From Kajihara's transformation formula to deformed Macdonald-Ruijsenaars and Noumi-Sano operators
Kajihara在2004年获得了一个连接与不同秩的$A$型根系相关的多个基本超几何级数的显着变换公式。通过对该公式的多重原理特殊化，我们推导出了变形Macdonald-Ruijsenaars（MR）和Noumi-Sano（NS）算子的核恒等式。变形MR算子是由Sergeev和Veselov在一阶情形下引入的，而由Feigin和Silantyev在高阶情形下引入的。作为我们的核身份的应用程序，我们证明了所有这些运营商成对交换，同时对角化的超级麦克唐纳多项式。我们还提供了一个明确的描述所产生的代数变形MR和/或NS运营商的Harish-Chandra型同构，并表明变形MR（NS）运营商可以被视为限制普通MR（NS）运营商的逆极限。
2021-05-05 math-ph math.CA math.MP
Super-Macdonald polynomials: Orthogonality and Hilbert space interpretation
本文为 Sergeev 和 Veselov 引入的超 Macdonald 多项式建立 Hermite 型与 Hilbert 空间解释，证明正交性并显式计算范数，进而提出相应变形 Macdonald-Ruijsenaars 模型可描述相对论量子场论中的粒子与反粒子。
2021-03-12 math-ph math.MP math.QA
Anisotropic spin generalization of elliptic Macdonald-Ruijsenaars operators and R-matrix identities
本文利用椭圆 Baxter-Belavin R-矩阵构造了一组矩阵值差分算子，将椭圆 Macdonald-Ruijsenaars 算子推广到各向异性自旋情形，并证明其对易性等价于一组 R-矩阵恒等式，进而给出 q-形变 Haldane-Shastry 模型的椭圆推广。
2022-12-17 hep-th math-ph math.MP
Resonance relations, holomorphic trace functions and hypergeometric solutions to qKZB and Macdonald-Ruijsenaars equations
共振关系是具有量子群Uq（s1 ~ 2）的表示的张量积中的值的函数的坐标之间的恒等式。我们证明了相应的qKZB方程的超几何解空间是满足共振关系的Baker-Akhiezer型函数空间。我们给出了这个空间的另一种表示论构造，利用量子群的正则化缠绕算子的迹，从而建立了qKZB方程的超几何解和迹函数解之间的等价性。我们定义的量子共形块作为杰出的Weyl反不变超几何qKZB解决方案的张量积的有限维模块的值。证明了对一般q，量子共形块空间的维数等于量子群不变量的维数，并且当q是单位根时，量子共形块空间的维数由Verlinde代数计算.
2006-12-28 math.QA math.RT
Graphical calculus for quantum vertex operators, II: q-KZB and coordinate Macdonald-Ruijsenaars equations
本文扩展量子顶点算子图形演算至参数化空间，实现动态扭函子的图形化，并用其直观推导通用多点加权迹函数的差分方程（含对偶q-KZB、对偶MR及对偶坐标MR方程）及非对偶版本。
2024-11-26 math.QA
Non-Stationary Ruijsenaars Functions for $κ=t^{-1/N}$ and Intertwining Operators of Ding-Iohara-Miki Algebra
利用与张量空间$N$ -fold Fock相关的Ding-Iohara-Miki代数（DIM代数）的交织算子，构造了特殊情形$κ=t^{-1/N}$下的非平稳Ruijsenaars函数（Macdonald函数的仿射模拟）.利用交织器的$S$对偶性，得到了非平稳Ruijsenaars函数的另一种$κ=t^{-1/N}$表示式，它可以看作是渐近Macdonald函数到多元椭圆超几何级数的自然椭圆提升.我们还研究了DIM代数的顶点算子的一些性质，与椭圆型Ruijsenaars算子交换的积分算子，以及顶点算子在共形极限$q \rightarrow 1$中退化为Virasoro准素场.
