Sphere-foliated minimal and constant mean curvature hypersurfaces in product spaces
本文证明了在${\mathbb{H}}^n \times \mathbb{R}$的平行水平超平面中，当$n\geq 3$为极小超曲面时，以及当$n\geq 3$为球面叶时，非零常数中曲率超曲面必须是旋转对称的.
2010-02-20 math.DG
Umbilic hypersurfaces of constant sigma-k curvature in the Heisenberg group
我们研究了海森堡群$H_{n}$中的浸入的、连通的、脐超曲面，其中$n$ $\geq $ $2.$我们证明了这样的超曲面，如果是闭的，则它在海森堡平移之前必须是旋转不变的。此外，我们证明，除其他外，Pansu领域是唯一这样的领域与积极的常数σ-k曲率海森堡翻译。
2015-12-18 math.DG
Type-II singularities of two-convex immersed mean curvature flow
我们证明了任何严格平均凸平移的尺寸$n\geq 3$，其中承认一个圆柱估计和相应的梯度估计是旋转对称的。因此，我们推出的任何平移的解决方案的中曲率流所产生的爆破极限的两个凸中曲率流的尺寸$n\geq 3$紧凑浸没超曲面是旋转对称的。证明是相当强大的，并适用于更一般的翻译方程类。作为一个特殊的应用，我们证明了一类嵌入超曲面流的一个类似结果，这类超曲面流包括双调和平均曲率的双凸超曲面流。
2016-05-31 math.DG
Invariant hypersurfaces with linear prescribed mean curvature
研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+1}$中的不变超曲面，其中曲率是单位球面$\mathbb{S}^n$中依赖于Gauss映射的线性函数.这些超曲面与密度流形理论密切相关，因为它们的加权中曲率在Gromov意义下是常数。本文给出了常曲率超曲面的显式参数化，并给出了旋转不变超曲面的分类。
2019-08-20 math.DG
The weighted geometric inequalities for static convex domains in static rotationally symmetric spaces
该文研究静态旋转对称空间中的局部约束曲率流，证明其图状解的长时间存在性与指数收敛性、近切片初始超曲面的静态凸保持性，并据此推导一类静态凸域的加权几何不等式。
2023-11-04 math.DG
On Surfaces that are Intrinsically Surfaces of Revolution
我们考虑欧几里得空间中的曲面在环形域上参数化，使得第一基本型和主曲率是旋转不变的，并且主曲率方向仅取决于旋转角（而不是半径）。这样的曲面推广了Enneper曲面。我们证明了它们必然具有常中曲率，并且在主曲率方向上的旋转速度是常数。我们对最小情况进行分类。（非零）恒定中曲率的情况已被Smyth分类。
2016-07-28 math.DG
Stable capillary hypersurfaces and the partitioning problem in balls with radial weights
在一个圆形的球$B\subset\mathbb{R}^{n+1}$赋予一个$O(n+1)$不变的度量，我们考虑一个径向函数的重量体积和面积。证明了$B$中关于包含$B$中心的直线对称的、在加权意义下是稳定毛细管的紧致双边超曲面同胚于闭$n$维圆盘.当结合Hsiang对称化和其他稳定性的结果，这允许推导出的内边界的任何等周区域的$B$的高斯权重是一个封闭的$n$ -旋转盘。对于$n=2$，我们还表明亏格0的$B$中的致密加权稳定毛细表面是一个封闭的旋转盘。
2022-11-29 math.DG
Existence of self-shrinkers to the degree-one curvature flow with a rotationally symmetric conical end
给定一个光滑的、对称的、齐次的一次函数$f\left(λ_{1},\cdots,\,λ_{n}\right)$，对所有的$i=1,\cdots,\,n$都满足$\partial_{i}f>0$，并且在$\mathbb{R}^{n+1}$中有一个旋转对称的锥$\mathcal{C}$，我们证明了存在一个$f$自收缩器（即，满足$f\left(κ_{1},\cdots,\,κ_{n}\right)+\frac{1}{2}X\cdot N=0$的$\mathbb{R}^{n+1}$中的超曲面$Σ$，其中$X$是位置向量，$N$是单位法向量，和$κ_{1},\cdots,\,κ_{n}$是$Σ$的主曲率），其在无穷远处渐近于$\mathcal{C}$。
