Finite generation of Cox rings
本文讨论了一类称为Cox环的分次代数，它与推广射影空间的齐次坐标环的代数簇自然地联系在一起.当Cox环是双生成环时，该簇允许一个拟托的商表示，这类似于射影空间的商构造。我们从几何的角度讨论了有限生成的Cox环的问题，并提供了两种情况下的有限生成和非有限生成的例子。
2022-09-30 math.AC math.AG
Examples of non-finitely generated Cox rings
我们带来的例子环面品种炸毁在一个点上的环面，没有生成的考克斯环。这些例子是以前的工作，其中复曲面皮卡德数1进行了研究的概括。在这篇文章中，我们考虑更高的Picard数和更高的维数的环面品种。特别是，我们带来的例子加权射影3-空间炸毁一个点，没有生成的考克斯环。
2017-08-30 math.AC math.AG
Picard-graded Betti numbers and the defining ideals of Cox rings
设X是一个光滑射影簇，其Picard群是挠自由的.我们引进复合向量空间的同源性决定的结构的最小自由分解的Cox环的X在多项式环，并显示如何这些复合物的同源性可以研究纯粹的几何方法。作为这些技巧的一个应用，我们给出了Batyrev和Popov所证明的Del Pezzo曲面（次数>1）的Cox环的一个简单的新的特征证明。
2007-07-22 math.AC math.AG
Groebner bases, monomial group actions, and the Cox rings of Del Pezzo surfaces
我们引入单式群作用的概念，并研究它的一些后果Groebner基础理论。作为应用，我们证明了V.Batyrev和O. Popov将DelPezzo曲面（至少3次）的Cox环描述为二次曲面生成的理想与多项式环的等价。
2006-10-08 math.AC math.AG
Permutohedral spaces and the Cox ring of the moduli space of stable pointed rational curves
通过与之密切相关的置换面体（或Losev-Manin）空间，研究了稳定点有理曲线的模空间\M_{0,n}的Cox环.我们的主要结果建立了Cox环的\binom{n}{2}多项式子环，从而给出了与关系理想平凡相交的边界变量的集合.作为应用，我们给出了部分求解\M_{0,n}的Riemann-Roch问题的组合方法，并证明了从射影空间的某些拉回所产生的Cox（\M_{0,6}）的所有次关系都是由Plucker关系生成的.
2011-05-25 math.AC math.AG
Cox rings of degree one del Pezzo surfaces
设X是（任意特征的）代数闭域上的一次del Pezzo曲面，Cox（X）是它的全坐标环.我们证明了Batyrev和Popov猜想的缺失情况，该猜想指出Cox（X）是一个二次代数。我们使用向量空间的复形，其同调决定了多项式环上Cox（X）的最小自由Pic（X）-分次分解的部分结构。我们证明了这个最小自由分解的足够多的贝蒂数消失，以建立猜想。
2009-09-17 math.AC math.AG
The canonical module of a Cox ring
本文将刻画正规投射簇的Noether多截环的分次标准模。特别地，在Cox环的情形下，我们证明了分次标准模是秩为1的分次自由模，其度为$K_X$ .我们将给出两种证明。第一个利用等变扭曲逆函子开发的第一作者。第二个证明是脚踏实地的，避免了扭曲的逆函子。
2011-03-14 math.AC math.AG
Gorensteinness and iteration of Cox rings for Fano type varieties
我们证明了生成的Cox环是Gorenstein环。这导致了一个精致的表征品种的法诺型：他们正是那些投射品种Gorenstein典型quasicone考克斯环。然后证明了对于Fano型和Kawamata对数终端拟锥，Cox环的迭代是有限的，且主Cox环是阶乘的。此外，我们证明了几乎主可解$G$ -丛的Cox环迭代的一个相对版本。
2019-04-08 math.AG
A presentation for the Cox ring of $\overline{M}_{0,6}$