2020-11-18 hep-th math-ph math.MP
Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system I. Commutativity of Q-operators
本文为量子Ruijsenaars双曲系统引入Baxter Q-算子，证明其构成交换积分算子族并与Macdonald差分算子交换，利用推广的Ruijsenaars核恒等式完成证明。
2023-08-29 hep-th math-ph math.MP
A commutative algebra on degenerate CP^1 and Macdonald polynomials
引入退化CP ^1上的有单位的结合代数A.证明了A是一个交换代数，其Poincar级数由分划数给出.从而我们可以把A看作是作者之一和Odesskii引入的椭圆代数的光滑退化极限。然后研究了作用在对称函数空间上的交换Macdonald差分算子族。利用A和作者之一研究的交换族的Heisenberg表示，提出了这个族的一个正则基。研究发现，Ding-Iohara代数为自由场的构造提供了一个代数框架。本文讨论了这种构造的椭圆变形，并指出了它与Drinfeld拟Hopf扭a la Babelon Bernard Billey，Ruijsenaars差分算子和Okounkov-Pandharipande算子M（q，t_1，t_2）的关系.
2009-04-15 math.CO math.QA
Elliptic Ruijsenaars difference operators, symmetric polynomials, and Wess-Zumino-Witten fusion rings
已知$\widehat{\mathfrak{su}}(n)_m$ Wess-Zumino-Witten共形域论的融合环同构于Schur多项式表示的对称多项式环的因子环。我们引入了一个变形的这个因子环与椭圆型Ruijsenaars差分算子的本征多项式。相应的Littlewood-Richardson系数由本征值方程的Pieri规则决定。本征基的正交性产生了Verlinde公式的类似物。在三角极限下，我们的构造恢复了与Macdonald多项式相关的精化的$\widehat{\mathfrak{su}}(n)_m$ Wess-Zumino-Witten融合环。
2021-06-28 math-ph math.CO math.MP
Whittaker vector of deformed Virasoro algebra and Macdonald symmetric functions
本文证明了Awata和Yamada关于变形Virasoro代数在Fock空间中实现的Whittaker向量显式的猜想。该公式表示为系数分解的Macdonald对称函数的求和。在证明中，我们充分利用了Ding-Iohara-Miki量子代数的Fock表示中的电流。我们还提到了惠特克向量的解释在几何的希尔伯特计划的点在仿射平面。
2014-02-12 hep-th math.AG math.CO
Ruijsenaars' commuting difference operators as commuting transfer matrices
对于Belavin的椭圆量子R-矩阵，我们构造了一个L-算子作为作用于A型权空间上函数的一组差分算子。根据基本关系$RLL=LLR$，L-算子的迹给出一个可交换的差分算子.我们证明了对于上述L-算子，这种方法给出了具有椭圆θ函数系数的Macdonald型算子，实际上等价于Ruijsenaars算子。给出了差分L-算子与Krichever Lax矩阵的关系以及椭圆交换系统的其它方法。我们还研究了对称θ函数所张成的系统的不变子空间。
1995-12-25 math.QA q-alg
Traces of intertwiners for quantum affine algebras and difference equations (after Etingof-Schiffmann-Varchenko)
本文修正了Etingof-Schiffmann-Varchenko关于无扭量子仿射代数在相反余积和标准分次上的缠绕迹的结果，并给出了完整的证明.更精确地说，我们证明了$U_q(\hat{\mathfrak{g}})$的某些归一化广义迹解决了四个q-差分方程的交换系统：Macdonald-Ruijsenaars，对偶Macdonald-Ruijsenaars，q-KZB和对偶q-KZB方程。此外，我们还证明了这些重整化迹函数的对称性。我们的修改的动机是它们出现在作者最近的工作。
2016-09-28 math-ph math.MP math.QA
Baxter operators in Ruijsenaars hyperbolic system II. Bispectral wave functions
本研究针对量子Ruijsenaars双曲系统，证明Hallnäs与Ruijsenaars发现的波函数可对角化Baxter算子，据此验证波函数的对偶关系与谱变量对称性，证明其可解对偶Macdonald和Baxter算子的双谱问题，并得到新的积分表示。