2017-08-24 math.DG
Inverse Mean Curvature Flow of Rotationally Symmetric Hypersurfaces
研究了旋转对称超曲面的逆均值流，证明其收敛性并扩展了Minkowski不等式，同时建立了与极小曲面理论的联系。
2022-11-21 math.AP math.DG
On free boundary minimal hypersurfaces in the Riemannian Schwarzschild space
与三维情况相比（cf. \cite{RaMo}），其中旋转对称的全测地自由边界极小曲面的Morse指数为1;在这项工作中，我们证明了对于$n\geq4$，$n$维Riemannian Schwarzschild空间的一个自由边界旋转对称的全测地超曲面的Morse指数为零.证明了存在非紧的非全测地线的自由边界极小超曲面$n\geq 8$，其Morse指数等于$0$ .证明了对于$n\geq4$，存在无穷多个Morse指数为无穷大的非紧自由边界极小超曲面，且这些极小超曲面彼此不全等.我们还研究了单位欧氏球面的极小超曲面上构造的极小锥的自由边界极小超曲面在无穷远处的密度。我们得到了单位球面中密度的一个下界，它是由超曲面的边界面积和极小超曲面的面积决定的。这个下界是最优的，因为只有最小的锥能达到它。
2021-03-10 math.AP math.DG
Stable capillary hypersurfaces in a half-space or a slab
本文研究了欧氏空间$\Bbb R^{n+1}.$中半空间或平板区域$\mathcal B$中的稳定浸入毛细超曲面，证明了在下列情形下，这种超曲面$Σ$是旋转对称的：（1）$n=2$，$\mathcal B$是一个平板，$Σ$的亏格为零，（2）$n\geq 2$，$\mathcal B$是一个平板，接触角为$π/2$，$\partialΣ$的各组分被嵌入，（3）$n\geq 2,$ $\mathcal B$是一个半空间，接触角为$<π/2$，$\partialΣ$的各组成部分嵌入其中。此外，在情形（2）中，如果不是直圆柱，则超曲面必须是$\partial\mathcal B.$中的域上的图形。在情形（3）中，超曲面是球冠。
2015-01-28 math.DG
Sharp upper bounds for Steklov eigenvalues of a hypersurface of revolution with two boundary components in Euclidean space
本文研究了欧氏空间中具有两个边界分量的旋转超曲面的 Steklov 特征值精确上界问题，给出了首个非零特征值的精确上界 $B_n(L)$ 和 $B_n$，并证明了这些上界的稳定性性质。
2023-11-26 math.DG math.SP
A numerical stability analysis of mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blowup: II
在以前的工作[GIKW 21]中，我们已经从数值模拟中提出了证据，证明[IW 19，IWZ 21]中构造的旋转对称，完备，非紧嵌入超曲面的中曲率流（MCF）的II型奇点是稳定的。更准确地说，它是在该文件中示出的，对于小的旋转对称扰动的初始嵌入附近的“尖端”，数值模拟的MCF这样的初始嵌入开发相同的第二类奇异性与相同的“碗孤子”爆破行为在附近的奇异性。该工作还表明，对于距离尖端足够远的初始嵌入的小旋转对称扰动，MCF会产生I型“颈缩”奇异性。在这项工作中，我们再次使用数值模拟表明，MCF受到初始扰动是不旋转对称的行为渐近像它的旋转对称扰动。特别是，如果我们施加正弦角依赖于初始嵌入，我们发现，在尖端附近的扰动，MCF的演变渐近失去其角度依赖性-成为圆-和开发II型碗孤子奇点。同样，如果我们对离尖端足够远的扰动的初始嵌入施加正弦角依赖性，那么随着I型颈缩奇点的发展，角依赖性再次消失。在这项工作中进行的数值分析是在[GIKW 21]中引入的“重叠”方法的适应，并允许角度依赖性。
2022-06-04 cs.NA math.AP math.DG
Translating solitons of mean curvature flow of noncompact spacelike hypersurfaces in Minkowski space
本文研究了Minkowski空间中中曲率流旋转对称平移孤子的存在性、唯一性和渐近行为。我们还研究了这类流的一般孤子的渐近性和严格凸性。
2006-11-29 math.AP math.DG
Existence of rotationally symmetric embedded f-minimal tori
