The Cox ring of an algebraic variety with torus action
研究了正规完备簇X上具有代数环面作用的Cox环.我们的第一个结果将X的Cox环与X的极大几何商的Cox环联系起来。作为结果，我们得到一个完整的描述的考克斯环的生成元和关系的品种与环面行动的复杂性。此外，我们提供了一个组合的方法来考克斯环使用的语言多面体因子。应用到光滑的k*-曲面，我们的结果给出了描述的Cox环的Orlik-Wagreich图。作为例子，我们根据Klyachko的描述，显式地计算了Picard数不超过2的Gorenstein del Pezzo k*-曲面的Cox环，以及秩为2的向量丛和余切丛在环面簇上投影的Cox环.
2010-03-18 math.AG
Cox rings of extremal rational elliptic surfaces
本文确定了极值有理椭圆曲面的Cox环的一个极小生成元集。此外，我们开发了一种技术，用于计算它们之间的关系，允许在所有情况下，但三种情况下，提供一个介绍的Cox环的理想。
2013-02-18 math.AG
On iteration of Cox rings
本文刻画了所有具有复杂度为一的环面作用且容许Cox环迭代的代数簇。
2017-04-21 math.AG
The Cox ring of the space of complete rank two collineations
我们确定了完全秩2直射空间的Cox环。
2011-10-06 math.AG
Cox ring of the generic fiber
给定一个正规簇的满射$π\colon X\to Y$，满足一定的正则性假设，我们证明了如何从$X$的Cox环恢复出$π$的类属纤维的Cox环.作为推论，我们证明了在某些情况下，也有可能恢复一个非常一般的纤维的Cox环，最后，我们给出了一个应用的情况下，复曲面纤维空间的爆破。
2019-06-07 math.AG
Cox rings of minimal resolutions of surface quotient singularities
本文研究了曲面商奇点的最小分解的Cox环，并给出了这类环的两种刻划。第一个是Cox环的谱方程，Cox环是仿射空间中的超曲面。第二个是一组发电机的考克斯环视为一个子环的坐标环的产品的环面和另一个表面商奇异性。此外，我们得到了一个明确的描述，最小分辨率作为一个因子在复曲面品种。
2013-08-14 math.AG
Cox rings of almost homogeneous SL2-threefolds
本文研究了SL 2作用于正规三重Cox环上的稠密轨道。利用U-不变量的方法，得到了全坐标空间和基簇具有对数终端奇点的组合判据。然后，我们研究了Cox环的迭代，得到了其长度的一个界。最后，我们发展了一个一般的方法来描述的Cox环的生成元和关系，这是有效的正常SL 2/ $μ$ n-嵌入。
2020-10-26 math.AG
Universal torsors and Cox rings
研究了有理曲面上的泛扭体方程。
2003-08-19 math.AG
Equivariant Cox ring
定义了具有代数群作用的正规簇的等变Cox环.我们研究这个对象的代数和几何方面，并显示它是如何与普通考克斯环。然后，我们专门研究了在连通约化群G作用下的复杂性正规有理簇的情形。证明了G-等变Cox环是一个G-生成的整正规G-代数。在一个较弱的附加条件下，给出了G的博雷尔子群的幂幺部分为U-不变量的子代数的生成元和关系式.普通Cox环也是U-生成的，并且与U-等变Cox环标准同构，因此它继承了U-代数的标准结构。本文利用Hausen和Herppich的工作，证明了Cox环的U-不变量的子代数在环面的作用下是一个具有各种复杂度的非生成Cox环.这特别地产生了后一个代数是一个完全的交集。在一个生成的Cox环中刻画奇异性的对数终结性是一个有趣的问题，特别是自从Gongyo，Okawa，Sannai和Takagi通过Cox环的奇异性刻画Fano型的变种（[13]）以来。Arzhantsev，Braun，Hausen和Wrobel在文献[1]中引入了Cox环的迭代，本文给出了复杂度G簇的几乎齐次G簇的Cox环具有对数终端奇点的组合性判据。对于具有复杂度为1的环面作用的对数终结拟锥，他们证明了迭代序列是有限的，且具有一个生成的阶乘主Cox环。我们证明了迭代序列是有限的等变和普通Cox环的正规有理G-簇的复杂性1满足一个温和的附加条件（例如，完全品种或几乎齐次品种）。在几乎齐次情形下，证明了等变主C…
