On the number of collisions in $Λ$-coalescents
Alexander Gnedin, Yuri Yakubovich
我们研究了$n$粒子开始的$Λ$ -聚结过程中的碰撞总数$C_n$。线性增长和稳定的极限规律$C_n$的假设下的幂行为的测量$Λ$接近0的指数$0<α<1$。
We examine the total number of collisions $C_n$ in the $Λ$-coalescent process which starts with $n$ particles. A linear growth and a stable limit law for $C_n$ are shown under the assumption of a power-like behaviour of the measure $Λ$ near 0 with exponent $0<α<1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Exchangeable partitions derived from Markovian coalescents with simultaneous multiple collisions
金曼从系谱模型中推导出了随机分区的Ewens抽样公式，该系谱模型由一个简单的合并过程所控制的沿着下降线的突变泊松过程定义。马勒描述了递归确定推广的尤恩斯采样公式时，下降线是由合并与多个碰撞。在Dong，Gnedin和Pitman最近的工作中，作者利用再生组成和分区结构理论的类比，并提供了相关的可交换随机分区的各种表征。本文给出了平行的结果，进一步推广的模型与下降线以下的合并与同时多个碰撞。
The collision spectrum of $Λ$-coalescents
$Λ$ -聚结器模拟聚结系统的演变，其中从整体随机采样的任何数量的块可以合并成更大的块。对于聚结限制到最初的$n$单元素，我们研究的碰撞谱$(X_{n,k}:2\le k\le n)$，其中$X_{n,k}$计数，在整个历史的过程中，碰撞的数量正好涉及$k$块。我们的重点是大的$n$渐近的联合分布的$X_{n,k}$的，以及对功能的限制，为大部分的频谱简单coalescents。类似于以前的研究的碰撞总数，碰撞谱的渐近性在很大程度上取决于行为的措施$Λ$在附近的$0$。特别地，对于β $(a,b)$ -聚结剂，根据是$0<a\leq 1$、$1<a<2$、$a=2$还是$a>2$，出现不同类型的极限分布。
On asymptotics of exchangeable coalescents with multiple collisions
我们研究了一个可交换的聚结剂的碰撞次数$X_n$与多个碰撞（$Λ$聚结剂），它开始于$n$粒子，并由有限的特征测度$ν({\rm d}x)=x^{-2}Λ({\rm d}x)$确定的速率驱动。通过耦合技术，我们得到的限制法律的$X_n$，使用以前的结果再生组合物来自棒打破分区的单位间隔。$X_n$可能的极限分布包括正态分布、稳定指数$1\leα<2$分布和Mittag-Leffler分布。这些结果特别适用于$ν$是具有参数$a>2$和$b>0$的β $(a-2,b)$分布的情况。所采取的方法允许推导出渐近的其他三个功能的合并，吸收时间，随机选择的外部分支的长度从$n$外部分支，和碰撞事件的数量之前发生的随机选择的外部分支合并与它的邻居之一。
On the external branches of coalescents with multiple collisions
提供了具有多次碰撞的聚结器（$Λ$ -聚结器）的外部分支长度联合力矩的递归。当样本量$n$趋于无穷大时，该递归用于推导外分支长度的联合矩和Bolthausen-Sznitman聚结的总外分支长度的矩的渐近结果。这些渐近结果是基于一个微分方程的方法，这也是有用的，以获得精确解的Bolthausen-Sznitman合并的外部分支长度的联合力矩。例如，结果表明，两个随机选择的外部分支的长度对于Bolthausen-Sznitman聚结是正相关的，而它们对于Kingman聚结是负相关的，只要$n\ge 4$。
On asymptotics of the beta-coalescents
我们表明，在可交换的聚结过程中的碰撞总数驱动的β $(1,b)$措施收敛于1-稳定的法律分布，作为粒子的初始数量趋于无穷大。并给出了聚结树总枝长的稳定极限规律。这些结果先前对于实例$b=1$是已知的，其对应于Bolthausen-Sznitman聚结剂。我们采取的方法是基于估计的质量更新近似的聚结在一个合适的Wasserstein距离。将该方法应用于β-$(a,b)$ -聚结剂与$0<a<1$，可简化推导已知的$(2-a)$ -稳定极限。此外，我们推导出渐近展开的时刻的碰撞次数和总分支长度的β $(1,b)$ -聚结通过利用顺序近似的方法。
Random recursive trees and the Bolthausen-Sznitman coalescent
我们描述了一个表示的Bolthausen-Sznitman合并的随机递归树的切割。使用这种表示，我们证明了有关的合并限制到[n]的最终碰撞的结果：我们表明，在最终碰撞中涉及的块的数量的分布收敛为n趋于无穷大，并获得这些块的大小的比例律。我们还考虑离散时间马尔科夫链，将合并每次碰撞后的块数限制为[n];我们证明，当n趋于无穷大时，该马尔可夫链的时间反演的转移概率有极限。这些结果可以被解释为描述了Bolthausen-Sznitman聚结的“后凝胶化”阶段，其中包含几乎所有质量的巨大集群已经形成，剩余的小块正在被吸收。