Fudan University（复旦大学）
该研究推广了Angenent的收缩环面，证明了特定欧氏空间中满足条件的旋转对称嵌入f-极小环面的存在性。
2026-10-27 math.DG
On the global existence of generalized rotational hypersurfaces with prescribed mean curvature in the Euclidean spaces. I
证明了欧几里得空间中任意一片具有指定中曲率函数的旋转超曲面都可以唯一地无限延拓，推广了Euler和Delaunay关于常中曲率旋转曲面的结果.其次，我们证明了O（l+1）x O（m+1）-型广义旋转超曲面的同类定理.本文的关键引理证明了奇异初值问题解的存在性，这些问题是由分析这些超曲面的母曲线的常微分方程而引起的。
2013-07-11 math.DG
Mean curvature flow with free boundary in embedded cylinders or cones and uniqueness results for minimal hypersurfaces
本文研究嵌入圆柱或广义旋转锥上具有自由边界的嵌入圆盘的中曲率流动。我们确定的支持超曲面的内部区域，使初始数据被驱动到一个曲率奇点在有限的时间或存在的所有时间，并收敛到一个最小的磁盘。我们进一步对奇点的类型进行了分类。我们还提出了应用这些结果的唯一性问题的极小超曲面与自由边界的支持超曲面，这样得到的结果不需要先验的任何对称性或拓扑限制。
2016-09-15 math.DG
A class of rotationally symmetric quantum layers of dimension 4
在下面施加的几个几何条件下，对于在具有嵌入在欧几里得空间R4中的极点的球对称超曲面上构建的量子层上的狄利克雷-拉普拉斯算子，示出了在本质谱以下的离散谱的存在。在文章的最后，我们还说明了我们的主要结果与已有的高维量子层或量子管的结果相比的优越性和独立性。
2013-01-28 math.DG math.SP
Convergence of an approximation for rotationally symmetric two-phase lipid bilayer membranes
我们考虑一个扩散界面近似的脂相旋转对称的两相双层膜，并严格推导出其$Γ$ -限制。特别是，我们证明了极限囊泡是跨界面的$C^1$，这证明了在正式的渐近和数值研究中广泛提出的正则性假设。此外，一个限制膜可能由几个拓扑球组成，它们在旋转轴处连接，类似于囊泡的完整芽。
2016-03-01 math-ph math.AP math.DG
Mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blow-up. II
本文继续研究了\cite{IW19}的前两位作者在完备非紧嵌入超曲面的中曲率流中的II型曲率爆破。特别地，我们构造了旋转对称类中的中曲率流解，在“消失”时间$T$附近具有以下精确渐近性：（1）最高曲率集中在超曲面的尖端（脐点），并以$(T-t)^{-1}$的速率爆破。(2)在附近的尖端，解决方案收敛到一个翻译孤子称为碗孤子。(3)在接近空间无穷大时，超曲面以指数速率接近坍缩的圆柱体。
2019-11-14 math.AP math.DG
Proper free-boundary minimal hypersurfaces with a rotational symmetry in the Schwarzschild space
本文在$n$维Schwarzschild空间$n\geq3$的视界中构造了一类新的自由边界极小旋转超曲面.特别地，我们回答了O. Chodosh和D. Ketover \cite{CK}关于三维Schwarzschild空间中非全测地极小曲面的存在性。
2022-10-14 math.AP math.DG
The nonlinear stability of rotationally symmetric spaces with low regularity
我们考虑旋转对称空间的低正则性，我们认为积分流空间或流形的Sobolev正则性，并假定有非负的标量曲率。依靠平坦的距离和Sobolev规范，我们建立了几个非线性稳定性估计的旋转对称流形和欧氏空间之间的“距离”，这是表示在ADM质量的流形。重要的是，我们明确了这个问题中涉及的依赖关系和尺度，特别是ADM质量，深度和CMC参考超曲面。在我们的分析过程中引入了几个独立感兴趣的概念，包括流形深度的概念和平坦距离的缩放版本，我们称之为D平坦距离，它涉及流形的直径。最后，我们证明了一个紧性定理的区域序列一致有界的深度，其外边界有固定的面积和一个上界的霍金质量。
2014-01-23 gr-qc math.DG
