On classification and construction of algebraic Frobenius manifolds
Yassir Ibrahim Dinar
我们发展了广义双哈密顿约化理论。应用这一理论到一个合适的循环代数，我们恢复了广义Drinfeld-Sokolov约化。这给出了一种方法来构造代数Frobenius流形的新例子。
We develop the theory of generalized bi-Hamiltonian reduction. Applying this theory to a suitable loop algebra we recover a generalized Drinfeld-Sokolov reduction. This gives a way to construct new examples of algebraic Frobenius manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Modular Frobenius manifolds and their invariant flows
Frobenius流形的空间具有自然的对合对称性：存在一个映射$I$，它将一个Frobenius流形发送到另一个Frobenius流形。此外，从一个Frobenius流形可以构造一个所谓的几乎对偶Frobenius流形，它几乎满足Frobenius流形的所有公理。研究了$I$在几乎对偶流形上的作用，以及$I$在周期、扭周期、流等对象上的作用.一类著名的弗罗贝纽斯流形位于这种对合对称的不动点上，这在各种结构的某些模性质中得到了体现。特别地，对于这类模Frobenius流形，直到一个简单的倒数变换，流在$I\,.$的作用下是不变的
Infinite-dimensional Frobenius Manifolds Underlying the Universal Whitham Hierarchy
在具有无穷远极点和可动极点的亚纯函数对空间上构造了一类无穷维Frobenius流形。这样的弗罗贝纽斯流形被证明是普遍的Whitham层次，这是一个扩展的dispersionless Kadomtsev-Petviashvili层次的基础。
Polynomial Modular Frobenius Manifolds
弗罗贝纽斯流形的模空间具有自然的对合对称性，并且一个特殊的类--所谓的模弗罗贝纽斯流形--位于这种对称性的不动点上。本文对除一个变量外其余变量均为多项式的半单模Frobenius流形进行了分类，并对三维和四维流形进行了分类。由此产生的例子也可以通过折叠过程从高维流形中获得。讨论了这些结果与轨道量子上同调的关系。
Recursion Operators and Frobenius Manifolds
在这篇笔记中，我展示了一个“离散同伦”，它将F-流形的范畴连接到Poisson-Nijenhuis流形的范畴，穿过Frobenius流形的范畴。
4-dimensional Frobenius manifolds and Painleve' VI
一个偶数维的Frobenius流形具有三Hamilton结构，如果它的谱是最大退化的。我们专注于四维的情况下，并表明，在半简单性的假设下，相应的isomonodromic Fuchsian系统所描述的Painlevé VI $μ$方程。这产生了一个明确的程序相关联的任何半单弗罗贝纽斯流形的三维三哈密尔顿弗罗贝纽斯流形的四。我们进行明确的例子的情况下，Frobenius结构的Hurwitz空间。
Principal hierarchy of Infinite-dimensional Frobenius Manifold Underlying the Extended Kadomtsev-Petviashvili Hierarchy
本文构造了扩展KP层级对应的无穷维Frobenius流形的主层级，并证明它是带一个可移动极点的零亏格Whitham层级的扩展。
A Class of Infinite-dimensional Frobenius Manifolds and Their Submanifolds
在单位圆内外亚纯的偶函数对空间上构造了一类无穷维Frobenius流形。通过一个双Hamilton递归关系，与这样的Frobenius流形相关联的主族被发现是无色散的两分量BKP族的某些扩展。此外，我们证明了这些无穷维Frobenius流形包含有限维Frobenius子流形定义的Coxeter群的B型和D型的轨道空间。
On B type family of Dubrovin-Frobenius manifolds and their integrable systems
本文研究B型Coxeter群对应的双指标Dubrovin-Frobenius流形族之间的关系，证明部分数据可由平移指标后的流形恢复，并构造出扩展无色散BKP族的无穷可交换偏微分方程组。
Frobenius manifolds from subregular classical $W$-algebras
本文从与$D_r$型单李代数的次正则幂零元相关联的经典$W$ -代数得到了代数Frobenius流形，其中$r$是偶数，而$E_r$是偶数.所得的Frobenius流形是相同类型的简单超曲面奇点的半泛变形的全空间中的某些超曲面。
Flat pencils of metrics and Frobenius manifolds
本文是根据作者在1997年谷口学术讨论会“可积系统与代数几何”上的发言而撰写的。我们考虑一种方法的Frobenius流形理论的基础上的几何平铅笔的逆变度量。结果表明，在一定的同质性假设下，这两个对象是相同的。流形$M$上的反变度量的平束在闭路空间$L(M)$上的流体力学型双哈密顿结构的分类中自然出现。这阐明了Frobenius流形和可积族之间的关系。
The Virasoro-like Algebra of a Frobenius Manifold
对于任意标定的Frobenius流形，我们构造了一个无穷维李代数，称为Virasoro-like代数，它是Frobenius流形的维拉索罗代数的变形.利用Virasoro-like代数，我们给出了一族Frobenius流形的亏格零自由能所满足的二次偏微分方程。在半单纯性假设下，我们还推导出相应的抽象Hodge配分函数的维拉索罗约束.