我们计算了模空间$\overline{M}_{0,6}$的Cox环中的关系。这给出了一个介绍的考克斯环作为商的多项式环与40个发电机的理想与225个发电机，在5个对称类。
2017-12-21 math.AG
Multiplicity-One Cox Rings of Toric Point Blow-Ups
该研究针对环面点爆破的Cox环，给出Rees重数1生成的有限判据，将其应用于伪加权射影空间与射影环面曲面，得到重数1生成的等价条件。
2026-08-27 math.AC math.AG
P-Divisors of Cox Rings
对Mori Dream Space（MDS）的Cox环进行分次生成，并在除子类群上分次.因此，谱的考克斯环来与行动的代数环面的GIT商是各种问题。我们提出了相关的描述，这个考克斯环作为一个多面体因子。通过其多面体系数的形状，它将Cox环的等变结构与线性系的稳定轨迹和稳定重数的世界联系起来。
2009-11-26 math.AG
Cox rings of some symplectic resolutions of quotient singularities
研究了$\mathbb{C}^{2n}$的子在有限辛群作用下的辛分解的Cox环.本文提出了一个辛分解的Cox环的有限生成集，并证明了在单项式赋值的条件下它是充分的。此外，详细描述了三个4维示例。生成器的（预期）考克斯环的辛决议的计算，并在一种情况下，决议被构造为一个GIT商的考克斯环的频谱。
2016-02-20 math.AG
Luna-Vust invariants of Cox rings and skeletons of spherical varieties
给定球面簇的Luna-Vust不变量，我们确定了球面簇的Cox环的谱的Luna-Vust不变量.特别地，我们推导出Cox环的除子类群的一个显式描述.由此推论，每个球面簇都允许Cox环的迭代。此外，我们得到了一个组合证明的事实，即考克斯环是由球形骨架，这是一个已知的结果，从描述的考克斯环由于Brion。最后，我们证明了一个几何组合光滑性准则可以归结为具有不动点的阶乘仿射球面簇的情形。
2019-02-27 math.AG
Valuative and geometric characterizations of Cox sheaves
我们根据其赋值代数性质给出了Krull格式上Cox层的一个内在刻画。我们还提供了一个几何特征的分次相对谱的良好的分次计划的继承人，扩展的工作Arzhantsev，Derenthal，豪森和Lapace的Cox层的相对谱的正规簇。此外，我们还得到了Cox环的一个无冗余刻画，从而给出了某些分次环的一个正规性准则。
2013-12-18 math.AC math.AG
Cox rings of K3 surfaces with Picard number two
研究Picard数2的K3曲面的Cox环的生成元和关系.特别是，我们认为考克斯环的经典例子的K3表面，如四次曲面包含一条线和椭圆K3表面。
2012-08-30 math.AG
The Cox ring of an algebraic variety with torus action
研究了正规完备簇X上具有代数环面作用的Cox环.我们的第一个结果将X的Cox环与X的极大几何商的Cox环联系起来。作为结果，我们得到一个完整的描述的考克斯环的生成元和关系的品种与环面行动的复杂性。此外，我们提供了一个组合的方法来考克斯环使用的语言多面体因子。应用到光滑的k*-曲面，我们的结果给出了描述的Cox环的Orlik-Wagreich图。作为例子，我们根据Klyachko的描述，显式地计算了Picard数不超过2的Gorenstein del Pezzo k*-曲面的Cox环，以及秩为2的向量丛和余切丛在环面簇上投影的Cox环.
2010-03-18 math.AG
Cox rings of extremal rational elliptic surfaces
本文确定了极值有理椭圆曲面的Cox环的一个极小生成元集。此外，我们开发了一种技术，用于计算它们之间的关系，允许在所有情况下，但三种情况下，提供一个介绍的Cox环的理想。
2013-02-18 math.AG
On Cox rings of K3-surfaces
研究了K3-曲面的Cox环。第一个结果是，一个K3-曲面有一个生成的Cox环当且仅当它的有效锥是多面体。此外，我们还研究了Picard数为2的K3-曲面的Cox环的生成元的度和关系，并明确计算了Picard数为2 ~ 5或作为del Pezzo曲面的双覆盖出现的具有非辛对合的一般K3-曲面的Cox环.