Near-equality of the Penrose Inequality for rotationally symmetric Riemannian manifolds
这篇文章是我们以前的论文[LS]的续篇，讨论了正质量定理的近似相等情况。研究了一类具有非负数量曲率且边界为最外极小超曲面的完备渐近平坦旋转对称黎曼流形的Penrose不等式的近似相等情形.具体地说，我们证明了，如果彭罗斯不等式是足够接近的是一个平等的这些流形之一，那么它必须是接近史瓦西空间与附加的圆柱，在意义上的Lipschitz距离。由于Lipschitz距离限制了紧集上的内在平坦距离，我们还得到了内在平坦距离的一个结果，这是一个更适合于更一般的近似相等结果的距离，如[LS]中所讨论的。
2011-09-09 gr-qc math.DG math.MG
Some results on translating solitons of the mean curvature flow
本文证明了$\mathbb{R}^{m+1}$中中曲率流的平移孤子（简称平移孤子）的两个不存在性结果。我们还得到了一个上限的最大高度，一个紧凑的嵌入式翻译器在$\mathbb{R}^{3}$可以实现。另一方面，我们研究了翻译器的图形扰动，证明了旋转图翻译器的渐近图形扰动仍然是旋转超曲面。最后，我们证明了位于两个平行平面之间的紧平移子继承其边界曲线的对称性。
2016-01-27 math.DG
Stability of the Positive Mass Theorem for Rotationally Symmetric Riemannian Manifolds
利用内禀平坦距离研究了正质量定理的稳定性。特别地，我们考虑了一类具有非负数量曲率且没有内部闭极小曲面的完备渐近平坦旋转对称黎曼流形，其边界要么是最外极小超曲面，要么是空的.我们证明了一列ADM质量收敛于零的流形在点内禀平坦意义下一定收敛于欧几里得空间。实际上，我们通过构造一个显式的填充流形并估计其体积，给出了流形中的环形区域与欧几里得空间中的环形区域之间的内禀平坦距离的显式界.此外，我们包括各种命题，可用于估计的内在平坦的距离之间的黎曼流形没有旋转对称。关于正质量定理在一般情况下的内在平坦稳定性的猜想在最后一节中提出。
2014-05-04 gr-qc math.DG math.MG
Mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blow-up
研究了旋转对称非紧嵌入超曲面的中曲率流的II型曲率爆破现象。使用分析技术的基础上正式匹配渐近和建设的上，下障碍解决方案包络形式解方案与规定的行为，我们表明，对于每个初始超曲面考虑，中曲率流解决方案表现出以下行为附近的“消失”时间$T$：（1）最大曲率集中在超曲面的顶点（脐点），并且对于参数$γ>1/2$的每个选择，存在具有以速率$(T-t)^{-(γ+1/2)}$膨胀的最高曲率的解。(2)在尖端附近，解收敛到一个平移孤子，这是一个更高的维模拟的“死神”解决方案的曲线缩短流。(3)远离叶尖，流面以取决于参数$γ$的特征速率接近一个塌陷圆柱。
2017-05-07 math.AP math.DG
Index Growth of hypersurfaces with constant mean curvature
本文给出了$\R^{n}$（Delaunay波动曲面）中具有常中曲率（cmc）1的嵌入旋转超曲面的精确指数增长性.当$n=3$满足条件时，利用Korevaar，Kusner和Solomon的渐近结果，我们得到了具有适当嵌入端点的有限拓扑cmc 1曲面的一个显式渐近指数增长率.对双曲空间中cmc大于1的超曲面也得到了类似的结果。
2000-11-07 math-ph math.DG math.MP
On the volume of locally conformally flat 4 dimensional hypersphere
设$M$是一个具有$Sec_M\in[0,1]$的5维黎曼流形，$Σ$是$M$中的一个局部共形平坦超球面，其平均曲率为$H$ .证明了存在$\varepsilon_0>0$，使得在$H \le \varepsilon_0$的条件下，存在$\int_Σ(1+H^2)^2 \ge 8π^2/3$.特别地，如果$Σ$是$M$中的局部共形平坦极小超球，则有$Vol(Σ) \ge 8π^2/3$，这部分地回答了Mazet和Rosenberg提出的一个问题\cite{Ma&Rosen} .对于$(n+1)-$维旋转对称黎曼流形$M$，证明了浸入超曲面$Σ$是局部共形平坦的当且仅当$Σ$的主曲率（$n-1$）相同，推广了Cartan的结果\cite{Cartan} .作为应用，我们证明了：如果$M$是（某个特殊但大类的）具有$Sec_M\in [0,1]$的旋转对称5-流形，且$Σ$是具有平均曲率的局部共形平坦超球面，则不等式$\int_Σ(1+H^2)^2 \ge 8π^2/3$对所有的$H$成立.
