An Asymptotically Tight $t\log t$ Bound for $k$-Connected Subgraphs in Dense $K_t$-Minor-Free Graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；Fuzhou University（福州大学）
研究在稠密无 \(K_t\) 子图的图中 \(k\) - 连通子图的界，通过改进方法，将结构界从 \(O(t\log^3 t)\) 提升到 \(O(t\log^2 t)\)，优化了相关图的阶，从 \(O(t\log^4 t)\) 变为 \(O(t\log^3 t)\)。
2026-08-07 math.CO
Existence of spanning $\mathcal{F}$-free subgraphs with large minimum degree
设$\mathcal{F}$是一族固定图，且$d$足够大.对每一个$d$ -正则图$G$，研究了$G$的最小度大的无生成$\mathcal{F}$子图的存在性.如果$\mathcal{F}$不包含二部图，则很好理解该问题。在这里，我们提供了渐近紧的结果，许多家庭的二部图，如圈或完全二部图。
2016-12-09 math.CO
Random Turán theorem for expansions of spanning subgraphs of tight trees
本文研究紧树生成子图的 $r$-扩张在随机超图中的 Turán 数，通过余度二分法融合两种过饱和技术证明上界，并在两类情形下验证其本质紧性。
2024-05-19 math.CO
Regular subgraphs at every density
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）；Institute of Mathematics, EPFL（洛桑联邦理工学院数学研究所）；Department of Mathematics, University of Illinois at Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系）
该研究解决了Erdős-Sauer问题，证明了无r-正则子图的图边数上限，并展示了在不同r范围内的一般结果。
2025-11-26 math.CO
A note on large induced subgraphs with prescribed residues in bipartite graphs
Scott证明了对每个$k\ge2$，存在一个常数$c(k)>0$，使得对每个不含孤立点的二部$n$ -顶点图$G$，存在一个阶至少为$c(k)n$的导出子图$H$，使得对每个$v \in H$有$\textrm{deg}_H(v) \equiv 1\pmod{k}$.斯科特解释说，$c(k) = Ω(1/k)$，这将是紧到乘法常数。我们证实了这一猜想。
2022-01-02 math.CO
Tight bounds towards a conjecture of Gallai
证明了对$n>k\geq 3$，如果$G$是一个色数为$k$的$n$ -顶点图，但它的任意真子图的色数都小于$k$，则$G$至多包含大小为$k-1$的团的$n-k+3$拷贝.这回答了一个问题的雅培和周，并提供了一个严格的约束猜想的Gallai。
2022-10-10 math.CO
Bipancyclic subgraphs in random bipartite graphs
一个顶点数为2n的二部图是双泛圈的，如果它包含从4到2n的所有偶数长度的圈.本文证明了具有$p(n)\gg n^{-2/3}$的随机二部图$G(n,n,p)$渐近几乎必然具有以下弹性性质：$G(n,n,p)$的每个有多于$(1/2+o(1))n^2p$条边的Hamilton子图$G'$是双泛圈的.这个结果在两个方面是紧密的。首先，$p$的范围基本上是最好的。第二，边缘的比例1/2不能减少。我们的结果推广了Mitchem和Schmeichel的一个经典定理。
2012-12-14 math.CO
Triangle-free Subgraphs at the Triangle-Free Process
我们考虑无三角过程：给定一个整数n，从对完全n-顶点图K_n的边取一致随机序开始。然后，遍历有序的边，并将每个遍历的边添加到一个（最初为空的）演化图中-除非它的添加创建了一个三角形。我们研究了当任意固定ε \in（0，10 ^{-10}）的Θ（n^{3/2 + ε}）条边被遍历时的演化图.此时，对于任意固定的无三角形图F，我们给出了F在演化图中的期望拷贝数的渐近紧估计。对于平衡且密度小于2的F（例如，对于长度至少为4的圈F），我们的论证也给出了演化图中F的拷贝数的紧集中结果。我们的分析结合了Spencer的原始分支过程的方法来分析三角形的自由过程和半随机方法。
2009-07-06 math.CO
Large subgraphs without short cycles
研究了不含$\F$图族的子图的两个极值问题。i）在所有有$m$边的图中，最大无$\F$子图的最小尺寸$f(m,\F)$是多少？ii）在所有具有最小度$δ$和最大度$Δ$的图中，具有最大最小度的无生成$\F$子图的最小最小度$h(δ,Δ,\F)$是多少？对于不含任何二部图的图族，这些问题很容易回答。我们研究的情况下，$\F$是由所有甚至周期的长度在大多数$2r$，$r\geq 2$。在这种情况下，我们给出了$f(m,\F)$和$h(δ,Δ,\F)$的界限，这些界限基本上渐近紧到对数因子。特别是对于每一个图$G$，我们证明了存在的子图具有任意高的围长，并与许多边缘或大的最低程度。这些子图是使用图到极值图的概率嵌入来创建的。
