AI 中文总结
该研究利用莫里森 - 川又梦空间概念，为森梦空间建立类似胡 - 基尔GIT构造，通过对应关系和代数性质研究考克斯环，给出特定超曲面考克斯环显式表示并证明其为稠密\(F\)-纯型。
AI 中文摘要
我们启动了一个利用莫里森 - 川又梦空间概念研究卡拉比 - 丘流形考克斯环的项目。在此框架下，我们为森梦空间建立了胡 - 基尔GIT构造的类似物。具体而言，对于莫里森 - 川又梦空间\(X\)，我们在\(X\)的小\(\mathbb{Q}\)-因子修正与\(\operatorname{Spec}\operatorname{Cox}(X)\)的GIT商之间建立了对应关系。我们还表明，莫里森 - 川又梦空间的考克斯环是子代数的滤过直极限，每个子代数是有限生成的\(\mathrm{Cl}(X)\)-分次\(\mathbb{K}\)-代数的逆极限。作为应用，我们给出了\((\mathbb{P}^1)^m\times \mathbb{P}^n\)中非常一般的多度数\((2,\dots,2,n + 1)\)超曲面考克斯环的显式表示。此外，我们证明了这样一个超曲面的考克斯环是稠密\(F\)-纯型的。
英文摘要
We initiate a program to study the Cox ring of Calabi-Yau varieties, employing the notion of Morrison-Kawamata dream spaces. In this setting, we establish an analogue of the Hu-Keel GIT constructions for Mori dream spaces. More precisely, for a Morrison-Kawamata dream space $X$, we establish a correspondence between the small $\mathbb{Q}$-factorial modifications of $X$ and the GIT quotients of $\operatorname{Spec}\operatorname{Cox}(X)$. We further show that the Cox ring of a Morrison-Kawamata dream space is a filtered direct limit of subalgebras, each of which is an inverse limit of finitely generated $\mathrm{Cl}(X)$-graded $\mathbb{K}$-algebras. As an application, we give an explicit presentation of the Cox ring of a very general hypersurface of multidegree $(2,\dots,2,n+1)$ in $(\mathbb{P}^1)^m\times \mathbb{P}^n$. Furthermore, we prove that the Cox ring of such a hypersurface is of dense $F$-pure type.
Comments38 pages
