Real Zeros and Partitions without singleton blocks
Miklós Bóna, István Mező
证明了将一个$n$ -元集划分为非单点块的生成多项式按块的个数计数，只有实根，并研究了最左根的渐近性质.我们应用这些信息来找到最可能的块数。
We prove that the generating polynomials of partitions of an $n$-element set into non-singleton blocks, counted by the number of blocks, have real roots only and we study the asymptotic behavior of the leftmost roots. We apply this information to find the most likely number of blocks.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Singletons and Adjacencies of Set Partitions of Type B
我们证明了无零块的$B_n$型集合划分上的单例对数目和邻接对数目的联合分布是对称的，类似于Callan对普通划分的结果.
An optimal refinement-compatible bijection between singleton-free partitions and partitions without cyclic adjacencies
本文针对Bernhart的论断，构造了无单元素划分与无循环相邻对划分之间兼容精化序的最优直接单轮双射，该双射还可推广至非交叉划分对应类。
The largest singletons of set partitions
最近，Deutsch和Elizalde研究了排列的最大和最小不动点。受他们工作的启发，我们考虑了集合划分中的类似问题。令$A_{n,k}$表示具有$0\leq k\leq n$的最大单例$\{k+1\}$的$\{1,2,\dots, n+1\}$的分区的数目。本文利用代数和组合方法得到了涉及Dobinski型类似物的$A_{n,k}$的几个显式公式，利用算子方法给出了涉及$A_{n,k}$和Bell数的组合恒等式，并研究了$A_{n,k}$的同余性质.我们将证明序列$(A_{n+k,k})_{n\geq 0}$和$(A_{n+k,k})_{k\geq 0}$（mod $p$）对于任何素数$p$都是周期的，并且包含一串$p-1$连续的零。而且对于任何素数$p$，它们的最小周期都是$N_p=\frac{p^p-1}{p-1}$.
The largest singletons in weighted set partitions and its applications
最近，Deutsch和Elizalde研究了排列的最大和最小不动点。受他们工作的启发，我们考虑了加权集合划分中的类似问题。令$A_{n,k}(\mathbf{t})$表示$[n+1]$上具有最大单体$\{k+1\}$的分区的总权重。本文利用投影算子和组合方法，得到了$A_{n,k}(\mathbf{t})$的显式公式和许多涉及$A_{n,k}(\mathbf{t})$的组合恒等式.作为应用，我们研究了置换、对合和标记森林等三种特殊情况。特别是在置换的情况下，我们得到一个令人惊讶的身份类似的Riordan身份有关的树枚举，即，\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D_{k+1}(n+1)^{n-k} &=& n^{n+1}, \end{eqnarray*}其中$D_{k}$是$k$ -th排列数或排列数的$\{1,2,\dots, k\}$没有不动点。
Singleton Coalition Graph Chains
本文研究图的单例联盟划分与联盟图链，刻画了最小度为2且联盟数等于阶数的所有图，并分析了从最小度不超过2的图出发的单例联盟图链，解决了Haynes等人提出的两个公开问题。
Asymptotically normal distribution of some tree families relevant for phylogenetics, and of partitions without singletons