2014-10-16 math.CO
Odd Induced Subgraphs in Graphs of Maximum Degree Four
Nankai University（南开大学）；Royal Holloway University of London（伦敦皇家霍洛威学院）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文针对不含孤立顶点的图的奇诱导子图顶点数占比常数c的紧性问题，证明最大度不超过4的图类中c=2/7为紧界，为2/7是c的最大值提供了支撑。
2025-11-19 math.CO
Minimum degree and sparse connected spanning subgraphs
Nanjing University（南京大学）；Hebei Normal University（河北师范大学）
本文证明了在最小度至少为 n-k 的 n 顶点图中，当 n 足够大时必包含任意最大度有界且边数至多 n(1+ε) 的连通图作为生成子图，推广了 Erdős 等人的结果。
2026-09-17 math.CO
Hypergraphs without Subgraphs of Given Connectivity
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究确定n顶点r-正则超图中不含(k+1)连通子图的最大边数，提出新的组合与优化技术，给出紧致界和渐近紧致界。
2026-07-07 math.CO
Resilience for tight Hamiltonicity
证明了随机超图是渐近几乎必然弹性Hamilton图。具体地说，对于任意的$γ>0$和$k\ge3$，我们证明了当所有的$(k-1)$ -集至少包含在$\big(\tfrac12+2γ\big)pn$边中时，二项式随机$k$ -一致超图$G^{(k)}\big(n,n^{γ-1}\big)$的每个子图都渐近几乎必然地有紧Hamilton圈.这是$n$顶点的循环排序，使得每个连续的$k$顶点形成边。
2021-05-10 math.CO
The local metric dimension of subgraph-amalgamation of graphs
如果从$v$到$x$的距离不同于从$v$到$y$的距离，则称顶点$v$区分非平凡连通图G的另外两个顶点$x$和$y$。一个集合$S\subseteq V(G)$是$G$的一个局部度量集，如果$G$的每两个邻顶点被$S$的某个顶点区分。具有最小基数的局部度量集称为$G$的局部度量基，其基数称为$G$的局部度量维数，记为$\dim_l(G)$。本文给出了图的子图合并的局部度量维数的紧界，特别强调了子图是等距嵌入的情况。
2015-12-23 math.CO
Exactly $m$-coloured complete infinite subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果每种颜色都被使用，我们说这个图是（精确）$m$ -着色的.精确找到$m$ -着色完全子图的问题首先由埃里克森在1994年考虑;在1999年，Stacey和Weidl部分解决了埃里克森提出的一个猜想，并提出了一些进一步的问题。本文研究了当$\mathbb{N}$上完全图的边完全用$k$着色时，存在$m$着色的完全无限子图的自然数集$m$能有多小.我们证明，这个集合必须有大小至少$\sqrt{2k}$，这个界是紧的$k$的无限多个值。我们还得到了一个版本的着色，使用无限多个颜色的结果。
2016-09-05 math.CO
Large complete minors in random subgraphs
设$G$是最小度至少为$k$的图，$G_p$是$G$的随机子图，通过以概率$p$保持每条边独立而获得。我们感兴趣的是当$p = \frac{1+\varepsilon}{k}$与$\varepsilon >0$一起使用时，$G_p$包含的最大完全子式的大小。我们发现，以高概率$G_p$包含一个完整的未成年人的顺序$\tildeΩ(\sqrt{k})$，其中的$\sim$隐藏一个多对数因子。此外，在$G$的顺序的情况下，也有界以上的$k$的一个常数倍，我们表明，这个polylogarithmic项可以删除，给一个紧的约束。
2020-10-05 math.CO
Distinct degrees in induced subgraphs
最近Ramsey理论研究的一个重要主题是建立Ramsey图的伪随机性。一个$N$ -顶点图称为$C$ -Ramsey图，如果它没有大小为$C\log N$的齐次集. Bukh和Sudakov的一个定理，解决了Erdés，Faudree和Sós的一个猜想，证明了任何$C$ -Ramsey $N$ -顶点图都包含一个具有$Ω_C(N^{1/2})$不同度的导出子图.我们将其改进为$Ω_C(N^{2/3})$，它紧到常数因子。我们还证明了任何具有$N > (k-1)(n-1)$和$n\geq n_0(k) = Ω(k^9)$的$N$ -顶点图要么包含一个$n$阶的齐次集，要么包含一个具有$k$不同度的导出子图.这里的$N$的下界是尖锐的，如适当的图兰图所示，并证实了Narayanan和Tomon的猜想。
2019-10-03 math.CO