Frobenius Manifolds: Natural submanifolds and induced bi-Hamiltonian structures
研究了Frobenius流形的子流形。特别是，所谓的自然子流形的定义和半单Frobenius流形，分类。它们在每个切空间上都具有弗罗贝纽斯代数的结构，但通常是弯曲的。诱导曲率的研究，一个主要结果是，这些自然子流形进行诱导束兼容度量。然后，它示出了如何可以约束的双哈密顿层次相关联的Frobenius流形生活在这些自然子流形，同时保留其，现在非本地，双哈密顿结构。
Frobenius manifold for the dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation
我们考虑一个Frobenius结构与色散Kadomtsev-Petviashvili方程。这是这样做的，基本上，通过应用连续模拟的有限维理论在空间的施瓦茨职能的路线。发现Frobenius流形的势是一个具有二次外场的对数势。在构造了主层次之后，我们构造了一组无穷多个交换流，扩展了经典的dKP层次。
Integrable systems associated to open extensions of type A and D Dubrovin-Frobenius manifolds
研究了与A型和D型Dubrovin-Frobenius流形相关联的开WDVV方程的解。我们表明，这些解决方案满足一定的稳定条件，并与他们两个系统的交换偏微分方程。在类型A中，我们表明，系统的偏微分方程构造相吻合的dispersionless modifiled KP层次的Fay形式。
Solutions of the loop equations of a class of generalized Frobenius manifolds
本文证明了一类半单广义Frobenius流形圈方程解的存在唯一性，并在一维情形下揭示了其诱导变形为扩展q-变形KdV层级。
Frobenius submanifolds
Frobenius子流形的概念-一个Frobenius流形的一个子流形，它本身是一个Frobenius流形相对于从原始流形诱导的结构-进行了研究。二维子流形特别简单。更一般地，给出了子流形是自然子流形的充分条件。这些思想可以通过由考克斯特群构造的弗罗贝纽斯流形以及控制CP ^2和CP ^1的量子上同调的弗罗贝纽斯流形\times CP ^1的例子来说明。
Frobenius manifolds and a new class of extended affine Weyl groups $\widetilde{W}^{(k,k+1)}(A_l)$
给出了一类新的扩展仿射外尔群$1\leq k <l$，并得到了它们的不变量的Chevalley型定理的一个类似结果.进一步证明了$\widetilde{W}^{(k,k+1)}(A_l)$轨道空间上Frobenius流形结构的存在性，并构造了这些Frobenius流形结构的Landau-Ginzburg超势.