The number of non-singleton blocks in Lambda-coalescents with dust
在这篇文章中，我们的状态和证明二分法，这是满足的非单块的数量在λ-聚结有一个灰尘组件。这种二分法与Pitman（1999）和Schweinsberg（2000）的两个著名结果类似，也是λ聚结行为的二分法。这三个二分法结合在一起，给出了一个完整的图片的单/非单块的λ-聚结的定性行为。
Asymptotic number of caterpillars of regularly varying $Λ$-coalescents that come down from infinity
在本文中，我们看看渐近数的r-毛虫$Λ$ -聚结从无穷大，下一个经常变化的假设。一个r-毛虫是从$n$个体开始的结合过程的一个泛函，粗略地说，它是在某个时刻结合的一个块，由一条下降线形成，r-1个单例一个接一个地合并到该下降线。我们表明，$r$ -毛虫，适当缩放，收敛到一个明确的常数作为样本量n去无穷大。
Diffusion limits at small times for coalescents with a Kingman component
我们考虑标准的$\La$ -聚结器（或具有多个碰撞的聚结器）具有非平凡的“金曼部分”。等价地，驱动测度$Λ$在$0$上有一个原子; $Λ(\{0\})=c>0$。众所周知，所有这些聚结剂都是从无穷大降下来的。此外，块的数目$N_t$作为$t\to 0$渐近于$v(t) = 2/(ct)$。在本文中，我们研究的二阶渐近的$N_t$在功能的意义下，在小的时间。这补充了我们以前的结果上的块的数目的波动一类定期$\La$ -coalescents没有金曼部分。在目前的设置原来，金曼部分占主导地位，极限过程是高斯扩散，而不是稳定的限制，在我们以前的工作。
Tree lengths for general $Λ$-coalescents and the asymptotic site frequency spectrum around the Bolthausen-Sznitman coalescent
我们研究树的长度在$Λ$聚结没有灰尘成分的样本$n$个人。对于所有分支的总长度和所有外部分支的总长度，我们给出了完全一般性的大数定律。其他结果以指数1处理规则变化的聚结剂，其覆盖Bolthausen-Sznitman聚结剂。这些定理包含所有内部分支和$a$阶内部分支（即样本中携带$a$个体的分支）的总长度的大数定律。这些结果立即转化为无限场地模型中的抽样公式。特别是，我们得到的Bolthausen-Sznitman聚结的渐近网站频谱。证明依赖于一种新的技术，以获得法律的大数减少马尔可夫链的某些泛函。
A modified lookdown construction for the Xi-Fleming-Viot process with mutation and populations with recurrent bottlenecks
设$Λ$是单位区间上的有限测度. $Λ$ -Fleming-Viot过程是概率测度值马尔可夫过程，其与具有多个碰撞的聚结（$Λ$ -聚结）对偶，类似于经典Fleming Viot过程和Kingman聚结的已知对偶，其中$Λ$是0中的狄拉克测度。我们明确地构造了一个具有突变的同时多重碰撞的聚结过程（$Ξ$ -聚结过程）的对偶过程，即具有突变的$Ξ$ -Fleming-Viot过程，并沿着Donnelly和Kurtz（1999）的思路，基于可交换粒子系统的经验测度给出了一个表示.我们建立了带变异的极限$Ξ$ -Fleming-Viot过程的逼近系统的路径收敛性。给出了基于Hille-Yosida定理的半群的另一种构造方法，并讨论了过程的各种对偶性。在最后一部分的文件被认为是人口经历经常性的瓶颈。在这种情况下，非平凡的$Ξ$ -Fleming-Viot过程自然出现作为限制模型。
On the number of allelic types for samples taken from exchangeable coalescents with mutation
令$K_n$表示从具有突变的可交换聚结过程（$Ξ$ -聚结）中获取的大小为$n$的样品的类型数。推导了序列$(K_n)_{n\in{\mathbb N}}$的分布递归。如果聚结剂不具有适当的频率，即，如果无限单形$Δ$上的特征化测量$Ξ$在零处不具有质量并且满足$\int_Δ|x|Ξ(dx)/(x,x)<\infty$，其中对于$x=(x_1,x_2,...)\inΔ$，$|x|:=\sum_{i=1}^\infty x_i$和$(x,x):=\sum_{i=1}^\infty x_i^2$，则$K_n/n$作为$n\to\infty$弱收敛于极限变量$K$，该极限变量由与合并过程相关联的从属子的指数积分表征。对于所谓的简单措施$Ξ$满足$\int_ΔΞ(dx)/(x,x)<\infty$，我们通过一个不动点方程的分布特征。
The Yule-$Λ$ Nested Coalescent: Distribution of the Number of Lineages
本文研究 Yule-$Λ$ 嵌套溯祖模型，证明了在特定初始条件下，单一物种内个体谱系数目的分布弱收敛至具有有限均值的递归分布方程的解，并发现该方程对某些参数存在无穷均值的解。
The reversibility and an SPDE for the generalized Fleming-Viot Processes with mutation
带有突变的（λ，A）-Fleming-Viot过程是一个概率测度值过程，其矩对偶与经典Fleming-Viot过程相似，只是Kingman的合并过程被同时多重碰撞的合并过程所取代.我们首先证明了一般变异生成器A存在这样一个过程。然后我们研究其可逆性。我们还研究了相应的随机偏微分方程解的弱唯一性和强唯一性。