P.L.鄂尔多斯和洛杉矶Szekely [Adv.Appl.Math.10（1989），488-496]给出了有根半标号树和集合划分之间的双射。L.H. Harper的结果[Ann. Math. Stat. 38（1967），410-414]关于第二类Stirling数的渐近正态性的结果，当内部顶点数变化时，转化为给定顶点数的有根半标号树的渐近正态性。Erdos-Szekely双射专门用于系统发育树和具有大小为\geq 2的类的集合分区之间的双射。我们考虑第二类修改的斯特林数，该数将固定集合的分区枚举为给定数量的大小为\geq 2的类，并获得它们随着类数量变化的渐近正态性。Erdos-Szekely双射将这一结果转化为当叶数变化时，具有给定顶点数的系统发生树的数目的渐近正态性。我们还得到了具有给定叶数和不同内部顶点数的系统发生树数目的渐近正态性，这对系统发生学的学生更有意义。通过Erdos-Szekely双射，这意味着当n固定而m变化时，n + m个元素划分成m个大小为\geq 2的类的数量的渐近正态性。这些证明是L. H. Harper [同上]。我们提供了相关的期望和误差项为O（1/n）的方差渐近。
The Partial Partition Complex
研究由{1,…,n}的部分划分构成的抽象单纯复形D_n，证明其顶点可分解、给出非纯壳排序并计算约化同调，同时证明自同构群为n元对称群。
Weighted Coordinates Poset Block Codes
给定$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$、$[n]$上的偏序$\preceq$、由$π(i) = k_i$与$\sum_{i=1}^{n}π(i) = N$定义的标签映射$π: [n] \rightarrow \mathbb{N}$、$ \mathbb{F}_q^N $的直和$ \mathbb{F}_{q}^{k_1} \oplus \mathbb{F}_{q}^{k_2}\oplus \ldots \oplus \mathbb{F}_{q}^{k_n} $以及$ \mathbb{F}_q $上的权函数$w$，我们基于偏序集$P=([n],\preceq)$定义了$\mathbb{F}_{q}^{N}$上的偏序集块度量$d_{(P,w,π)}$.度量$d_{(P,w,π)}$称为加权坐标偏序集块度量（$(P,w,π)$ -度量）.它推广了L.帕内克和JA Pinheiro和推广了M. M. S.我们确定了$(P,w,π)$ -空间的完全权分布，从而获得了$(P,w)$ -空间，$(P,π)$ -空间，$π$ -空间和$P$ -空间的特殊情况。我们得到了$(P,w,π)$ -码和$(P,w)$ -码的Singleton界.特别是，我们重新获得的单例界的任何代码的$(P,π)$ -度量和$P$ -度量。此外，还得到了NRT分组码的Packing半径和Singleton界.
Weight Distribution of the Weighted Coordinates Poset Block Space and Singleton Bound
本文确定了加权坐标偏序集块空间的完整权重分布，涵盖多种特例，并研究了$I$-完美码、$t$-完美码与MDS码的关系及对偶定理，分析了链偏序集下$r$-球中码字分布。
Limit theorems for statistics of non-crossing partitions
研究了大非交叉分拆的几个统计量的分布。首先，我们证明了高斯极限定理的块的数量给定的固定大小。与通常的集合分区的性质相反，我们表明，不同大小的块的数量是负相关的，即使是大分区。此外，我们表明，在一个给定的大的非交叉分区的块的大小分布根据几何分布，而不是泊松，在通常的情况下集分区。接下来，我们表明，最大的块的大小集中在$\log_2 n$，并经过适当的重新缩放，它可以描述的双指数分布。最后，我们表明，一个大的非交叉分区的宽度收敛到θ分布中出现的布朗游览理论。
Refinements of Beck-type partition identities
富兰克林的恒等式推广了欧拉恒等式，并指出，具有$j$不同部分的$n$可被$r$整除的分区数等于具有$j$重复部分的$n$的分区数。在这篇文章中，我们给出了当$j=1$ .我们证明了富兰克林的身份时，$j=1$，$r=2$分区与固定周长，即，固定最大的钩子。我们还推导出一个贝克型恒等式的分区与固定的周长：部分的数量在所有分区成奇数部分周长$M$超过部分的数量在所有分区成不同部分周长$M$等于分区的周长$M$的偶数部分的集合是一个单例。我们提供分析和组合证明我们的结果。