2023-08-29 hep-th math-ph math.MP
Spin-Ruijsenaars, q-deformed Haldane-Shastry and Macdonald polynomials
我们研究的$q$模拟的Haldane-Shastry模型，部分各向同性（XXZ样）的远程自旋链，享有量子仿射（真正的：量子环）对称性在有限的大小。我们推导出成对形式的哈密顿量，发现我们的一个建设工作的Uglov，通过'冻结'从仿射Hecke代数。我们得到明确的表达式的自旋模拟的Macdonald运营商。通过冻结，这些产生自旋链的更高的哈密顿量，包括相反手征的哈密顿量。对于$q$，两个手征哈密顿量之和也有一个实谱，是单位根。我们澄清图案标记的本征空间，被称为“图案”，和相应的退化在晶体极限$q\to\infty$之间的关系。对于每个基序，我们获得了一个明确的表达式的确切的特征向量，通用$q$有效，具有（“伪”或“1-”）最高权，在这个意义上，在从单值矩阵的运营商，它是一个特征向量的$A$和$D$和由$C$湮没。它有一个简单的组成部分，以$q$的“对称平方”为特征--范德蒙乘以麦克唐纳多项式--或者更准确地说，是它的量子球面带状特例。它的其他组成部分是通过Hecke代数的作用获得的，然后通过对变量的单位根进行“评估”。我们证明了我们的向量具有最高权的评价。我们对光谱的描述是完整的。该模型，包括量子回路的作用，可以重新制定的多项式。我们的主要工具是仿射Hecke代数的$Y$ -算子。在我们的对角化的关键一步是，在一个子空间的合适的多项式的第一$M$“经典”（即没有差异的一部分）$Y$ -…
2021-12-20 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Matrix elements of vertex operators of deformed W-algebra and Harish Chandra Solutions to Macdonald's difference equations
本文证明了变形W-代数的顶点算子的某些矩阵元满足Macdonald差分方程并形成n！解的维空间。这些解决方案是类似的Harish钱德拉解决方案与规定的渐近行为。本文利用变形W-代数的顶点算子的编织性质，得到了解析延拓的公式。
1997-12-07 math.QA q-alg
A basic triad in Macdonald theory
本文证明Noumi-Shiraishi级数在$t=q^{-m}$时约化为多变量BA函数，从而揭示Macdonald多项式、BA函数与NS级数构成定义不同却直接相连的基本三元组。
2025-08-26 hep-th math-ph math.MP
The correlation functions of vertex operators and Macdonald polynomials
由Bloch和Okounkov引入的n点相关函数已经找到了几种几何联系和代数推广。在本文中，我们给出了这个n-点函数的q，t-变形。在我们的配方中使用的关键运营商产生于麦克唐纳多项式的理论，并提供了一个顶点运营商的解释。利用基本超几何函数得到了n = 1，2时n点函数的闭公式.我们进一步将q，t-变形的n-点函数推广到更一般的顶点算子。
2005-12-02 math.CO math.QA
Macdonald Polynomials of Type $C_n$ with One-Column Diagrams and Deformed Catalan Numbers
本文给出了一个从Koornwinder多项式$P_{(1^r)}(x\,|\,a,-a,c,-c\,|\,q,t)$的$C_n$型退化到$C_n$型单项对称多项式$m_{(1^{r})}(x)$的转移矩阵$\mathcal{C}$的显式公式。矩阵$\mathcal{C}$的元素享有一组三项递归关系，这可以被视为加泰罗尼亚三角形或选票数的一个的$(a,c,t)$ -变形。研究了与$(C_n,C_n)$型Macdonald多项式$P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,b;q,t)= P_{(1^r)}\big(x\,|\,b^{1/2},-b^{1/2},q^{1/2}b^{1/2},-q^{1/2}b^{1/2}\,|\,q,t\big)$有关的转移矩阵.它还表明，$q$ -选票数出现作为Kostka多项式，即在从舒尔多项式$P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,q;q,q)$的霍尔-利特尔伍德多项式$P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,t;0,t)$的过渡矩阵。
2018-09-20 math.CO math.QA math.RT
Deformed universal characters for classical and affine algebras