On the time to absorption in $Λ$-coalescents
我们提出了一个大数定律和一个中心极限定理的时间吸收的$Λ$ -聚结剂，从$n$块，作为$n \to \infty$。该证明依赖于通过漂移从属算子对具有粉尘成分的$Λ$ -聚结剂的块计数过程的对数的近似。
The Nested Kingman Coalescent: Speed of Coming Down from Infinity
嵌套Kingman聚结描述了同时在个体和物种水平上进行中性进化的种群的祖先树。我们研究了在这个分层的聚结过程中谱系数从无穷大下降的速度，并证明了存在一个早期阶段，在该阶段中，$t$时刻的谱系数以$ 2γ/ct^2$的形式衰减，其中$c$是个体和物种水平上的聚结率之比，而常数$γ\approx 3.45$是从一个典型时间物种内所含谱系数的递归分布方程中导出的。
Global divergence of spatial coalescents
我们研究了一类随机过程的几个基本性质，称为空间λ-聚结。在这些模型中，许多粒子在某个底层图G上执行独立的随机游动。此外，同一顶点上的粒子根据给定的聚结机制随机合并。平均场合并过程的一个显著特性是它们可以从无穷大降下来，这意味着，从无穷多个粒子开始，在任何正的时间量之后，几乎肯定只剩下有限个粒子。然而，我们在这里表明，在空间设置中，在任何无限和有界度图上，粒子总数几乎肯定总是保持无穷大。此外，如果G=Z^d，并且聚结机制是金曼聚结，则从原点的N个粒子开始，在任何固定的正时间，剩余的粒子总数为（log* N）^d阶（其中log* 是反塔函数）。在足够大的时间内，粒子总数的数量级为（log* N）^{d-2}，当d>2时。我们提供了平行的结果，在经常性的情况下d=2。空间Beta合并器的行为类似，其中log log N替换log* N。
Second order behavior of the block counting process of beta coalescents
β凝聚子是模拟种群谱系的随机过程。它们表现为许多随机种群模型的系谱树的重标度极限。在这篇文章中，我们感兴趣的是在小的时候，在β聚结块的数量。Berestycki，Berestycki和Schweinsberg证明了一个法律的大数为这个数量。最近，Limic和Talarczyk证明了一个泛函中心极限定理也成立。我们在这里给出了一个简单的证明这个结果的一维版本，使用β coalescents和连续时间分支过程之间的耦合。
Weak convergence of the scaled jump chain and number of mutations of the Kingman coalescent
本文研究大样本下 Kingman 溯祖的块计数与突变计数链，证明其尺度化后分别弱收敛至确定性过程和变强度 Poisson 过程，并用测度变换推广到亲本依赖突变。
A construction of a $β$-coalescent via the pruning of Binary Trees
考虑一个随机二叉树的$n$标记的叶子，我们使用这个树的修剪过程，以构建一个$β(3/2,1/2)$ -合并过程。我们还使用连续模拟这个建设，即Aldous的连续随机树的修剪程序，构建一个连续的状态空间过程，具有相同的结构的$β$ -聚结过程的一些时变。这两种构造不能得到关于聚并过程的结果，例如聚并事件数目的渐近性或最后一次聚并事件所涉及的块的规律。
The Yule-Kingman Nested Coalescent: Distribution of the Number of Lineages
该研究针对跨物种采样的种群模型，分析Yule-Kingman嵌套溯祖下给定物种的个体谱系数量分布，证明其弱收敛于递归分布方程的唯一解$μ_c^*$，且各物种平均谱系数依概率收敛于该分布均值。
A population model for $Λ$-coalescents with neutral mutations
Bertoin和Le Gall（2003）引入了一个概率测度值的马尔可夫过程，描述了种群的演化，使得来自该种群的样本将表现出由所谓的$Λ$ -聚结或多碰撞聚结给出的谱系，由Pitman（1999）和Sagitov（1999）独立引入。我们展示了这个过程如何可以扩展到血统可以经历突变的情况。考虑到M{<$}hle（2007）的否定结果，再生成分自然进入该模型，这有点令人惊讶。
The total external branch length of Beta-coalescents
对于$1<α<2$，我们得到的渐近分布的总长度的{ \em外部}分支的Beta $(2-α, α)$ -coalescent的数目$n$的叶子变得很大。结果表明，在整个参数范围内，外部分支长度的波动遵循$τ_n^{2-α}$的波动，其中$τ_n$表示使$n$谱系降为1的聚结的随机数。这与在$α_0 = (1+\sqrt 5)/2$处表现出转变的总分支长度的波动行为相反。
The fixation line in the $Λ$-coalescent
本文在具有由$Λ$ -coalescent给出的后向谱系的前向种群模型中定义了一个马尔可夫过程。这个马尔可夫过程，称为注视线，通过其首中时与块计数过程相关。两个应用程序进行了讨论。研究了$n$ -聚结剂比$(n-1)$ -聚结剂更深的可能性。证明了$n$ - $\operatorname {Beta}(2-α,α)$ -coalescent的最后一次合并的块数分布收敛于$n\rightarrow\infty$，并计算了极限随机变量的母函数.