2017-03-28 math.DG
Entire downward translating solitons to the mean curvature flow in Minkowski space
本文研究Minkowski空间中一类中曲率流方程的整体平移解$u(x)$.证明了如果$Σ=\{(x, u(x))| x\in\mathbb{R}^n\}$是严格类空超曲面，则$Σ$在$\mathbb{R}^{k, 1}$中（在分裂掉平凡因子后）约化为严格凸秩k孤子，其“blowdown”收敛于$\mathbb{R}^k$中正齐次一阶凸函数的重$λ\in(0, 1)$.我们还表明，有非唯一性的旋转对称的解决方案可能会被扰动的解决方案，由任意光滑的一阶扰动。
2015-05-07 math.DG
Stable constant mean curvature surfaces with free boundary in slabs
本文研究了乘积空间$M\times\r,$中平板上的稳定的常中曲率（CMC）超曲面$Σ$，其中$M$是可定向的黎曼流形.我们得到了一个稳定的圆柱的特征，并证明了如果$Σ$不是一个圆柱，那么它是局部的垂直图。此外，如果$M$是$\h^n,\r^n$或$\s_+^n$，并且其边界分量中的每一个被嵌入，则$Σ$是旋转不变的。当$M$具有2维和高斯曲率从下面由一个正常数$κ,$界定，我们证明了没有稳定的CMC与自由边界连接的边界组件的板的宽度$l>4π/\sqrt{3κ}.$我们还表明，一个稳定的毛细管表面的亏格为0的翘曲产品$[0,l]\times_f M$，其中$M=\r^2, \h^2$或$\s^2,$是旋转不变的。最后，我们证明了在$M\times\s^1(r),$中的一个稳定的闭CMC曲面，其中$M$是一个由正常数$κ$和$\s^1(r)$从下到上有界的高斯曲率曲面，半径为$r,$的圆提升到$M\times\r$，条件是$r>4/\sqrt{3κ}.$
2019-02-27 math.DG
The constant angle problem for mean curvature flow inside rotational tori
我们用带有Neumann边界条件的中曲率流来流欧几里得空间中的超曲面，其中边界流形是任意旋转环面。如果我们在初始流形相容且切空间中不包含旋转向量场的条件下，则中曲率流始终存在，并收敛到一个平坦的横截面，如$t \rightarrow \infty$ .
2012-07-18 math.DG
Steklov eigenvalues of submanifolds with prescribed boundary in Euclidean space
得到了欧几里得空间中具有给定边界子流形的Steklov特征值的上、下界.证明了一个非常一般的上界，它只依赖于固定边界的几何形状和内部的测度。给出了具有连通边界的旋转超曲面的精确下界：我们证明了每个特征值被球唯一极小化。我们还观察到每个具有连通边界的旋转曲面与圆盘是等谱的。
2018-01-19 math.DG math.SP
A numerical stability analysis of mean curvature flow of noncompact hypersurfaces with Type-II curvature blowup
本文研究了具有II型曲率爆破的旋转对称完备非紧超曲面的中曲率流的局部稳定性。我们的数值分析采用了一种新的重叠方法，该方法构造了“数值全局”（即，具有任意大但有限的空间域）具有覆盖解析上不同区域的初始数据的流解。我们的数值结果表明，对于某些规定的家庭的扰动，有两类初始数据，导致不同的行为下中曲率流。首先，有一个“近”类的初始数据，导致相同的奇异行为作为一个未扰动的解决方案;特别是，曲率在尖端的超曲面炸毁在第二类速率不慢于$(T-t)^{-1}$。其次，有一个“远”类的初始数据，导致解决方案开发一个本地的I型非退化颈捏下中曲率流。这些数值研究结果进一步表明存在一个“临界”类的初始数据，这最终导致非紧超曲面的中曲率流形成局部II型退化颈缩，最高曲率爆破速率严格低于$(T-t)^{-1}$。
2021-05-14 cs.NA math.AP math.DG
Conformal geometry on a class of embedded hypersurfaces in spacetimes