On axioms of Frobenius like structure in the theory of arrangements
Frobenius流形是一个流形，它具有平坦度量和在流形上的点的切空间上的Frobenius代数结构，使得乘法的结构常数由流形上的势函数关于平坦坐标的三阶导数给出。在本文中，我们提出了一个修改的概念来自超平面的安排理论。也就是说，给定自然数$n>k$，我们有一个平坦的$n$维流形和一个向量空间$V$，它具有非退化对称双线性型和$V$上的代数结构，取决于流形上的点，使得乘法的结构常数由流形上的势函数关于平坦坐标的$2k+1$ -st导数给出。我们称这种结构为{ \it Frobenius类结构}。当人们在$\C^k$中有一系列$n$仿射超平面的排列时，这种结构就会出现，这些排列取决于参数，使得当参数改变时，超平面平行于它们自己移动。在这种情况下，Frobenius样结构出现在家族的基础$\C^n$上。
On a class of integrable deformations of the integrable hierarchy of topological type associated to a semisimple Frobenius manifold
本文针对半单弗罗贝尼乌斯流形构造了一类具有多项式 tau-结构的拓扑型可积层级形变，并猜想在一维情形下该构造为黎曼–霍普夫层级的可积形变提供普适对象。
Genus zero Whitham hierarchy via Hurwitz--Frobenius manifolds
本文研究了零 genus Hurwitz-Frobenius 流形与 Whitham 级数的关系，证明了其微分方程组等价于零 genus Whitham 级数，并展示了其与 KP 级数的扩展方法。
Frobenius Manifolds And Virasoro Constraints
对于任意的Frobenius流形，构造了Virasoro约束系统。在半简单的情况下，这些限制被证明是真的，在亏格一近似。特别地，T.Eguchi，K.Hori，M.Jinzenji和C. S.Xiong和S.Katz对具有半单量子上同调的光滑投射簇证明了这一结果。
The construction of Frobenius manifolds from KP tau-functions
正则坐标系中的Frobenius流形（WDVV方程的解）由Darboux-Egoroff方程组确定。该偏微分方程系统作为$n$ -分量KP层次的特定子集出现。KP表示理论和相关的Sato无限格拉斯曼被用来构造这个Darboux-Egoroff系统和相关的Frobenius流形的解决方案。最后，我们表明，这些解决方案Dubrovin的isomonodromy τ函数可以表示在KP τ函数。
Degenerate Frobenius manifolds and the bi-Hamiltonian structure of rational Lax equations
研究了一类多分量可积系统的双Hamilton结构，它是无色散Toda族的推广.具有有理而不是多项式Lax函数的一个结果是对应的双哈密顿结构是退化的，即定义哈密顿结构的度量具有消失行列式。弗罗贝纽斯流形提供了一个自然的设置，在其中研究某些类别的流体动力系统的双哈密顿结构。给出了如何将这种结构扩展到包括退化双哈密顿结构的一些想法，如本文第一部分中给出的那些。
On G-function of Frobenius manifolds related to Hurwitz spaces
研究了与Hurwitz空间$H_{g,N}(k_1, ..., k_l)$相关的半单Frobenius流形.我们表明，相应的isomonodromic tau函数$τ_I$符合$(-1/2)$功率的Bergmann tau函数，这是在最近的工作中介绍的作者\cite{KokKor}。这使我们能够明确地计算Frobenius流形的$G$ -函数与Hurwitz空间$H_{0, N}(k_1, ..., k_l)$和$H_{1, N}(k_1, ..., k_l)$。作为简单的推论，我们得到了Frobenius流形${\mathbb C}^N/\tilde{W}^k(A_{N-1})$和${\mathbb C}\times{\mathbb C}^{N-1}\times\{\Im z >0\}/J(A_{N-1})$的$G$ -函数的公式，其中$\tilde{W}^k(A_{N-1})$是推广的仿射Weyl群，$J(A_{N-1})$是Jacobi群，特别地，证明了\cite{Strachan}的猜想.在Frobenius流形与赫尔维茨空间$H_{g, N}(k_1, ..., k_l)$与$g\geq2$的情况下，我们获得了$|τ_I|^2$的公式，它允许计算$G$ -函数的实部。
Classical $r$-matrix like approach to Frobenius manifolds, WDVV equations and flat metrics
给出了构造反变度量的平束和Frobenius流形以及WDVV结合方程的相关解的一般方案。利用经典的$r$ -矩阵形式中的Rota-Baxter恒等式和修正的Yang-Baxter恒等式的对应关系，得到了一个新的恒等式.在黎曼球面上的形式洛朗级数代数和亚纯函数代数上给出了Frobenius流形的构造方法。