Scaling limits for a class of regular $Ξ$-coalescents
具有初态$n$的块计数过程对限于大小为$n$的样品的可交换聚结剂（$Ξ$ -聚结剂）的块的数目进行计数。这项工作提供了定期$Ξ$ -聚结剂，保持无限的块计数过程的缩放限制，包括$Ξ$ -聚结剂与灰尘和一大类无尘$Ξ$ -聚结剂。主要的收敛性结果表明，当$n$趋于无穷大时，块计数过程在适当的几何尺度下，在Skorohod空间中收敛于一个Ornstein-Uhlenbeck型过程.这种标度的存在依赖于一种特定的函数的曲率条件，从文献中众所周知。这个曲率条件与原点附近的测度$Ξ$的行为有内在联系。证明方法是证明相关生成元的一致收敛性。通过Siegmund对偶证明了固定线的一个类似结果。几个例子进行了研究。
The evolving beta coalescent
在数学群体遗传学中，众所周知，人们可以用一棵树来表示一个群体的系谱，这表明了群体中个体的祖先系在时间上是如何结合的。随着种群随时间演化，代表种群谱系的树也发生变化，导致称为演化聚结的树值随机过程。在这里，我们将考虑不断发展的聚结人口的家谱可以描述的β聚结，这是已知的家谱人口非常大的家庭规模。我们发现，作为人口的大小趋于无穷大，某些功能的β聚结，如合并的总数，总分支长度，和外部分支的总长度的演变，收敛到一个固定的稳定过程。我们的方法也导致新的证明已知的渐近结果的某些泛函的非发展β聚结。
Probabilistic aspects of $Λ$-coalescents in equilibrium and in evolution
我们提出的近似方法，导致法律的大数定律和波动结果的泛函的$Λ$聚结，无论是在无尘的情况下，在与灰尘成分的情况下。我们的重点是树的长度（或总分支长度）和总外部分支长度，以及最近的共同祖先的时间和最后一次合并的大小。在第二部分中，我们讨论了不断发展的聚结剂。对于某些β-聚结，我们分析了一类泛函在适当的时间尺度的波动。最后，我们回顾了Gufler的结果表示的不断发展的$Λ$ -coalescents的lookdown空间。
Asymptotics of the frequency spectrum for general Dirichlet Xi-coalescents
本文研究一般Dirichlet Xi-凝聚过程的块计数过程短时渐近行为，证明其标度极限满足鞅问题且经Lamperti变换后为马尔可夫可加过程，并由此给出种群遗传学中n位点频谱的渐近结果。
Multitype $Λ$-coalescents
考虑一个多类型的聚结过程，其中每个块在$\{1,\ldots,d\}$中具有一种颜色。单个块可以改变颜色，并且一定数量的各种颜色的块可以合并以形成某种颜色的新块。我们证明，如果一个多型合并过程的规律在相同颜色的块的排列下是不变的，具有一致的马尔可夫投影，并且具有异步合并，那么它是一个多型$Λ$ -合并过程：一种过程，其中单个块可以改变颜色，两个颜色相同的块可以合并以形成该颜色的单个块，或者跨各种颜色的大合并以由单位立方体$[0,1]^d$上的测量的$d$元组控制的速率发生。我们继续确定这些过程何时从无穷大开始。我们的框架概括了皮特曼的著名分类定理singletype coalescent过程，并提供了一个统一的设置已经出现在文献中的许多例子，包括种子银行模型，岛屿模型和连续状态分支过程的coalescent结构。
Small-time behavior of beta coalescents
对于$[0,1]$上的有限测度$\varLambda$，$\varLambda$ -聚结是聚结过程，使得每当存在$b$簇时，簇的每个$k$ -元组以速率$\int_0^1x^{k-2}(1-x)^{b-k}\varLambda(\mathrm{d}x)$合并成一个。最近已经表明，如果$1<α<2$，其中$\varLambda$是$\operatorname {Beta}(2-α,α)$分布的$\varLambda$ -聚结剂可以用于描述具有$α$ -稳定分支机制的连续状态分支过程（CSBP）的谱系。在这里，我们使用的事实CSBPs建立新的结果的小时间渐近的β coalescents。我们证明了一个A. S。在小时间下建立了块数的极限定理，并建立了块大小的结果。我们还计算了与β聚结剂相关的度量空间的Hausdorff和填充维数，并且我们找到了聚结树中分支的长度之和，这两者都是由聚结剂在小时间的行为决定的。我们将这些结果中的大部分推广到其他$\varLambda$聚结器，其中$\varLambda$在零附近具有与$\operatorname {Beta}(2-α,α)$分布相同的渐近行为。这项工作补充了Bertoin和Le Gall最近的工作，他们也使用CSBPs来研究$\varLambda$ -聚结剂的小时间特性。
The star-shaped Lambda-coalescent and Fleming-Viot process
本文研究了星型$Λ$ -合并过程和相应的$Λ$ -Fleming-Viot过程，其中$Λ$测度是单原子的.在具有突变的两型模型中导出了$Λ$ -Fleming-Viot过程的转移函数和平稳分布。研究了星型$Λ$ -聚结中非突变株系数目的分布，推广了具有亲本独立突变或一般Markov突变的$d$型模型，以及当$d\to \infty$时的无穷多型模型。找到了转移函数的一个本征函数展开式，它的右本征函数和左本征函数均为多项式，并由超函数描述。进一步考虑了具有一般频率依赖变化的星形模型，并导出了Fleming-Viot过程的平稳分布。该模型包括一个带有突变和选择的星形$Λ$ -Fleming-Viot过程。在一般的$Λ$ -聚结中，当存在突变时，转移函数和平稳分布的显式公式是未知的，而本文在星形聚结中导出了显式公式。