Tight toughness, isolated toughness and binding number bounds for the $\{K_2,C_n\}$-factors
图的$\{K_2,C_n\}$ -因子是一个生成子图，它的每个分支是$K_2$或$C_n$。本文利用紧韧性、孤立韧性和联结数界给出了图的$\{K_2,C_{2i+1}| i\geq 2 \}$ -因子存在的一个充分条件，从而回答了Gao和Wang（J. Oper. Res. Soc. China（2021），https：//doi.org/10.1007/s40305-021-00357-6）。
2022-04-09 math.CO
Long paths and cycles in subgraphs of the cube
令$Q_n$表示具有顶点集$\{0,1\}^n$的$n$维立方体的图，其中如果两个顶点恰好在一个坐标上不同，则两个顶点相邻。设$G$是$Q_n$的一个子图，其平均度至少为$d$ .我们能保证在$G$中找到多长的路径？本文的目的是证明$G$一定包含一条指数长的路，事实上，我们证明了如果$G$的最小度至少为$d$，那么$G$一定包含一条长度为$2^d-1$的路.请注意，这个界限是紧的，如$Q_n$的$d$维子立方体所示。我们还得到了稍强的结果，$G$必须包含一个周期的长度至少为$2^d$，并证明了类似的结果，为其他的“产品型”图。
2015-03-20 math.CO
Pancyclic subgraphs of random graphs
一个$n$ -顶点图称为泛圈图，如果它对所有$3 \leq t \leq n$都包含一个长度为$t$的圈.本文在弹性的背景下研究了随机图的泛圈性，证明了如果$p \gg n^{-1/2}$，则随机图$G(n,p)$ a.a.s.满足以下性质：$G(n,p)$的每个有多于$(1/2 + o(1)){n \choose 2}p$条边的Hamilton子图是泛圈的.这个结果在两个方面是最好的。首先，$p$的范围是渐近紧的;其次，边的比例不能减少1/2。我们的定理推广了经典的邦迪定理，并密切相关的Krivelevich，李，和Sudakov最近的工作。证明使用沙赫特最近的结果（也独立获得的康伦和高尔斯）。
2011-07-07 math.CO
An Inductive Construction of (2,1)-tight Graphs
对任何子图（和对$l=1,2,3$）满足$|E'|\leq 2|V'|-l$的简单图$G=(V,E)$是$(2,l)$ -稀疏图.那些也满足$|E|=2|V|-l$的图是$(2,l)$紧图。这些可以通过它们分解成两个边不相交的各种类型的生成子图来表征。Henneberg--Laman定理用两个简单的移动来归纳刻画$(2,3)$紧图，称为Henneberg移动。最近，这已被扩展，通过添加一个图形扩展移动，$(2,2)$紧图的情况下。这里，通过顶点到$K_4$和边到$K_3$移动来提供替代表征，并且通过添加边连接移动将其扩展到$(2,1)$紧图。还提供了$(2,l)$ -稀疏图的类似特征。
2012-10-16 math.CO math.MG
All Subgraphs of a Wheel are 5-Coupled-Choosable
轮图由一个圈和一个连接圈中每个顶点的中心顶点组成。本文证明了轮图的每个子图的列表耦合色数至多为5，并且这种着色可以在线性时间内找到。我们进一步表明，“5”是紧的每个轮图至少有5个顶点，并简要讨论了可能的推广到平面图的树宽为3。
2021-03-11 cs.DM math.CO
Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex II: A Tight Result
我们证明了，如果$m$是足够大的，每个图的$m+1$顶点，有一个通用的顶点和最小度至少$\lfloor \frac{2m}{3} \rfloor$包含每个树$T$与$m$作为一个子图。我们的结果证实了，对于大的$m$，一个重要的特殊情况下的猜想Havet，里德，斯坦，伍德。本文件的基础上的一个同伴的文件，我们证明了所有的树有一个顶点，是相邻的许多叶子的声明。
2022-07-20 math.CO
Induced Subgraphs of Bounded Degree and Bounded Treewidth
证明了对所有的$0\leq t\leq k$和$d\geq 2k$，树宽至多为$k$的图$G$都有一个“大”诱导子图$H$，其中$H$的树宽至多为$t$，$H$中的每个顶点的度至多为$G$中的$d$. $H$的顺序取决于$t$、$k$、$d$和$G$的顺序。利用$t=k$，我们得到了大量的有界度顶点。利用$t=0$，我们得到了有界度的大独立集。在这两种情况下，我们对$H$阶的界是紧的。对于树中的有界度独立集，我们给出了极图。最后，我们证明了具有最大团大小$k$的区间图存在一个最大独立集，其中每个顶点的度至多为$2k$。
2005-05-19 math.CO
A Tight Extremal Bound on the Lovász Cactus Number in Planar Graphs
仙人掌图是一个图，其中任何两个圈是边不相交的。我们提出了一个建设性的证明的事实，任何平面图$G$包含一个仙人掌子图$C$，$C$包含至少一个$\frac{1}{6}$分数的三角形面的$G$。我们还表明，这一比例不能通过显示一个严格的下限得到改善。与线性拟阵奇偶性的算法一起，我们的界包含了计算任意图内部的“稠密平面结构”的两个近似算法：（i）对于任意图$G$，寻找具有最大三角面数的平面子图的$\frac{1}{6}$近似算法，它改进了以前的$\frac{1}{11}$ -近似算法;（ii）另一种（可以说是更有说明性的）证明$\frac{4}{9}$近似算法，用于找到具有最大边数的平面子图。我们的界限是通过分析一个自然的本地搜索策略和大量利用交换参数。因此，这表明了本地搜索在处理这类问题时的力量。