在这项工作中，我们研究了嵌入超曲面的各种性质的$1+1+2$分解时空的首选空间方向，表示为$e^μ$，这是正交的流体流速的时空，并允许适当的保角变换。为了保证诱导度量的非零正数量曲率，我们强制共形度量的数量曲率是非负的，并且相关联的共形因子满足$\hatφ^2+2\hat{\hatφ}>0$，其中$\hat{\ast}$表示沿$e^μ$的导数.首先，证明了这种超曲面是爱因斯坦超曲面或其上的扭曲为零，且诱导度规的数量曲率为常数。然后证明了如果超曲面是紧的且是Einstein超曲面，并且允许适当的共形变换，那么超曲面一定同构于$3$ -球面，这里我们利用了关于允许共形变换的黎曼流形的著名结果.如果超曲面不是爱因斯坦超曲面，且无处有消失的片展开，我们证明了这个结论是错误的。然而，在附加条件下，即诱导度量和共形度量的数量曲率重合，相关的共形因子严格为负，共形因子的三阶和高阶导数为零，结论如下。此外，在共形于诱导度量的度量的数量曲率也为常数的条件下，得到了一些新的结果。最后，我们考虑我们的一些结果在局部旋转对称时空的背景下，并表明，如果超曲面是紧凑的，而不是爱因斯坦型，然后在特定的条件下，超曲面是同构的$3$ -球，在那里我们构造了明确的例子，适当的共形Killing向量场沿$e^μ$。
2021-12-16 gr-qc math.DG
On the precise asymptotics of Type-IIb solutions to mean curvature flow
本文研究了中曲率流的非紧IIb型解的精确渐近性。精确地说，对于每个实数$γ>0$，我们构造了旋转对称类中的中曲率流动解，其精确渐近性为$t\nearrow\infty$：（1）最高曲率集中在超曲面的尖端（脐点），并以IIb型速率$(2t+1)^{(γ-1)/2}$爆破。(2)在附近的尖端，IIb型爆破的解决方案收敛到一个翻译孤子称为碗孤子。(3)在空间无限大附近，超曲面有一个精确的增长率，它依赖于$γ$。
2020-01-05 math.AP math.DG
Flowing the leaves of a foliation with normal speed given by the logarithm of general curvature functions
本文推广了Chou和Wang的\cite{1}的结果，研究了$\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$中由一致凸超曲面组成的叶理的叶$(M_Θ)_{Θ>0}$在其外法线方向上的速度为$-\log(F/f)$的流动.对于相当一般的函数$F$的主曲率的流动超曲面和$f$的$S^n$（被认为是一个函数的正常）上的一个光滑的和积极的功能，我们表明，有一个独特的叶$M_{Θ_{*}}$在这个叶理的性质，从$M_{Θ_{*}}$开始的流收敛到一个翻译解决方案的流动方程。此外，当从$M_{Θ_{*}}$内部的一个离开开始流时，它收缩到一个点，而当从$M_{Θ_{*}}$外部的一个离开开始流时，它扩展到无穷大。虽然\cite{1}考虑了这种机制，其中$F$等于高斯曲率，但我们允许$F$是初等对称多项式$H_k$。此外，我们表明，这种行为是强大的放松某些假设，至少在旋转对称和齐次曲率函数的情况下。
2020-02-22 math.DG
Superintegrable Bertrand magnetic geodesic flows
超可积系统的描述问题（即，在旋转对称的自然力学系统类中，在某个域中具有闭合轨迹的系统）可以追溯到Bertrand和Darboux。我们描述了所有的超可积（在慢运动域）系统的类旋转对称磁测地流。证明了二维旋转流形上中心磁场中所有足够慢的运动都是周期性的当且仅当度规具有常数数量曲率且磁场是均匀的，即与面积形式成比例。
2020-01-14 math-ph math.DG math.DS
Non-homothetic convex ancient solutions for flows by high powers of curvature
我们证明了曲率流的闭凸古解的存在性，这些解在大的负时间内变得越来越椭圆。速度函数是主曲率的一般对称函数，大于1次齐次。这推广了以前关于中曲率流和其它单齐次曲率流的工作。作为一个辅助结果，我们证明了一个新的定理的凸旋转对称超曲面满足适当的约束的曲率收敛到一个圆点。
2022-03-10 math.AP math.DG
Rotational symmetry of ancient solutions to fully nonlinear curvature flows
本文对完全非线性曲率流的凸非坍缩一致二凸非紧古解进行分类，证明其仅可能为自相似收缩圆柱或旋转对称平移孤子，并由此给出紧致二凸解奇点爆破极限的完整分类。
2024-02-05 math.AP math.DG
The harmonic mean curvature flow of nonconvex surfaces in $\mathbb{R}^3$