The allelic partition for coalescent point processes
假设在某些群体中在时间$t$存活的个体可以以这样的方式排序，即连续个体之间的聚结时间是i.i.d.。这些分支的排序序列称为合并点过程。我们已经表明，在以前的工作，分裂树是这样的人口的重要实例。这里，个体被给予DNA序列，对于属于不同个体的$n$ DNA序列的样本，我们考虑多态位点（至少两个序列不同的位点）的$S_n$数目，以及不同单倍型（至少在一个位点上不同的序列）的$A_n$数目。标准的假设是突变以恒定的速率到达（在生殖细胞系上），并且永远不会击中DNA序列上的相同位点。在此假设下，我们研究了与聚结点过程相关的突变模式。这里，随着$n$的增长，$S_n$和$A_n$以显式速率线性增长。然而，当分支长度具有无限期望时，$S_n$增长得更快，例如，对于临界生灭过程为$n \ln(n)$。然后，我们研究样本的频谱，即样本中$k$个体携带的多态位点/单倍型的数量。这些数字也与样本量呈线性增长，我们提供了简单明确的突变频率和单倍型频率的公式。对于临界生灭过程，突变频率由调和级数给出，单体型频率由Fisher对数级数给出。
A phase transition in excursions from infinity of the "fast" fragmentation-coalescence process
金曼合并的一个重要性质是，从一个具有无限数量块的状态开始，在任何正的时间范围内，它过渡到几乎肯定有限数量的块。这就是所谓的“从无限下降”。此外，许多不同的（可交换）随机聚结模型，金曼的聚结是“最快的”从无穷大下来。在本文中，我们研究了当我们用极端形式的碎片化作用抵消这种“最快”的结合时会发生什么。我们增加了金曼的合并，其中任何两个块合并率$c>0$，与碎片化机制，其中每个块碎片在恒定的速率，$λ>0$，到它的组成元素。我们证明，存在一个相变在$λ=c/2$，制度之间的“快速”的碎裂合并过程是能够从无穷大或没有。在这种情况下，$λ<c/2$，我们开发了一个漂移理论的快速破碎-合并过程，其中一些有趣的量可以明确计算。
Genealogies of regular exchangeable coalescents with applications to sampling
本文考虑了一个谱系模型，对应于一个规则的可交换的聚结（也称为Xi-聚结）开始于一个大的有限配置，并经历中性突变。作者在以前的工作中获得了活性谱系数的渐近表达式。使用相同的鞅为基础的技术推导出类似的结果的数量的活性突变的血统和合并的血统长度。他们给出的依概率收敛，而扩展到收敛的时刻和收敛几乎肯定进行了讨论。上述结果对Xi聚结背景下的抽样论有直接的影响。特别是，从无穷大下来的规则Xi聚结（即，具有局部有限谱系），在相应的无限等位基因和无限位点模型下具有渐近相等的家族数。在特殊情况下，可以给出包含固定数量个体的家庭数量的定量渐近公式。
Partially exchangeable Markov chains and characterisation of multitype Lambda-coalescents
本文通过个体与协调运动分解刻画了有限状态空间上部分可交换马尔可夫链的容许转移速率，进而刻画了多类型 Lambda-合并过程，并建立了 de Finetti 测度过程的收敛与对偶结果。
The total external length of the evolving Kingman coalescent
进化的Kingman聚结过程是一个树值过程，它记录了Moran种群系谱的时间演化过程。我们考虑了进化Kingman合并的外部树总长度的相关过程及其当树的叶数趋于无穷大时的渐近行为。我们表明，在时间尺度上的莫兰模型放慢了一个因素等于总体规模，（集中和重新缩放）外部长度过程收敛到一个平稳的高斯过程几乎肯定连续的路径协方差函数$c(s,t)=\Big( \frac 2 {2+|s-t|} \Big)^2$。在外部长度的演变中，一个关键的作用是由在固定时间的聚结中的有穷级的内部长度发挥作用，其以多变量高斯方式渐近地表现（参见Dahmer和Kersting（2015））。耦合的Moran模型与一个关键的分支过程。我们还得到了一个中心极限结果的正态分布的总和赋予独立的随机系数。
Total internal and external lengths of the Bolthausen-Sznitman coalescent
本文研究了Bolthausen-Szmitman结合子内部总长度的一个弱大数定律。由此得到了定心和重标总外部长度的弱极限定律。后者推广了Dhersin & Möhle \cite{DM12}的结果。应用群体遗传学处理的突变总数的系谱树也给出。
Asymptotic sampling formulae for Lambda-coalescents
我们提出了一个强大的方法，将信息的速度从无穷远的家谱树到抽样公式的基础人口。我们将这些结果应用到人口动态的家谱是由一个λ-coalescent。这使我们能够推导出一个精确的公式的渐近行为的网站和等位基因的频谱和隔离网站的数量，因为样本量趋于无穷大。我们的一些结果举行的情况下，一般的λ-聚结，从无穷大，但我们得到更精确的信息下，一个经常变化的假设。在这种情况下，我们得到的结果，独立的兴趣的时间，在该时间均匀随机选择的突变产生。这在α=3/2处表现出相变，其中α \in（1，2）是规则变化的指数。