2020-10-26 math.AG
On the Cox ring of blowing up the diagonal
我们计算了Blow-ups $\mathrm{Bl}_Δ(X'\times X')$和$\mathrm{Bl}_Δ(\mathbb P_1^n)$的Cox环，其中$X'$是射影空间的乘积，$Δ$是（广义）对角线。
2014-02-22 math.AG
On the Cox ring of P^2 blown up in points on a line
证明了直线上n点P^2的爆破生成Cox环.我们给出了环的显式生成元，并计算了它的关系定义理想。
2010-03-03 math.AG
A remark on the Cox ring of $\overline{M}_{0,n}$
给出了一个初等的归纳论证，证明了具有$n$标记点的稳定有理曲线的模空间$\overline{M}_{0,n}$的Cox环的某个子环对每个$n \ge 3$都是可生成的.
2013-12-05 math.AG
Cox rings and symplectic quotient singularities with torus action
我们开发了一种方法，找到一个考克斯环的一个credant决议的商奇点与环面行动，并将其应用到例子辛商奇点在4维。此外，我们得到了一个更一般的设置，基于多级Castelnuovo-Mumford正则性和Kawamata-Viehweg消失的Cox环的齐次生成元的程度上的界。
2020-10-19 math.AG
Computing Cox rings
我们考虑修改，例如爆破，森的梦想空间，并提供算法调查的影响，Cox环，例如测试有限生成或计算的发电机和关系的明确表示。作为第一个应用程序，我们计算所有Gorenstein日志德尔Pezzo表面的皮卡德号码1的Cox环。此外，我们计算表明，所有光滑的理性表面的皮卡德数在最多6森梦想的表面，我们提供明确的介绍了考克斯环的那些不承认环面行动。最后，给出了射影空间在某种特殊点构形上爆破的Cox环.
2014-09-17 math.AG
Cox rings of algebraic stacks
本文严格定义了一般代数栈及正规优秀代数栈上的Cox环乘法结构，证明了其存在性及基于Ext群的（非）唯一性，并与簇上经典构造对比，应用于Mori dream stack理论。
2024-01-02 math.AG
Cox rings of surfaces and the anticanonical Iitaka dimension
本文研究了光滑射影曲面X的Cox环R（X）的有限生成与其反正则Iitaka维数k（-KX）之间的关系。
2013-03-27 math.AG
On the Cox ring of Del Pezzo surfaces
设S_r是P^2在r个一般点上的爆破，即，9-r度的光滑Del Pezzo表面。对于r <= 7，我们确定了明确定义其Cox环的二次方程.本文计算了Cox（S_8）中关系的理想，直到根式。正如Batyrev和Popov所指出的，所有的生成关系都是二次的。
2006-03-04 math.AG
Three lectures on Cox rings
2011年1月在爱丁堡举行的“Torsors：理论与应用”会议上给出的入门课程笔记。
2011-10-06 math.AG
Cox rings of du Val singularities
本文引入了奇异Cox环，并在duVal奇异$\mathbb{D}_n,\mathbb{E}_6,\mathbb{E}_7$和$\mathbb{E}_8$的情况下，显式地计算了它们.