Simply generated non-crossing partitions
我们介绍和研究模型的简单生成的非交叉分区，这是，粗略地说，随机选择的权重序列。这个框架包括了对块大小有约束的均匀非交叉分区的特殊情况。我们的主要工具是一个双射之间的非交叉分区和平面树，它映射到简单生成的树，使块的大小$k$是对应的顶点出度$k$这样简单生成的非交叉分区。这使我们能够获得极限定理的块结构的简单生成的非交叉分区。我们将所得结果应用于自由概率，给出了一个关于实直线上紧支概率测度的最大支集与其自由累积量的简单公式。
The Limiting Distribution of the Number of Block Pairs in Type B Set Partitions
Harper的一个经典结果是：集合$\{1, 2,..., n\}$的分块个数的极限分布是正态的。本文利用鞍点方法证明了$B_n$型集合划分中块对数极限分布的正态性。此外，我们还得到了无零块的$B_n$ -划分中块对数的极限分布也是正态的。
Statistics of blocks in k-divisible non-crossing partitions
我们推导出一个公式的预期数量的块的一个给定的大小从一个非交叉分区均匀随机选择。此外，我们改进了这个结果的限制，有一些块。此外，我们推广到k-可分分区。特别地，我们发现，渐近地，随机均匀选择nk个元素的k可分非交叉划分的大小为t的块的期望数量是（kn+1）/（k+1）^（t+1）。对Armstrong的B型和D型k-可分非交叉分拆也得到了类似的结果。
Set partitions without blocks of certain sizes
我们给出了一组$n$元素的分区数的渐近估计，其块大小避免了一组给定的$\mathcal{S}$的自然数。作为一个应用程序，我们得到了一个估计的分区数的集合与$n$元素，它具有的属性，它的块可以被组合，以形成任何大小的子集之间的$1$和$n$。
Computing DM-decomposition of a partitioned matrix with rank-1 blocks
在本文中，我们开发了一个多项式时间算法来计算一个矩阵的Dulmage-Mendelsohn型分解划分成子矩阵的秩最多$1$。
Block Partitions of Sequences
给定序列A=（a1，...，an），A的块B是集合B={ai，.，aj}，其中i<=j或空集。块B的大小b是其元素的总和。当0<=ai<=1且k为正整数时，A可划分为k个块B1，.，Bk与|比-BJ|对于每个i，j <=1，我们在许多方向上推广了这个结果。
Two Posets of Noncrossing Partitions Coming From Undesired Parking Spaces
考虑一个$n$元素集的非交叉集划分，它要么不包含块$\{n-1,n\}$，要么不包含单例块$\{n\}$，只要$1$和$n-1$在同一块中。本文研究了由这些元素诱导的不相交分划格的子集，证明了它是超可解格，因而是字典序可壳格。我们给出了该格的NBB基的组合模型，并导出了其最小元与最大元之间的默比乌斯函数值的显式公式.这项工作的动机是最近的一篇文章M。布鲁斯，M。Doughnut，M.赫拉瓦切克河工藤和我。Nicolas，在其中他们引入了一个子集的非交叉分划格，这是由停车功能与某些禁止的条目。特别是，他们猜想，由此产生的偏序集总是有一个可收缩的序复形。我们证明了这一猜想嵌入他们的偏序集到我们的，并表明它继承了字典序壳。
The Möbius function of partitions with restricted block size
我们研究的过滤器的分划格形成的限制分区的类型。默比乌斯函数是根据排列的计算下降集统计量和整数合成格中滤子的默比乌斯函数确定的。当底层整数划分是背包划分时，整数组合上的默比乌斯函数由拓扑参数决定。在这个证明中，置换面体出现了一个客串。
Block partitions: an extended view