Duality in a special class of submanifolds and Frobenius manifolds
证明了伪欧几里得空间中一类特殊子流形的对偶原理。本文引入了这类具有法矢势的子流形。例如，我们还证明了任意的弗罗贝纽斯流形可以实现为这个非常自然的类的某个平坦子流形。
Generalized Frobenius Manifolds with Non-flat Unity and Integrable Hierarchies
本文为具有非平坦单位元的广义Frobenius流形构造了双哈密顿可积层次（主层次），证明其具有Virasoro对称性和tau结构，推导环方程并构造拓扑形变，且给出与Volterra、q-变形KdV及Ablowitz-Ladik层次相关的实例。
Extended affine Weyl groups of BCD type, Frobenius manifolds and their Landau-Ginzburg superpotentials
对于$B_l, C_l$和$D_l$型的根系，我们推广了\cite{DZ1998}的结果，证明了在对应于Dynkin图的任意顶点的扩展仿射外尔群的轨道空间上存在Frobenius流形结构，而不是在\cite{DZ1998}中所作的特定选择.它还取决于某些额外的数据。我们还为这些Frobenius流形结构构造LG超势。
Principal hierarchies of infinite-dimensional Frobenius manifolds: the extended 2D Toda lattice
在单位圆内、外解析的函数对空间上定义了一个无色散的τ-对称双哈密顿可积族，它分别在$0$ / $\infty$上具有单极点，推广了Takasaki和Takebe的无色散的二维Toda族.然后构造了Carlet，Dubrovin和Mertens在Math.Ann.349（2011）75- 115中引入的无限维Frobenius流形$M_0$的变形平坦联络，并通过显式求解变形平坦方程，证明了扩展的二维Toda族与$M_0$的主族重合.
Symmetries and Solutions of Getzler's Equation for Coxeter and Extended Affine Weyl Frobenius Manifolds
研究了半单Frobenius流形C^n/W（其中W是Coxeter群或扩展的仿射Weyl群）上的G-函数. G函数的一般形式给出了在焦散线的对数奇异性在流形上。本文的主要结果是对应于Frobenius流形C^n/W^（k）（A_{n-1}）的G-函数的一个普适公式，其中W^（k）（A_{n-1}）是某个推广的仿射Weyl群（或等价地对应于Hurwitz空间M_{0;k-1,n-k-1}），以及G-函数在焦散线数据下的一般形式。G函数的对称性也进行了研究。
GUE via Frobenius Manifolds. I. From Matrix Gravity to Topological Gravity and Back
Dubrovin建立了复射影直线的GUE配分函数与Gromov-Witten不变量的配分函数之间的关系。本文给出了Dubrovin结果的一个直接证明。并以图表的形式介绍了拓扑引力和矩阵引力的最新进展。
Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov - Witten invariants
本文提出了一个对一类依赖于小参数的双哈密顿1+1偏微分方程进行分类的方案。我们的目标是将Gromov-Witten不变量理论的所有类嵌入到可积系统理论中。该项目的重点是描述规范形式的偏微分方程和他们的局部双哈密顿结构满足某些简单的公理。一个弗罗贝纽斯流形或它的退化与我们类型的每一个双哈密顿结构相关联。主要结果是半单Frobenius流形的喷流空间上的一个通用回路方程，它可用于可积族的扰动重构。我们证明了微扰展开的前几项正确地再现了Gromov-Witten类及其后代的相交数之间的普适恒等式。
Legendre transformations of a class of generalized Frobenius manifolds and the associated integrable hierarchies
本文研究一类广义 Frobenius 流形在 Legendre 型变换下的可积层级关系，证明 Legendre 扩展主层级及其半单条件下的拓扑形变均由同一线性互反变换联系。
Isomonodromic tau-function of Hurwitz Frobenius manifolds and its applications
在这项工作中，我们发现的isomonodromic（Jimbo-Miwa）τ-函数对应于Frobenius流形结构的Hurwitz空间。我们讨论了这个结果的几个应用。首先，我们得到了Hurwitz Frobenius流形的G-函数（Getzler方程的解）的显式表达式。其次，利用这个τ函数计算了厄米双矩阵模型自由能的亏格一修正。第三，我们找到了具有拟置换单值矩阵的任意Riemann-Hilbert问题的Jimbo-Miwa τ-函数。最后，得到了任意亏格的Riemann曲面上Laplace算子行列式在Poincaré度量下的一个新的表达式（类似亏格1的Ray-Singer公式）.