2019-03-15 cs.DM cs.DS math.CO
Improved lower bounds for the maximum order of an induced acyclic subgraph
Santa Clara University（圣克拉拉大学）
本文改进了有向图最大诱导无环顶点集大小的下界，通过结合局部度数数据和反馈顶点集方差分析，提出更精确的下界方法。
2026-04-09 math.CO
Structural Properties of Graph Products
Dujmović，Joret，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]建立了每个可平面图都是树宽有界图的强积和路的子图，受此结果的启发，本文系统地研究了图的直积、强积和强积的各种结构性质.特别地，我们证明了当这些图的乘积包含一个给定的完全多部子图时，确定了它们的退化的紧界，建立了新的树宽的下界，并且证明了当它们有界树宽和有界路宽时，它们是有界的。
2021-10-02 math.CO
Singular Ramsey and Turán numbers
我们说图$G$的一个子图$F$是奇异的，如果度$d_G(v)$对于顶点$v\in V(F)$都是相等的或都是不同的。奇异Ramsey数Rs $(F)$是最小正整数$n$，使得对每个$m\geq n$，在$K_m$的每个边2-染色中，至少有一个色类包含$F$作为奇异子图.在类似的风格中，奇异图兰数Ts $(n,F)$被定义为$n$阶图中的最大边数，该图不包含$F$作为奇异子图。在本文中，我们开始研究这些极值问题。我们开发的方法来估计Rs $(F)$和Ts $(n,F)$，目前紧渐近界和准确的结果。
2019-01-27 math.CO
Unavoidable subgraphs in digraphs with large out-degrees
Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学）；Computer Science Institute (IÚUK, MFF), Charles University（查理大学数学与物理学院计算机科学研究所（IÚUK））；Department of Applied Mathematics (KAM, MFF), Charles University（查理大学数学与物理学院应用数学系（KAM））
研究了有向图中大出度条件下不可避免的子图问题，提出基于高度函数的条件并验证其必要性，推测其充分性并推广了Thomassé的猜想。
2026-01-27 math.CO
Transversal $C_k$-factors in subgraphs of the balanced blow-up of $C_k$
对于图$F$的爆破的子图$G$，我们设$δ^*(G)$是由对应于$F$的边的部分对所诱导的$G$的所有二部子图上的最小度.在[三角形]中-平衡放大三角形中的因子。离散数学，2000]，Johansson证明了如果$G$是$C_3$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge \frac{2}{3}n + \sqrt{n}$，则$G$包含$n$顶点不相交的三角形，并提出了Häggkvist的以下猜想：如果$G$是$C_k$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge (1 + 1/k)n/2 + 1$，则$G$包含$C_k$的$n$顶点不相交副本，使得每个$C_k$与每个$k$部分恰好相交一次。当$k=3$时，该猜想的度条件是紧的，当$k \ge 4$ .时，该猜想的度条件不能被加强超过1，一个类似的猜想也作出了菲舍尔在[变种的Hajnal-Szemerédi定理。Journal of Graph Theory，1999]，Magyar和Martin在[Corrádi-Hajnal定理的三分版本]中证明了大$n$的三角形情况。离散数学，2002]。本文证明了这个猜想的渐近性。我们还提出了一个猜想，通过允许最小度条件的非空的二部子图诱导的部分对变化，推广了这一结果。我们的第二个结果支持这个新的猜想证明三角形的情况。这个结果渐近地推广了Johannson的…
2021-03-17 math.CO
The VC-Dimension of Graphs with Respect to k-Connected Subgraphs
本文研究了由图的$k$ -连通子图族诱导的图的顶点集上的集合系统的VC-维数。特别是，我们给紧VC维的上限和下限。此外，我们表明，计算VC维数是$\mathsf{NP}$ -完全的，它仍然是$\mathsf{NP}$ -完全的分裂图和平面二分图的某些子类的情况下$k = 1$和$k = 2$。在积极的一面，我们观察到它可以决定在线性时间的图的有界的宽度。
2016-02-02 cs.CC cs.DM math.CO
A tight Erdős-Pósa function for planar minors