给定序列$S=(s_1,\dots,s_m) \in [0, 1]^m$，$S$的块$B$是子序列$B=(s_i,s_{i+1},\dots,s_j)$。块$B$的大小$b$是其元素的总和。文[1]证明了对每一正整数$n$，都有$S$的一个分划为$n$块$B_1, \dots , B_n$，其中对每一$i, j$有$|b_i - b_j| \le 1$.在本文中，我们考虑在高维的问题的推广。
Block-transitive 2-designs with a chain of imprimitive partitions
该研究通过构造无限多族设计，证明区组传递2-设计的不变点划分链长度无上限，还引入点集“阵列”概念并给出其成为区组的充要条件，推进了相关组合设计理论研究。
Two New Integer Sequences Related to Crossroads and Catalan Numbers
本文提出孤独单身序列与可婚配单身序列两个新整数序列，分别表示特定非交叉分区数量及Catalan数与其之差，并给出前14项及性质，用于计算同时通过道路交叉口的方式数。
Pattern avoidance in "flattened" partitions
使一个集合划分变平（向Mathematica道歉）意味着通过擦除块之间的分隔符来形成一个排列。当然，结果取决于如何列出块。对于通常的列表--每个块中的条目不断增加，并且块按照其第一个条目的递增顺序排列--我们计算[n]的分区，这些分区的扁平化避免了单个3个字母的模式。出现五个计数序列：零序列，2的幂，斐波那契数，卡塔兰数，卡塔兰数的二项式变换。
$K$ block set partition patterns and statistics
如果$σ$对子集$S\subseteq[n]$的标准化限制等同于$ω$，则$[n]=\{1,\cdots ,n\}$的集合分区$σ$包含另一集合分区$ω$。否则，$σ$将避免$ω$。Sagan和Goyt已经确定了$[3]$分区上所有模式集的回避类的基数。此外，在集合划分和受限增长函数（RGFs）之间存在双射。Wachs和White定义了这些RGFs的四个基本统计数据。Sagan、Dahlberg、Dorward、Gerhard、Grubb、Purcell和Reppuhn考虑了这些统计量在各种回避类中的分布，并获得了前面引用的基数结果的四个变量类似物。他们对这些分布进行了第一次彻底的研究。他们的许多结果的类似物如下为集分区与确切的$k$块为一个指定的正整数$k$。这些类似物在这项工作中进行了讨论。
Enumeration of artitions with prescribed successive rank parity blocks
由Atkin引入的划分的连续秩是Ferrers图中第$i$行和第$i$列的差。最近，在奇异超划分的研究中，Andrews重新审视了连续秩和奇偶块。出于他的工作，我们调查分区规定的连续排名奇偶校验块。本文的主要结果是具有恰好$d$连续秩和$m$奇偶校验块的划分的生成函数。
Ordered Partitions Avoiding a Permutation of Length 3
$[n]=\{1, 2, \ldots, n\}$的有序划分是其块被赋予线性顺序的划分。令$\mathcal{OP}_{n,k}$是具有$k$块的$[n]$的有序划分的集合，并且$\mathcal{OP}_{n,k}(σ)$是$\mathcal{OP}_{n,k}$中避免模式$σ$的有序划分的集合。最近，Godbole，Goyt，Herdan和Pudwell得到了$[n]$具有3个块的有序划分的数量和$[n]$具有$n-1$块的有序划分的数量的公式，避免了长度为3的置换模式。他们表明，$|\mathcal{OP}_{n,k}(σ)|=|\mathcal{OP}_{n,k}(123)|$的任何置换$σ$的长度为3，并提出了有关的问题列举$\mathcal{OP}_{n,k}(123)$。他们还证明了避免长度为3的置换模式的块大小为2的$[2n]$的有序划分的数量满足二阶线性递归关系。在回答Godbole等人的问题时，我们得到了$|\mathcal{OP}_{n,k}(123)|$的生成函数，并证明了关于递推关系的猜想。
A Combinatorial Result on Block Matrices
给定一个矩阵，其行、列的划分和元素来自于一个域，本文给出了它存在一个非奇异子矩阵的充要条件，该子矩阵的每个行划分和每个列划分都有一定的行数和列数.