2009-09-03 math.AG
On iteration of Cox rings
本文刻画了所有具有复杂度为一的环面作用且容许Cox环迭代的代数簇。
2017-04-21 math.AG
The Cox ring of the space of complete rank two collineations
我们确定了完全秩2直射空间的Cox环。
2011-10-06 math.AG
Cox ring of the generic fiber
给定一个正规簇的满射$π\colon X\to Y$，满足一定的正则性假设，我们证明了如何从$X$的Cox环恢复出$π$的类属纤维的Cox环.作为推论，我们证明了在某些情况下，也有可能恢复一个非常一般的纤维的Cox环，最后，我们给出了一个应用的情况下，复曲面纤维空间的爆破。
2019-06-07 math.AG
Cox rings of minimal resolutions of surface quotient singularities
本文研究了曲面商奇点的最小分解的Cox环，并给出了这类环的两种刻划。第一个是Cox环的谱方程，Cox环是仿射空间中的超曲面。第二个是一组发电机的考克斯环视为一个子环的坐标环的产品的环面和另一个表面商奇异性。此外，我们得到了一个明确的描述，最小分辨率作为一个因子在复曲面品种。
2013-08-14 math.AG
Cox rings of almost homogeneous SL2-threefolds
本文研究了SL 2作用于正规三重Cox环上的稠密轨道。利用U-不变量的方法，得到了全坐标空间和基簇具有对数终端奇点的组合判据。然后，我们研究了Cox环的迭代，得到了其长度的一个界。最后，我们发展了一个一般的方法来描述的Cox环的生成元和关系，这是有效的正常SL 2/ $μ$ n-嵌入。
2020-10-26 math.AG
Universal torsors and Cox rings
研究了有理曲面上的泛扭体方程。
2003-08-19 math.AG
Equivariant Cox ring
定义了具有代数群作用的正规簇的等变Cox环.我们研究这个对象的代数和几何方面，并显示它是如何与普通考克斯环。然后，我们专门研究了在连通约化群G作用下的复杂性正规有理簇的情形。证明了G-等变Cox环是一个G-生成的整正规G-代数。在一个较弱的附加条件下，给出了G的博雷尔子群的幂幺部分为U-不变量的子代数的生成元和关系式.普通Cox环也是U-生成的，并且与U-等变Cox环标准同构，因此它继承了U-代数的标准结构。本文利用Hausen和Herppich的工作，证明了Cox环的U-不变量的子代数在环面的作用下是一个具有各种复杂度的非生成Cox环.这特别地产生了后一个代数是一个完全的交集。在一个生成的Cox环中刻画奇异性的对数终结性是一个有趣的问题，特别是自从Gongyo，Okawa，Sannai和Takagi通过Cox环的奇异性刻画Fano型的变种（[13]）以来。Arzhantsev，Braun，Hausen和Wrobel在文献[1]中引入了Cox环的迭代，本文给出了复杂度G簇的几乎齐次G簇的Cox环具有对数终端奇点的组合性判据。对于具有复杂度为1的环面作用的对数终结拟锥，他们证明了迭代序列是有限的，且具有一个生成的阶乘主Cox环。我们证明了迭代序列是有限的等变和普通Cox环的正规有理G-簇的复杂性1满足一个温和的附加条件（例如，完全品种或几乎齐次品种）。在几乎齐次情形下，证明了等变主C…
2020-10-26 math.AG
On the Cox ring of blowing up the diagonal
我们计算了Blow-ups $\mathrm{Bl}_Δ(X'\times X')$和$\mathrm{Bl}_Δ(\mathbb P_1^n)$的Cox环，其中$X'$是射影空间的乘积，$Δ$是（广义）对角线。
2014-02-22 math.AG
On the Cox ring of P^2 blown up in points on a line
证明了直线上n点P^2的爆破生成Cox环.我们给出了环的显式生成元，并计算了它的关系定义理想。
2010-03-03 math.AG
A remark on the Cox ring of $\overline{M}_{0,n}$
给出了一个初等的归纳论证，证明了具有$n$标记点的稳定有理曲线的模空间$\overline{M}_{0,n}$的Cox环的某个子环对每个$n \ge 3$都是可生成的.
2013-12-05 math.AG
Cox rings and symplectic quotient singularities with torus action
我们开发了一种方法，找到一个考克斯环的一个credant决议的商奇点与环面行动，并将其应用到例子辛商奇点在4维。此外，我们得到了一个更一般的设置，基于多级Castelnuovo-Mumford正则性和Kawamata-Viehweg消失的Cox环的齐次生成元的程度上的界。
2020-10-19 math.AG
Computing Cox rings
我们考虑修改，例如爆破，森的梦想空间，并提供算法调查的影响，Cox环，例如测试有限生成或计算的发电机和关系的明确表示。作为第一个应用程序，我们计算所有Gorenstein日志德尔Pezzo表面的皮卡德号码1的Cox环。此外，我们计算表明，所有光滑的理性表面的皮卡德数在最多6森梦想的表面，我们提供明确的介绍了考克斯环的那些不承认环面行动。最后，给出了射影空间在某种特殊点构形上爆破的Cox环.