2015-02-03 math.AG
The Cox Ring of a Del Pezzo Surface Has Rational Singularities
对于光滑的Del Pezzo曲面，其上所有可逆层同构类的整体瓣的直和几乎可以正则地被赋予环结构，称为Cox环。我们证明了在特征0中，这个环是Gorenstein环，并且它的谱具有有理奇点。还指出了AG/0309111在数学方面的差距。
2004-02-10 math.AG
Cox rings of rational surfaces and flag varieties of ADE-types
del Pezzo曲面的Cox环与李群E_n密切相关。本文将Cox环的定义推广到G-曲面，其中李群G=A_n，D_n或E_n。证明了G-曲面S的Cox环几乎由G的一个不可约表示V所决定，并且是由一次元生成的.这个环的投影是V中最高权向量的轨道的子簇，并且两者都是由二次方程定义的射影空间P（V）的闭子簇。
2014-09-08 math.AG
The Cox ring of a spherical embedding
设G是连通约化群，G/H是球面齐性空间.证明了G/H的G-嵌入的Cox环的生成元的自然集之间的理想关系可以通过求解某些仅依赖于齐性空间的方程得到。利用这个结果，我们描述了球面齐性空间的一些例子，使得它们的任何G-嵌入的Cox环由一个方程定义。
2013-10-04 math.AG
Hilbert functions of Cox rings of del Pezzo surfaces
为了研究del Pezzo曲面的Cox环的合冲，我们计算了重要的合冲不变量，如Hilbert函数、Green-Lazarsfeld指数、投射维数和Castelnuovo-Mumford维数.利用这些计算以及由del Pezzo曲面的Picard群和Picard格上的外尔群作用所形成的自然多阶结构，我们确定了次数至多为4的del Pezzo曲面的Cox环的Betti图.
2017-04-24 math.AG
Cox rings and combinatorics II
我们研究了具有一个非线性生成的Cox环的品种。在第一部分中，我们推广了一个组合的方法，在早期的工作中的品种与无挠的除子类群扭转的情况下。然后我们转向修改，例如，爆炸，以及考克斯环在这样的地图下如何变化的问题。我们回答这个问题的某一类修改引起的修改环境复曲面品种。此外，我们还证明了每一个具有双生成Cox环的簇都可以从一个组合最小的环在复曲面环境修改的有限级数中显式地构造出来.
2008-09-04 math.AG
Singularities of Cox Rings of Fano Varieties
设$X$是$\mathbb{C}$上的光滑完备Fano簇.证明了Cox环$\bigoplus_{L\in\text{Pic}(X)}H^0(X,\mathcal{O}_X(L))$是具有正则奇点的Gorenstein环.
2012-02-17 math.AG
On Cox Rings of Calabi-Yau hypersurfaces
本文研究了平滑反canonical Calabi-Yau超曲面在平滑的toric Fano变种中的Cox环，通过研究环境Fano多面体的原始对的组合学以及嵌入变种的Cox环描述，确定了几种配置使得超曲面是Mori梦想空间，并获得了其Cox环的显式表示。此外，本文还展示了某些组合配置迫使birational自同构群为无限，从而在三维和四维中揭示了Cox环有限生成与无限birational自同构群之间的二元对立。最后，对于一类非Mori梦想的例子，证明了Morrison-Kawamata锥猜想对于可动锥。
2026-05-21 math.AG
Cox rings of K3 surfaces of Picard number three
设$X$是$\mathbb C$上的射影K3曲面.本文证明了它的Cox环$R(X)$有一个生成集，它的度是光滑有理曲线类，nef锥的Hilbert基的至多三个元素之和，或者是$2(f+f')$的形式，其中$f,f'$是具有$f\cdot f'=2$的椭圆纤维化类.这个结果和技术使用Koszul的类型精确序列允许确定一个生成集的考克斯环的所有森梦想K3表面的皮卡德数3这是最小的，在大多数情况下。在生成元数较少的特殊情况下，给出了Cox环的一个表示.