On colored set partitions of type $B_n$
推广Reiner关于$B_n$类型的集合划分的概念，我们通过分别对零块中的元素和非零块中的元素着色来定义着色的$B_n$ -划分。考虑着色$B_n$ -划分的生成函数，得到了随机着色$B_n$ -划分中非零块个数的期望和方差的精确公式.我们找到了着色$B_n$ -分区的总数的渐近表达式，误差为$O(n^{-1/2}\log^{7/2}{n})$，并证明了集中和归一化的非零块的数量是渐近正态的着色$B_n$ -分区。
Partitions of $\mathbb{Z}_n$ into Arithmetic Progressions
我们引入$\mathbb{Z}_n$的等差数列块或AP块的概念，其可以表示为$(x, x+m, x+2m, ..., x+(i-1)m) \pmod n$形式的序列。然后，我们考虑的问题划分$\mathbb{Z}_n$到AP块为一个给定的差异$m$。我们表明，受技术条件下，分区的$\mathbb{Z}_n$到$m$ -AP块的给定类型的数量是独立的$m$。当我们把注意力限制在大小为1或2的块上时，我们会对曼苏尔和孙最近导出的一个公式进行组合解释，作为卡普兰斯基数的推广。这些数字也出现在系数华林公式的对称函数。
Counting Connected Set Partitions of Graphs
设$G=(V,E)$是一个顶点数为$n$的简单无向图，如果$G=(V,E)$的块$V_j$诱导的每个子图$G[V_j]$对于$1\le j\le k$是连通的，则$G$的顶点集的集划分$π=\{V_1, ..., V_k\}$是连通集划分.将$q_{i}(G)$定义为具有$i$块的$G$中的连通集分区的数量。则划分多项式是$Q(G, x)=\sum_{i=0}^n q_{i}(G)x^i$。本文给出了$G$中分离顶点集$X$上的分划多项式的分裂方法，并总结了键格的一些性质。此外，简要讨论了二元分割多项式$Q(G,x,y)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m q_{ij}(G)x^iy^j$，其中$q_{ij}(G)$计算具有$i$块和$j$块内边缘的连通集分割的数量。最后证明了二元划分多项式的复杂性是$\sharp P$ -困难的。
Block-transitive designs with a poset of imprimitive partitions
本文研究了具有特定偏序集的块设计，通过广义wreath产品理论，给出了块传递2-设计的条件，并提供了多个偏序集的显式例子。
Block Combinatorics
本文在块Schreier族（B^xi）的递归系统的背景下推广了Hindman和Milliken的块组合分拆定理，该族由为每个可数序数xi定义的族组成。结果包含（a）一个块划分拉姆齐定理为每个可数序数xi（Hindman的定理对应于xi=1，和米利肯的定理，以xi有限序数），（b）一个可数序数形式的块纳什-威廉姆斯划分定理，和（c）一个可数序数块划分定理封闭在无限块类似的埃伦塔克的拓扑。
Pattern Avoidance in Ordered Set Partitions
在本文中，我们考虑的计数有序集的划分避免了长度为2或3的置换模式。我们提供了一个精确的枚举，以避免置换12。我们还给出了精确的枚举有序分区与3块和有序分区与n-1块避免置换的长度为3。我们使用枚举方案递归地枚举123-避免任何块大小的有序分区。最后，我们给出了一些渐近结果的有序集分区的数量的增长率，避免了一个单一的模式，包括斯坦利-威尔夫型，表现出这样的增长率的存在。
An Extension of the Erdős-Ko-Rado Theorem to uniform set partitions
$(k,\ell)$分区是具有每个大小为$k$的$\ell$块的集合分区。如果在$P$中存在块$P_{i}$并且在$Q$中存在块$Q_{j}$使得$\left| P_{i} \cap Q_{j} \right|\geq t$，则两个均匀集划分$P$和$Q$被称为部分$t$相交。本文证明了部分$2$ -相交$(k,\ell)$ -划分的Erdens-Ko-Rado定理的一个版本。特别是，我们表明$\ell$足够大，所有的$(k,\ell)$分区，其中一个块包含一个固定的对的集合是最大的2部分相交的$(k,\ell)$分区。对于$k=3$，我们证明了这个结果对所有$\ell$都成立。