创造运营商给出了三个区别基地的BCD型泛特征标环的小池和寺田产生一个优雅的方式处理计算的所有三种类型的统一方式。这些运算符的变形版本创建对称函数基，其在通用字符基中的展开在具有非负整数系数的$q$中具有多项式系数。我们猜想，这些多项式是与晶体基地有限维模量子仿射代数的所有非例外仿射类型。这些多项式满足麦克唐纳型对偶。
2004-04-16 math.CO math.QA
Kernel function and quantum algebras
我们介绍了一个类似的柯西型核函数的Macdonald多项式$K_n(x,z;q,t)$，被构造在张量积的对称函数环和交换代数$\mathcal{A}$退化$\mathbb{C} \mathbb{P}^1$。我们表明，一定的限制$K_n(x,z;q,t)$相对于变量$z$是整齐地描述的表和公式的麦克唐纳多项式。接下来，我们证明了丁Iohara量子代数的整数水平表示自然产生的变形$\mathcal{W}$代数的电流。然后，我们注意到，$K_n(x,z;q,t)$出现在变形的$\mathcal{W}$代数的最高到最高的相关函数。
2010-02-12 math.CO math.QA
Clustering properties of rectangular Macdonald polynomials
Jack多项式的成簇性质与分数霍尔态的理论研究密切相关。在此背景下，一些因式分解性质已被证明为$(q,t)$变形问题涉及麦克唐纳多项式。本文致力于这个公式的证明。为此，我们使用四个家庭的杰克/麦克唐纳多项式：对称齐次，非对称齐次，移位对称和移位非对称。
2013-02-24 math-ph math.CO math.MP
Elliptic Generalization of Cherednik-Macdonald-Mehta identities
Institute for Information Transmission Problems（信息传输问题研究所）
本文通过将三角范德蒙德乘积替换为 theta 函数，将 Macdonald 多项式提升为 Shiraishi 函数，提出了 Cherednik-Macdonald-Mehta 恒等式的椭圆推广，并在椭圆参数的一阶上证明了该恒等式。
2026-05-25 hep-th math-ph math.MP
Elliptic generalization of integrable q-deformed anisotropic Haldane-Shastry long-range spin chain
我们描述了可积椭圆q变形各向异性长程自旋链。推导是基于我们最近的建设交换各向异性椭圆自旋Ruijsenaars-Macdonald运营商。我们证明了Polychronakos冻结技巧可以应用于这些算符，从而给出了由椭圆型的B-Belavin ${\rm GL}_M$ $R$ -矩阵构造的长程自旋链的Hamilton算子的交换集.也就是说，我们表明，冻结技巧减少到一组椭圆函数的身份，然后证明。这些恒等式可以作为经典无自旋Ruijsenaars-Schneider模型中平衡位置的条件。三角退化也进行了研究。例如，在$M=2$的情况下，我们的构造提供了各向异性XXZ Haldane-Shastry模型的q-变形。通过分别验证，考虑了标准Haldane-Shastry模型及其基于${\rm U}_q({\widehat {\rm gl}_M})$ XXZ $R$ -矩阵的Uglov q变形。
2022-10-11 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Cylindric versions of specialised Macdonald functions and a deformed Verlinde algebra
我们定义圆柱概括斜麦克唐纳函数时，他们的参数之一被设置为零。我们将这些函数定义为圆柱形斜交表上的加权和：固定两个整数n>2和k>0，我们将两个分区的普通斜交图（被视为二维整数格的子集）移动周期向量（n，-k）。施加一个周期性条件，一个定义圆柱形歪斜tableaux作为一个映射，从周期性连续歪斜图到整数。由此产生的圆柱麦克唐纳函数出现在交换Frobenius代数的余积中，这是球面Hecke代数的一个特殊商。我们实现这个Frobenius代数作为一个交换子代数的自同态在Kirillov-Reshetikhin模块的量子仿射sl（n）代数。作用于这个子代数的特殊元素，它是麦克唐纳多项式的非交换类似物，在一个最高权向量上，得到Lusztig的标准基。在极限q=0时，恢复了sl（n）Verlinde代数，即Frobenius代数的结构常数变成了WZNW融合系数，它是广义θ-函数模空间的维数和量子群在单位根处倾斜模的重数.进一步的动机来自于统计力学中精确可解的晶格模型：圆柱形的麦克唐纳函数作为所谓顶点模型的配分函数出现，顶点模型是从量子杨-巴克斯特方程的解中得到的。我们表明这一点，说明明确的双射之间的圆柱tableaux和晶格配置的非相交路径。利用代数Bethe矩阵计算了Frobenius代数的幂等元.