The coalescent of a sample from a linear-fractional branching process
本文研究线性分数分支过程中两种抽样方式（伯努利与均匀）下样本谱系树分布的关系。
Coalescent results for diploid exchangeable population models
我们认为二倍体双亲类似物的Cannings模型：在一个人口的固定大小的$N$的下一代是由$V_{i,j}$后代从父母$i$和$j$，其中$V=(V_{i,j})_{1\le i\neq j \le N}$是一个（共同）可交换的（对称）阵列。每个个体都携带两个染色体拷贝，每个拷贝都是从父母中的一个继承的。我们得到一般条件，制定的后代的总数到每个人的向量，适当缩放的祖先过程的收敛的$n$样本的基因对（$Ξ$ -）聚结。这补充了Möhle和Sagitov（2001）对单倍体情况的研究结果，并使Möhle和Sagitov（2003）对二倍体情况的研究更加清晰，该研究侧重于固定的夫妇，其中每行$V$最多有一个非零条目。我们将收敛结果应用到几个例子中，特别是Schweinsberg（2003）模型的两个二倍体变体，分别导致两重和四重合并的β-聚结。
Closed-form asymptotic sampling distributions under the coalescent with recombination for an arbitrary number of loci
获得具有复合的聚结物的封闭形式的采样分布是一个具有挑战性的问题。在两个基因座的情况下，一个新的框架的基础上渐近级数最近已开发出封闭形式的结果时，重组率是中等到大。在本文中，任意数量的轨迹被认为是和组合的方法来寻找封闭形式的表达式的第一对条款的渐近展开的多轨迹抽样分布。这些表达式是通用的，因为它们在边缘单位点分布方面的函数形式适用于所有有限和无限等位基因突变模型。
Speed of coming down from infinity for $Λ$-Fleming-Viot initial support
针对具有 Brownian 空间运动且可从无穷大下降的 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程，本文刻画其初始支撑在任意正时刻变为有限的渐近速率。
Beta-coalescents and continuous stable random trees
多次碰撞的聚结剂，也被称为$Λ$ -聚结剂，由Pitman和Sagitov在1999年提出。这些过程描述了经历随机凝聚的颗粒的演变，使得几个块可以同时合并形成单个块。在测量$Λ$是$\operatorname {Beta}(2-α,α)$分布的情况下，它们还已知描述单个个体可以产生大量后代的大种群的系谱。在这里，我们使用最近的结果Birkner等人。证明β-聚结可以嵌入在连续稳定的随机树，这是众所周知的，由于最近的进展Duquesne和Le Gall。我们的证明是基于建设的唐纳利-库尔茨lookdown过程使用连续随机树，这是独立的利益。这产生了一些关于β-聚结剂的小时间行为的结果。最值得注意的是，我们恢复了一个几乎必然的极限定理，目前的作者在小的时候，块的数量，并给出了多重分形谱对应的出现与非典型大小的块。此外，我们能够找到精确的渐近抽样公式对应的网站频谱和等位基因频谱与突变的背景下，人口遗传学。
Some large deviations in Kingman's coalescent
金曼的合并是一个随机树，产生于经典的人口遗传模型，如莫兰模型。在这些模型中存活的个体对应于树中的叶子，并且下面关于树顶结构的两个大数定律是众所周知的：当树中存在$n$行时，从树顶到层级的（最短）距离，用$T_n$表示，几乎必然满足$nT_n \xrightarrow{n\to\infty} 2$;（ii）在时间$T_n$，种群被自然地划分为恰好$n$家族，其中如果个体在过去的时间$T_n$具有共同的祖先，则个体属于同一家族。如果$F_{i,n}$表示$i$第th族的大小，则$n(F_{1,n}^2 + \cdots + F_{n,n}^2) \xrightarrow{n\to \infty}2$几乎肯定。对于这两个大数定律，我们证明了相应的大偏差结果。对于（i），大偏差的比率是$n$，并且我们可以明确地给出比率函数。对于（ii），向下偏差的速率为$n$，向上偏差的速率为$\sqrt n$。对于这两种情况，我们给出了精确的速率函数。
The coalescent tree of a Markov branching process with generalised logistic growth
我们考虑一类密度依赖的分支过程，推广指数，逻辑和Gompertz增长。一个种群从一个个体开始，最初呈指数级增长，然后随着总体规模接近承载能力，增长可能会放缓。当种群仍在超线性增长时，对固定数量的个体进行采样，并绘制出它们的合并树。以采样时间和承载能力同时无穷大，我们证明了收敛的合并树的极限树，这是在某种意义上普遍超过我们的类模型。
Second-order asymptotics for the block counting process in a class of regularly varying $Λ$-coalescents