Pairwise Balanced Designs and Sigma Clique Partitions
在本文中，我们感兴趣的是在成对平衡设计，其中有一些限制的一个区组的大小或最大的区组的大小之和最小化。对每一个正整数n;m，其中m？n，设S（n; m）是最小整数s，对于该最小整数s，在n个点上存在PBD，其最大块具有大小m并且其块大小的和等于s。另外，令S 0（n; m）是在n个点上存在PBD的最小整数，该PBD具有大小为m的块并且其块大小之和等于s。我们证明了S（n;m）和S 0（n;m）的一些下界.此外，我们应用这些界限，以确定的Sigma团划分数的图Kn-Km，鸡尾酒会图和补的道路和循环的渐近行为。
On the Schur-positivity of various sets of set partitions
研究两种下降概念下与集合划分相关的对称函数的Schur正性，通过Touchard-Riordan多项式和Bell数部分和给出系数，并利用可移除单点概念建立Schur展开的组合描述。
Partitions of Matrix Spaces With an Application to $q$-Rook Polynomials
研究了矩阵空间$\mathbb{F}_q^{n \times m}$上的行空间划分和主元划分。我们表明，这两个分区是自反的，行空间分区是自对偶的。此外，使用各种组合的方法，我们明确地计算与这些分区相关的Krawtchouk系数。这建立了线性秩度量码的行空间和枢轴枚举数的麦克威廉斯型恒等式。然后我们推广了秩度量码的类Singleton界，并引入了码极值的两个新概念。这两种码推广了MRD码的概念，并且都是由迹对偶保持的。此外，根据任一概念极值的代码满足类似于MRD代码的强刚性特性。作为我们的结果在组合数学中的一个应用，我们给出了与Ferrers图板相关的$q$ -rook多项式的封闭公式。利用有限域上矩阵与车的位置之间的关系，证明了在费勒斯图上支持的秩为$r$的$\mathbb{F}_q$上的矩阵的个数在$q$中是多项式，且其次数在$r$中是严格递增的.最后，我们调查的秩，行空间和枢轴分区的MacWilliams扩展定理的自然类似物。
A major index for matchings and set partitions
我们在$[n]=\{1,2,..., n\}$的划分上引入了一个统计量$\pmaj$，并证明了它与$[n]$的划分上的2-交叉数是等分布的.推广了经典的关于排列统计量反转数和主指数等分布的结果。
Erdős-Ko-Rado theorem and Hilton-Milner type theorem for $k$-partitions
本文研究$k$-划分的$t$-相交族，证明了在$n$足够大时最大平凡族由固定单元素块构成，并确定了最大非平凡族的结构，同时给出稳定性结果。
On the maximal multiplicity of block sizes in a random set partition
我们研究了$[n]=\{1,2,...,n\}$的集合划分中块的最大重数$M_n=M_n(σ)$的渐近行为，假设$σ$是从所有这样的划分的集合中随机均匀选择的.令$W=W(n)$是方程$We^W=n$的唯一正根，令$f_n$是$W(n)$的分数部分。此外，令$R_n=W^{\lfloor W\rfloor}/\lfloor W\rfloor !$和令$\vartheta_n=\min{\{f_n,1-f_n\}}$。我们发现，在一个子序列$\{n_k\}_{k\ge 1}$，$(M_{n_k}-R_{n_k})/\sqrt{R_{n_k}}$收敛弱，$k\to\infty$，$\max{\{Z_1,Z_2-u\}}$，其中$Z_1$和$Z_2$是两个独立的副本，一个标准的正常随机变量和$u=\left(\frac{1}{2π}\right)^{1/4}\lim_{k\to\infty}\vartheta_{n_k}\frac{\sqrt{n_k}}{\log^{7/4}{n_k}}\in [0,\infty)$或$u=\infty$。证明使用鞍点方法。与$n$的随机整数划分的类似统计量的比较。
Statistics on ordered partitions of sets