令$H$为平面图。根据Robertson和Seymour的一个经典结果，存在一个函数$f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$，使得对于所有的$k \in \mathbb{N}$和所有的图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的子图，每个子图包含$H$作为子图，要么存在一个至多包含$f(k)$顶点的子集$X$，使得$G-X$没有$H$ -子图.我们证明，这仍然是正确的与$f(k) = c k \log k$为某些常数$c=c(H)$。这个界限是最好的，直到$c$的值，并且改进了Chekuri和Chuzhoy的最近结果[STOC 2013]，他们用$f(k) = c k \log^d k$为一些通用常数$d$建立了这个界限。证明是建设性的，并产生一个多项式时间的$O(\log \mathsf{OPT})$ -近似算法的包装子图包含一个$H$ -子。
2019-10-23 cs.DM math.CO
A large number of $m$-coloured complete infinite subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果使用每一个$m$颜色，我们说这个图是$m$ - \textit{coloured}。对于$\mathbb{N}^{(2)}$的$m$ -着色$Δ$，$\mathbb{N}$上的完全图，我们用$\mathcal{F}_Δ$表示存在无限子集$X\subset \mathbb{N}$使得$X^{(2)}$是$γ$ -着色的所有值$γ$的集合. Erickson在$1994$中首先研究了这个集合的性质。在这里，我们感兴趣的是估计的最小尺寸的$\mathcal{F}_Δ$在所有$m$ -着色$Δ$的$\mathbb{N}^{(2)}$。事实上，我们将证明以下结果。存在一个绝对常数$α> 0$，使得对于任何正整数$m \neq \left\{ {n \choose 2}+1, {n \choose 2}+2: n\geq 2\right\}$，$|\mathcal{F}_Δ| \geq (1+α)\sqrt{2m}$，对于任何$m$ -着色$Δ$的$\mathbb{N}^{(2)}$，从而证明了Narayanan的一个猜想。这个结果紧到常数$α$的量级。
2019-09-30 math.CO
Counting critical subgraphs in $k$-critical graphs
Gallai在1984年问，如果任何$k$ -临界图的$n$顶点包含至少$n$不同的$(k-1)$ -临界子图。答案对于$k\leq 3$来说是微不足道的。改进了Stiebitz，Abbott和Zhou在1995年的一个结果，证明了对所有的$k\geq 4$，这样的图包含$Ω(n^{1/(k-1)})$不同的$(k-1)$ -临界子图.从那时起没有取得进展，直到最近，野兔解决的情况下$k=4$表明，任何$4$ -关键图的$n$顶点包含至少$(8n-29)/3$奇数周期。本文主要研究4-临界图，并开发了一些新的计算具有指定奇偶性的圈数的工具。我们的主要结果表明，任何$n$顶点上的$4$ -临界图都含有$Ω(n^2)$奇圈，它被无穷多个图紧到一个常数因子。作为关键的一步，我们证明了3-连通非二部图的相同界，这可能是独立的兴趣。利用这些工具，我们也给出了$k=4$的一个很短的证明。此外，我们改进了Abbott和Zhou长期以来的下界为$Ω(n^{1/(k-2)})$的一般情况下$k\geq 5$。在最后一节中，我们还将讨论$k$ -临界图的一些相关问题。
2019-06-29 math.CO
Tight concentration of star saturation number in random graphs
对于给定的图$F$和$G$，$G$的包含极大$F$ -自由子图中的最小边数称为$F$ -饱和数，记为$\mathrm{sat}(G, F)$ .对于星$F=K_{1,r}$，$\mathrm{sat}(G(n,p),F)$的渐进性是已知的。我们证明了一个更尖锐的结果：whp $\mathrm{sat}(G(n,p), K_{1,r})$集中在一个2个连续点的集合。
2022-12-12 math.CO math.PR
Triangle-free Subgraphs of Hypergraphs
在这篇文章中，我们考虑了一个类似的已被充分研究的极值问题的三角形自由子图的一致超图。松散三角形是由三条边$e,f$和$g$组成的超图$T$，使得$|e \cap f| = |f \cap g| = |g \cap e| = 1$和$e \cap f \cap g = \emptyset$。本文证明了：如果$H$是一个$n$ -顶点$r$ -一致超图，且其度为$\triangle$，则作为$\triangle \rightarrow \infty$，$H$的无顶点$T$的子超图的边数至少为\[ \frac{e(H)}{\triangle^{\frac{r-2}{r-1} + o(1)}}.\]。对于$r = 3$，这与指数中的$o(1)$项紧密相关。我们还表明，如果$H$是一个随机的$n$顶点三元系的边概率$p$，使$pn^3\rightarrow\infty$ $n\rightarrow\infty$，然后与高概率$n \rightarrow \infty$，边的数量在一个denominated $T$ -免费的子超图是\[ \min\Bigl\{(1-o(1))p{n\choose3},p^{\frac{1}{3}}n^{2-o(1)}\Bigr\}.\]我们使用容器的方法与概率的方法和连接到极值问题的算术级数的长度为3由于Ruzsa和Szemerédi。