2019-09-03 math.AG
The Cox ring of an embedded variety
Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Università degli studi di Palermo（巴勒莫大学）
本文研究了在 Mori 梦想空间中嵌入的变种 X 的 Cox 环，假设拉回映射在除子类群水平上诱导同构。通过证明 X 的 Cox 环是 Z 的 Cox 环商像的有限多个局部化的交集，从而给出一个终止当且仅当 X 的 Cox 环有限生成的算法，推广了先前的相关工作，并应用于计算光滑的 toric 变种中的超曲面的 Cox 环。
2026-10-08 math.AG
Log Fano structures and Cox rings of blow-ups of products of projective spaces
该文致力于研究两个问题.首先，我们确定了射影空间的乘积在一般点上的爆破是Fano型簇，并给出了使这些空间成为对数Fano对的边界因子。其次，我们描述了几种情况下Cox环的生成元。
2017-04-24 math.AG
Crepant resolutions of 3-dimensional quotient singularities via Cox rings
研究了商奇点$\mathbb{C}^3/G$的可分解Cox环，其中$G$是$SL(3,\mathbb{C})$的有限子群.我们用它们来获得这些决议的几何结构，不同的决议和它们之间的关系的数量上的信息。特别是，我们明确地对待几个例子，其中$G$包含年龄2的元素。
2017-01-31 math.AG
Cox Rings
这是正在建设中的介绍性文本的第一章;通过作者的网页可以获得更多的章节。我们的目的是提供一个基本的访问考克斯环及其应用在代数和算术几何。欢迎对本草案提出任何意见和建议。
2010-09-19 math.AG
Cox rings of cubic surfaces and Fano threefolds
本文确定了具有至多有理二重点的三次曲面的最小分解、射影平面在非一般六点构形上的爆破以及Picard数1和2的三维光滑Fano簇的Cox环.
2015-04-22 math.AG
Cox Rings and Algebraic Maps
给定Mori梦空间$X$到光滑Mori梦空间$Y$的态射$F : X \rightarrow Y$，以及$X$上的拟相干层$\mathcal{F}$和$Y$上的$\mathcal{G}$，我们用类群中的Cox环上的相应模描述了$F$的逆像和$F$的正像.
2021-11-29 math.AG
The semi-invariant ring as the Cox ring of a GIT quotient
该研究针对满足特定线性化映射同构条件的GIT商，证明其Cox环同构于底空间中θ-稳定轨迹的半不变量环，该结论可应用于多类代数簇，并给出仿射平面n点Hilbert概形Cox环的显式计算。
2024-04-18 math.AG
On the Cox rings of some hypersurfaces
本文引入一种更直接的上同调方法计算 P^1 x P^n 中超曲面的 Cox 环，证明由正则序列定义的光滑超曲面是 Mori dream 空间，并具体计算了双次数 (2,4) 的 Calabi--Yau 三维簇的 Cox 环，揭示了其在光滑族中的不连续跳跃现象。
2025-09-18 math.AG
Mori dream K3 surfaces of Picard number four: projective models and Cox rings
本文研究了具有有限自同构群的Picard数为4的K3曲面的$14$族的几何性质，其Néron-Severi格已被B.B.文伯格我们提供了投影模型，我们确定的Cox环的生成集的程度，并在某些情况下，我们证明了相关的模空间的unirationality。
2020-11-01 math.AG
Cox rings and pseudoeffective cones of projectivized toric vector bundles
我们研究一类特殊的环面向量丛，其中包括余切丛，其相关的Klyachko过滤是特别简单的投影。对于这些射影化的丛，我们给出了有效因子锥的生成元，并将Cox环表示为沿线性子空间序列的射影空间的爆破的Cox环上的多项式代数。作为应用，我们证明了某些环面簇的投影余切丛不是Mori梦空间，并给出了投影环面向量丛的Cox环与M_{0,n}的Cox环同构的例子.