我们介绍了几个统计有序分区的集合，即，集分区的块是任意排列。这些统计量的分布与第二类q-Stirling数密切相关。其中一些统计量是集合划分上已知统计量的推广，而另一些则是全新的。所有新的统计量都是两个统计量的和，灵感来自排列统计量，其中两个统计量之一是基于分区块的某种偏序。
Rectangle partitions generalizing integer partitions
该研究提出分拆函数的几何推广形式，聚焦边长为整数的矩形块构成的矩形分拆计数问题，规定分拆仅由块的多重集决定、与几何排列无关。
A bijection between certain non-crossing partitions and sequences
我们提出了一个双射之间的非交叉分区的集合$[2n+1]$到$n+1$块，使没有块包含两个连续的整数，和序列$\{s_{i}\}_{1}^{n}$的集合，使$1 \leq s_{i} \leq i$，如果$s_{i}=j$，那么$s_{i-r} \leq j-r$为$1 \leq r \leq j-1$。
Fingerprint Invariant of Partitions and Construction
划分的指纹不变量可以用来描述典型群的Kazhdan-Lusztig映射。讨论了指纹的基本性质。我们在$B_n$、$C_n$和$D_n$理论中构造刚性分区的指纹。为了计算刚性半单算子$(λ^{'};λ^{"})$的指纹，我们将$λ^{'}+λ^{"}$分解成若干块.我们定义运算符来计算每个块的指纹使用的结果的指纹的幂幺运算符。
On partitions avoiding 3-crossings
如果存在$i\_1<i\_2<j\_1<j\_2$，使得$i\_1$和$j\_1$在同一块中，$i\_2$和$j\_2$在同一块中，但$i\_1$和$i\_2$不在同一块中，则$[n]$上的分区具有交叉。最近，Chen等人通过对任何整数$k$引入$k$ -交叉来完善这个经典概念。在这个新术语中，经典杂交是2-杂交。避免2-交叉的$[n]$的划分数是众所周知的$n$第卡塔兰数$C\_n={{2n}\choose n}/(n+1)$。这就产生了对$k$计数的问题--$k\ge 3$的非交叉分区。证明了3-非交叉分拆序列是P-递归的，即满足多项式系数的线性递归关系。我们明确地给出这样的递归。然而，我们猜想，$k$ -非交叉分区是不是P-递归的，$k\ge 4$。
Powers of planar graphs, product structure, and blocking partitions
本文通过引入ℓ-阻塞划分这一新概念，证明了平面图及其k次幂可嵌入到有界树宽图、路径和完全图的强乘积中，解决了Ossona de Mendez等人提出的公开问题，并将结果推广到k-平面图和有界欧拉亏格图。
The two-block odd partition function
本文研究二块奇数分拆函数的算术与组合性质，证明其非负性及模3整除性质，揭示了此类分拆函数的算术正则性。
Characterizing Block Graphs in Terms of their Vertex-Induced Partitions
给定一个具有点集$V$和边集$E\subseteq \binom{V}{2}$的有限连通简单图$G=(V,E)$，我们将证明$1.$具有顶点集$V$（其边集包含$E$）的（必然唯一的）最小块图由集合$V$的各个分区$π_0(G^{(v)})$到图$G^{(v)}:=(V,\{e\in E: v\notin e\})$的连通分量的集合中的$V$索引族${\bf P}_G:=\big(π_0(G^{(v)})\big)_{v \in V}$唯一地确定，- $2.$，该框图的边集与$V$的所有$2$子集$\{u,v\}$的集合一致，对于所有$w\in V-\{u,v\}$，$u$和$v$包含在$G^{(w)}$的相同连通分量中，$3.$和任意的$V$ -集合$V$的分区$π_v$的索引族${\bf P}p=({\bf p}_v)_{v \in V}$对于具有如上顶点集合$V$的某个连通简单图$G=(V,E)$具有${\bf P}p={\bf P}p_G$的形式当且仅当，对于任何两个不同的元素$u,v\in V$，${\bf p}_v$中包含$u$的集合和${\bf p}_u$中包含$v$的集合的并集与集合$V$一致，并且$\{v\}\in {\bf p}_v$对所有$v \in V$成立。除了对块图理论有内在的兴趣之外，这些事实在分析有限度量空间的相容分解和块实现中也是有用的。