2020-05-07 math.CO
Domination game played on trees and spanning subgraphs
图G上的控制对策。顶点由两个玩家Dominator和Staller选择，一次一个。每一个被选中的顶点都必须扩大博弈中G被控制到该点的顶点集。两个玩家都使用一个最优策略--支配者尽可能快地结束游戏，而Staller则尽可能多地持续游戏。G的博弈控制数是Dominator开始博弈时选择的顶点数，而Staller开始博弈时G的Staller-start博弈控制数。在本文中，这两个游戏进行了研究时，树和生成子图。证明了树的博弈控制数的一个下界，并证明了它是渐近紧的。证明了对任意k，存在一棵博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k+1的树T，且不存在博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k-1的树T.研究了图与其生成子图的博弈控制数之间的关系。证明了对任意正整数n，存在图G及其生成树T，使得G的博弈控制数至少比T的博弈控制数多n。此外，还存在3-连通图G具有一个生成子图，使得该生成子图的博弈控制数任意小于G的博弈控制数.
2013-03-13 math.CO
On the Minimum Possible Maximum Degree of Induced Subgraphs of Product Graphs
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文研究乘积图的诱导子图的最大度问题，确定了Hamming乘积和张量乘积中指定大小诱导子图的最小可能平均度，并证明张量乘积具有Huang类现象，且结果可推广至完全图。
2026-09-29 math.CO
Extremal graphs with no subgraph admitting $k+1$ edge-disjoint spanning trees
College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文研究 $\tau_k$-极大图，证明其边数不超过 $(k+1)(n-1)-1$，并构造达到该上界的图族，最后猜想所有 $\tau_k$-极大图均达到该上界并验证 $k=1$ 情形。
2026-06-29 math.CO
Large induced acyclic and outerplanar subgraphs of 2-outerplanar graph
Oregon State University（俄勒冈州立大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究二维外平面图的诱导森林和外平面子图的顶点数，证明其至少可覆盖一半或三分之二的顶点。
2026-03-18 math.CO
Tight bound on treedepth in terms of pathwidth and longest path
本研究针对图的树深度上界问题，证明了路径宽度小于$a$且不含$2^b$顶点路径子图的图的树深度至多为$10ab$，且该界在常数因子下最优，为图参数关系研究提供了紧界结论。
2023-11-06 cs.DM math.CO
Packing subgraphs in regular graphs
University College London（伦敦大学学院）；University of Illinois at Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；ETH, Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究证明正则图中存在覆盖所有顶点的子图打包方法，解决了Kühn和Osthus提出的双图覆盖问题。
2026-02-02 math.CO
Many cliques in $H$-free subgraphs of random graphs
对于两个固定图$T$和$H$，设$ex(G(n,p),T,H)$为随机变量，计算随机图$G(n,p)$的无$H$子图中$T$的最大拷贝数.我们发现，对于$T=K_m$和$χ(H)> m$的情况下，$ex(G(n,p),K_m,H)$的行为强烈依赖于$p$和$m_2(H)=\max_{H'\subset H, |V(H')|'\geq 3}\left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} \right\}$之间的关系。当$m_2(H)> m_2(K_m)$，我们证明，以高概率，根据$p$的值，要么可以保持几乎所有的$K_m$副本，或者它是渐近最好的$G(n,p)$的$χ(H)-1$部子图。这两种行为之间的转换发生在$p=n^{-1/m_2(H)}$。当$m_2(H)< m_2(K_m)$时，我们表明上述情况仍然存在，然而对于在$p=n^{-1/m_2(H)+δ}$处小的$δ>0$，通常仍然可以将$K_m$的大部分拷贝保持在$G(n,p)$的无$H$子图中。因此，在这种情况下，两种行为之间的转换发生在显著大于$n^{-1/m_2(H)}$的某个$p$处。为了表明第二种情况是不是多余的，我们提出了一个建设，这可能是独立的利益。对于每个$k \geq 4$，我们构造了一族$k$色图$G(k,ε_i)$，其中$m_2(G(k,ε_i))$趋于$\frac{(k+1)(k-2)}…
