)$、$SU(2n)/Sp(n)$中复值调和态射的存在性问题的一个肯定答案.此外，我们证明了存在的整体定义，复值调和态射从任何黎曼对称空间的IV型。
Curvature conditions for complex-valued harmonic morphisms
我们研究了一个流形的曲率，在这个流形上可以定义一个复值的浸没调和态射，它要么是全测地纤维，要么是关于一个与第二基本型相容的复结构的全纯的。我们还给出了爱因斯坦流形上具有全测地纤维的复值调和态射存在的一个必要曲率条件。
Harmonic morphisms from the Grassmannians and their non-compact duals
本文给出了由实、复和四元数的Grassmannian及其非紧映射构造复值调和态射的统一框架。这给出了一个肯定的答案，在现实和四元数的情况下，相应的开放的存在性问题。
Harmonic morphisms and minimal submanifolds
本文研究了调和映射与最小子流形的关系，推导了调和映射在不同余维数下的性质，并通过具体例子得到了新的面积最小超锥体。
Proper biharmonic maps and $(2,1)$-harmonic morphisms from some wild geometries
本文在具有非平凡几何的黎曼流形上构造了一类新的复值真双调和映射和（2，1）-调和态射。这些是取决于所涉及的流形的几何数据的偏微分方程的非线性系的解。
A generalisation of the Hopf Construction and harmonic morphisms into $\s^2$
本文构造了一族新的调和态射$φ:V^5\to\s^2$，其中$V^5$是包含在$\c^4=\r^8$的椭球超曲面中的5维开流形.这些调和态射允许对完备化${V^{\ast}}^5$的连续扩展，这证明是一个显式的实代数簇。我们工作的背景下，推广的Hopf结构和等变理论。
Complex-valued (p,q)-harmonic morphisms from Riemannian manifolds
我们引入了黎曼流形之间的（p，q）-调和态射的自然概念。这统一了过去几十年来研究的几种理论。然后，我们研究的特殊情况下，所涉及的地图是复值。对于这些，我们找到一个特征，并提供新的重要情况下的非平凡的例子。
Harmonic morphisms with one-dimensional fibres on Einstein manifolds
我们证明了，从一个爱因斯坦流形的维数大于或等于5，只有两种类型的调和态射与一维纤维。这推广了R.L. Bryant等人在区域具有常曲率的假设下得到了同样的结论。
Pseudo-harmonic morphisms with low dimensional fibers
我们刻画了从黎曼流形到厄米流形的一般伪调和态射为伪水平弱共形映射，并给出了一个附加性质。我们研究在何种程度上，我们可以（本地）描述这些淹没伪调和态射通过叶理核的相关f-结构。在第二部分中，我们指出，在伪调和态射与一维和二维纤维的情况下，诱导的f-结构引起几乎接触，分别殆复结构域上。我们给这些结构的正常性和可积性的标准，我们展示了这两种特殊情况下是如何相互关联的。
Harmonic morphisms from solvable Lie groups
本文介绍了从可解李群构造调和态射的两种新方法。第一种方法从任意单连通幂零李群和任意非紧型和秩的黎曼对称空间$r\ge 3$得到整体解。第二种方法给出了任意Damek-Ricci空间和许多非紧黎曼对称空间的整体解。然后，我们给一个连续的家庭的3维可解李群不承认任何复杂的价值调和态射，甚至没有本地。
Twistorial constructions of harmonic morphisms and Jacobi fields
扭量方法在调和映射和调和态射的研究中提供了一个强有力的工具。事实上，他们的使用使我们能够产生各种例子的调和态射定义的4维流形，并在某些情况下，一个完整的分类。在本工作的第一部分中，我们推广了这些结构，以获得从高维流形的调和态射。扭量方法在雅可比场研究中的应用已被证明是卓有成效的，产生了一系列结果。在这项工作的第二部分中，我们给出了一个一般的治疗Jacobi字段和变化的扭量空间之间的关系，获得一阶类似的twistorial结构。
Harmonic morphisms and shear-free ray congruences
本文描述了闵可夫斯基四维空间}中的复值调和态射与数学物理中的无切变射线同余之间的关系。然后，我们展示了如何在欧氏3-空间域上的水平共形淹没给出了双曲4-空间上的复值调和态射在无穷远处的边界值。
Harmonic morphisms from the classical non-compact semisimple Lie groups