考虑一个标准的${Λ}$ -从无穷大下降的聚结剂。这样的聚结剂在时间$0$从由无限多个嵌段组成的构型开始，但是其嵌段数$N_t$在每个正时间$t$是有限的随机变量。Berestycki et al. [Ann. Probab. 38（2010）207-233]在小时间处发现了过程$N$的一阶近似$v$。这是满足$N_t/v_t\to1$为$t\to0$的确定性函数。本文报道了$N$在小时间下的二阶渐近性研究的第一个进展。我们证明了，如果驱动测度$Λ$的密度接近于零，且其行为与$x^{-β}$和$β\in(0,1)$相同，则过程$(\varepsilon^{-1/(1+β)}(N_{\varepsilon t}/v_{\varepsilon t}-1))_{t\ge0}$在Skorokhod空间中按规律收敛为$\varepsilon\to0$，成为完全偏斜的$(1+β)$ -稳定过程.此外，这个过程是一个相关的Ornstein-Uhlenbeck型随机微分方程的唯一解，具有完全不对称的稳定Lévy噪声。
The coalescent point process of branching trees
我们定义了一个双无限的，单调标记的Bienayme-Galton-Watson（BGW）系谱。当前世代在时间上向后的谱系由聚结点过程$(A_i; i\ge 1)$唯一地确定，其中$A_i$是个体i和i+1之间的聚结时间。有一个马尔可夫过程的点测量$(B_i; i\ge 1)$保持跟踪更多的祖先关系，使$A_i$也是第一个点质量的$B_i$。这一过程的点措施也密切相关的非均匀脊柱分解的谱系的第一个幸存的粒子在第h代的平面BGW树条件生存h代。分解涉及到一个点度量$ρ$，它存储脊柱右侧的子树数量。在适当的条件下，我们证明了这个点测度收敛到$\mathbb{R}_+$上的一个点测度与极限连续状态分支（CSB）过程。通过只考虑合并时间大于$\varepsilon$的点，对有限CSB种群进行离散，证明了合并点过程的关联不变原理.
Distance-based species tree estimation: information-theoretic trade-off between number of loci and sequence length under the coalescent
我们考虑了在多物种结合下由多个基因重建一个系统发育。我们建立了一个连接与稀疏信号检测问题，其中一个试图区分分布和混合的分布和稀疏信号。使用这种连接，我们得到一个信息理论的权衡之间的基因，$m$，需要一个准确的重建和序列长度，$k$，基因的数量。具体来说，我们表明，检测一个分支的长度$f$，需要$m = Θ(1/[f^{2} \sqrt{k}])$。
$Λ$-coalescents arising in populations with dormancy
考虑一个种群在春、夏、冬三个季节中逐年演化。每年春天，$N$休眠的个体根据给定的分布彼此独立地醒来。一旦个体醒来，它就开始以恒定的速度繁殖。到春天结束时，所有的个体都醒了，并继续独立繁殖，就像整个夏天的圣诞节一样。在冬天，随机选择的$N$个体会沉睡到第二年春天，而其他个体则会死去。我们发现，因为一个人醒来异常早，可以有大量的幸存后代，对于一些选择的模型参数的人口的家谱将描述由一个$Λ$ -聚结。特别是，当个体醒来的速率随时间呈指数级增加时，β聚结可以描述谱系。我们还描述了一套所有的$Λ$ -聚结，可以出现在这个框架。
Gene genealogies in haploid populations evolving according to sweepstakes reproduction
研究单倍体群体抽奖式繁殖中的基因谱系，构建群体遗传模型，无需强假设恢复新突变数，得出连续时间合并过程等结果，还发现不同条件下泛函近似情况及对种群祖先条件设定的影响。
Stochastic flows and Poisson representations for the block masses of the $Λ$-coalescent with dust : moment asymptotics and large deviation estimates
基于逆随机流构建新方法研究含尘埃的Λ-合并过程，获泊松表示，能进行随机微积分。应用此方法得出W_k(t)矩的对数渐近性及相关大偏差原理。
The Feller diffusion as the limit of a coalescent point process
研究Feller扩散作为并合点过程的极限，其中节点高度分布密度偏向零，通过统一方法回顾分支过程标度极限的结果，并推广伯努利抽样到扩散极限，分析泊松抽样和k抽样Feller扩散的并合性质。
Horton self-similarity of Kingman's coalescent tree
本文建立了Kingman合并过程的树表示的弱Horton自相似性。证明是基于一个Smoluchowski型系统的常微分方程的分支数的一个给定的Horton-Strahler顺序在一棵树，代表金曼的N-聚结过程中的一个常数的内核，在流体动力学的限制。我们还证明了一个密切的联系之间的组合金曼树和组合水平集树的白噪声，这意味着霍顿自相似性为后者。
Multi-type $Ξ$-coalescents from structured population models with bottlenecks