2017-11-19 math.CO
Sparse highly connected spanning subgraphs in dense directed graphs
Mader证明了每个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图最多有$2kn - 2k^2$条边，其中等式对完全二部有向图${DK}_{k,n-k}$成立.对于稠密的强$k$连通有向图，这个上界可以得到显著的改进.更精确地说，我们证明了每一个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图$D$都包含一个强$k$ -连通生成子图，其中强$k$ -连通生成子图至多有$kn + 800k(k+\overlineΔ(D))$条边，其中$\overlineΔ(D)$表示有向图$D$的基础无向图的补图的最大度.这里，附加项$800k(k+\overlineΔ(D))$紧接着乘法和加法常数。作为推论，这意味着每个强$k$ -连通的$n$ -顶点半完全有向图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，该生成子图最多有$kn + 800k^2$条边，这是本质最优的，因为$800k^2$不能约简到小于$k(k-1)/2$ .我们还证明了一个类似的结果，强$k$ -弧连通有向多重图。这两个证明都产生多项式时间算法。
2018-08-12 cs.DM math.CO
Creating Subgraphs in Semi-Random Hypergraph Games
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）；Department of Mathematics, Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学数学系）；Faculty of Mathematics and Computer Science, Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学数学与计算机科学学院）
本文研究半随机超图单人博弈中构建固定超图同构子图的问题，推导了2≤r<s情形下的轮数阈值上下界，优化了团的上界并给出路径、环的精确阈值。
2025-11-19 math.CO
On constructing small subgraphs in the budget-constrained random graph process
Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）；Universitat de Barcelona (UB)（巴塞罗那大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）；University of Novi Sad（诺维萨德大学）
研究在预算约束下构造包含特定小子图的随机图过程，确定构造K4的最优预算条件并解决相关问题。
2026-02-20 math.CO
On the complexity of finding large odd induced subgraphs and odd colorings
我们研究的复杂性问题的发现，给定一个图$G$，一个最大的诱导子图的$G$与所有度奇（称为奇子图），和最小数量的奇子图的分区$V(G)$。我们分别将这些参数称为${\sf mos}(G)$和$χ_{\sf odd}(G)$。证明了判定$χ_{\sf odd}(G) \leq q$是否多项式时间可解的条件是$q \leq 2$，否则是NP完全的.我们提供了时间算法$2^{O({\sf rw})} \cdot n^{O(1)}$和$2^{O(q \cdot {\sf rw})} \cdot n^{O(1)}$计算${\sf mos}(G)$和决定是否$χ_{\sf odd}(G) \leq q$的$n$ -顶点图的秩宽度至多${\sf rw}$，分别，我们证明了对秩宽度的依赖是渐近最优的ETH。最后，我们给出了这些参数在受限图类上或与其他参数相关的一些紧界。
2021-04-28 cs.CC cs.DS math.CO
Maximizing subgraph density in graphs of bounded degree and clique number
本文渐近确定了在有界度数和团数的图中包含支配顶点的子图的最大密度，通过固定u-团数目的统一推广证明及局部化方法，得出了相关极值与渐近性质。
2025-08-14 math.CO
Robust Hamiltonicity of Dirac graphs
一个图是哈密尔顿的，如果它包含一个圈，它通过图的每个顶点只一次。Dirac在1952年提出的一个经典定理证明了$n$顶点上的最小度至少为$n/2$的图是Hamilton图。我们把这样的图称为狄拉克图。在本文中，我们在两个方向上推广了狄拉克定理，并证明了狄拉克图是一个非常强意义下的鲁棒Hamilton图。首先，考虑Dirac图的随机子图，证明了存在一个常数$p$使得如果$p \ge C \log n / n$，则a.a.s.所得到的随机子图仍然是哈密尔顿的。其次，我们证明了在Dirac图上进行$(1:b)$ Maker-Breaker博弈时，只要对某个绝对常数$c > 0$，偏差$b$至多为$cn /\log n$，Maker就能构造出一个Hamilton子图.这两个结果都是紧到一个常数因子，并在一个一般框架下得到证明。