2014-09-17 math.AG
Cox rings, semigroups and automorphisms of affine algebraic varieties
我们研究仿射簇的Cox实现，即，正规仿射簇的一个典型表示，它具有一个由Neron-Severi拟托作用生成的除子类群作为一个因子分次仿射簇的商。对于有限群的线性作用的商空间，明确地描述了这种实现。证明了这一实现的一个泛性质，并给出了在这一背景下出现的抽象半群的因子理论的一些结果。我们表明，每一个仿射品种的自同构可以提升到一个自同构的Cox环规范化的分级。由此得出维数为$\geq 2$的非退化仿射复曲面簇的自同构群具有无穷维数。我们得到了一个野生的自同构的三维二次锥上升到Anick的自同构的多项式代数在四个变量。
2008-10-07 math.AC math.AG
Cox rings of algebraic stacks
本文严格定义了一般代数栈及正规优秀代数栈上的Cox环乘法结构，证明了其存在性及基于Ext群的（非）唯一性，并与簇上经典构造对比，应用于Mori dream stack理论。
2024-01-02 math.AG
Cox rings of surfaces and the anticanonical Iitaka dimension
本文研究了光滑射影曲面X的Cox环R（X）的有限生成与其反正则Iitaka维数k（-KX）之间的关系。
2013-03-27 math.AG
On the Cox ring of Del Pezzo surfaces
设S_r是P^2在r个一般点上的爆破，即，9-r度的光滑Del Pezzo表面。对于r <= 7，我们确定了明确定义其Cox环的二次方程.本文计算了Cox（S_8）中关系的理想，直到根式。正如Batyrev和Popov所指出的，所有的生成关系都是二次的。
2006-03-04 math.AG
Three lectures on Cox rings
2011年1月在爱丁堡举行的“Torsors：理论与应用”会议上给出的入门课程笔记。
2011-10-06 math.AG
Cox rings of du Val singularities
本文引入了奇异Cox环，并在duVal奇异$\mathbb{D}_n,\mathbb{E}_6,\mathbb{E}_7$和$\mathbb{E}_8$的情况下，显式地计算了它们.
2015-02-03 math.AG
The Cox Ring of a Del Pezzo Surface Has Rational Singularities
对于光滑的Del Pezzo曲面，其上所有可逆层同构类的整体瓣的直和几乎可以正则地被赋予环结构，称为Cox环。我们证明了在特征0中，这个环是Gorenstein环，并且它的谱具有有理奇点。还指出了AG/0309111在数学方面的差距。
2004-02-10 math.AG
Cox rings of rational surfaces and flag varieties of ADE-types
del Pezzo曲面的Cox环与李群E_n密切相关。本文将Cox环的定义推广到G-曲面，其中李群G=A_n，D_n或E_n。证明了G-曲面S的Cox环几乎由G的一个不可约表示V所决定，并且是由一次元生成的.这个环的投影是V中最高权向量的轨道的子簇，并且两者都是由二次方程定义的射影空间P（V）的闭子簇。
2014-09-08 math.AG
The Cox ring of a spherical embedding
设G是连通约化群，G/H是球面齐性空间.证明了G/H的G-嵌入的Cox环的生成元的自然集之间的理想关系可以通过求解某些仅依赖于齐性空间的方程得到。利用这个结果，我们描述了球面齐性空间的一些例子，使得它们的任何G-嵌入的Cox环由一个方程定义。
2013-10-04 math.AG
Hilbert functions of Cox rings of del Pezzo surfaces
为了研究del Pezzo曲面的Cox环的合冲，我们计算了重要的合冲不变量，如Hilbert函数、Green-Lazarsfeld指数、投射维数和Castelnuovo-Mumford维数.利用这些计算以及由del Pezzo曲面的Picard群和Picard格上的外尔群作用所形成的自然多阶结构，我们确定了次数至多为4的del Pezzo曲面的Cox环的Betti图.
2017-04-24 math.AG
Cox rings and combinatorics II
我们研究了具有一个非线性生成的Cox环的品种。在第一部分中，我们推广了一个组合的方法，在早期的工作中的品种与无挠的除子类群扭转的情况下。然后我们转向修改，例如，爆炸，以及考克斯环在这样的地图下如何变化的问题。我们回答这个问题的某一类修改引起的修改环境复曲面品种。此外，我们还证明了每一个具有双生成Cox环的簇都可以从一个组合最小的环在复曲面环境修改的有限级数中显式地构造出来.
2008-09-04 math.AG
Singularities of Cox Rings of Fano Varieties
设$X$是$\mathbb{C}$上的光滑完备Fano簇.证明了Cox环$\bigoplus_{L\in\text{Pic}(X)}H^0(X,\mathcal{O}_X(L))$是具有正则奇点的Gorenstein环.