考虑一个紧致的、星形的、平均凸超曲面$Σ^2\subset \mathbb{R}^3$ .我们证明，在某些情况下，流动存在，直到它收缩到一个点，在一个球形的方式，这是非常典型的凸曲面以及（见\cite{An1}）。我们还证明了，在这种情况下，我们有一个旋转曲面，这是星形和平均凸，一个光滑的解决方案总是存在到一些有限的时间$T < \infty$在该流量收缩到一个点渐近球。
2008-09-03 math.AP math.DG
Holomorphic Representation of Constant Mean Curvature Surfaces in Minkowski Space: Consequences of Non-Compactness in Loop Group Methods
给出三维Minkowski空间$\real^{2,1}$中类空常中曲率（CMC）曲面的无限维广义Weierstrass表示.该公式类似于Dorfmeister，Pedit和Wu在欧几里得空间中对CMC曲面给出的公式，用$SU_{1,1}$代替$SU_2$。然而，后一组的非紧性意味着用于构造曲面的循环组的岩泽分解不是全局的。我们证明了它是定义在一个开放的稠密子集，后增加一倍的实际形式$SU_{1,1}$的大小，并证明了几个结果有关的行为表面的边界，这个开集遇到。然后，我们使用广义Weierstrass表示创建和分类新的例子类空CMC表面在$\real^{2,1}$。特别是，我们分类表面的革命和表面的螺旋运动对称性，以及研究另一类表面的度量旋转不变。
2009-10-08 math.DG
Variational analysis of a mean curvature flow action functional
我们考虑约化的Allen-Cahn作用泛函，它表现为Allen-Cahn作用泛函的尖锐界面极限，可以理解为随机扰动中曲率流的形式作用泛函.对于广义超曲面的适当演化，该泛函由中曲率和速度向量的平方和组成，在时间和空间上积分。对于给定的初始和最终条件，我们研究相应的行动最小化问题。我们给出了一个推广的形式，并证明了作用泛函的紧性和下半连续性。此外，我们还刻画了欧拉-拉格朗日方程的光滑驻点，并研究了守恒量。最后，我们提出了一个明确的例子，并考虑同心球作为初始和最终的数据和特征的依赖于给定的时间跨度的最小旋转对称连接的属性。
2013-04-07 math.AP math.DG
Ricci flow with surgery in higher dimensions
我们提出了一个新的曲率条件，它是由里奇流在高维保持。对于满足这个条件的初始度量，我们建立了一个高维版本的Hamilton颈状曲率捏估计。使用这个估计，我们能够证明一个版本的佩雷尔曼的规范邻域定理在更高的维度。这使得有可能通过汉密尔顿和佩雷尔曼的精神，通过外科手术程序将流动扩展到奇点之外。作为一个推论，我们得到了所有的连通和分解，这类流形的同构类型的分类。特别地，底层流形不能是奇异球。我们的结果在许多有趣的情况下是尖锐的。例如，$\mathbb{CP}^{n/2}$、$\mathbb{HP}^{n/4}$、$S^{n-k} \times S^k$（$2 \leq k \leq n-2$）、$S^{n-2} \times \mathbb{H}^2$、$S^{n-2} \times \mathbb{R}^2$的曲率张量都位于曲率锥的边界上。另一个边界情况是伪圆柱：这是一个旋转对称的超曲面，它是弱的，但不是严格的，两凸的。最后，$S^{n-1} \times \mathbb{R}$的曲率张量位于我们的曲率锥的内部。
2017-11-13 math.DG
Mean curvature flow with free boundary outside a hypersphere
本文的目的有两个：第一，建立支撑在具有Dirichlet外边界的超球面上的中曲率流在时间上全局存在并收敛于极小曲面的充分条件;第二，说明Killing向量场在保持具有自由边界的中曲率流的图形性方面的应用。为此，我们研究了一个拓扑环的中曲率流，该环的内边界与\R^{n+1}中的标准n-球面垂直相交，外边界固定在一个半径R>1的（n-1）-球面上，高度h固定.我们称之为\emph{sphere problem}。我们的工作是在图形的中曲率流的背景下，无论是对称性或平均曲率/凸性的限制。对于旋转对称的初始数据，我们得到，取决于初始图的确切配置，要么长时间存在和收敛到一个极小的超曲面的边界或发展的有限时间曲率奇异性。与反射对称的初始数据，我们能够使用Killing向量场，以保持图形的流动和一致的约束沿流逐点的中曲率。最后证明了初始平均凹凸图曲面的中曲率流在时间上全局存在并收敛于一个极小曲面.
2014-05-30 math.DG