2012-09-06 math-ph math.MP math.QA
Algebraic integrability of Macdonald operators and representations of quantum groups
本文从量子群的表示理论出发，构造了矩阵系数的差分算子交换环的例子，把我们以前的结果推广到了$q$ -变形的情形.广义Baker-Akhiezer函数$Ψ$被实现为Verma模的矩阵特征标，并且是交换差分算子环的公共本征函数.特别地，我们得到了Macdonald理论中的如下结果：在Macdonald参数$k$的整数值处，存在与Macdonald算子可交换的差分算子，它们不是Macdonald算子的多项式.这个结果将Chalyh和Veselov关于$q=1$情形的类似结果推广到任意的$q$。作为副产品，我们证明了Macdonald多项式的广义Weyl特征公式（由G.Felder和A.Varchenko猜想），$Ψ$ -函数的对偶性，以及移位算子的存在性。
1996-03-25 math.QA q-alg
Chiral expansion and Macdonald deformation of two-dimensional Yang-Mills theory
我们导出了在紧致定向黎曼曲面上$q$ -变形$U(N)$ Yang-Mills理论的精化的大$N$ Gross-Taylor全纯弦展开式的模拟。推导过程结合了量子群的Schur-Weyl对偶性和与Macdonald多项式相关的广义量子特征标的Etingof-Kirillov理论。在未精化极限下，我们再现了de Haro，Ramgoolam和Torrielli导出的$q$ -变形Yang-Mills理论的手征展开式.在经典极限$q=1$中，扩展定义了一个新的$β$ -Hurwitz理论的变形，其中精化配分函数是某些参数化欧拉特征的生成函数，这些特征在未精化极限$β=1$中减少到全纯映射的Hurwitz空间的轨道欧拉特征。我们讨论的几何意义，我们的扩展量子谱曲线和$β$ -合奏的矩阵模型中产生的精细拓扑弦论。
2016-06-07 hep-th math-ph math.AG
Symmetric polynomials vanishing on the shifted diagonals and Macdonald polynomials
对于每对（k，r），r>1，我们考虑n元对称多项式环的理想I^（k，r）n.理想I_n^（k，r）具有由麦克唐纳多项式P（x_1，.，x_n;q，t）在t^{k+1}q^{r-1}=1时，是早先在Jack多项式的上下文中研究的一个的变形版本。本文给出了I^（k，r）_n在k-余维移位对角线上的显式零条件的一个特征，其形式为x_{2} =tq^{s_1}x_1，.，x_{k+1} =tq^{s_k}x_k。理想I^（k，r）_n可以看作仿射李代数\hat{sl_r}的交换流的相关函数空间的变形。我们对这种联系作了简要的讨论。
2002-09-04 math-ph math.CO math.MP
K-theory of quiver varieties, q-Fock space and nonsymmetric Macdonald polynomials
我们构造了$A$型量子环面代数的水平$(0,1)$不可约表示.一个是由于Nakajima和Varagnolo-Vasserot。他们构造了$\hat{A}$型的等变K群的直和的表示。另一个是由于Saito-Takemura-Uglov和Varagnolo-Vasserot。他们构造了由Kashiwara-Miwa-Stern引入的q-变形Fock空间的表示。在本文中，我们给出了这两个结构之间的显式同构。为此，我们构造的同时特征向量的q-Fock空间使用非对称麦克唐纳多项式。然后通过将这些向量对应于簇上的环面不动点来给出同构。
2007-09-12 math.QA math.RT
Cherednik integrable system: eigenfunctions at generic eigenvalues