我们从非紧李群SL（n，R），SU ~*（2 n）和Sp（n，R）中构造了第一个已知的复值调和态射.然后我们引入了双特征族的概念，并利用它来构造非紧黎曼方程SO*（2n），SO（p，q），SU（p，q）和Sp（p，q）的第一个已知解。应用对偶原理，我们展示了如何从紧李群SO（n），SU（n）和Sp（n）中构造出第一个已知的复值调和态射。
Harmonic morphisms from the classical compact semisimple Lie groups
本文介绍一种从半黎曼流形中构造调和态射的新方法。这被用来从紧李群SO（n），SU（n）和Sp（n）中产生各种新的例子，它们都配备了标准的黎曼度量.我们开发了一个对偶原理，并展示了如何使用它来构造第一个已知的例子调和态射从非紧李群SL（n，R），SU（2n），Sp（n，R），SO（2n），SO（p，q），SU（p，q）和Sp（p，q）配备了他们的标准对偶半黎曼度量。
Harmonic morphisms and bicomplex manifolds
我们使用一个双复变量的功能，统一现有的结构调和态射从三维欧氏或伪欧几里得空间的黎曼或洛伦兹表面。这是通过使用复黎曼流形之间的复调和态射的概念来完成的，并显示当余域是一个双复维时，这些是如何由双复全纯函数给出的。通过采取真正的切片，我们恢复著名的紧化的三种可能的真实情况。在此基础上，我们通过将复黎曼流形解释为双复流形，讨论了复流形的一些有趣的共形紧化。
Harmonic morphisms between Weyl spaces and twistorial maps II
在光滑流形上定义了几乎扭量结构和扭量映射的概念，从而为扭量空间的所有已知例子提供了一个统一的框架.调和态射的条件自然出现在Eells和Salamon赋予不可积的几乎twistorial结构的低维Weyl空间之间的淹没twistorial映射的几何性质中。这导致了四维和三维Weyl空间之间调和态射的twistorial刻画。此外，我们给出了一个完整的描述twistorial映射与一维纤维从四维Weyl空间赋予几乎twistorial结构的Eells和Salamon。
Twistorial harmonic morphisms with one-dimensional fibres on self-dual four-manifolds
本文引入了twistorial映射的一般概念，并从自对偶四维流形中分类了具有一维纤维的twistorial调和态射。这种映射可以被描述为将阿贝尔单极拉回到自对偶联络的映射。事实上，该结构涉及解决一个广义的ESTA方程，也贝尔特拉米场方程的流体力学，并导致建设的自对偶度量。
Holomorphic harmonic morphisms from four-dimensional non-Einstein manifolds
我们构造了具有余维为2的最小叶的左不变共形叶理的四维黎曼李群。我们证明了这些叶理关于一个非K\”ahler的（可积）Hermite结构是全纯的.证明了所构造的黎曼李群是{ \it not} Einstein流形。这回答了黎曼四维流形复值调和态射理论中的一个重要的公开问题。
On harmonic morphisms from 4-manifolds to Riemann surfaces and local almost Hermitian structures
研究了从黎曼4-流形M^4到2-曲面$N^2$的调和态射$F$在临界点$m_0$附近的结构.如果$m_0$是孤立的临界点或$M^4$是无边界紧的，我们证明了$F$是伪全纯的.在$m_0$的邻域中定义的几乎厄米特结构。若$M^4$是无边界紧致曲面，则$F$的奇异纤维是分支极小曲面.
New Complex-Valued Harmonic Morphisms via Rational Exponents
本文将复值特征族构造方法从多项式解推广至有理指数解，为微分几何领域的非线性问题提供了新的求解思路与众多新解。
Polynomial harmonic morphisms and eigenfamilies on spheres
本文刻画并构造球面 S^m 上由同次齐次多项式调和态射构成的整体特征族，分析非全纯情形，并在低维中分类二次诱导映射对。
New Minimal Surfaces of the Sphere $S^4$ and the Hyperbolic Space $H^4$ via Harmonic Morphisms
本文提出通过复值谐映射理论构造偶维球面和双曲空间中二重余维数极小子流形的新方法，首次给出了在$S^4$和$H^4$上显式例子。
Holomorphic harmonic morphisms from cosymplectic almost Hermitian manifolds
我们研究了具有余维为2的极小共形叶理$\mathcal F$的四维黎曼流形。我们证明了两个适应的几乎厄米结构$J_1$和$J_2$都是共辛的当且仅当$\mathcal F$是黎曼的且其水平分布$\mathcal H$是可积的.