2011-09-20 math.AG
Cox rings of moduli of quasi parabolic principal bundles and the K-Pieri rule
利用$\mathbb{C}^m$及其对偶$\bigwedge^{m-1}(\mathbb{C}^m)$中最高权向量的稳定子给出的拟抛物数据，研究了主$SL_m(\mathbb{C})$丛模在射影线上的Cox环的环面退化.由这种退化产生的仿射半群代数使用来自Kac-Moody表示论的$K-$ Pieri规则来描述。一路上，我们给出了证明的$K-$ Pieri规则，它利用经典的Pieri规则和元素的交换代数，我们描述了Cox环和一个经典的不变环的Weyl研究之间的关系。
2016-06-13 math.AG
On pliability of del Pezzo fibrations and Cox rings
我们开发了一些具体的方法来建立Sarkisov链接，从森纤维空间。这是通过研究低秩Cox环及其性质来完成的。作为这一发展的一部分，我们给出了一个算法来明确地构建粗糙的模空间的复曲面Deligne-Mumford堆栈。这可以看作是加权射影空间的良构性概念在复曲面簇的齐次坐标环上的推广。作为一个例子，我们应用这些方法来研究双有理变换的某些纤维化的del Pezzo表面上$\mathbb{P}^1$，到其他森纤维空间，使用Cox环和变化的几何不变理论。我们证明了这些Mori纤维空间的柔韧性至少为3，并且它们是不合理的。
2014-09-26 math.AG
Theta Function Basis of the Cox ring of Postive 2d Looijenga pairs
本文构造了带仿射内部的二维 Looijenga 对之 Cox 环的典范 theta 函数基，并用镜像万有形变空间中的 k-解析圆盘计数解释其结构常数。
2024-12-02 math.AG
Cox rings and combinatorics
对于一个簇的一个新的生成的总坐标环，我们描述的基本几何性质的某些组合结构生活在其除子类群。例如，我们描述的奇异性，我们计算的充分锥，我们给简单的法诺准则。正如我们通过几个例子所示，这些结果允许显式计算。
2004-12-10 math.AG
Geometric Invariant Theory via Cox Rings
我们考虑了约化群在一类具有非生成Cox环的簇上的作用，例如，在射影空间的乘积上的对角作用的经典情形。给定这样一个行动，我们通过组合数据的Cox环的所有最大的开子集，使商是quasiprojective或嵌入到一个环面品种。作为应用，我们得到了一个明确的描述的腔室结构的线性化的样本锥和几个Gelfand-MacPherson型对应关系约化群的代数与环面作用的代数。此外，我们的方法提供了许多由此产生的商空间的几何信息。
2008-06-13 math.AG
Iteration of Cox rings of klt singularities
本文定义了klt奇点的Cox环迭代，证明其在$k\geq c(n)$时稳定，并利用Cox环确立了scfc覆盖的存在性及其支配性质，同时给出了复杂度为一的klt奇点的完整描述，且将相关定理推广至Fano type morphisms。
2021-09-23 math.AG
Numerical Root Finding via Cox Rings
我们提出了一种新的特征值方法来求解Laurent多项式方程组，该方程组定义了$(\mathbb{C} \setminus \{0\})^n$的环面紧化$X$的零维约化子格式。我们将输入方程齐次化，得到$X$的Cox环上的齐次理想，并将特征值、特征向量定理推广到仿射空间中，计算解的齐次坐标。数值实验表明了该方法的有效性。特别是，该方法优于现有的求解器的情况下（近）退化系统的解决方案或附近的环面不变的素除子。
2020-02-12 math.AG
A survey on Cox rings
本文研究了代数簇X的Cox环的构造，并研究了代数簇X的Cox环生成时的双有理几何.
2008-10-21 math.AC math.AG
Cox rings of rational surfaces and redundant blow-ups
证明了在适当的假设下，冗余blow-up保持了有理曲面的Cox环的有限生成，并利用冗余blow-up研究了Mori dream有理曲面的双有理结构.证明了冗余爆破完全刻画了具有反规范Iitaka维数$0$的Mori dream有理曲面的双有理态射.作为应用，我们构造了具有任意大Picard数的反正则Iitaka维数$0$和$-\infty$的Mori dream有理曲面.