MIPT（莫斯科物理技术学院）；Lebedev Physics Institute（列别捷夫物理研究所）；NRC “Kurchatov Institute”（库尔恰托夫国家研究中心）；Institute for Information Transmission Problems（信息传输问题研究所）
研究受$A$型DAHA启发的$N$体Cherednik可积系统，通过类似Noumi和Shiraishi的方法，构造任意特征值的本征函数，其一般本征函数结构复杂，有$N!$个分支，还给出特定情形显式公式。
2026-08-25 hep-th math-ph math.MP
Equilibria of `Discrete' Integrable Systems and Deformations of Classical Orthogonal Polynomials
Ruijsenaars-Schneider系统是Calogero-Moser（C-M）系统的“离散”版本，在这个意义上，动量算符p在哈密顿量中表现为e^{ \pm β' p}（β'是变形参数）中的多项式，而不是C-M系统族中p中的普通多项式。我们确定多项式描述的理性和三角Ruijsenaars-Schneider系统的平衡位置的基础上经典的根系。这些是变形的经典正交多项式，厄米，拉盖尔和雅可比多项式描述相应的Calogero和Sutherland系统的平衡位置。变形后的多项式继承了原多项式的正交性，满足三项递推关系和一定的函数方程。后者归结为经典正交多项式所满足的著名的二阶微分方程。
2004-07-20 hep-th math.QA
An integral representation of eigenfunctions for the deformed Noumi--Sano operators
本文针对变形 Noumi-Sano 算子，构造积分变换并由此获得其本征函数的积分表示，推广了 Macdonald 与 Noumi-Sano 算子的结果。
2026-09-15 math-ph math.MP math.QA
Orthogonality of super-Jack polynomials and a Hilbert space interpretation of deformed Calogero-Moser-Sutherland operators
我们证明了正交性和计算明确的（二次）规范超杰克多项式$SP_λ((z_1,\ldots,z_n),(w_1,\ldots,w_m);θ)$相对于一个自然的半正定，但退化，厄米特产品$\langle\cdot,\cdot\rangle_{n,m}^\prime$。在$m=0$（或$n=0$）的情况下，我们的产品减少到麦克唐纳的著名的内积$\langle\cdot,\cdot\rangle_n^\prime$，我们恢复他相应的正交性结果的杰克多项式$P_λ((z_1,\ldots,z_n);θ)$。从我们的主要结果，我们很容易推断，$\langle\cdot,\cdot\rangle_{n,m}^\prime$的内核是由一个分区$λ$不包含的$m\times n$矩形$(m^n)$索引的超级杰克多项式跨越。作为应用，我们给出了$A(n-1,m-1)$型变形三角Calogero-Moser-Sutherland算子的希尔伯特空间解释.
2018-02-06 math-ph math.MP math.QA
Supersymmetric generalization of q-deformed long-range spin chains of Haldane-Shastry type and trigonometric GL(N|M) solution of associative Yang-Baxter equation
本文用两类三角超对称 R 矩阵构造对合差分算子，证明分次 R 矩阵满足结合 Yang-Baxter 方程，并借助 Polychronakos 冻结技巧得到 q 形变、可含各向异性的新型长程自旋链。
2024-02-29 cond-mat.str-el hep-th math-ph