Biharmonic maps and morphisms from conformal mappings
受二维域上调和映射的共形不变性的启发，研究了双调和性与共形性之间的关系。我们首先给出了一个特征的双调和态射，类似的调和态射的Fuglede和石原，其中，特别是，解释了所需的条件，为保双调和性的四维共形映射，并帮助生产的第一个例子的双调和态射，这不是一个特殊类型的调和态射。然后，我们计算了水平弱共形映射的双张力场，其中包括共形映射。这就引出了几个真（即非调和）双调和共形映射的例子，其中四维起着关键作用。我们还构造了一族黎曼浸没，它们是真双调和映射。
Harmonic morphisms from three-dimensional Euclidean and spherical space forms
P.Baird和第二作者研究了从三维单连通空间形式到曲面的调和态射，得到了它们的局部和整体分类。本文给出了从任意三维欧氏空间和球面空间形式到曲面的所有调和态射的一个刻划，即任何这样的调和态射都是一个标准调和态射和一个弱共形映射的合成.我们列出了标准的调和态射。
A characterization of Dirac morphisms
通过对全空间上和水平共形浸入基流形上的Dirac算子的研究，刻画了Dirac态射，即把（局部）调和旋量场拉回到（局部）调和旋量场上的映射.
Harmonic Morphisms on Lie groups and Minimal Conformal Foliations of Codimension two
本文研究配备左不变半黎曼度量的李群上由半单子群生成的余维二左不变共形叶状结构，证明其极小性，并在黎曼情形下给出全测地条件。
Harmonic Morphisms and Minimal Conformal Foliations on Lie Groups
本文研究李群上由半单正规子群生成的左不变共形叶状结构，证明其必为黎曼且极小，并在度量双不变时进一步得到全测地性。
Conformal foliations on Lie groups and complex-valued harmonic morphisms
研究了黎曼李群上由子群$K$生成的左不变叶理$G$.我们感兴趣的是这样的叶理，这是共形的，并与最小叶的余维2。当$K$是重要的$\textbf{SU}(2)\times\textbf{SU}(2)$、$\textbf{SU}(2)\times\textbf{SL}_2(\mathbb{R})$、$\textbf{SU}(2)\times\textbf{SO}(2)$或$\textbf{SL}_2(\mathbb{R})\times\textbf{SO}(2)$之一时，我们将这样的叶理分类为$\mathcal{F}$。通过这一点，我们产生新的多维家庭的李群$G$进行这样的叶理在每种情况下。这些叶理$\mathcal{F}$在相应的李群$G$上产生局部复值调和态射。
Eigenvalues of harmonic almost submersions
利用目标度量的拉回特征值，即第一基本型，研究了在稠密子集上浸没的黎曼流形之间的映射。这些特征值的导数的表达式给出了调和性、全测地映射和度量保持调和性的双共形变换的刻画。利用特征值的伸缩和在五维空间中的Bochner技巧方法，包括特征值差的Laplacian，证明了伪调和态射的Schwarz引理，给出了伪调和态射成为调和态射的条件.