该研究提出带瓶颈的结构化种群个体模型，证明等位基因频率过程收敛到带跳跃的马尔可夫扩散，其谱系对应多类型$Ξ$-合并，数值研究显示模型灵活，可预测与真实数据一致的位点频率谱。
On the asymptotics of moments of linear random recurrences
本文提出了一种基于迭代函数技巧的分析线性随机递归函数矩渐近性的新方法。通过使用该方法，我们表明，在Poisson-Dirichlet聚结的碰撞次数和吸收时间的时刻表现出类似的权力的“日志星”功能的增长速度比任何迭代的对数慢，从而证明了一个弱大数定律。最后，我们讨论了该方法的优点和局限性，并给出了几个例子，相关的β凝聚，递归算法和随机树。
A leader-election procedure using records
对Poisson-Dirichlet聚结剂中的碰撞数的研究导致了对随机前导-消除算法的以下版本的分析。考虑一个由$1,2,3,\ldots$标记的无限多人组成的家庭，他们从任意连续分布中生成iid随机数。那些创造了一个记录值的人，也就是说，一个比以前所有人的值都大的值，留在游戏中，所有其他人都必须离开。其余的人由$1,2,3,\ldots$重新贴上标签，维持他们在第一轮的秩序，选举程序与过去无关，无限期地重复。我们证明了一些相关的泛函的极限定理，这个过程中，特别是轮数$T(M)$，直到所有的人之间的$1,\ldots,M$，除了第一个，已经离开（作为$M\to\infty$）。例如，我们证明了序列$(T(M)-\log^{*}M)_{M\in\mathbb{N}}$，其中$\log^{*}$表示重对数，是紧的，并研究其弱连续极限。我们进一步提供了一个适当的，显然是新的一种规范化（基于四分之一），使原来的标签的人留在游戏中，直到回合$n$收敛（作为$n\to\infty$）到一些随机的非泊松点过程，并研究其性质。结果被应用于研究泊松-狄利克雷聚结中碰撞数的序贯分布极限。
The process of most recent common ancestors in an evolving coalescent
考虑一个通过可交换的繁殖动力学进化的单倍体种群，其中所有在时间$t$存活的个体都有一个最近的共同祖先（MRCA），他们生活在时间$A_t$。随着时间的推移，不仅人口会发生变化，而且其谱系也会发生变化：一些家庭将从人口中消失，最终将建立新的MRCA。对于一个时间平稳的情况下，并在无穷总体规模$N$与时间测量的$N$代，即在缩放的人口遗传学，导致费舍尔-赖特扩散和金曼的合并，我们研究的过程$\mathcal A = (A_t)$的跳跃形成的点过程的时间对$(E,B)$时，新的MRCA建立，当他们住。通过将这些粒子对表示为粒子的进入和离开时间，这些粒子的轨迹嵌入Donnelly和Kurtz（1999）的俯视图中，我们可以通过交换论证来证明泊松过程的时间$E$和时间$B$。此外，粒子表示有助于计算MRCA过程的各种特征，例如建立新MRCA时聚结的分布，以及今天过去的MRCA数量的分布。
Gene genealogies in diploid populations evolving according to sweepstakes reproduction
研究二倍体种群中抽奖式繁殖的基因谱，揭示其共聚系数特性及时间变化影响
A coalescent dual process for a Wright-Fisher diffusion with recombination and its application to haplotype partitioning
对偶性在群体遗传学中起着重要作用。它可以将等位基因频率进化的前向时间模型的结果与后向时间系谱模型的结果联系起来;一个众所周知的例子是遗传漂变的赖特-费舍尔扩散与其系谱对应物结合之间的对偶性。已经有一些文章扩展了这种关系，包括其他进化过程，如突变和选择，但很少有人探索模型也将交叉重组。在这里，我们从第一原理推导出一个新的系谱过程，这是一个双重的赖特-费舍尔扩散模型的漂移，突变和重组。我们的方法是基于通过其无穷小生成元表示两个模型之间的假定的对偶关系，然后寻求一个适当的测试函数，以确保对偶方程的有效性。这种方法是相当普遍的，我们用它来寻找对偶的几个重要的变种，包括一个离散的L-基因座模型的基因和一个连续的模型，其中突变和重组事件分散沿基因根据连续分布。作为我们的结果的应用，我们推导出一个级数展开的过渡函数的扩散。最后，我们进一步详细研究了突变不存在的情况。然后，双重过程描述了祖先遗传物质在样本祖先中的传播。这个过程的平稳分布是特别感兴趣的，我们展示了如何二元性将这种分布与单倍型固定概率。我们开发了一个有效的方法来计算这样的概率在多位点模型。
Total length of the genealogical tree for quadratic stationary continuous-state branching processes
本文证明了由二次平稳连续状态分支过程给出的具有随机大小的种群模型的系谱树的全长过程的存在性。对于一维边界，我们还给出了它的拉普拉斯变换以及相应的收敛涨落。这一结果将与Pfaffelhuber和Wakolbinger对与Kingma聚结有关的恒定大小群体所获得的结果进行比较。我们还给出了该模型中祖先进程数目的时间反演性质，并对该模型中的谱系树进行了描述。
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