2014-11-14 math.AG
Cox rings of rational complexity one T-varieties
设X是一个Mori梦空间，并具有一个有效的复杂性作用环.在本文中，我们在对应于X的Cox环的仿射谱的射影线P^1的适当覆盖上构造了一个多面体因子。这种描述允许详细研究环面轨道和变形的后者。此外，我们给出了P^1的覆盖以及有限阿贝尔群A在P^1上的作用，即所谓的零度A-因子。
2010-09-02 math.AG
The Cox ring of a Del Pezzo surface
设$X_r$是由$¶^2$通过在一般位置上炸开$r \leq 8$点而得到的光滑Del Pezzo曲面。众所周知，对于$r \in \{3,4,5,6,7,8 \}$，Picard群$\Pic(X_r)$包含规范根系统$R_r \in \{A_2 \times A_1, A_4, D_5, E_6, E_7, E_8 \}$。本文证明了$X_r$（$r \geq 4$）的Cox环的一些一般性质，并证明了它与根系统$R_r$的代数群$G$的某些不可约表示中最高权向量的轨道的齐次坐标环的相似性.
2003-09-05 math.AG
Maps of toric varieties in Cox coordinates
考克斯环提供了一个类似于射影空间的齐次坐标环的复曲面簇上的坐标系。合理的射影空间之间的映射使用多项式的坐标环，我们概括这环面品种，提供了一个统一的描述任意合理的映射环面品种之间的Cox坐标。即使在最简单的例子中，引入多项式的形式根也是必要的。
2013-05-15 math.AG
Factorially graded rings and Cox rings
正规簇的Cox环是阶乘分次的，即齐次元素允许唯一地分解成齐次因子。我们研究这个属性从代数的角度来看，并给出了一个标准，在某种意义上减少它的factoriality。这将使我们能够以纯代数的方式检测和构造Cox环。
2012-01-18 math.AC math.AG
Cox rings of morphisms and resolution of singularities
本文将Cox环的Cox-Hu-Keel构造推广到正规Noether格式的任意真双有理态射.它允许表示任何正常的双有理态射的计划与温和的奇异环面行动的地图。在一个特定的情况下，这个概念推广了Satriano的组合构造和Abramovich-Quek最近在Artin-stacks上构造的多重加权blow-ups。后者可以被看作是一个扩展的堆栈理论爆破阿布拉莫维奇，Temkin，和Wlodarczyk，一个类似的建设McQuillan和作者最近的协边爆破加权中心的任意局部单项式中心的更一般的情况。我们展示了这个操作的一些应用程序的任何特征的字段上的奇点的奇点的分解。
2023-01-31 math.AG
Rationality of Euler-Chow series and finite generation of Cox rings
在本文中，我们的工作与一系列的系数是欧拉示性数的Chow簇的一个给定的射影簇。对于定义了考克斯环的品种，很容易看出，在这种情况下，与序列相关的环是考克斯环。如果这个环是诺特环，那么这个级数是有理数。相反的情况是否成立，这是一个悬而未决的问题。在本文中，我们给出了一个例子，说明逆失败。然而，我们猜想，它持有时，品种是合理的连接。作为这一猜想的证明，本文证明了在一般位置上的射影平面在九个或九个以上点处爆破的情形下，级数不是有理的，在某种意义上说，不是代数的.此外，我们还处理了Mukai和Hassett-Tschinkel研究的具有无限生成Cox环的簇的其他例子。这是已知的第一个级数不是有理数的例子。我们还计算了Del Pezzo曲面的级数。
2015-07-24 math.AG
Computing Cox rings via the cone conjecture
UCLA Mathematics Department（加州大学洛杉矶分校数学系）；Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María（智利联邦圣玛丽亚理工大学数学系）；Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教大学数学学院）
该研究利用莫里森 - 川又梦空间概念，为森梦空间建立类似胡 - 基尔GIT构造，通过对应关系和代数性质研究考克斯环，给出特定超曲面考克斯环显式表示并证明其为稠密\(F\)-纯型。
2026-07-15 math.AG
Log terminal singularities, platonic tuples and iteration of Cox rings
本文将曲面奇点作为有限可解群商并对应 Cox 环迭代的图景推广到任意维数、复杂度为一的环面作用情形，并对复合 du Val 三维奇点给出完整分类及所有迭代 Cox 环链。
2018-03-04 math.AG