Weierstrass representations for harmonic morphisms on Euclidean spaces and spheres
我们构建大家庭的调和态射是全纯的埃尔米特结构通过寻找heimeries的维尔斯特拉斯型表示。这使我们能够从欧氏空间和球面中找到复值调和态射的新例子。
On the classification of quadratic harmonic morphisms between Euclidean spaces
在证明了一个秩引理后，给出了欧氏空间间二次调和态射的分类（定理2.4）。我们还发现脐（定义2.7）二次调和态射和Clifford系统之间的对应关系。在$ {\Bbb R}^{4}\longrightarrow {\Bbb R}^{3} $的情况下，我们确定所有的二次调和态射，并表明，直到一个常数因子，他们都是双等价（定义3.2）的著名的霍普夫构造映射和诱导调和态射双等价的霍普夫纤维化${\Bbb S}^{3} \longrightarrow {\Bbb S}^{2}$。
Pseudo Harmonic Morphisms
研究了一个比水平弱共形性弱的几何条件（PHWC）。特别是，我们证明了调和映射满足这个条件，这将被称为{ \em伪调和态射}，包括调和态射，并可以被描述为拉回某些细菌某些其他细菌。最后，我们构造了一个与满足（PHWC）的每一个映射相关联的规范f-结构，并找到了这个f-结构上的条件，以确保映射的调和性。
Harmonic morphisms of sub-Riemannian Lie groups
本文证明次黎曼李群间的调和态射是光滑共形淹没且为拉普拉斯算子的对称性，给出李群外调和态射的部分结果，计算其水平能量第一变分，发现其不一定是调和映射。
Infinity-harmonic maps and morphisms
提出了黎曼流形之间的\emph{infinity-harmonic maps}概念。这些都是无穷调和函数概念的自然推广，也是$p$ % -调和映射作为$p\to \infty $的极限情况。无限和谐出现在许多熟悉的语境中。例如，从管状邻域到等距群作用的轨道上的度量投影是无穷调和的。不幸的是，在合成中，无穷调和性并不被保持。那些在拉回下始终保持无穷调和性的无穷调和映射称为无穷调和态射。我们证明了无穷调和态射是精确的水平位似质量。给出了无穷调和映射的许多例子，包括黎曼流形之间的一些非常重要和著名的映射类。
Hermitian structures and harmonic morphisms in higher dimensional Euclidean spaces
我们构造新的复值调和态射从欧氏空间的功能是全纯的埃尔米特结构。特别是，我们给出了第一个全球性的例子复值调和态射从${\bf R}^n$为每个$n>4$不产生的凯勒结构，它是已知的，这样的例子不存在$n \leq 4$。
Minimal Submanifolds of The Complex and Quaternionic Projective and Hyperbolic Spaces $\cn P^{2n-1}$, $\hn P^{2n-1}$, $\cn H^{2n-1}$, $\hn H^{2n-1}$ via Harmonic Morphisms
本文利用复值谐波映射构造了复和四元数投影双曲空间中的非全纯、完整极小子流形，其共轭空间也包含极小子流形，所有构造的极小子流形均为二阶余维。
Harmonic morphisms and moment maps on hyper-Kähler manifolds
本文利用全纯同构在第一贝蒂数为零的Kähler流形上的作用，研究了dim \geq 2的阿贝尔李群的作用，其中矩映射是水平弱共形的（相对于该群的李代数上的某些欧氏结构）.进一步，我们研究了在第一贝蒂数为零的超Kähler流形M上，由三全纯等距的交换李群T诱导的超Kähler矩映射$ϕ$，得到了如下结果：若dim T=1，则$ϕ$是调和态射.此外，我们还在具有Calabi超Kähler结构的复射影空间的切丛上证明了这一点，并得到了该映射的一个显式整体公式.若dim T \geq 2且任一$ϕ$有临界点，或M非平坦且dim M=4 dim T，则$ϕ$不可能是水平弱共形的。
Harmonic morphisms between almost Hermitian manifolds
给出了几乎Hermitian流形之间的全纯映射是调和映射或态射的Lee形式条件。然后讨论了在什么条件下：（i）一个全纯映射在一个余辛流形上的象也是余辛的，（ii）一个具有Hermite象的全纯映射在其定义域上定义一个Hermite结构。
Pseudo Harmonic Morphisms on Riemannian Polyhedra
本文的目的是将Loubeau \cite {Lo}引入的伪调和态射的概念推广到源流形是容许黎曼多面体的情形。我们定义这些映射在Eells-Fuglede \cite {EF}意义下是调和的，在我们的意义下是伪水平弱共形的（见第3节）。我们通过Korevaar-Schoen \cite {KS}意义下的源多面体上的调和函数的芽和Kähler目标流形上的全纯函数的芽来刻画它们。
Quadratic harmonic morphisms and O-systems
引入了${\Bbb R}^{m}$的正交变换的O-系统（定义\ref{DO}），建立了Clifford系统与O-系统等价类之间以及O-系统与$μ:{\Bbb R}^{n} \times {\Bbb R}^{m} \longrightarrow {\Bbb R}^{m} $形式的正交乘法之间的$1-1$对应，从而同时解决了O-系统和脐二次调和态射的存在性问题（定理\ref{ES}和\ref{EU}）.一般的二次调和态射的存在性问题，然后解决（定理\ref{EG}）的分裂引理（引理\ref{Split}）。我们还研究属性（见，例如，定理\ref{single}和\ref{TL}）拥有的所有二次调和态射的固定对域和范围空间（\S 5）。
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