2012-09-20 math.CO
General Strong Bound on the Uncrossed Number via a Tight Bound for the Maximum Uncrossed Subgraph Number
Univ Rennes（雷恩大学）；Institute of Informatics, Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与力学学院信息学研究所）
本文研究了图的非交叉数的下界，提出了一个更紧的界，并证明了在密集图中该界是渐近紧的。
2026-05-14 cs.CG cs.DM math.CO
Full subgraphs
设$G=(V,E)$是$p$在$n$顶点上的密度图。根据Erdés，Schluczak和Spencer的观点，如果$G$的$m$ -顶点子图$H$的最小度至少为$p(m - 1)$，则称$H$为{ \em full}.令$f(G)$表示$G$的最大满子图的阶。如果$p\binom{n}{2}$是一个非负整数，定义\[ f(n,p) = \min\{f(G) : \vert V(G)\vert = n, \ \vert E(G)\vert = p\binom{n}{2} \}.\] Erdés，Erdéczak和Spencer证明，对于$n \geq 2$，\[ (2n)^{\frac{1}{2}} - 2 \leq f(n, {\frac{1}{2}}) \leq 4n^{\frac{2}{3}}(\log n)^{\frac{1}{3}}.\]在本文中，我们证明了以下下界：对于$n^{-\frac{2}{3}} <p_n <1-n^{-\frac{1}{7}}$，\[ f(n,p) \geq \frac{1}{4}(1-p)^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} -1.\]此外，我们表明，这是紧到一个乘法常数因子附近的元素$\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots\}$的无穷多个$p$。与此相反，我们发现，对于任何…
2016-10-21 cs.DM math.CO
On the Minimal Edge Density of $K_4$-free 6-critical Graphs
Kostochka和Yancey通过证明每个$k$-临界图$G$满足$|E(G)| \geq (\frac{k}{2} - \frac{1}{k-1})|V(G)| - \frac{k(k-3)}{2(k-1)}$，解决了Ore关于$k$-临界图的渐近密度的一个著名猜想.这类图的界限是紧的，$k$ -Ore图，包含了大量的$K_{k-2}$ -子图。随后的工作试图确定$k$ -临界图的渐近密度，\emph{not}包含大的团作为子图，但只有部分进展已经取得了这个问题。第二作者证明了如果$G$是5-临界的并且没有$K_3$ -子图，则对于$\varepsilon = 1/84$，有$|E(G)| \geq (\frac{9}{4} + \varepsilon)|V(G)| - \frac{5}{4}$。对所有的$k \geq 33$，存在$\varepsilon_k > 0$使得不含$K_{k-2}$ -子图的$k$ -临界图满足$|E(G)| \geq (\frac{k}{2} - \frac{1}{k-1} + \varepsilon_k)|V(G)| - \frac{k(k-3)}{2(k-1)}$ .在这项工作中，我们开发了适用于解决剩余困难情况的一般结构结果$6 \leq k \leq 32$。我们应用我们的结果仔细分析了6-临界图的结构，并使用放电参数表明，$\varep…
2018-11-07 math.CO
Optimally reconstructing caterpillars
对于图$G$，$G$的$\ell$ -deck是$G$上具有$\ell$顶点的诱导子图的多重集。最近，Groenland等人证明了任何树都可以从它的$(8/9+o(1))n$ -deck重建。对于特定的情况下，卡特彼勒图，我们表明，$(1/2+o(1))n$甲板足够，这是渐近紧。
2021-12-06 math.CO
Tightness of Paired and Upper Domination Inequalities for Direct Product Graphs
图$G$中的顶点集$D$称为控制图，如果$G$的每个顶点都在$D$中或与$D$的一个顶点相邻. $G$的成对控制数$γ_{\mathrm{pr}}(G)$是其导出子图允许完美匹配的控制集的最小尺寸，上控制数$Γ(G)$是最小控制集的最大尺寸.本文研究了图积为直积$\times$的两个关于控制参数的乘法不等式的尖锐性.我们表明，对于每一个正常数$c$，存在图$G$和$H$的任意大直径，使$γ_{\mathrm{pr}}(G \times H) \leq cγ_{\mathrm{pr}}(G)γ_{\mathrm{pr}}(H)$，从而回答了一个问题的拉尔以及两个问题的Paulraja和Sampath Kumar。然后，我们研究当这个不等式与$c = \frac{1}{2}$，特别是证明它持有时，$G$和$H$是树。最后，我们证明了不等式$Γ(G \times H) \geq Γ(G) Γ(H)$，由于Brešar，Klavžar和Rall，是紧的。
2020-08-10 math.CO