Realization of Frobenius manifolds as submanifolds in pseudo-Euclidean spaces
在伪欧几里得空间中引入了一类k-势子流形，并证明了对于任意正整数k和任意非负整数p，每个N维Frobenius流形都能局部实现为具有一定特征的（（k + 1）N + p）维伪欧几里得空间中的N维k-势子流形.对于k = 1，这个构造是由本作者在先前的论文（2006）中提出的。具体的Frobenius流形的实现归结为求解一个相容的二阶线性偏微分线性系。
Frobenius manifolds and Frobenius algebra-valued integrable systems
可积性的概念通常会从标量值域的系统扩展到代数值域的系统。在这种扩展中，代数的性质和结构在确保可积性方面发挥着核心作用。本文发展了Frobenius-代数值可积系统的一个新理论。这是实现系统来自弗罗贝纽斯流形利用理论的张量积等流形，开发的考夫曼，Kontsevich和Manin \cite{Kaufmann,KMK}。通过专门化这个结构，使用固定的Frobenius代数$\mathcal{A},$，人们可以得到这样一个理论。更一般地，人们可以应用相同的思想来构造$\mathcal{A}$值拓扑量子场论。然后研究了两类可积发展方程的汉密尔顿性质：无色散发展方程和色散发展方程。讨论了这些思想的应用，并作为例子构造了一个$\mathcal{A}$值修正的Camassa-Holm方程.
Asymmetric rational reductions of 2D-Toda hierarchy and a generalized Frobenius manifold
该研究分析了两类非对称2D-Toda层级有理约化的局部双哈密顿结构，构造了对应(2,1)型的三维广义Frobenius流形，并建立了其与双分次Toda、约束KP层级的变换关联。
Diagonal invariants and genus-zero Hurwitz Frobenius manifolds
本文研究了具有多个简单极点的有理函数空间上的弗罗贝尼乌斯流形结构，揭示了对角不变量作为多项式在预势能中的作用，并探讨了Coxeter和扩展仿射韦尔轨道空间的推广。
Bergman tau function: from Einstein equations and Dubrovin-Frobenius manifolds to geometry of moduli spaces
我们回顾所发挥的作用的特殊类型的tau函数-称为{ \it伯格曼} tau函数在各个领域：理论的isomonodromic变形，爱因斯坦方程的解决方案，理论的Dubrovin-Frobenius流形，几何的模空间和谱理论的黎曼曲面。这些tau函数是Dedekind的eta函数到更高亏格的自然推广。研究它们的性质可以得到一个明确的形式爱因斯坦的度量，获得新的关系，皮卡德群的各种模空间和推导全纯因式分解公式的拉普拉斯行列式在平坦奇异度量的黎曼曲面，除其他外。
Tri-Hamiltonian structure of an asymmetric generalized Ablowitz-Ladik hierarchy and a Frobenius manifold
通过超变量技术构造了非对称(3,1)型广义Ablowitz-Ladik层次的全色散局部三哈密顿结构，计算了双哈密顿结构的中心不变量，并构造了其无色散极限对应的Frobenius流形。
Frobenius Manifolds as a Special Class of Submanifolds in Pseudo-Euclidean Spaces
在伪欧几里得空间中引入了一类势子流形（每个N维势子流形都是2N维伪欧几里得空间中的一个特殊的平坦无挠子流形），证明了每个N维Frobenius流形都可以局部表示为一个N维势子流形.证明了所有的势子流形在其切空间上具有Frobenius代数的自然特殊结构。这些特殊的Frobenius结构是由子流形的平坦的第第一基本型和第二基本型的集合生成的（实际上，结构常数是由子流形的Weingarten算子的集合给出的）。证明了二维拓扑量子场论的结合性方程是伪欧几里得空间中子流形理论的基本非线性方程的非常自然的约化，并局部定义了势子流形类.将伪欧几里得空间中任意具体Frobenius流形作为势子流形的显式实现问题归结为求解一个二阶线性偏微分方程组。对于具体的Frobenius流形，这个实现问题可以在初等函数和特殊函数中显式求解。
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