2012-02-17 math.AG
On Cox Rings of Calabi-Yau hypersurfaces
本文研究了平滑反canonical Calabi-Yau超曲面在平滑的toric Fano变种中的Cox环，通过研究环境Fano多面体的原始对的组合学以及嵌入变种的Cox环描述，确定了几种配置使得超曲面是Mori梦想空间，并获得了其Cox环的显式表示。此外，本文还展示了某些组合配置迫使birational自同构群为无限，从而在三维和四维中揭示了Cox环有限生成与无限birational自同构群之间的二元对立。最后，对于一类非Mori梦想的例子，证明了Morrison-Kawamata锥猜想对于可动锥。
2026-05-21 math.AG
Cox rings of K3 surfaces of Picard number three
设$X$是$\mathbb C$上的射影K3曲面.本文证明了它的Cox环$R(X)$有一个生成集，它的度是光滑有理曲线类，nef锥的Hilbert基的至多三个元素之和，或者是$2(f+f')$的形式，其中$f,f'$是具有$f\cdot f'=2$的椭圆纤维化类.这个结果和技术使用Koszul的类型精确序列允许确定一个生成集的考克斯环的所有森梦想K3表面的皮卡德数3这是最小的，在大多数情况下。在生成元数较少的特殊情况下，给出了Cox环的一个表示.
2019-09-03 math.AG
The Cox ring of an embedded variety
Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Università degli studi di Palermo（巴勒莫大学）
本文研究了在 Mori 梦想空间中嵌入的变种 X 的 Cox 环，假设拉回映射在除子类群水平上诱导同构。通过证明 X 的 Cox 环是 Z 的 Cox 环商像的有限多个局部化的交集，从而给出一个终止当且仅当 X 的 Cox 环有限生成的算法，推广了先前的相关工作，并应用于计算光滑的 toric 变种中的超曲面的 Cox 环。
2026-10-08 math.AG
Log Fano structures and Cox rings of blow-ups of products of projective spaces
该文致力于研究两个问题.首先，我们确定了射影空间的乘积在一般点上的爆破是Fano型簇，并给出了使这些空间成为对数Fano对的边界因子。其次，我们描述了几种情况下Cox环的生成元。
2017-04-24 math.AG
Cox rings over nonclosed fields
我们给出了一个定义的考克斯环和考克斯层的品种在非封闭的领域，是兼容的torsors下quasitori，包括通用torsors。我们研究他们的存在性和分类，我们的关系torsors精确，我们提出的算术应用。
2018-09-04 math.AG math.NT
Crepant resolutions of 3-dimensional quotient singularities via Cox rings
研究了商奇点$\mathbb{C}^3/G$的可分解Cox环，其中$G$是$SL(3,\mathbb{C})$的有限子群.我们用它们来获得这些决议的几何结构，不同的决议和它们之间的关系的数量上的信息。特别是，我们明确地对待几个例子，其中$G$包含年龄2的元素。
2017-01-31 math.AG
Cox Rings
这是正在建设中的介绍性文本的第一章;通过作者的网页可以获得更多的章节。我们的目的是提供一个基本的访问考克斯环及其应用在代数和算术几何。欢迎对本草案提出任何意见和建议。
2010-09-19 math.AG
Cluster structures on Cox rings
本文基于开子集上的基础簇结构，在光滑复簇的 Cox 环上构造分次 cluster 代数结构，并应用于旗簇与有限型 cluster 簇的部分紧化。
2024-12-05 math.AC math.AG math.RT
Cox rings of cubic surfaces and Fano threefolds
本文确定了具有至多有理二重点的三次曲面的最小分解、射影平面在非一般六点构形上的爆破以及Picard数1和2的三维光滑Fano簇的Cox环.
2015-04-22 math.AG
Cox Rings and Algebraic Maps
给定Mori梦空间$X$到光滑Mori梦空间$Y$的态射$F : X \rightarrow Y$，以及$X$上的拟相干层$\mathcal{F}$和$Y$上的$\mathcal{G}$，我们用类群中的Cox环上的相应模描述了$F$的逆像和$F$的正像.
2021-11-29 math.AG
The semi-invariant ring as the Cox ring of a GIT quotient
该研究针对满足特定线性化映射同构条件的GIT商，证明其Cox环同构于底空间中θ-稳定轨迹的半不变量环，该结论可应用于多类代数簇，并给出仿射平面n点Hilbert概形Cox环的显式计算。
2024-04-18 math.AG
On the Cox rings of some hypersurfaces
本文引入一种更直接的上同调方法计算 P^1 x P^n 中超曲面的 Cox 环，证明由正则序列定义的光滑超曲面是 Mori dream 空间，并具体计算了双次数 (2,4) 的 Calabi--Yau 三维簇的 Cox 环，揭示了其在光滑族中的不连续跳跃现象。
2025-09-18 math.AG