Pattern avoidance for set partitions à la Klazar
本文基于Klazar的模式避免定义，研究集合划分的Wilf等价性，确定了两块划分（含单块）的所有等价性，并猜想一般情况；同时证明单块划分避免数大于两块划分，并枚举了$[4]$划分的避免数。
Counting symmetric and non-symmetric peaks in a set partition
该研究针对恰好含k个块的[n]集合划分，分别推导其对称峰与非对称峰总数的显式公式，并通过生成函数理论和组合工具两种方式给出结果。
The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions
我们考虑$m$ -可分的非交叉分区的$\{1,2,\ldots,mn\}$的性质，对于一些$t\leq n$没有块包含一个以上的第一个$t$整数。我们给出了一个闭公式，计算了具有给定块数的非交叉分拆的多链个数。在此基础上，我们计算Chapoton的$M$ -三角形在此设置和猜想的组合解释的$H$ -三角形。本文对$m=1$证明了这一猜想。
An Analogue of Hilton-Milner Theorem for Set Partitions
令$\mathcal{B}(n)$表示$[n]$的所有集合分区的集合。假设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}(n)$是集合划分的非平凡$t$相交族，即$\A$的任何两个成员至少具有共同的$t$块，但是不存在属于所有这些成员的大小为1的固定$t$块。证明了对于足够大的$n$，$t$依赖于$t$，\[ |\mathcal{A}| \le B_{n-t}-\tilde{B}_{n-t}-\tilde{B}_{n-t-1}+t \]，其中$B_{n}$是$n$的第Bell数，$\tilde{B}_{n}$是$[n]$的集合划分数，不含大小为1的块.此外，等式成立当且仅当$\mathcal{A}$等价于\[ \{P \in \mathcal{B}(n): \{1\}, \{2\},..., \{t\}, \{i\} \in P \textnormal{for some} i \not = 1,2,..., t,n \}\cup \{Q(i,n)\ :\ 1\leq i\leq t\} \]，其中$Q(i,n)=\{\{i,n\}\}\cup\{\{j\}\ :\ j\in [n]\setminus \{i,n\}\}$。这是一个类似的希尔顿-米尔纳定理集划分。
Constructing all irreducible Specht modules in a block of the symmetric group
对于任意素数p，我们构造并同时计数对称群的给定p-块中所有模p约化时保持不可约的复Specht模，我们称具有这一性质的Specht模为p-不可约模。最近Fayers证明了一个猜想詹姆斯和Mathas，提供了一个表征分区对应的p-不可约模。本文给出了一种分解p-不可约模对应的划分的方法，并利用这种分解构造和计数了给定块中p-不可约Specht模对应的所有划分。
Column-partitioned matrices over rings without invertible transversal submatrices
令任何环上的$p \times q$矩阵$M$的列被划分成$n$块，$M = [M_1, ..., M_n]$。如果具有来自不同块$M_i$的列的$M$的$p \times p$子矩阵都不是可逆的，则存在可逆的$p \times p$矩阵$Q$和正整数$m \leq p$，使得$QM = [QM_1, ..., QM_n]$是简化的梯形形式，并且在几乎所有$m-1$块$QM_i$中，每列的最后一个$m$条目或者全为零或者它们包括非零非单位。
Permutation groups, partition lattices and block structures
本文研究置换群、划分格与块结构的性质，探讨具有OB和PB性质的群及其在wreath积中的嵌入问题。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。